正弦定理公开课

钝角三角形均成立 .
在一个三角形中 ,各边和它所对角的正弦的比相等
即
a ? b ? c ? 2R
sinA sinB sinC
公式变形:1? a ? b ; b ? c ; c ? a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2? a? 2RsinA b ? 2R sin B c ? 2R sin C
此等式能推广到任意的锐角三角形、钝角三角形吗 ?
怎么证明 呢 ？
证法一几何法
作锐角三角形 ABC 的外接圆,O 为圆心.
设圆 O 的半径为 R.
C
连接 CO 并延长，与圆交
于点 D, 再连接 BD.
b
a
O
则 ? A? ? D.
A
c
B
所以，a = CD·sinD = 2R·sinA. D
? a ? 2R sin A
A
60?
C=1
b=1
60?
60?
B
a=1
C
1? sin 60?
1? sin 60?
1 sin 60?
即
a?b? c sinA sinB sinC
在等腰三角形中 ,这个等式成立吗 ?
A
C=1 120? b=1
30?
30?
B
a? 3
C
1? sin 30?
1? sin 30?
3 sin 120?
即
a? b? c sinA sinB sinC
B a
j与CB 的夹角为__9_0_0_-__C_.A
b
C
由向量加法的三角形法 则可得 : AC ? CB ? AB
? j ?( AC ? CB ) ? j ?AB 即 j?AC? j?CB? j?AB
? j AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C) ? j AB cos(90? ? A)
分析:如图假设对岸的椰子树是 C点.直线AB 就是河岸的 两点.我们现在的位置是 A点.沿这条河从 A点走30米到B 点.测得∠A=30 0,∠ B =45 0 , 现在可以算出 AC的长了.
已知在△ ABC 中，∠A=30o，∠B=45o，AB=30 米 求 AC 的长？
1 、向量的数量积
(1) 、向量的夹角 ：
同理，b ? 2R , c ? 2R .
sinB
sinC
? a ? b ? c ? 2R . sin A sinB sinC
同理可证在钝角三角形中上式也成立
证法二:向量法
1、当? ABC 为锐角三角形时，如图
过A作单位向量 j与 AC 垂直,
则 j与AC 的夹角为 ___9_0__O __, c j与AB 的夹角为__9_0_0_-__A_, j
AБайду номын сангаас
(1) 、角的关系： A? B ? 90?
(2)、边的关系： a 2 ? b 2 ? c 2
c
b
(3)、边角关系：
sin
A
?
a c
sin
B
?
b c
Ba
sin C ? 1
C
? c? a
c? b
sin A
sin B
c? c . sin C
?
a? b? c
sin A sin B sin C
在等边三角形中 ,这个等式成立吗 ?
2、当? ABC 为钝角三角形时不妨设 A ? 90?，如图
过A作单位向量 j与 AC 垂直,
则 j与AC 的夹角为 ___9_0__O __, B
j与AB 的夹角为__A__?_9__0_?,
j与CB 的夹角为__9_0_?_?_C__,
j
同样可证得
abc ??
A
C
sinA sinB sinC
? 此式对于锐角三角形、直角三角形、
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C 、直角三角形 D、不能确定
2、在ΔABC中,已知 ，b ? 2c sin B
则角Ｃ=
30 或150 0
0
__ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _
3、在△ABC中，已知A ? 300 , C ? 450 , a ? 2 求c,b
c ? 2, b ? 1? 3
即a ? cos(90? ? C) ? c cos(90? ? A)
? a sin C ? c sin A 即 a ? c
sin A sin C
如果我们过 C作单位向
量j 垂直于 CB 又能
得到什么结果呢 ?
B
A
b
c
?
?
sin B sin C
j
C
? a?b?c sinA sinB sinC
钝角三角形中又应 如何证明呢?
?1、
正弦定理的内容:
a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C
2 、正弦定理的证明方法:(1)几何法
(2)向量法
课堂练习：
P144、第1题
作业
1 、P144 习题5.9 1 ?2 、思考:．
（1）若acos A＝bcos B判断△ABC 的形状 . （2）用等积法证明正弦定理 . （3）用正弦定理证明三角形面积公式 .
3? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
（4）作用:
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角
（2）已知两边和其中一边的对角求另一边的 对角，从而进一步求其它的边和角。
例1 在? ABC中，已知 c ? 10 , A ? 45 ?, C ? 30 ? 求b.
【分析】此题属于“已知两角和其中一边，求其它两 边和一角”的问题，先通过三角形内角和为 180°求出 角B，再利用正弦定理可求出边。
解：∵
b sin B
?
c sin C
且
B ? 180 ? ? ( A ? C ) ? 105 ?
? b ? c ?sin B ? 10 ? sin105? ? 5 2 ? 5 6
sin C
sin 30?
如果要求保留两个 有效数字即为例1
反馈练习：
c 1 、已知△ABC三边a、b、c所对角分别是A、B、C且sin2 A? sin2 B ? sin2 C ΔABC是（ ）
? 夹角的范围是： 0?≤?≤180? ? 判断向量夹角时两向量必须移至同一起点 (2) 、向量的数量积 ：
a ? b ? | a || b | cos ?
(3) 、数量积的运算律 ：
B
1?
a?
? ?b
?
? b
?a?
2? (a? ?
? b)
?c?
?
a? ?c? ?
? b
?Ac?
C
2 、直角三角形中的边角关系:
5.9.1正弦定理
资中一中 黄勇
问题:两个工程人员在野外作业 ,在一条不知道宽度的湍 急的大河边休息 .工程人员甲说 :河对岸有棵椰子树 . 如果你能用测角仪和卷尺测出那棵椰子树到我们这里 的距离,回家以后我请你喝冰镇椰子汁 .乙说,那太好了 , 我喝定了 .
思考:如果你是乙你能喝到冰镇椰子汁吗 ?你该怎么测 ?