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x0 Acos
v0 A sin
A
x02
( v0
)2
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
P. 6 / 26 .
x Acos(t ) v A sin( t ) a 2 Acos( t )
☻ ：角频率或园频率，反映振动快慢，系统属性。
2 2
T
2 k k
的旋转矢量： x , v , a
旋转矢量 A
x t t1
A
A2 o t1 t2
t3 t4
t t2 t A
A
A
t0
A
t t4 o A2 A x
A
t t3
思考：该振动的初相位 φ ＝
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
四、振动问题求解
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关键： A、、的求解
x Acos(t )
即做简谐振动。
t 时刻 A与+x 轴夹角 t
Mt
M
A
t A
t0
p
p
xo
x0 x
对应于物体谐振动的相位。
(t) t
旋转矢量 A
x,v,a
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
P. 9 / 26 .
例如，下图中 t = 0、t1 、t2 、t3 、t4 时刻谐振动所对应
m
m
k
v0
A
o x0 A x
☻ t ：相位或周相或相，反映谐振子振动状态。
(t) t
x,v,a
：初相位，反映谐振子初始时刻振动状态。
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
二、谐振动曲线
P. 7 / 26 .
x,v,a
2A Ax
x Acos(t ) v A sin( t ) a 2 Acos( t )
的旋转矢量： x , v , a
旋转矢量 A
x t t1
A
A2 o t1 t2
t3 t4
t t2 t A
A
A
t0
A
t t4 o A2 A x
A
(t) t
旋转矢量 A
t t3
x,v,a
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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例如，下图中 t = 0、t1 、t2 、t3 、t4 时刻谐振动所对应
1. 明确初始条件，如已知x0，v0方向等；
2. 画出与初始条件相对应的
A
旋转矢量；
3. 该旋转矢量与+x轴的夹角
o
x0 x
即为初相位 。
Fig. t = 0 时的旋转矢量
x Acos(t )
A
x02
( v0
)2
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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☻A：振幅，反映系统能
量大小，与初始条 件有关。 设 t = 0 时：
k 谐振子v0
A
o x0 A x
d2x dt 2
2
x
0
x Acos(t ) 运动方程
v dx A sin( t ) a dv 2 Acos( t )
dt
dt
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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x Acos(t ) v A sin( t ) a 2 Acos( t )
☻A：振幅，反映系统能
量大小，与初始条 件有关。 设 t = 0 时：
k 谐振子v0
A
o x0 A x
x = x0 =Acos ，v =v0 = －ωAsin
x0 Acos
v0 A sin
k m
x
0
令:
2
k m
谐振子
k
A
o
x A
d2x dt 2
2
x
0
x Acos(t ) 运动方程
v dx A sin( t ) a dv 2 Acos( t )
dt
dt
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
P. 3 / 26 .
x Acos(t ) v A sin( t ) a 2 Acos( t )
例 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=3×10-2 m/s， 振幅A=2×10-2 m。若 t = 0 时，物体位于平衡位置且向 －x方向运动，求：T、amax、振动方程。
解 v A sin( t )
wenku.baidu.com
vm A
vm 1.5 rad/s
A
3. 该旋转矢量与+x轴的夹角
即为初相位 。
A
x02
( v0
)2
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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x Acos(t ) v A sin( t ) a 2 Acos( t )
☻ ：角频率或园频率，反映振动快慢，系统属性。
2 2
T
k
v0
2 k k
m
m
A
o x0 A x
解 v A sin( t )
vm A
vm 1.5 rad/s
A
T 2 4.19 s
a 2 Acos( t )
amax 2 A 1.52 210-2 4.5102 m/s 2
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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例 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=3×10-2 m/s， 振幅A=2×10-2 m。若 t = 0 时，物体位于平衡位置且向
x Acos(t )
A
x02
( v0
)2
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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例 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=3×10-2 m/s， 振幅A=2×10-2 m。若 t = 0 时，物体位于平衡位置且向
－x方向运动，求：T、amax、振动方程。
－x方向运动，求：T、amax、振动方程。
由旋转矢量图可知：
2 物体的振动方程为：
A 2
x 2102 cos(1.5t )
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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§9.1 简谐振动
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
一、简谐振动(谐振动)的描述
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简谐振动：恢复力与位移关系为 F kx的振动。
F kx maddt2x2
d2x dt 2
a
☻ot ：相位T或2周相或相T，反映谐振子3T振2动状态。t
(t) t
x,v,a
A v：初相位，反映谐振子初始时刻振动状态。
Chapter 9. 振动 §作9.者1 简：谐杨振茂动田
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三、谐振动的图解法 旋转矢量法
旋转矢量 A ：作逆时针匀角速率 ω 旋转。
t 时刻其投影 p 的坐标：
