高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高考模拟考试数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2. 已知集合{}|11M x x =-<<
，{|N x y ==，则M
N =
A. {}|01x x <<
B. {}|01x x ≤<
C. {}|0x x ≥
D. {}|10x x -<≤ 3．设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是
A ．0
B ．2±
C ．2
D ．2- 4．一算法的程序框图如图1，若输出的12
y =， 则输入的x 的值可能为
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．5
5.将函数sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移6π个单位，再向上
平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A ．22cos y x =
B ．2
2sin y x =
C ．1sin 23y x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
D ．cos 2y x =
6. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是 A ．① ② B ．② ③ C ．① ④ D ．② ④ 图1
7. 已知双曲线2
2:13
x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相
D
C
交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PF Q 的周长为
A ．
3
B ．
．3
D ．
8.
已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥.设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点
M '所经过的路线长度为 A ．12πB ．6π C ． 4π D ． 3
π
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9. 不等式212x x ->+的解集是.
10. 已知数列{}n a 是等差数列，且34512a a a ++=，则1237a a a a +++
+的值为.
11. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,
02
x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域
W 中随
机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是.
12. 由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝
对值等于7的四位数的个数是. 13. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的
值为.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）
如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，
AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）图2
在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为.
图3
日销售量/个
a a a a a 图4
E
F
D
C
B
A
P
三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，
4
π
是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且45f πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭
，345f πβ⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭
，求()sin αβ+的值. 17.（本小题满分12分）
广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频
率分布直方图（如图3）．
表1
将日销售量在各组的频率作为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求1a ，3a 的值.
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50
个的概率；
（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图4，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；
（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.
