1、ABC中，AB 4,AC 4.2, BAC 45 ,以AC的中线BD为折痕，将ABD沿BD折起,
构成二面角A BD C.在面BCD内作CE CD ,且CE , 2 .
A
(I) 求证：CE //平面ABD ；
(II) 如果二面角A BD C的大小为90.,求二面角
B A
C E的余弦值.
E
B C
2、如图，四边形ABCD为正方形，PD
平面ABCD , PD//QA ,
1
QA AB - PD .
2
B
(1)证明：平面PQC 平面DCQ ;
⑵求二面角Q CP D的余弦值.
3、如图，在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD,
AB AD, AC CD, ABC 60°,PA AB BC
E是PC的中点.
(1)证明CD AE ;
⑵证明PD 平面ABE ;
D
(3)求二面角 A PD C的正切值
4、如图，三棱锥P-ABC中，/ ACB=90 ,PA丄底面ABC.
(I) 求证：平面PACL平面PBC;
(II) 若AC=BC=PA,M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切
值
5、已知四棱锥P ABCD , PA 底面ABCD, AD//BC, AB
O,又PA 3, AD 2,AB 2 3,BC 6,
解:⑴由AB 4,AC 4 2, BAC 45 得BC
三角形，由D为AC的中点得BD AC,以AC的中线BD为折痕
翻折后仍有BD CD ,因为CE CD ,所以CE // BD ,又CE 平面
ABD , BD 平面ABD ,所以CE // 平面ABD .
⑵如果二面角A BD C的大小为90 ,由AD BD 得AD 平面
BDC ,因此AD CE ,又CE CD ,所以
CE 平面ACD ,从而CE AC .由题意
BD n )求二面角0PB A的余弦值
(I ) 求证平面PAC ;(
参考答案
AD,AC与BD 交于点
cm⑷遴)
4 ,所以ABC为等腰直角
E
AD DC 2 2,所以Rt ADC 中，AC 4.设BC 中点为F ,因为AB BC 4,所以
角.cos OMQ —
6
3、【答案】 解答:（I ）证明：在四棱锥P ABCD 中，因PA 底面ABCD , CD 平面
ABCD ,故 PA CD .
•/ AC CD , PA AC A , A CD 平面 PAC .
而 AE 平面 PAC , A CD AE .
（n ）证明：由 PA AB BC , ABC 60° 可得 AC PA .
v E 是PC 的中点，A AE PC .
由（I ）知，AE CD ,且 PC 「|CD C ,所以 AE 平面 PCD . 而 PD 平面 PCD , A AE PD .
v PA 底面ABCD , PD 在底面ABCD 内的射影是 AD , AB AD , A AB PD . 又v ABAE A ,
综上得PD 平面ABE .
（川）解法一：过点A 作AM PD ,垂足为 M ,连结EM .则（n ）知，AE 平面
PCD , AM 在平面PCD 内的射影是EM ,贝U EM PD . 因此 AME 是二面角A PD C 的平面角. 由已知，得 CAD 30°设AC a ,
BF AC ,且 BF 2 3,设 AE 中点为 G ,则 FG // CE ,由 CE AC 得 FG AC ,所以
BFG 为二面角B AC E 的平面角,连结BG , 在 BCE 中，因为
BC 4,CE .2, BCE 135
BE .26
在 Rt
DCE 中 DE ,(2 2)2 (2)2
.10 ,于是在Rt
ADE 中,AE
.(2 2)2 (J0)2
3. 2.在
ABE
BG 2
- AB
2 2 2
BE 2
-
AE 2
4
33 ~2
在 BFG
12 中，cos BFG
1 33
2 ~2
2 3
2
2
.因此二面角
3
AC E 的余弦值为 一6 3
2、
PD
【答案】 面ABCD,PD CD,又CD
面DAQP, CD PQ,又 PQ DQ 面
CDQ,PQ 面 PCQ
AD
CD (1)
PQ
面 PQC 面
DCQ.
⑵过Q 作QO PQ 交于点O,过O 作
OM PC 交于点M.则 OMQ 是二面角的平面
4
可得
PA a
，AD ^a
，PD
f a
，AE 尹.
在 Rt △ ADP 中，•/
AM
PD , ••• AM -PD PA AD ,
则AM
PA-AD PD
2*3
a •- a .21 a
3
在 Rt △ AEM 中，sin
AME
AE AM
所以二面角A
PD C 的正切值为■. 7 .
解法二：由题设 为AD . 过点C 作CF
M ,连结CM 由已知，可得 PA 底面 ABCD ,PA 平面PAD ,则平面PAD 平面
可得PA a,
AD ,垂足为F ,故CF ,故CM PD .因此 CAD 30° ,设 AC
平面PAD .过点F 作FM CMP 是二面角A a , PD C 的平面角 AD
2-
3
a , PD
3
•••△ FMD PAD ,二型 PA FD
PD
曰FM
FD-PA PD
a°a 6_ /21
a 3
丄
14
CF 在 Rt △ CMF 中，tanCMF
—— FM
1 a
2
5.
7 a
14
所以二面角A PD C 的正切值是
ACD ，交线
PD ,垂足为
P
