2018届高三数学最新复习课件：三角函数的图像与性质

5.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)， 对于任意 x 都有 f
π ＋ x ＝f 6
π － x 则 ， 6
f
π 6
2或－2 答案 的值为________.
解析
∵f
π ＋ x ＝f 6
π － x ， 6
3 3 3 3 3 3 C.[－ 2 ， 2 ] D.[－ 2 ，3] π π π 5π 当 x∈[0，2]时，2x－6∈[－6， 6 ]，
π 1 sin(2x－6)∈[－2，1]， π 3 故 3sin(2x－6)∈[－2，3]， 3 即 f(x)的值域为[－2，3].
3.函数y＝tan 2x的定义域是 答案
故选B.
kπ π π kπ 5π f(x)＝tan2x－3的单调递增区间为 2 －12， 2 ＋12(k∈Z)，
(2)已知 ω＞0，函数 ω 的取值范 1 5 ， 答案 解析 2 4 围是________. π ωπ π π π 由2＜x＜π，ω＞0，得 2 ＋4＜ωx＋4＜ωπ＋4， π 3π 又 y＝sin x 的单调递减区间为[2kπ＋2，2kπ＋ 2 ]， ωπ＋π≥π＋2kπ， 2 4 2 1 5 所以 解得 4k＋2≤ω≤2k＋4，k∈Z. π 3π ωπ＋4≤ 2 ＋2kπ，k∈Z， 1 5 5 又由 4k＋2－(2k＋4)≤0，k∈Z 且 2k＋4>0，k∈Z，得 k＝0， 1 5 所以 ω∈[2，4].
欲求函数的单调减区间，只需求
π π π π 5π 由 2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，得 kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z.
跟踪训练1 (1)函数y＝lg(sin x)＋

sin α＝13，则 cos(α－β)＝________.
解析 (1)|OP|＝1，且点P在α的终边上， ∴sin α＝cos 53π＝cos53π－2π＝cos－π3＝cos π3＝12，
因此 sin(π＋α)＝－sin α＝－12. (2)由题设，得 β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)，∴sin β＝sin α＝13，cos β＝－cos α. 则 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×19－1＝－79. 答案 (1)B (2)－79
热点二 三角函数的图象
【例 2】 (1)(2019·天津卷)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将
y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函
数为 g(x).若 g(x)的最小正周期为 2π，且 gπ4＝ 2，则 f38π＝(
答案 A
4.(2019·全国Ⅰ卷)函数 f(x)＝sin2x＋32π－3cos x 的最小值为________.
解析 f(x)＝sin2x＋32π－3cos x＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos
x＋1＝－2cos

x＋342＋187，
因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－4. 答案 －4
解析 易知 A，B 项中函数的最小正周期为π2；C 中 f(x)＝cos|x|＝cos x 的周期为 2π，D
中 f(x)＝sin|x|＝s－insixn，xx，≥x0<，0，由正弦函数图象知，在 x≥0 和 x<0 时，f(x)均以 2π 为周 期，但在整个定义域上 f(x)不是周期函数，排除 C，D.

高三一轮总复习
(1)B
π [∵x∈3，π，∴cos 1 x∈－1，2，故
y＝2cos x 的值域为[－2,1]，
∴b－a＝3.]
π 2 2 (2)令 t＝sin x，∵|x|≤4，∴t∈－ ， ，3 分 2 2
∴y＝－t
2
12 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋4，
(
5π A.－2π，－ 3 5π π C.－ 3 ，3 5π π B.－2π，－ 3 和3，2π π D.3，2π
)
高三一轮总复习
π π 1 π C [令 z＝2x＋3，函数 y＝sin z 的单调递增区间为2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z)，
高三一轮总复习
抓 基 础 · 自 主 学 习
第三节
[考纲传真]
三角函数的图象与性质
课 时 分 层 训 练
1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函
明 考 向 · 题 型 突 破
数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和 最小值、图象与 x
π kπ π D [由 2x≠kπ＋2，k∈Z，得 x≠ 2 ＋4，k∈Z， ∴y＝tan 2x
kπ π 的定义域为 x x≠ 2 ＋4，k∈Z .]
高三一轮总复习
4．(2017· 长沙模拟(一))函数
1 π y＝sin2x＋3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是
所以
π f(x)max＝f3，
1 π π 即2×3＋φ＝2＋2kπ(k∈Z)， π π ∴φ＝3＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜2，
1 π π 得 φ＝3，故 f(x)＝sin2x＋3.

sin 2x>0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ<x<kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x<－ 或 0<x< ．∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2 2 2
π π 的定义域为－3，－2 ∪0，2 ． π π 答案：－3，－2 ∪0，2
π π π π D．在2，π和－π，－2 上是增函数，在－2，2上是减函数
答案：D
2． 函数
π π f(x)＝sin2x－4 在区间0，2 上的最小值为________．
π x∈0，2 ，得
[由题悟法]
三角函数最值或值域的 3 种求法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解． (2)化一法：把所给三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的 形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把 sin x、cos x、sin xcos x 或 sin x± cos x 换 成 t，转化为二次函数．
第三节
三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图象上， 五个关键点是： (0,0)，
π 3π ，1，(π，0)， ，－1 2 2
，(2π，0)．
余弦函数 y＝cos x， x∈[0,2π]的图象上， 五个关键点是： (0,1)，
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域 为________________．
解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 1－t2 即sin xcos x＝ ，且－1≤t≤ 2． 2 t2 1 1 ∴y＝－ ＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1． 2 2 2 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1． ∴函数的值域为[－1,1]． 答案：[－1,1]

三角函数的图象与性质
结
束
第三节 三角函数的 图象与性质
本 节 主 要 包2 括 个知识点： 1三 . 角函数的定义域和值域； 2三 . 角函数的性 .质
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
三角函数的图象与性质
结
束
突破点(一)
基础联通
三角函数的定义域和值域
抓 主 干 知 识“ 的 源” 与“ 流”
三 角 函正 弦 函 数 y 余弦函数 y 数 图象 ＝s i n x ＝c o s x
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
三角函数的图象与性质
结
束
三角函数的值 (最值 域 )
求解三角函数的值 (最值 域 )常 见 的 题 目 类 型 ： ( 1 形如 ) y＝as i n x＋bc o s x＋k的 三 角 函 数 化 y＝ 为As i nωx ( ＋ φ)＋k的 形 式 ， 再 求 值 (最值 域 )；
正切函数 y＝ t a n x
定义域
R_ _
R __

x x∈R，且x ≠ π kπ _ _＋ _2 _ _， _k _∈Z

突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
三角函数的图象与性质
结
束
三角函数 正弦函数 y ＝s i n x 值域
余弦函数 y ＝c o s x
正切函数 y ＝t a n x R
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
三角函数的图象与性质

则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
6
是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
6
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
2 42
(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程

[记结论] 与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2 (k∈Z )；若为奇函数，则有φ＝ kπ(k∈Z )； (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z )；若为奇函数，则有φ＝kπ ＋π2(k∈Z )； (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z )．
(kπ，0)
kπ＋π2，0
kπ－π2，kπ＋π2 无
k2π，0
对称轴方程
x＝kπ＋π2
x＝kπ
无
[注意] 1正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无 单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调；2求函数y＝Asinωx＋φ的单调 区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.
3．(多选)(必修第一册207页练习3题改编)已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R )，
下列结论正确的是
()
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间0，π2上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：由题意，可得f(x)＝－cos
x，对于选项A，T＝
2π 1
＝2π，所以选项A正
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确；对于选项B，y＝cos x在0，π2上单调递减，所以函数f(x)在区间0，π2上单 调递增，所以选项B正确；对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所
以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确，选项D错
误．故选A、B、C．
答案：ABC
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1， (π，0)，32π，－1，(2π，0)．

⑤单调性: 在( k， k )(k Z )上是增函数.
2
⑥渐近线方程是：x

2
k


,k

Z
⑦对称中心是:
( k
, 0)k
2 Z
2
三角函数的图象的应用
例1：（1）已知sin x 1 ，求x的集合； 2
（2）已知 sin
x

1 2
，x
[-

2
，
2
]，求x的集合；
2.方程2 x cosx的实根个数是( D)
A.无数个 B.3个 C.2个 D.1个
比较函数值的大小
例12.已知a 2 (sin17+ cos17),b 2sin2 13 1 , 2
A c 3 ,则a,b,c的大小关系是（ ）. 2
A. c a b
B. b c a
（3）已知sin x 1 ，x [0， ]，求x的集合；
2
（4）已知sin ，x [0， ]，求x的集合。
2
变式：
1.函数f（x） sin x 2sin x的值域是 B
A.[3. 1] B.[1,3] C.[0,3] D.[3,0]
2
y=cosx的图像可通过把y=sinx的图像
向_左_平移__2__个单位长度而得到．
五点作图法
1. y sin x (0 x 2 )的简图
y

( ,1)
最高点
1-
2
o (0, 0)
( , 0)

(2 , 0)
与x轴 的交点
2 x
-
1 -
(
3 2
,
1)

6
将点( ，0)代入y＝sin(x＋ )，得sin( ＋ )
3
6
36
＝0，所以 ＝2k＋ (k Z)，＝4k＋2(k Z)．
2
由图知T ,即 2 ，所以 6. 3 3
又 0，所以＝2.故y＝sin(2x＋ ).
3
【例3】
三角函数图象的 综合应用
如图，函数y＝2cos(x＋ )(x R,0 )
得到函数y＝g x的图象．
若y＝g x在[0， ]上为增函数，
4
则的最大值为 ______ ．
【解析】由题设知
g x＝2sin[(x＋ )－ ]＝2sinx.
3 3
因为g x在[0， ]上是增函数，
2
2
所求函数f x的解析式．
5.已知函数f x＝sin(x＋)( 0， )
2 为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点和
最低点之间的距离为2 10.
1求函数f x的解析式； 2求f 1＋f 2＋f 3＋＋f 102的值．
【解析】1因为f x为奇函数，所以sin(－x＋)
＝－sin(x＋)，即2cosxsin＝0对x R恒成立， 所以sin＝0.又 ，所以＝0.
4
2
6
函数y＝1 sin(2x＋ ) 5的图象．
2
64
方法2：
函数y＝sinx的图象
各点的横坐标变为原来的1 (纵坐标不变)
2
函数y＝sin
(2x)的图象
向左平移 个单位长度
12
函数y＝sin(2x
)的图象
向上平移 5 个单位长度
2
6
函数y＝sin(2x )+ 5的图象
62
各点的纵坐标变为原来的1 (横坐标不变)

的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
高三复习课件 三角函数的图像和性质 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。