F
E D C
B
A
正方形的性质与判定
一．知识要点：
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
二．例题讲解
1. 正方形的性质
【铺垫】正方形有 条对称轴．
【例1】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，
，则BE 的长为 【例2】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n
A A A ，
，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
【例3】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.
正
方形
菱形
矩形平行四边形E D
C B
A
F
E P D C B
A
P
D
C
B
A G C F E D B
A B D C
A E
F 【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角
形，那么DCP ∠=
【例4】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.
【例5】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.
【例6】如图4.6－6，已知E 为正方形ABCD 的边BC 的中点，EF ⊥AE ，CF 平分∠DCG ，求
证：AE ＝EF ．
解析：可取AB 中点M ，连结ME ，证△AME ≌△ECF
F A B C D
E 2.正方形的判定
【例1】如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。
【例2】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．
⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；
⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
【例3】已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且BF=CE ．
（1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论．
M E N C D
B A
