2018届高三数学最新复习课件：三角函数的图像与性质

【思路点拨】
先列出使函数有意义的不等式
(组)，再结合函数的图像或三角函数线求解．
【解】 (1)由题意，得 2 － 2cos x＋ 3cosx－1≥ 0，
2 36 － x >0.
1 cosx≥ 2， 2cosx－ 1cosx－1≤ 0， 即 也即 － 6<x<6. －6<x<6. π π － 3＋ 2kπ≤ x≤ 3 ＋2kπ k∈ Z ， 解得 － 6<x<6.
思考感悟
如果函数y＝f(x)的周期为T，那么函数y＝f(ω x)
的周期是多少？
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
课前热身
π 1．设函数 f(x)＝ cos(2x－ )，x∈ R，则 f(x)是( 2 A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 π 的偶函数 π C．最小正周期为 的奇函数 2 π D．最小正周期为 的偶函数 2 )
π 4 而 g(x)的单调减区间为[2kπ＋ ， 2kπ＋ π](k∈ Z)， 3 3 π 4 所以原函数的单调增区间为[2kπ＋ ， 2kπ＋ π](k∈ 3 3 Z)． (3)该函数的定义域为 R. 2 令 u＝ sinx，则 y＝ u ＋ u， u∈[－1,1]， 12 1 而 y＝ u ＋ u＝(u＋ ) － 开口向上，对称轴为 u＝－ 2 4
【答案】 (1)C
(2)A
【名师点评】 形如y＝f(ω x＋φ )的三角函数在
求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，
往往把ω x＋φ 看作一个整体．
变式训练 2 ________.
1 (1)函数 y＝ sin2x 的最小正周期 T＝ 2
求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，
求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可
以先求交集再加周期的整数倍即可．
例1
求下列函数的定义域：
2 2
(1)y＝ －2cos x＋ 3cosx－1＋ lg(36－ x )； lg 2sinx－1＋ － tan x－ 1 (2)y＝ . x π cos ＋ 2 8
π (3)∵ f(x)＝ sin2x－ (1－ cos2x)＝ 2sin(2x＋ )－1， 4 π π π ∴当 2x＋ ＝ 2kπ＋ ，即 x＝kπ＋ (k∈ Z)时， 4 2 8 f(x)取得最大值 2－ 1. π ∴ f(x)取最大值时 x 的集合为 {x|x＝ kπ＋ ， k∈ Z}． 8
2
1 . 2
1 故当－ ≤ u≤1 时， y＝ u2＋ u 是增函数， 所求 x 的范 2 1 围应使 u＝ sinx 是增函数且满足条件－ ≤ sinx≤1， 2 π π 则 2kπ－ ≤ x≤ 2kπ＋ (k∈ Z)； 6 2 1 当－1≤ u≤－ 时，y＝ u2＋ u 是减函数，所求 x 的范 2 围应使 u＝ sinx 是减函数且满足条件－ 1≤ sinx≤－ 1 ， 2
§3.5 三角函数的图像与性质
§ 3.5 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质
双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理
1．周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个______ 非零 实数T，使得当x取定义域内的每一个值时， _______________ 都成立，那么就把函数y＝f(x)叫 f (x＋T)＝f(x) 作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周 期．对于周期函数来说，如果所有的周期中存在 最小正 周期，今 着一个最小的正数，就称它为________ 后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般 最小正周期 ． 都是指它的_____________
定义域求解．
(1)求函数 y＝sin2x＋sinx－1 的值域； π π (2)若 <x< ，求函数 y＝tan2xtan3x 的最大值； 4 2 (3)求函数 f(x)＝sin2x－2sin2x 的最大值及 f(x)取最大 值时 x 的集合．
例2
【思路点拨】
先将原函数式进行恒等变形，再
化为一个角的三角函数或利用|sinx|≤1，
【思路点拨】 (1)化为 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)后再判断； π (2)余弦函数的对称中心是(kπ＋ ，0)(k∈ Z)，由此来 2 求 |φ|的最小值．
【解析】 (1)f(x)＝ 2sinxcosx＝ sin2x 是奇函数，T＝ 2π ＝ π，因此 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数． 2 4π (2)∵ y＝ 3cos(2x＋ φ)的图像关于点( ， 0)中心对称， 3 4π 8π π ∴ 3cos(2× ＋ φ)＝0.∴ ＋ φ＝ ＋ kπ， k∈ Z. 3 3 2 13π π ∴ φ＝－ ＋ kπ， k∈ Z.∴当 k＝ 2 时，|φ|有最小值 . 6 6
【规律小结】 求解涉及三角函数的值域(最值)
的题目一般常用以下方法： (1)利用sinx、cosx的值域； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ω x＋φ )＋k 的形式逐步分析ω x＋φ 的范围，根据正弦函数单
调性写出y＝Asin(ω x＋φ )的值域；
(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化 为二次函数．
取 k＝－1,0,1，可分别得到 5π π π 5π x∈ (－6，－ ]或 x∈ [－ ， ]或 x∈[ ， 6)． 3 3 3 3 即所求的定义域为 5π π π 5π (－ 6，－ ]∪ [－ ， ]∪ [ ， 6)． 3 3 3 3
－tanx－1≥0， (2)由题意，知 x π cos2＋8≠0，
π π ∵ <x< ， 4 2 1 1 1 1 1 ∴ tanx>1,0< 2 <1，－ < 2 － < . 2 tan x 2 2 tan x 1 12 1 ∴ 0≤ ( 2 － ) < ， tan x 2 4 1 1 12 1 － ≤ ( 2 － ) － <0. 4 tan x 2 4 1 12 1 1 ∴当( 2 － ) － ＝－ ， 4 4 tan x 2 即 tanx＝ 2时，ymax＝－ 8.
与y＝0的交点的个数为________． 答案：1
5．(原创题)函数y＝|tanx|的单调增区间是
________．
解析：画出函数 y＝|tanx|的图像如下图，易知其单 π 调增区间为：[kπ，kπ＋ )， k∈Z. 2
π 答案：[kπ，kπ＋ )，k∈ Z 2
考点探究•挑战高考
考点突破 三角函数的定义域 求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组
答案：A
2．函数 f(x)＝sinx－cosx 的最大值为( A．1 B. 2 C. 3 D．2
)
答案：B
3．M，N 是曲线 y＝πsinx 与曲线 y＝πcosx 的两个 不同的交点，则|MN|的最小值为( ) A．π B. 2π C. 3π D． 2π
答案：C 4．(教材习题改编)y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图像
三角函数的值域和最值
1．三角函数属于初等函数，因而前面学过的求
函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉
及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦
函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1对值域 的影响． 2．解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将 函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据
互动探究 1
π 若将例 2(1)、 (3)中的 x∈R 改为 x∈[ ， 6
π ]，结果如何？ 3
π π 1 3 解：(1)当 x∈[ ， ]时，t∈[ ， ]， 6 3 2 2 1 2 3－ 1 此时 y∈[－ ， ]． 4 4
π π π 7π 11π (3)当 x∈ [ ， ]时，2x＋ ∈ [ ， ]， 6 3 4 12 12 π 7π π 此时当 2x＋ ＝ ，即 x＝ 时， 4 12 6 3－1 f(x)取得最大值为 . 2 π ∴ fx)取得最大值时 x 的集合为{ }． 6
(2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也
是易错点．
三角函数的周期性和对称性
1．y＝ Asin(ωx＋ φ)和 y＝ Acos(ωx＋ φ)的最小正周期 2π π 为 ， y＝tan(ωx＋ φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| 2．正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴 对称图形，正切函数的图像只是中心对称图形，应 熟记他们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思 想的应用．
3 π ∴ y＝ sin(－ x＋ )的单调递增区间是 2 4 4kπ 5π 4kπ π [－ － ，－ － ](k∈ Z)． 3 6 3 6 π (2)该函数的定义域为 R，y＝f(x)＝1－ 2cos( －x)＝ 1 3 π － 2cos(x － ) ，所以 f(x) 的单调增区间恰为 g(x) ＝ 3 π 2cos(x－ )的单调减区间， 3
例4
(1)(2010年高考陕西卷)函数f(x)＝ )
2sinxcosx是(
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π偶函数
(2)(2009 年高考全国卷Ⅰ )如果函数 y＝ 3cos(2x＋ φ) 4π 的图像关于点 ( ，0)中心对称，那么 |φ|的最小值为 3 ( ) π π A. B. 6 4 π C. 3 π D. 2
π 3π ∴该函数的定义域为{x|2kπ＋ <x<2kπ＋ ， k∈Z}． 2 4
【方法小结】 (1)三角函数的定义域是研究其他一 切性质的前提． (2)三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的 π 限制一样，另外 y＝ tanx 中 x≠ kπ＋ ， k∈ Z. 2 (3) 求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等 式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
例3 求下列函数的单调递增区间：
3 π (1)y＝ sin(－ x＋ )； 2 4 π (2)y＝ 1－ 2cos( － x)； 3 (3)y＝ sin2x＋ sinx.
【思路点拨】 利用复合函数的单调性规律“同
增异减”求解．
【解】
(1)该函数的定义域为 R. 3 π 令 t＝－ x＋ ，则 y＝ sint. 2 4 因为 t 是 x 的一次减函数， 故应取 y＝ sin t 的减区间 才符合要求． π 3π 由单调性可知， 2kπ＋ ≤ t≤ 2kπ＋ (k∈ Z)， 2 2 π 3 π 3π 即 2kπ＋ ≤－ x＋ ≤ 2kπ＋ (k∈ Z)． 2 2 4 2 4kπ 5π 4kπ π ∴－ － ≤ x≤－ － ，k∈ Z. 3 6 3 6
三角函数的单调性
函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0， ω>0)的单调区间的确定， 基本思想是把 ωx＋ φ 看做一个整体，比如：由 2kπ π π － ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出 x 的范围，所得区 2 2 π 3 间即为增区间； 由 2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ π(k∈ Z) 2 2 解出 x 的范围，所得区间即为减区间．
2sinx－ 1>0，
即tanx≤－1， x π π 2＋8 ≠kπ＋2k∈Z.
1 sinx> ， 2 可利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组 的解集，如图所示，
π π 有kπ－2 <x≤ kπ－4 k∈Z ， 3π x≠2kπ＋ 4 k∈Z.
π 5π 2kπ＋ <x<2kπ＋ k∈ Z ， 6 6
|cosx|≤1等求解．
【解】
(1)令 t＝ sinx，则 t∈[－1,1]， 12 5 2 y＝ t ＋t－1＝(t＋ ) － ， t∈ [－ 1,1]， 2 4 5 ∴ y∈ [－ ， 1]． 4 4 2tan x 3 (2)y＝ tan2x· tan x＝ 1－ tan2x ＝ 2 1 1 － tan4x tan2x ＝ 2 1 12 1 2 － － 4 tan x 2wenku.baidu.com，
7π 3π 则 2kπ＋ ≤ x≤ 2kπ＋ (k∈ Z)． 6 2 综上所述，函数 y＝ sin2x＋ sinx 的单调递增区间是 π π 7π 3π [2kπ－ ， 2kπ＋ ]和 [2kπ＋ ， 2kπ＋ ]，k∈ Z. 6 2 6 2
【误区警示】
(1)单调区间是定义域的子区间，
因而应先求定义域．