集美大学 船舶结构力学(总48学时)第六章 能量法(1)(2学时)2014

EI
可得 图5-3
1 1 V P11 dV P 1d 2 2 再据 有
写出
1 dV Mdθ 2 1 M M dx 2 EI 2 1M dx 2 EI
线性体系一维弹性体 应变能的统一形式
Mdx d EI
而
1 M2 dV dx 2 EI
V
将
"
l
0
1 lM dV dx 2 0 EI
1 0

1
0

1
1
0
1 2 V k 1 2
2 0
（J6-11a）
应变能与广义位移的关系?
1 1 2 P P 1 1 1 2 2k
由以上推导可见应变能 是广义位移的二次函数。
1 2 1 2 P1 V k 1 V 2k 2
应变能与什么有关？
应变能只与载荷的最终数值有关， 或只与位移的最终数值有关。
1 l "2 EIv dx 弯曲 2 0 一般以弯曲为主的杆 l 1 '2 件，剪切和拉压应变能与 GA v dx s 2 弯曲应变能相比很小可忽 0 2 略不计。
1 l '2 u V EAu dx 2 0 1 l 扭转 104页 '2 GJ dx （5-8b） 2 0
1
2.应变能（变形能）(用V表示) 显然: V
W Pd
0
教材105页（5-11）
1
3.一维弹性体——受拉杆的外 力功或应变能、单位体积的 应变能：
外力功或应变能：V
W Al d
0
1
单位体积的应变能：V0

1
0
d
下面说明之：
设受拉杆断面积为 A ， 长度为 l ，拉力为 P ，伸 长为 ，应力为 ，应变 l 为 P
应变能计算不能应 用叠加原理!
1 2 V P 1 2k
2 1
1 (P 1P 1P 1 P 2) 2 2 k 2 k 2 k
2
2
三.线性一维弹性体应变能的 统一形式：
对于线性体系的一维弹性 体，在拉压、扭转和弯曲等 情况下的应变能的统一形式 可写为:
1 V P11 2
(J6-11b)
弹性体的外载荷（应力） 与变形（应变）间的关系：

0
( )
( )
0 （线性或非线性关系 ）
弹性体分类？

非线性是较为普遍的情况： 几何非线性、材料非线性。
线性弹性体、非线性弹性体
几何非线性： 何种？ 由大变形而产生。 0 材料非线性：材料本身应力应变间的非线性关系而引起。
图5-5c
三维弹性体的六对应 力-应变分量的每一对都可 写出类似一维弹性体所表 达的单位体积的应变能，
V0 d
0
1
(5-12)
将这些能量叠加，可 得三维弹性体单位体积的 应变能为：
V0 x d x y d y z d z xyd xy yzd yz zx d zx
d
T
定积分上下限: （0、应变的最终值）
写成矩阵形式为： T V0 d
d x d y d z d d xy d yz d zx
108页 教材（5-14）
该式积分区间: （0、各应变分量的最终值）

二.线性体系的应变能
对于外力与变形成正比的线性体 系如下图:
终值
P1
P
1
终值
P k
对于线性弹性体， 广义力与广义位移之间 成线性关系。
0

图（J6-2）
若 P (k 为刚性系数 )则由 k V W ）式 （5-11 Pd 2 有: V Pd k d k
1
0
Al
V0 d
0
1
（J6-4）
(5-12) 教材106页
能量密度
( )
V0 d
0
1
曲线下的面积
等于应力-应变 曲线下的面积。
图5-5c
4.三维弹性体的单位体积应变 能、整个弹性体的应变能
三维弹性体的单位体积中的应变能：108页
V0 d
弹性体因外力作用而 变形，于是引起外力作用 点沿作用线方向的位移， 所以外力作了功，同时弹 性体因变形而储存了能量 （应变能）。 P
举例说明：
v
EI , l
若外力由零开始缓慢 地增加（弹性体自始至终处于平衡 状态，动能的变化可以不计）， 如果再省略变形过程中 其它能量的少量损失（主要 是热能），可以认为外力作 的功等于弹性体的应变能 （变形能）。
1、梁的弯曲应变能 由材料力学弯曲理论 可知，弯曲时中性层的曲 率为
M EI
1
图5-3
该式是综合考虑几何、 物理和静力学三方面推导 得到的基本公式。 参见图5-3
103页
图5-3
由图5-3 可见 d dx 1 即 d dx ，

代入式 1 M

Mdx 得： d EI
式中广义力在拉、压时代表拉、 压力，而在扭转、弯曲时代表扭矩、 弯矩等； 广义位移与广义力相对应，在拉、 压时代表线位移，在扭转、弯曲时代 表扭角、转角等。
拉、压
扭转
弯曲
剪切
T l V 例如: 2 EA 拉伸或压缩: EA2 (5-2) 应变能 102页 2l
Mt l 扭转: V 2GJ (5-4) 应变能 2 GJ 103页 2l
（参见教材105页图5-5c）
( )
教材105页
（） PP
( )
曲线下面积 是什么？
图5-5c
一.外力功与应变能概述 —— P 广义力； —— 广义位移
（） PP
外力功
曲线下面积
数学表达？
1.外力功(用W表示)
W Pd
0
（） PP （） PP
T
教材（5-14）
（ J 6-5）
整个三维弹性体的应变能：
V V0dxdydz
下面说明之：
V0d

（教材5-15式）
1）三维弹性体单位体积中的应变能
由弹性力学可知，对于一个三维 弹性体，体系中的微块有六个应力分 量，及相应的六个应变分量（参见下 图），
三维弹性体，体系中的微块 六个应力分量 z z x 剪应力互等 zx y x z yz y y xy xy z x yz xy y zx dx dy dz yz
本章将介绍最基本的能 量原理: 虚位移原理,以及可由 它引伸而得到的最小位能 原理和李兹法。
思考： 材料力学功、能转换的概念？
（一弹性体在静加外力作用 下,外力的功将转变为体系 的变形能或应变能，当外 力卸去时体系可以完全恢 复原状。） P
v
EI , l
§6-1
应变能概述
应变能(变形能或变形位能)： 弹性体因变形而储存的能量。
从数学理论角度讲该式是什么？
泛函
1 l "2 V v( x ) EIv ( x )dx 0 2
附：变分法的基本概念(参 见教材110页): 1. 泛函:若某一变量的值是 由一个或几个函数的选取 而确定的,则这个变量就叫 做泛函。
显然： 梁的弯曲应变能就 是一个泛函.
1 l "2 V v ( x ) EIv ( x )dx 0 2
因此有：
l 1 l 1 '2 "2 V GJ dx EIv dx 2 0 2 0
（J6-19c）
若不计扭转?
思考： 1）一梁上同时受到两个集中力时，应变能可 否分别计算每一力单独作用时的应变能再相 加？ 2）一杆系结构若同时承受拉（压）、弯曲、 剪切、扭转四种载荷作用时，应变能可否分 别计算每一力单独作用时的应变能再相加？ 3）一梁上若同时承受拉（压）、弯曲、剪切、 扭转四种载荷作用时，应变能可否分别计算 每一力单独作用时的应变能再相加？2 Nhomakorabea2
§6.2 应变能计算
主要介绍杆件弯曲应变能计算公式。
(梁的应变能计算公式)
在能量法分析结构 时，经常会遇到有关应 变能的计算，本节主要 介绍杆件弯曲应变能计 算公式。
一、杆件弯曲情况下的 应变能 (梁的应变能)
一般在弯曲的情况下， 梁断面有弯矩与剪力，它们 在弯曲变形时都做了功，
故相应有弯曲引起 的应变能（简称弯曲应 变能）及剪切引起的应 变能（简称剪切应变能）
2
EIv M 代入上式有
103页
1 l "2 V EIv ( x)dx 0 （5-5） 2
不计剪切影响时杆件的弯 （梁的弯曲应变能） 曲应变能：
1 l "2 V EIv ( x)dx 0 2
（5-5）
记忆！
从数学理论角度讲该式是什么？
1 l "2 V v ( x ) EIv ( x )dx 0 2
函数与泛函的依从关系比较: 函数y=y(x)的依从关系是: 数y对应于数x。 泛函J=J[g(x)]的依从关系是: 数J对应于函数g(x)。
2.变分问题： 求泛函的极值问题。 3.变分法: 研究求泛函极值的方法。
二、（单一）杆件同时 受拉伸（或压缩）、扭 转和弯曲力情况下的应 变能
由于在线性体系中拉 （压）、扭转与弯曲变形 之间的相互影响可以忽略， 故杆件的应变能为各应变 能之和，即
1 2 1 2 P1 V k 1 V 2k 2
也就是说只要根据载荷的 最终数值，或杆件变形的最终 形状，就可以完全确定其应变 能，与加载的过程和加载的先 后次序无关。 V 1 P V 1 k
2
2k
1
2
2 1
思考:应变能计算能否应用 叠加原理? ( P P )的应变能？
1 2
第六章 能量法(变形能法)
教学内容
§6.1 §6.2
应变能概述 应变能计算
能量法: 通过能量原理来描述 结构的平衡与变形连续条 件,从而解决结构力学问题 的方法。
或:直接应用能量原理来进行结 构力学分析的方法。
能量原理: 变形固体力学中 与能量概念有关的一些原 理、定理。
学习能量法的意义:
1.有限元法的理论基础; 2.解析法之外的另一类有效方 法(可解决解析法难以解决的 问题); 3.可解决非弹性结构体系问题。
zx
x
六个应力分量对应的六个应变分量

x y z xy yz zx
显然有：
T
d ？
T
x y z xy yz zx
0 0 0 0 0 0
x1
y1
z1
xy 1
yz 1
zx1
简记为
积分上限为各应变分量的最终值
V0 x d x y d y z d z xyd xy yzd yz zx d zx
矩阵形式？
显然

T
x y z xy yz zx
图5-5a 教材105页

则有如下关系 ：
P A l d ld
A
将上述关系代入式（5-11） d ld 中可得： P A V W Pd 1） 受拉杆的外力功或应变 能为：
1 0
V W Al d
0
1
（J6-3）
2）受拉杆单位体积的应变 能（或能量密度）用 V0 V Al d 表示 V 因 V0 ，故：
每个应力分量和 其对应的应变分量 均有右图的关系
若是线性系统曲线将怎样？
d x d y d z d d xy d yz d zx
x y z xy yz zx
（ J 6-5）
2）整个弹性体的应变能 三维弹性体单位体积的应变 T 能为 V0 d 教材（5-14），不难写出整 个弹性体的应变能为：
整个三维弹性体的应变能：
V V0dxdydz （教材5-15式） V0d

T V0 d