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正弦定理公开课

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正弦定理省微课一等奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

正弦定理省微课一等奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一
边的对角.
abc sin A sin B sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其它边，如
a b sin A sin B
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其它边，如
a b sin A sin B
这种关系精确地表达出
来？
C
B
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式与否仍然成立？
可分为直角三角形，锐角三角 形，钝角三角形三种状况分析.
讲授新课
思考2：
尚有其办法吗？
用向量来研究这问题.
正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
1.1.1正弦定理
想一想？
复习ห้องสมุดไป่ตู้入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动. 思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有如何的数量关系？
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
解：在OAC中，
B1
C1
∵
sinb60°＝
a sin∠OCA
B2
∴ sin∠OCA＝ 8 s7in60°≈0.9897,
C2
60°
Oa
A
∴ ∠OCA＝81.8°或98.2°,

正弦定理(公开课)

正弦定理(公开课)
a=10 2时， VABC有一解
10 2 a 20时， VABC有两解
a 20时， VABC有一解
五、问题拓展
在ABC中，已知A为锐角，当 a，b满足什么条件时， ABC 无解、有一解、有两解？
六、归纳小结
角A a 图示
b A b A b A b A a a a a
解的情况
a<bsinA a=bsinA
3、正弦定理的应用： ① 已知两角和一边，求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角
a b c sin A , si课
例 1. 在ABC中,已知A＝45°,a＝10,b=20,求B.
a b 解：由正弦定理 sin A sin B
锐 角
无解 一解 两解 一解
bsinA<a<b a≥b
思考：当角A为直角或钝角时，情况又如何？
作业
1、导学案P28 2、固学案P15
正弦定理在解三角形 中的应用
高一数学 熊可可
一.复习回顾：
a b c 2R 1、正弦定理： sin A sin B sin C
（其中：R为△ABC的外接圆半径） 2、正弦定理的变形：
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
sin A : sin B : sin C a : b : c
一解
练习 1. 在ABC中,已知A＝45°,a＝ 20 6 ,b=20, 3 求B.
两解 一解
练习 2. 在ABC中,已知A＝45°,a＝20 2 ,b=20, 求B.
四、问题探究
在ABC中,已知A＝45°, b=20, a满足 什么条件时， ABC无解、有一解、 有两解？

中小学数学公开课优质课件精选正弦定理

中小学数学公开课优质课件精选正弦定理


b 5
5
6 2
6
2
四.数学应用
例 2 在△ABC中，已知a=16， b=16 3， 已知两边和其中一边 A=30°，求角B，C和边c 的对角,求其他边和角
a b 解：由正弦定理 sin A sin B
C
16 3
16
得
b sin A 16 3 sin 30 3 sin B a 16 2
在三角形中 大边对大角




所以 A 30
C 105
c 8

2 6

五.回顾小结
a b c 一个定理—— 正弦定理 sin A sin B sin C
两类应用—— （1）已知两角及任一边，求其他两边和一角 （2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 （从而进一步求出其他的边和角）
《正弦定理》
执教教师：XXX
一.创设情境
某游览风景区欲在两山之间 架设一条观光索道,现要测的两 山之间B、C两点的距离,如何求 得B、C两点的距离? 现在岸边选定1公里的基线AB, 并在A点处测得∠A=600，在C点测得 ∠C=450,如何求得B.C两点的距离?
.C
探究1：你能把它转化成数学问 题，写出已知量和要求的量吗？
0
七.课外作业
书第10页习题1.1第1、第2题
八.课后探究
_ 1.在△ABC中，A=300，B=600， 则 a : b : c __________ a b c 2．在半径为2R的圆内接△ABC中， sin A sin B sin C 是否
为定值. （可参考课本习题第九题） 3.已知三角形两边和其中一边对角时，出现两解、一解和 无解的原因是什么？（可参考课本习题第十题阅读题）

《正弦定理》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

《正弦定理》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
所以角C有两个解（如图）： ∠AC1B≈121.95°， ∠AC2B≈58.05° ，
因此，约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6h．
故选A．
A
在△ABC中，已知a=2 ，A=30°，B=45°，则c= ( )．A.2＋2 B. 2 C. 2-2 D. 1＋
已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？
第1步，作任意锐角∠A，控制角的一边AC大小恒定，过点C作以a为半径的圆，圆与∠A另一边的交点即为点B，交点的个数即为解的个数．
（1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
相关公式
正弦定理的应用
正弦定理
已知两角与任一边，解三角形．（解是唯一确定的）
已知两边与其中一边的对角，解三角形．（判断三角形解的个数）
变式
实现边与角的正弦互换．
教材第114页练习第1，2 ，3题．
台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响．如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？ (精确到0.1 h)
解：如图，设台风风中心从点 B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A．
c
C
B
A
A
c
显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
探究直角三角形中，边与角的等式关系．
c
b
a
第1步，如图作Rt△ABC，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c ．
分步
能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？试着探究锐角三角形中，边与角的等式关系．

第2课时 正弦定理(优秀经典公开课课件)

第2课时 正弦定理(优秀经典公开课课件)

＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6，
∴b＝20×
2＋ 4
6＝5
2＋5
6.
[规律方法] 已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和 定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由 正弦定理求另外两边．
A．35
B．53
C．37
D．57
解析 根据正弦定理，得ssiinn AB＝ab＝53.
答案 A
4．在△ABC 中，若 B＝30°，b＝2，则sina A＝________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析
a sin
A＝sinb
B＝12＝4.
2
答案 4
02
课堂案 题型探究
题型一 已知三角形两角及一边解三角形 [例 1] 在△ABC 中，已知 c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解法二 由已知得ac2osisnBB＝bc2osisnAA， 由正弦定理 sin A＝2aR，sin B＝2bR(R 为△ABC 的外接圆半径)， 得 acos A＝bcos B， 即 sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，即 2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝2π. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[提示]
a sin
A＝2，sinb
B＝sin
630°＝2，sinc
C＝2，三者的值相等．
对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？
[提示] 是．如图，∵sin A＝ac， ∴sina A＝c.∵sin B＝bc，∴sinb B＝c. ∵sin C＝1，∴sina A＝sinb B＝sinc C.

正弦定理(公开课)

正弦定理(公开课)
For thousands of years, sine has calculated the scale of all things
一、回顾旧知
已知直角三角形的两边，如何求第三边呢？
勾股定理
思考
已知一个三角形的一边两角，如何求其它边呢？
������
������
������
历史背景
这是一个2000多年前数学家 阿基米德到过的问题，三角学家 们一直想解决它。直到正弦定理 的出现，三角学家们才真正解决 了这个问题。
五、小结：
（1）正弦定理
������
������
������
������������������������ = ������������������������ = ������������������������ =2R
（2）正弦定理的应用
注意：考虑大角对大边
六、作业：
P13 1 ，2
谢谢
二、探求新知
如图在锐角三角形ABC中,证明：
������ ������������������������
=
������ ������������������������
������ 解：如图过C作AB的垂线CH
则������������������������������ = ������������������������������
������
������
即 ������ = ������
������������������������ ������������������������
同理可证
������ ������������������������
=
c ������������������������

高中数学北师大版必修5第二章《1.1正弦定理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学北师大版必修5第二章《1.1正弦定理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能：掌握正弦定理及其证明;能应用正弦定理解决一些简单三角形问题;
2、过程与方法：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究,发现定理,学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律,感受猜想---证明的数学研究过程;
3、情感态度与价值观：体会数学知识间的普遍联系与辨证统一;通过自主探究,合作交流,亲身体验数学规律的发现,增强学习信心,激发学习兴趣。

2学情分析
本节授课对象为高二学生,学生们在初中已学过解直角三角形的相关知识,必修4中,又学习了三角函数和平面向量等知识,这是学习正弦定理的认知基础,又是突破定理证明障碍强有力的工具。

学生通过一年多的高中学习,基础知识掌握较好,也已具备一定的观察、分析、解决问题的能力,但对应用向量证明正弦定理有较大困难。

教学中教师要注意恰当引导,让学生直接参与分析问题,解决问题,体会向量知识的应用价值。

3重点难点
教学重点:正弦定理的发现、证明及简单应用。

教学难点:应用平面向量证明正弦定理
4教学过程
4.1新课讲授
教学活动
1【讲授】正弦定理证明及应用
1、情境1:张老师给学生布置了一项作业:在一条河流两岸各有一根电线杆,不过河如何得知电线杆间的距离?有一位学生给出如下方案:在河南岸另定一个点C,只要测一下B、C两点的距离和角B、角C的大小便可计算出电线杆A、B间的距离。

你知道如何计算吗?
意图:引出概念“解三角形”,激发学生学习欲望。

正弦定理-公开课课件


如：a b sin A sin B
2、已知三角形任意两边与其中一边的对角， 解三角形。
如：sin A a sin B b
定理应用，解决引例
引例：在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
B
C
课堂小结，总结回顾
（一）知识上： 1、正弦1、定正理弦的定内理容的（内容a（ a b b c c2R ） 2及R其）证及明其的证思明想的方思法想；方法；
C
则在直角ΔADC和直角ΔBDC中
CD b sin A,
CD a sin B 即b sin A a sin B
A
D
B
a b ,同理可证： a c
sin A sin B
sin A sin C
a b c sin A sin B sin C
是否可以用其他的方法证明命题成立?
其他证明方法介绍
sin A sinsiAn B sinsiBn C sin C
2、正弦定理的主要应用： 已知三角形的两角及一边，解三角形；（AAS或ASA) 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形；(SAS)
（二）思想方法上：
3、转化化归思想、分类讨论思想、方程思想等.
课后作业
1、探索整理正弦定理的其他证明方法；
学以致用
例 1：在ΔABC中，已知A 30o, B 45o, a 2,求C、b、c.
解：由三角形内角和可得：
C 180 30 45 105
由正弦定理 a b c 得： sin A sin B sin C
b
a sin B sin A
2sin 45o sin 30o
2
2
a sin C 2sin105o 2sin 60o 45o

正弦定理微课获奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件


1.Ａ为锐角
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA 无解
a=bsinA bsinA<a<b
一解
两解
a≥b 一解
2.Ａ为钝角
Ｃ ba
Ａ
Ｂ
Ｃ ba Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相似，
a>b时，一解角
A为钝角或直角
①a=
关系式
bsinA且 a<b
j
a
则j·AB = j·（AC + CB），
所以j·AB = j·AC + j·CB
B
C b A
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
所以c·sinA = a·sinC，即 a = c ， sinA sinC
同理，作j⊥ BC，j与AC夹角为锐角.
可得 b = c ，从而 a = b = c .
bsinA<a <b
a<bsinA
a>b
②a≥b
解的个数 一解
两解
无解 一解
a≤b 无解
1.△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC 为( A )
A.
B.
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，b= 3 ，B＝60°，c＝1，
则此三角形有（ A ）
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不拟定
思考：对于任意的三角形，以上关系式与否仍然成立？
解析：(1)锐角三角形
当ΔABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，

正弦定理名师大课堂获奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件


3 ，b＝2
1
3 2
2 ，A＝45°，
已 C 知C B两1B0边753500和 060或或0 其0c1或1正55中010 2弦0一(c0a舍s0si 定边ni去n aAC对 理)s i n角 应3C4 ， 用 求46一32另43：一2 边6 24的32对角28 ， 8进3 而可求其它的边和角。（sin要A 注意2 可能2 有两解）3
SABC
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
1 2
ab sin C
二个 应用 ：
已知两角和一边（只有一解） 已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，无解）
（八）任务后延，自主探究
如果已知一个三角形的两边及夹角， 要求第三边，怎么办？
P4 第 1, 2小题
A
c
sin A
sin B sin C
b
c 1
c c
b sin B c
c
c b
c
sin C C a B
问题
（1）你有何结论?
abc
sin A sin B sin C
（2）上述结论与否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？
二、定理的证明
C
如图，当 ABC是锐角三角形 时，设AB边上的高是CD，根 据三角函数的定义可得
解： b c ,
sin B sin C
sin C c sin B 1 sin 60 1
b
3
2
b c, B 60 ,C B, C为锐角， C 30，A 90
a c2 b2 2
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 ,求A.
解：sin A a sin B 2 3 sin 45 3
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解：∵
b sin B
?
c sin C
且
B ? 180 ? ? ( A ? C ) ? 105 ?
? b ? c ?sin B ? 10 ? sin105? ? 5 2 ? 5 6
sin C
sin 30?
如果要求保留两个 有效数字即为例1
反馈练习：
c 1 、已知△ABC三边a、b、c所对角分别是A、B、C且sin2 A? sin2 B ? sin2 C ΔABC是（ ）
分析:如图假设对岸的椰子树是 C点.直线AB 就是河岸的 两点.我们现在的位置是 A点.沿这条河从 A点走30米到B 点.测得∠A=30 0,∠ B =45 0 , 现在可以算出 AC的长了.
已知在△ ABC 中，∠A=30o，∠B=45o，AB=30 米 求 AC 的长？
1 、向量的数量积
(1) 、向量的夹角 ：
即a ? cos(90? ? C) ? c cos(90? ? A)
? a sin C ? c sin A 即 a ? c
sin A sin C
如果我们过 C作单位向
量j 垂直于 CB 又能
得到什么结果呢 ?
B
A
b
c
?
?
sin B sin C
j
C
? a?b?c sinA sinB sinC
钝角三角形中又应 如何证明呢?
?1、
正弦定理的内容:
a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C
2 、正弦定理的证明方法:(1)几何法
(2)向量法
课堂练习：
P144、第1题
作业
1 、P144 习题5.9 1 ?2 、思考:．
（1）若acos A＝bcos B判断△ABC 的形状 . （2）用等积法证明正弦定理 . （3）用正弦定理证明三角形面积公式 .
5.9.1正弦定理
资中一中 黄勇
问题:两个工程人员在野外作业 ,在一条不知道宽度的湍 急的大河边休息 .工程人员甲说 :河对岸有棵椰子树 . 如果你能用测角仪和卷尺测出那棵椰子树到我们这里 的距离,回家以后我请你喝冰镇椰子汁 .乙说,那太好了 , 我喝定了 .
思考:如果你是乙你能喝到冰镇椰子汁吗 ?你该怎么测 ?
钝角三角形均成立 .
在一个三角形中 ,各边和它所对角的正弦的比相等
即
a ? b ? c ? 2R
sinA sinB sinC
公式变形:1? a ? b ; b ? c ; c ? a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2? a? 2RsinA b ? 2R sin B c ? 2R sin C
2、当? ABC 为钝角三角形时不妨设 A ? 90?，如图
过A作单位向量 j与 AC 垂直,
则 j与AC 的夹角为 ___9_0__O __, B
j与AB 的夹角为__A__?_9__0_?,
j与CB 的夹角为__9_0_?_?_C__,
j
同样可证得
abc ??
A
C
sinA sinB sinC
? 此式对于锐角三角形、直角三角形、
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C 、直角三角形 D、不能确定
2、在ΔABC中,已知 ，b ? 2c sin B
则角Ｃ=
30 或150 0
0
__ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _
3、在△ABC中，已知A ? 300 , C ? 450 , a ? 2 求c,b
c ? 2, b ? 1? 3
A
60?
C=1
b=1
60?
60?
Bபைடு நூலகம்
a=1
C
1? sin 60?
1? sin 60?
1 sin 60?
即
a?b? c sinA sinB sinC
在等腰三角形中 ,这个等式成立吗 ?
A
C=1 120? b=1
30?
30?
B
a? 3
C
1? sin 30?
1? sin 30?
3 sin 120?
即
a? b? c sinA sinB sinC
A
(1) 、角的关系： A? B ? 90?
(2)、边的关系： a 2 ? b 2 ? c 2
c
b
(3)、边角关系：
sin
A
?
a c
sin
B
?
b c
Ba
sin C ? 1
C
? c? a
c? b
sin A
sin B
c? c . sin C
?
a? b? c
sin A sin B sin C
在等边三角形中 ,这个等式成立吗 ?
此等式能推广到任意的锐角三角形、钝角三角形吗 ?
怎么证明 呢 ？
证法一几何法
作锐角三角形 ABC 的外接圆,O 为圆心.
设圆 O 的半径为 R.
C
连接 CO 并延长，与圆交
于点 D, 再连接 BD.
b
a
O
则 ? A? ? D.
A
c
B
所以，a = CD·sinD = 2R·sinA. D
? a ? 2R sin A
B a
j与CB 的夹角为__9_0_0_-__C_.A
b
C
由向量加法的三角形法 则可得 : AC ? CB ? AB
? j ?( AC ? CB ) ? j ?AB 即 j?AC? j?CB? j?AB
? j AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C) ? j AB cos(90? ? A)
3? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
（4）作用:
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角
（2）已知两边和其中一边的对角求另一边的 对角，从而进一步求其它的边和角。
例1 在? ABC中，已知 c ? 10 , A ? 45 ?, C ? 30 ? 求b.
【分析】此题属于“已知两角和其中一边，求其它两 边和一角”的问题，先通过三角形内角和为 180°求出 角B，再利用正弦定理可求出边。
? 夹角的范围是： 0?≤?≤180? ? 判断向量夹角时两向量必须移至同一起点 (2) 、向量的数量积 ：
a ? b ? | a || b | cos ?
(3) 、数量积的运算律 ：
B
1?
a?
? ?b
?
? b
?a?
2? (a? ?
? b)
?c?
?
a? ?c? ?
? b
?Ac?
C
2 、直角三角形中的边角关系:
同理，b ? 2R , c ? 2R .
sinB
sinC
? a ? b ? c ? 2R . sin A sinB sinC
同理可证在钝角三角形中上式也成立
证法二:向量法
1、当? ABC 为锐角三角形时，如图
过A作单位向量 j与 AC 垂直,
则 j与AC 的夹角为 ___9_0__O __, c j与AB 的夹角为__9_0_0_-__A_, j