七年级上册数学鲁教版三角形的尺规作图参考教案

1.4 三角形的尺规作图学案学习目标：1、 能够利用基本作图，熟练根据条件用尺规作出三角形。

2、 规范书写三角形尺规作图的步骤，画出图形保留作图痕迹。

3、 能利用三角形全等说明作图的合理性和正确性。

学习重、难点：1、 正确叙述三角形尺规作图的步骤，画出图形保留作图痕迹。

2、 根据给出的条件设计合理的作图步骤，正确叙述并画出图形。

知识复习：1、 什么是尺规作图？2、 用尺规作图怎样作一条线段等于已知线段。

（画出图形，说明画法）3、 用尺规作图怎样作一个角等于已知角。

（画出图形，说明画法） 以上两个尺规作图我们叫做“基本作图”。

问题思考：利用尺规作图，怎样做一个三角形与已知三角形全等。

如图，⊿ABC ，再作一个三角形与⊿ABC 全等。

想一想你有几种方法？与同伴交流。

新课学习：一、 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形。

已知：线段a 、c ，∠ 求作：⊿ABC ，使BC=a ，AB=c ，∠ABC =∠α 分析：怎样画出符合条件的图形呢？ 假设画出的三角形如图所示，想一想，利用两个基本作图怎样画出图形呢？方法1：先作∠ABC =∠α，再在角的两边分别截取BC=a BA=c 连接AC 即可。

方法2：先作线段BC=a ，再作∠ABC =∠α 截取BA=c ，连接AC 即可。

按照方法1，作图如下：作法：（1）∠DBE =∠α（2）在射线BE 上截取BC=a在射线BD 上截取BA=c（3）连接AC⊿ABC 就是所求的三角形。

思考：按照方法2，写出作图过程，画出图形。

一般情况下，尺规作三角形，先画出草图，把已知条件对应到草图上，并安排作图步骤（哪一步用哪个基本作图）最后写出作图步骤，画出图形。

尺规作图的基本步骤和格式为：已知 求作 作法 写出结论。

二、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。

已知：βα∠∠ 线段c求作：⊿ABC ，βα∠=∠∠=∠B A ，AB=c画出草图，把已知条件标记到草图上，设计作图步骤，如下：（你能得到几种不同的作法）C BA αc aαB EDC A B ED CB Dαc aCBAβαc根据下面的作法，画出三角形。

三角形尺规作图教案设计与实践导言：数学是一门基础学科，对于学生们来说，在学习数学过程中，如何提高数学的学习兴趣、培养逻辑思维、锻炼创新能力都是非常重要的。

三角形尺规作图是数学学科中的重要内容，也是考试中经常考察的一个知识点。

本文主要介绍三角形尺规作图教案设计与实践，旨在帮助教师们更好地开展三角形尺规作图教学活动。

一、教学内容1、三角形尺规作图的基本操作方法；2、三角形尺规作图的应用；3、三角形尺规作图中的相关知识点。

二、教学目标通过三角形尺规作图教学，让学生掌握以下技能：1、掌握三角形尺规作图的基本操作方法；2、理解三角形尺规作图的应用；3、掌握三角形的内角和外角概念及性质；4、锻炼学生的逻辑思维和创新能力。

三、教学策略针对三角形尺规作图教学的特点，采用如下教学策略：1、引导性教学：引导学生分析思考，帮助学生理解三角形尺规作图的基本操作方法和应用；2、互动性教学：通过展示和讨论实例，让学生能够积极参与实践、增加探讨；3、差异性教学：通过不同的教学方式，满足学生不同的学习需求；4、翻转教学：让学生在课堂外拓展自己的学习资源，减轻教师在课堂上的讲解压力。

四、教学过程1、概述三角形尺规作图是绘制由三条边确定的三角形图形的过程。

它是绘制几何图形的基础，也是学习平面几何学的必备技能。

在教学过程中，需要让学生了解尺规作图的基本操作，熟悉几种不同的作图方法、了解其应用以及一些相关知识点等。

2、教学方法如果能够将三角形尺规作图教学与实际生活相结合，教学效果会更加好。

例如，可以引导学生使用三角形尺规作图完成各种日常生活中的实际问题。

比如画出标准箭头，削铅笔，测画等，让学生深入理解三角形尺规作图的实际应用价值。

3、教学流程3.1、引入学生已经在初中学习过三角形尺规作图的基础知识，在引入部分，建议先简单复习一下以往的学习内容，让学生快速复习掌握。

同时，可以通过实例演示三角形尺规作图的实际应用。

3.2、理解基本概念教师要让学生了解三角形尺规作图的基本操作方法，这是这一教学过程的重点。

2019版七年级数学上册第一章三角形1.4三角形的尺规作图导学案鲁教版五四制学习目标：在给出的两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。

学习方法：自主探究与小组合作交流相结合．学习重难点：利用三角形的全等解决问题学习过程：模块一预习反馈一、学习准备（1）回忆判定全等三角形的方法有_______、______、______、______。

（2）尺规作图时，用_______画直线、射线和线段,用________画弧或圆.二、教材精读1.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.已知：线段a，c，∠α。

求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。

作法与过程：①作一条线段BC=a；②以B为顶点，为一边，作角∠DBC= ；③在射线上截取线段BA= ；④连接，ΔABC就是所求作的三角形。

2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.已知：线段∠α，∠β，线段c 。

求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。

作法：①作___________=∠α；②在射线_____上截取线段________=c；③以____为顶点,以_______为一边,作∠____=∠β,_______交______于点______.ΔABC就是所求作的三角形.3.已知三角形的三边,求作这个三角形.已知：线段a，b，c。

求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a。

作法：（1）作一条线段BC=a；（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点（3）连接AB,AC。

△ABC就是所求作的三角形模块二合作探究1.已知∠α和∠β、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β，且∠α的对边等于a。

(提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ。

由此转换成已知∠β和∠γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。

)作法：1、2、3、4、5、△ABC就是所求作的三角形模块三形成提升1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，第一步应为（）A、作一条线段等于已知线段；B、作一个角等于已知角；C、作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D、先作一个角等于已知角，或先作一条线段等于已知线段2、用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（）A、已知两角和夹边；B、已知两边和夹角；C、已知两边和其中一边的对角；D、已知两角和其中一角的对边。

13.4三角形的尺规作图教学设计教学目标：1.会利用尺规作图做三角形：已知三边做三角形：已知两角及夹边做三角形：已知两边及夹角做三角形。

2.会写出作三角形的已知、求作。

3.知道作图的依据，会运用两个三角形全等的条件解释作图的合理性。

教学重点：熟练掌握基本作图方法，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确.教学内容：一、复习引入，导入新课1. 作一条线段等于已知线段a已知：线段a求作：线段AB，使AB=a.解：第一步：画射线AF；第二步：以A为圆心，a为半径画弧，交射线AF于点B；线段AB即为所求.2. 用尺规画角（精讲，师生共同完成，打好基础） 作一个角等于已知角已知： ∠AOB.求作： ∠A'O'B' 使∠A'O'B' =∠AOB. 步骤：1.以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点C ．２.画射线O'M ．3.以点O'为圆心，以OC 为半径画弧，交O'M于点A'．4.以点A'为圆心，以CD 为半径画弧，交已画的弧交于点B'．5.作射线O'B'BOA已知角OA BDCO'M∠A'O'B'即为所求．二、讲授新课用尺规作三角形：1.尺规作图：只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（SSS_，SAS，ASA，AAS），都只能作出唯一的三角形.2.问题如图，已知线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.bac分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B 为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.作法：（师生一同完成）3.做一做：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形（教师引导学生完成）已知：线段a，b，∠α ，求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b ，∠ACB ＝∠α思考：假设这个三角形已作出，是不是比较容易发现作图的步骤呢？（鼓励学生动手去做）已知三角形的两角及它们的夹边,求作三角形（小组合作完成，并找代表说一说作图语言）已知:∠α,∠β,线段a，求作:△ＡＢＣ,使ＢC＝a,∠ABC＝∠α,∠AC Ｂ＝∠β,观察所画的三角形，看是否与同桌所画的三角形全等，能说出全等的理由吗？（同桌对比并讨论）ASA:两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等思考：已知两角及一角的对边，你会作三角形吗？（课下思考题）三、课堂小结四、教学反思由于学生基础作图没有掌握好，所以在此次的教学设计中调整了各个知识点时间上的安排，基本做角这一知识点重点讲解，为后面的知识讲解作准备，讲解过程在此放慢速度，保证大部分学生能掌握好如何画角。

周次课型新授主备人课题教课目的教课要点教课难点教具准备1.4三角形的尺规作图1．在分别给出的两角夹边．两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形．2．能联合三角形全等的条件与伙伴沟通作图过程和结果的合理性．依据题目的条件作三角形．探究作图过程．圆规、直尺．准备活动：计算已知线段 a，求作线段AB，使得AB=a．二次备课已知：∠求作：∠AOB，使∠AOB=∠已知：M为∠AOB边上的一点，如下图，过M作直线CD，使得CD//OA．教课过程：内容一:(依据简单图形书写作法)如图,使用直尺作图,看图填空．①②③④过点____和_______作直线AB；连结线段___________；以点_______为端点,过点_______作射线___________；延伸线段__________到_________,使得BC=2AB．如图,使用圆规作图,看图填空:在射线AM上__________线段________=___________．以点______为圆心,以线段______为半径作弧交_________于点___________．以点______为圆心,以随意长为半径作弧,分别交∠AOB两边,交_________于点___________, 交________于点__________．这部分内容是为让学生熟习作法的语言表达而设的．教师应当让学生慢慢理解这类语言表达的意思．逐渐学会自己口述表达自己的作图过程．内容二：(作一个三角形与已知三角形全等)1．已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形．已知：线段a，c，∠α．求作：ABC，使得BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．作法与过程：1）作一条线段BC=a，2）以B为极点，BC为一边，作角∠DBC=∠a；3）在射线BD上截取线段BA=c；4）连结AC，ABC就是所求作的三角形．给出示范和作法 ,让学生模拟,教师能够在黑板上做一次示范,让学生随着一同操作,并在画完图后,让学生再自己操作一遍．而在下边的作图中,就让学生小组内议论．沟通，经过集体的力量达成，教师再给予必定的指导．2．已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形．已知：线段∠α，∠β，线段c．求作：ABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c．作法：（1）作____________=∠α；在射线______上截取线段_________=c；以______为极点,以_________为一边,作∠______=∠β,________交_______于点_______．ABC就是所求作的三角形．先让学生独立思虑，探究作图的过程，对能够自己作出图形的学生，要求他们在小组内沟通，用自己的语言表述作图过程．教师要注意提示学生在作图过程中，是以哪个点为圆心，什么长度为半径作图．讲堂练习：已知三角形的三边,求作这个三角形．已知：线段a，b，c．求作：ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a．在达成三个作图后，要鼓舞学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法察看所作的三角形能否全等．在此时机上，指引学生利用已经获取的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形必定是全等的，即说明作法的合理性．课后小结：能依据题目给出的条件作出三角形．能口述作图过程．课后作业：课后作业．教课后记：本节课的内容比许多，学生对作图的步骤有混杂的状况发生，学生对于自己探究“已知三角形三边作三角形”的作图过程存在必定的难度．用自己的语言表达作图过程也是不大理想．有待练习稳固．板书设计教课反省对爸爸的印象，从记事的时候，就有了，他留给我的印象就是缄默少言的，但是脸上却一直有浅笑，不论家里碰到了什么样的困难，只需有爸爸在，全部都能够雨过天晴的，小时候，家里很穷，但是作为孩子的我们（我和哥哥），却很幸福。

三角形的尺规作图教案目标：1. 了解什么是尺规作图2. 学习三角形的尺规作图方法3. 能够独立完成三角形的尺规作图学习内容：一、尺规作图概述尺规作图是指利用直尺和圆规进行几何图形的画法。

直尺和圆规只能进行直线和圆的作图，但是通过一些特殊的作图方法，也可以进行其他几何图形的作图。

二、三角形的尺规作图方法1.已知三边作图法（1）作一个已知边的线段AB。

（2）以A为圆心，以AB为半径画一个弧，以B为圆心，以BA为半径画一个弧，在两个弧的交点处记为C。

（3）连接AC和BC，得到三角形ABC。

2.已知底边及两边边长作图法（1）画一条底边AB。

（2）以A为圆心，以AC为半径，画一个弧，在弧上取一点D。

（3）以D为圆心，以BD为半径，画一个弧，与之前的弧交于点E。

（4）连接AE，得到三角形ABE。

3.已知底边、底角和高作图法（1）画一条底边AB，以A为圆心，以AC为半径，画一个弧。

（2）以B为圆心，以角度为底角的两倍的弧度作弧，与之前的弧交于D。

（3）以C为圆心，以CD为半径，作一个弧与之前的弧交于E。

（4）连接AE，得到三角形ACE。

三、实践操作1.根据给定的已知条件，列出作图步骤。

2.按照列出的步骤进行作图。

四、讲解与实践反思1.尺规作图的优势与限制。

2.针对作图过程中出现的问题与困难进行解答和指导。

3.对学生的作图结果进行讲解和批评，指导学生进行改正。

五、作业布置1.练习册上的相关习题。

参考资料：1.《数学（九年级上册）》人民教育出版社2.《九年级数学》人教版辅助教材。

1.5 利用三角形全等测距离教学目标：1、能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。

2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

教材分析：通过一个实际的例子引出三角形全等的应用，生动、有趣、现实的例子会引起学生们的兴趣，引发他们去思考，并尝试用三角形全等的条件来解决实际问题。

教学重点：能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。

教学难点：利用三角形全等解决实际问题，在解决问题中进行有条理的思考和表达。

教学方法：自主探索法 教具准备：投影仪，三角板 准备活动：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成 或5、全等三角形的性质：两三角形全等，对应边 ，对应角6、如图；△ADC ≌△CBA ，那么∠=∠ABC ，＝AB7、如图；△ABD ≌△ACE ，那么∠=∠BDA ，＝AD教学过程： 一、 创设情境：投影显示：在一次数学夏令营活动中，老师把同学们带到一条河边。

在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，老师要求同学们测出河宽。

同学们经过ACBDA BC讨论，想出了一个办法，他们先让一位同学站在河边的点A 处，面向河的对岸，然后调整这位同学的旅行帽，使视线通过帽沿正好落在河对岸的点B 处。

接着，再让他保持姿态转过一个角度，这时他的视线通过帽沿落在了自己所在岸边的一点C 上，另一位同学马上记下这点。

最后，同学们用步测的方法量出A ，C 两点间的距离，这个距离就等于河宽AB 。

（1） 你能解释其中的道理吗？（2）按这个方法，找出教室或操场上与你距离想等的两个点，并通过测量加以验证。

二、 新授： 想一想：如图所示：A,B 两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A,B 两点间的距离。

他们想出了这样的一个办法：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ；连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A,B 两点间的距离。

1.4 三角形的尺规作图◆尺规作图的重要依据：全等三角形的判定定理.题型一 利用尺规作图求角度1.（2024•禹城市模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算a Ð的度数为( )A ．68°B ．56°C ．45°D．54°【分析】先根据矩形的性质得出//AD BC ，故可得出DAC Ð的度数，由角平分线的定义求出EAF Ð的度数，再由EF 是线段AC 的垂直平分线得出AEF Ð的度数，根据三角形内角和定理得出AFE Ð的度数，进而可得出结论．【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC \，68DAC ACB \Ð=Ð=°．由作法可知，AF 是DAC Ð的平分线，1342EAF DAC \Ð=Ð=°．由作法可知，EF 是线段AC 的垂直平分线，90AEF \Ð=°，903456AFE \Ð=°-°=°，56a \Ð=°．故选：B ．2.（2023秋•庆云县期末）如图，已知AOB Ð，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB于点E ，F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若32AOB Ð=°，则BOD Ð的度数为( )A ．32°B ．54°C ．64°D ．68°【分析】根据题意得出OF OD =，EF DE =证DOE EOF D @D 即可求解．【解答】解；根据作图过程可知：OF OD =，EF DE =，在EOF D 和DOE D 中，OF OD EF ED OE OE =ìï=íï=î，()EOF DOE SSS \D @D ，32DOE AOB \Ð=Ð=°，64BOD DOE AOB \Ð=Ð+Ð=°，故选：C ．3.（2024•夏津县一模）如图，在ABC D 中，30B Ð=°，50C Ð=°，通过观察尺规作图的痕迹，DEA Ð的度数是( )A ．35°B ．60°C ．70°D ．85°【分析】由题可得，直线DF 是线段AB 的垂直平分线，AE 为DAC Ð的平分线，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：由题可得，直线DF 是线段AB 的垂直平分线，AE 为DAC Ð的平分线，AD BD \=，DAE CAE Ð=Ð，30B BAD \Ð=Ð=°，60ADC B BAD \Ð=Ð+Ð=°，50C Ð=°Q ，180605070DAC \Ð=°-°-°=°，1352DAE CAE DAC \Ð=Ð=Ð=°，85DEA C CAE \Ð=Ð+Ð=°．故选：D ．4.（2023秋•青岛期末）如图，在ABC D 中，50A Ð=°，70B Ð=°．按以下步骤尺规作图：①以点C 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 和BC 的延长线于点D ，E ．②分别以D ，E为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点F ．③作射线CF ．则ECF Ð的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】根据三角形的外角性质可得120ACE A B Ð=Ð+Ð=°，由尺规作图可知，CF 为ACE Ð的平分线，结合角平分线的定义可得答案．【解答】解：50A Ð=°Q ，70B Ð=°，120ACE A B \Ð=Ð+Ð=°．由尺规作图可知，CF 为ACE Ð的平分线，60ECF ACF \Ð=Ð=°．故选：A ．5.（2023秋•临淄区期末）如图，在ABC D 中，40B Ð=°，50C Ð=°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得DAE Ð= 度．【分析】利用基本作图得到DF 垂直平分AB ，AE 平分DAC Ð，则DB DA =，12DAE DAC Ð=Ð，所以40DAB B Ð=Ð=°，再利用三角形内角和计算出90BAC Ð=°，则50DAC Ð=°，从而得到25DAE Ð=°．【解答】解：由作图痕迹得DF 垂直平分AB ，AE 平分DAC Ð，DB DA \=，12DAE DAC Ð=Ð，40DAB B \Ð=Ð=°，180BAC B C Ð+Ð+Ð=°Q ，180405090BAC \Ð=°-°-°=°，904050DAC BAC DAB Ð=Ð-Ð=°-°=°Q ，150252DAE \Ð=´°=°．故答案为：25．题型二 简单的尺规作图1.（2023秋•阳谷县期中）在ABC D 中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB 与AC 大小关系的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据作图信息一一判断即可．【解答】解：A 、由作图可知AB AC =；本选项不符合题意；B 、由作图可知AC AB >，本选项不符合题意；C 、无法判断AB ，AC 的大小，本选项符合题意；D 、由作图可知AC AB >，本选项不符合题意．故选：C ．2.（2023秋•张店区期末）如图，在ABC D 中，4AB =，3AC =．借助尺规在边BC 上求作点D ，使得CD 与BD 的长度比等于3:4（即34CD BD =，则下列尺规作图正确的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】选项C 中，过点D 作DEAB 于点E ，DF AC ^于点F ．利用面积法证明:3:4CD DB =，可得结论．【解答】解：选项C 中，过点D 作DEAB 于点E ，DF AC ^于点F ．由作图可知AD 平分BAC Ð，DE AB ^Q ，DF AC ^，DE DF \=，\1212ABDADC AB DE S BD S CD AC DF D D ××==××，4AB =Q ，3AC =，\34CD BD =，\点D 符合条件．故选：C ．3.（2024春•济南期中）如图，点C 在AOB Ð的边OB 上，用尺规作出了NCE AOD Ð=Ð，作图痕迹中，弧FG 是( )A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧【分析】本题中，弧FG 是运用作一个角等于已知角可得答案．【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧．故选：D ．4.（2024•新泰市三模）如图，在ABC D 中，90BAC Ð=°，以点A 为圆心，以AC 长为半径作弧交BC 于点D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点F ，作射线AF 交BC 于点E ，若3AC =，4AB =，连接AD ，则(ABD S D = )A ．125B ．195C ．4225D ．3715【分析】根据作图过程可得AE 垂直平分CD ，所以CE DE =，根据勾股定理可得BC ，再根据三角形面积可得AE 的长，根据勾股定理可得CE 的长，进而可得三角形ABD 的面积．【解答】解：由作图过程可知：AE 垂直平分CD ，CE DE \=，90BAC Ð=°Q ，4AB =，3AC =，5BC \===，Q 1122BC AE AB AC ×=×，125AE \=，95CE \===，1872555BD BC CE \=-=-=．1171242225525ABD S BD AE D \=´×=´´=．故选：C ．题型三复杂的尺规作图1.（2023秋•临邑县期末）如图，已知A、B、C、D四点，根据下列语句画图：（1）画直线AB；（2）连接AC、BD，相交于点O；（3）画射线AD、BC，交于点P．【分析】（1）根据直线的定义画图即可．（2）根据线段的定义画图即可．（3）根据射线的定义画图即可．【解答】解：（1）如图所示．（2）如图所示．（3）如图所示．2.（2023秋•兰山区期末）阅读材料：用尺规作图要求作线段AB 等于线段a 时，小明的具体作法如下：已知：线段a ，如图1．求作：线段AB ，使得线段AB a =．解：作图步骤如下．①作射线AM ；②用圆规在射线AM 上截取AB a =，如图2．\线段AB 为所求作的线段解决下列问题：已知：线段b ，如图3．（1）请你仿照小明的作法，在图2中的射线AM 上作线段BD ，使得BD b =；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹，用签字笔加粗）（2）在（1）的条件下，取AD 的中点E ，若4AB =，2BD =，求线段BE 的长？【分析】（1）在射线BM 上截取线段BD ，则BD b ¢=或BD b =即为所求；（2）由于点D 与线段AB 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①点D 在线段AB 的延长线上，则BE AB AE =-；②点D 在线段AB 的延长线上，则BE AB AE =-．【解答】解：（1）如图所示：（2）E Q 为线段AD 的中点，12AE AD \=．分两种情况：如图1，点D 在线段AB 的延长线上．4AB =Q ，2BD =，\=+=．AD AB BD6\=．AE3\=-=．BE AB AE1如图2，点D在线段AB上．BD=，4Q，2AB=\=-=．AD AB BD2\=．AE1\=-=．3BE AB AE综上所述，BE的长为1或3．b a b>，请用尺规作图画一线段AB，使得3.（2024春•广饶县校级月考）如图，已知线段a、()=-．AB a b2【分析】先作射线AE，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线AE于C，接着以C为圆心，线段a 的长为半径画弧交射线AE于D，接着以D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段AD于B，则线段AB即为所求．【解答】解：如图所示，线段AB即为所求．4.（2024春•周村区校级月考）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：（1）画直线AB，射线BD，连接AC；（2）在线段AC上求作点P，使得CP AC AB=-；（保留作图痕迹）（3）请在直线AB上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短，并写出画图的依据．（2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点P，点P即为所求；（3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求．【解答】解：（1）如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）如图，点Q即为所求．5.（2024春•莱西市校级月考）如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使2=-．AB a b【分析】先在射线AM上依次截取AC CD a=，则线段AB满足条件．==，再在DA上截取DB b【解答】解：如图，AB为所作．6.（2023秋•夏津县期末）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．如图，平面上有四个点A，B，C，D．请按下列语句画出图形：①作直线AB、射线BD，线段BC；②延长CB，在CB的延长线上截取线段BE，使BE BC=．②依据延长CB ，在CB 的延长线上截取线段BE ，使BE BC =作图即可．【解答】解：①如图所示，直线AB 、射线BD ，线段BC 即为所求，②如图所示，线段BE 即为所求．1.（2024春•长清区期中）如图，100DAE Ð=°，65EAB Ð=°，根据图中尺规作图的痕迹，可知ABCÐ的度数为 ．【分析】利用基本作图得到ABC DAB Ð=Ð，再计算出42DAB Ð=°，从而得到ABC Ð的度数．【解答】解：由作法得ABC DAB Ð=Ð，100DAE Ð=°Q ，65EAB Ð=°，1006535DAB \Ð=°-°=°，35ABC \Ð=°．故答案为：35°．2.（2024•威海）感悟?如图1，在ABE D 中，点C ，D 在边BE 上，AB AE =，BC DE =．求证：BAC EADÐ=Ð．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得EAD BACÐ=Ð，且DE BC=（不写作法，保留作图痕迹）；=（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得CDE BACÐ=Ð，且DE AB （不写作法，保留作图痕迹）．【分析】感悟：根据等腰三角形的性质证明；应用：（1）已A为圆心，分别以AB，AC的长为半径作圆交BC于点D，E即可；（2）延长AC到D，使CD ACÐ=Ð即可．=，再作CDE BAC【解答】感悟：过点A作AH BE^于点H，Q，BC DEAB AE==，\Ð=Ð，CAH DAHBAH EAHÐ=Ð，\Ð=Ð；BAC DAE应用：（1）解：如图2：点D，E即为所求；（2）点D，E即为所求．3.（2023秋•梁山县期末）已知线段a，b，点A，P位置如图所示．（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB a=；（保留作图痕迹，不写作法）=，BC b（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当b=时，线段MN的长．4a=，2【分析】（1）利用作一线段等于已知线段的尺规作图求解即可；（2）先由4AB =，2BC =，且M ，N 分别为AB ，BC 的中点，知122MB AB ==，112BN BC ==，再结合MN MB BN =+可得答案．【解答】解：（1）如图所示，线段AB 、BC 即为所求．（2）4a =Q ，2b =，即4AB =，2BC =，且M ，N 分别为AB ，BC 的中点，122MB AB \==，112BN BC ==，213MN MB BN \=+=+=．4.（2023秋•济宁期末）如图，已知平面上四个点A ，B ，C ，D ，请按要求画图并回答问题．（1）连接AB ，延长AB 到E ，使BE AB =；（2）分别画直线AC 、射线AD ；（3）在射线AD 上找点P ，使PC PB +最小，此画图的依据是 两点之间线段最短　．【分析】（1）根据线段的定义以及题目要求画出图形即可；（2）根据直线，射线的定义画出图形即可；（3）根据两点之间线段最短解决问题．【解答】解：（1）如图，线段BE 即为所求；（2）如图，直线AC ，射线AD 即为所求；（3）如图，点P 即为所求．依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．5.（2023秋•岚山区期末）如图，已知同一平面内的三个点A、B、C和线段m．请根据下列要求进行尺规作图，并保留作图痕迹：（1）过点A画直线l，使点B在直线l上，点C在直线l外；（2）画线段AC；（3）在线段AC上作线段AD，使AD m=．【分析】（1）利用点与直线的位置关系画图；（2）（3）根据几何语言画出对应的几何图形．【解答】解：（1）如图，直线l为所作；（2）如图，线段AC为所作；（3）如图，线段AD为所作．6.（2023秋•德州期末）如图，在同一平面内有三个点A，B，C．（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；=，连接BD．①作射线BA；②作线段BC；③连接AC，并在线段AC上作一条线段AD，使AD AB（2）观察（1）题得到的图形，请直接写出DB DC+ BC（填“>”，“<”或“=”)，你的判断依据是 ．【分析】（1）直接利用直线、线段、射线的定义，结合作一线段等于已知线段得出答案；（2）利用三角形三边关系得出答案．【解答】解：（1）如图所示：射线BA 即为所求作；②线段BC 即为所求作；③以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AD 于点D ，连接BD ．（2）DB DC +与BC 的大小关系是DB DC BC +>．故答案为：>；两边之和大于第三边．7.（2023秋•市中区期末）已知线段a ，b ，点A ，P 位置如图所示．（1）画射线AP ，请用圆规在射线AP 上依次截取AB a =，BC b =；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作图形中，若1,3AE AB F =为BC 的中点，在图形中标出点E ，F 的位置，再求出当4a =，2b =时，线段EF 的长．【分析】（1）利用作一线段等于已知线段的尺规作图求解即可；（2）先由4AB =，2BC =，且13AE AB =，F 为BC 的中点，，知1433AE AB ==，112BF BC ==，再结合EF EB BF =+可得答案．【解答】解：（1）如图所示，线段AB 、BC 即为所求．（2）如图所示：4a =Q ，2b =，即4AB =，2BC =，且13AE AB =，F 为BC 的中点，\1433AE AB ==，112BF BC ==，则83BE AB AE =-=，\811133EF EB BF =+=+=．8.（2023秋•嘉祥县期末）（1）如图1，平面上有射线AP 和B ，C 两点，按要求画图．画射线AB ；连接BC ，并延长BC 到点E ，使CE BC =；（2）已知如图2，点B 在线段AC 上，点D 在线段AB 上，若6AB cm =，4BC cm =，D 为线段AC 的中点，求线段DB 的长度；【分析】（1）根据题意作图即可；（2）由题意知，10AC AB BC =+=，由中点可得，12CD AC =，根据DB CD BC =-，计算求解即可．【解答】解：（1）如图，射线AB ，点E 即为所求；（2）由题意知，10()AC AB BC cm =+=，D Q 为线段AC 的中点，\15()2CD AC cm ==，1()DB CD BC cm \=-=，\线段DB的长度为1cm．。

1.4 三角形的尺规作图教学设计2022—2023学年鲁教版（五四制）数学七年级上册一、教学目标1.了解三角形的定义和性质。

2.掌握利用尺规作图的方法构造特定的三角形。

3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括：1.三角形的定义和性质。

2.尺规作图的基本方法。

3.利用尺规作图构造三角形。

三、教学重点1.三角形的定义和性质。

2.尺规作图的基本方法。

四、教学难点利用尺规作图构造特定的三角形。

五、教学准备1.教学PPT。

2.教学黑板。

3.尺规和圆规。

六、教学过程1.导入引入通过一个有趣的问题引导学生进入本节课的学习。

例如：在平面上，能否通过以下方法构造一个三角形：给定一个边的长度，再给定这个边上的一点，以及这个边上的一个锐角。

请同学们思考并讨论这个问题。

2.新课讲解1)三角形的定义和性质首先，讲解三角形的定义和性质。

三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。

根据边的长度和角的大小，三角形可以分为不同的类型，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。

2)尺规作图的基本方法接下来，讲解尺规作图的基本方法。

尺规作图使用尺子和圆规进行，通过多次刻度的测量和圆的绘制，来构造特定的图形。

在三角形的尺规作图中，常用的方法包括：已知两边长和夹角、已知底边和底边上的高、已知三边长等。

3.示范演练为了加深学生对尺规作图的理解，进行一些示范演练。

1)已知两边长和夹角示范利用尺规作图构造一个已知两边长和夹角的三角形。

先用尺子在纸上绘制一条边，然后使用圆规在这条边上划分出另一条边长，最后利用尺规测量和画出夹角。

2)已知底边和底边上的高示范利用尺规作图构造一个已知底边和底边上的高的三角形。

先用尺子在纸上绘制一条底边，然后使用圆规在底边上的一点为中心画一个半径为高的圆，并找到圆与底边的交点，最后连接交点和底边上的点。

4.个别练习让学生分成小组进行个别练习，练习利用尺规作图构造特定的三角形。

目录第一章三角形1 认识三角形2第1课时三角形及其内角和2第2课时三角形的分类及直角三角形的性质4第3课时三角形的三边关系6第4课时三角形中的三条重要线段82 图形的全等103 探索三角形全等的条件12第1课时边边边12第2课时角边角或角角边15第3课时边角边174 三角形的尺规作图205 利用三角形全等测距离22第二章轴对称1 轴对称现象252 探索轴对称的性质273 简单的轴对称图形29第1课时线段垂直平分线与角平分线的性质29第2课时等腰三角形的性质与判定324 利用轴对称进行设计35第三章勾股定理1 探索勾股定理38第1课时探索勾股定理38第2课时勾股定理的验证与应用402 一定是直角三角形吗423 勾股定理的应用举例44第四章实数1 无理数482 平方根50第1课时算术平方根50第2课时平方根513 立方根534 估算555 用计算器开方576 实数59第1课时实数及其性质59第2课时实数的运算与大小比较61第五章位置与坐标1 确定位置642 平面直角坐标系67第1课时平面直角坐标系67第2课时建立恰当的平面直角坐标71 3 轴对称与坐标变化72第六章一次函数1 函数752 一次函数773 一次函数的图象79第1课时正比例函数的图象与性质79第2课时一次函数的图象与性质814 确定一次函数的表达式835 一次函数的应用85第一章三角形难点:在不同情况下对全等三角形的证明及其实际应用.课题 1 认识三角形课时第1课时上课时间教学目标1.理解三角形的有关概念,掌握三角形三角的关系.通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.2.经历三角形内角和的探究过程,感悟几何问题的研究方法.3.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.体验数学来源于生活又服务于生活,增强对问题的感性认知.教学重难点重点:认识三角形的概念、基本要素及表示方法.难点:三角形内角和定理.教学活动设计二次设计课堂导入1.如何表示线段、射线和直线?2.如何表示一个角?3.让学生收集生活中有关三角形的图片,课上让学生举例,并观察图片.探索新知合作探究自学指导1.在小学我们知道,三角形内角和等于180°,还记得是怎样得到这个结论的吗?[①剪拼②测量、计算]2.上述方法有可能存在误差,你能否通过其他方法来确定这个事实?①给足学生思考时间,若仍没有学生考虑出方法,教师可在黑板上操作,给出几何直观,再引导学生进行思考.②对于学习能力较强的学生,可引导他们将口头表达转换成文字表达.3.明晰结论:“三角形三个内角的和等于180°”.4.练习:①△ABC中,∠A=44°,∠B=46°,∠C= ;②△ABC中,∠A=50°,∠C=20°,∠B= ;③△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,∠A= ;④△ABC中,∠A=∠B=40°,∠C= ;⑤△ABC中,∠A=90°,∠B=20°,∠C= ;⑥△ABC中,∠A=∠B,∠C=40°,∠B= .合作探究观察如图的屋顶框架图,回答如下问题:(1)你能从中找出四个不同的三角形吗?(2)与你的同伴交流各自找到的三角形.(3)这些三角形有什么共同的特点?通过上题的分析引出三角形的概念、三角形的表示方法及三角形的边角的表示方法.归纳{顶点→用大写字母表示.例:A,B,C角→用一个大写字母或三个大写字母表示.例:∠A,∠ABC边→用两个大写字母或一个小写字母表示.例:BC或a续表我们知道,把一个三角形的三个角撕下来,拼在一起,可以得到三角形的内角和为180°.小明只撕下三角形的一个角,也得到了上面的结论,他是怎样做的呢?自己剪一个三角形纸片,试一试.并与同伴交流你的想法.[例题] 如图,在△ABC中,∠B=3∠A,∠C=5∠A,求∠A,∠B,∠C的度数.教师指导归纳小结(1)三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.(2)三角形的表示和计数方法及角、顶点的表示.(3)三角形的内角和.(5)三角形的内角和是.自学指导猜一猜:(看课本P5图1-8)(1)小明所拿三角形被遮住的这个内角是什么角?小颖的呢?试着说明理由.(2)图(2)中三角形被遮住的两个内角可能是什么角?将所得结果与(1)中的结果进行比较.合作探究一个三角形中三个内角可以是什么角?(提醒:一个三角形中能否有两个直角?钝角呢?)小组讨论.★按三角形内角的大小把三角形分为三类锐角三角形三个内角都是锐角直角三角形有一个内角是直角钝角三角形有一个内角是钝角通常,我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.思考:直角三角形中的两个锐角有什么关系?结论:直角三角形的两个锐角互余想一想:如果一个三角形有两个角互余,这个三角形是直角三角形吗?[例题] 如图,在△ABC中,D为BC上的一点,∠ADB=90°,∠1=∠B.若按角分类,△ABC是什么形状的三角形?为什么?和为180°-90°=90°,即直角三角形的两个锐角互余.1.如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中与∠A互余的角有( )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个2.观察三角形,并把它们的标号填入相应的括号内:锐角三角形( )直角三角形( )钝角三角形( )3.一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形?(1)30°和60°( )(2)40°和70°( )(3)50°和20°( )2.两点之间 线段 最短.自学指导阅读教材7~9页的内容,思考:三角形按边如何进行分类呢?观察教材P7图111的三角形,根据边长之间的关系尝试分类.请你按“有几条边相等”将三角形分类. 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形. 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.显然,等边三角形是特殊的等腰三角形. 所以三角形按边分类:三角形{不等边三角形等腰三角形{底和腰不等的等腰三角形等边三角形合作探究1.探索三角形任意两边之和大于第三边.元宵节的晚上,如图(见教材P8图113);房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?发现三角形任意两边之和与第三边的长度的关系,并让学生通过测量验证结论是否正确. 2.探索三角形任意两边之差小于第三边.通过让学生测量任意三角形三边长度来比较两边之差与第三边的关系,教师通过几何画板验证,从而得出结论.课题 1 认识三角形课时第4课时上课时间教学目标1.了解三角形的中线和角平分线,了解重心的概念,会画出三角形的中线和角平分线,知道三角形的三条中线交于一点(重心),三条角平分线也交于一点.了解三角形的高并能在三角形中作出它,知道三角形的三条高交于一点并会根据高的交点位置判断三角形的形状.2.经历画、折等操作,得到几何直观图,观察并归纳得出数学结论,发展合情推理能力.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系.学习在具体情境中从数学角度提出问题,会根据重心的性质解决实际问题.3.体验解决问题的过程,增强学好数学的信心.教学重难点重点:三角形的中线和角平分线的概念和性质.三角形高的概念和画法.难点:理解三角形的中线和角平分线是线段;用几何语言表达三角形的中线和角平分线条件下得到的结论.正确作出钝角三角形中三边上的高.教学活动设计二次设计课堂导入教师演示用铅笔支起一张均匀的三角形卡片,问学生是否也能做到?学生会立刻进入尝试阶段,也许有学生经过不停地尝试可以做到,此时,教师可以告诉学生:支点是一个特殊的点,从而激发起学生的求知欲.探索新知合作探究自学指导1.三角形的中线(1)概念:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.几何表达:因为AD是△ABC的中线(已知)所以BD=DC(中线的定义)(或BD=12BC,DC=12BC;或BC=2BD,BC=2CD)2.三角形的角平分线(1)概念:在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达:因为AD是△ABC的角平分线(已知),所以∠1=∠2(角平分线的定义).(或∠1=12∠BAC,∠2=12∠BAC;或∠BAC=2∠1,∠BAC=2∠2)3.三角形的高概念:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.几何表达:因为AD是△ABC的高(已知),所以∠ADC=90°(高的定义)(或AD⊥BC).合作探究1.中线的探究①画出准备好的三角形卡片的中线,能画出几条?它们有怎样的位置关系?②分组合作,探究不同类(按角分)的三角形是否都有三条中线?结论:一个三角形有三条中线,这三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.角平分线的探究①在三角形卡片的背面画出它的角平分线?可以画几条?它们有怎样的位置关系?续表探索新知合作探究②分组合作,探究不同类(按角分)的三角形是否都可以画出三条角平分线?它们有相同的位置关系吗?(可以折,也可以画)结论:一个三角形有三条角平分线,这三条角平分线也交于一点.3.高线的探究①准备一个锐角三角形纸片,折出或画出它的三条高,它们是否也相交于一点?②分组合作,对直角三角形和钝角三角形进行类似探究,有何发现?③结论:直角三角形与钝角三角形的高较为特殊,不是都能折出来的,通过画图可以发现:三角形的三条高所在的直线交于一点.三角形三条高的交点叫做三角形的垂心.[例题] 如图,AD是△ABC的中线,AF⊥BC,垂足是点F.(1)AF是图中哪几个三角形的高;(2)图中哪两个三角形面积相等.教师指导1.易错点(1)三角形的中线、角平分线及高线都是一条线段.(2)三角形有三条中线、角平分线都相交于一点,这一点在三角形内部.2.方法规律锐角三角形的三条高在三角形的内部,直角三角形的斜边上的高在三角形的内部,而直角边互相垂直,所以两直角边是它的两条高;钝角三角形夹钝角的边上的高在其边的延长线上,在三角形的外部,另一条高在三角形的内部.当堂训练1.如图,CM是△ABC的中线,已知△AMC的周长比△BMC的周长大3,求AC与BC的差.2.一张锐角三角形纸片.(1)你能通过折纸方法折出这张锐角三角形纸片三条边上的高线吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系?3.在直角△ABC中,(1)你知道两条直角边上的高线在哪里吗?(2)直角三角形中的三条边上的高线会交于一点吗?板书设计三角形中的三条重要线段1.三角形的中线2.三角形的角平分线3.三角形的高线教学反思学生基本上能明白三角形的角平分线、中线、高的定义,但是在较复杂一点的题目中,有部分学生会把三角形的角平分线和三角形的中线混淆.锐角三角形和直角三角形的高掌握的较好,钝角三角形的高,特别是钝角边上的两条高掌握的比较差.教学活动设计请同学们观察这些图片有何特征?教学中要充分让学生列举生活中的例子,并试着用一个名词概括这些例子.请大家想一想在你周围有没有全等的图形?自学指导全等图形的定义及性质观察图片引导学生认真观察几何图形找出完全一样的图形.能够重合的图形称为全等图形,全等图形的形状和大小都相同.完成课本“议一议”.观察下面两组图形,它们是不是全等图形?为什么?合作探究全等三角形的定义及性质能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,比如,在图中,△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等的.其中,顶点A,D重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,它们是对应边;∠A与∠D重合,它们是对应角.△ABC与△DEF全等,我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.注意:全等三角形的对应边、对应角分别相等.三角形中还有高线、中线、角平分线等特殊的线.如图的两个全等三角形中,画出一组对应的高,一组对应的中线,一组对应的角平分线,每一组线段有什么样的大小关系?你是如何知道的?与同伴交流.如图,已知△ABC≌△A'B'C',在△A'B'C'中指出D点的对应点D',你是如何确定这个点的?与同伴交流.在△A'B'C'中找出E点的对应点E',找出线段DE的对应线段D'E',对应线段DE与D'E'有什么大小关系?与同伴交流.[例题] 如图,△ABC≌△BAD,说出它们的对应边和对应角.分析:(1)根据:边:长对长、短对短、中间对中间.角:大对大、小对小、中间对中间.(2)根据:三角形全等对应顶点写在对应位置上找.教师指导1.全等形的概念和性质.2.全等三角形的概念和性质.3.应用全等三角形的概念和性质解决问题.1.如图,Rt△ABC沿BC所在的直线向右平移得到Rt△DEF,下列结论错误的是( )(A)BE=EC (B)BC=EF(C)AC=DF (D)△ABC≌△DEF2.速度大比拼:如图,可以看出是由哪几种全等图形拼凑而成的?看看谁找的速度最快.3.如图,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.或角的大小有关的条件呢?一个条件、两个条件、三个条件…….自学指导思考:1.两个三角形中只有一个条件相等,有几种情况?这两个三角形会全等吗?2.两个三角形中有两个相等条件时是否全等?两个条件分几种情况?3.两个三角形有三个条件相等时可以分几种情况?合作探究1.给出一个条件画三角形①只给定一条边时(如图的实线)由图1可知:这三个三角形不全等.②只给定一个角时(如图中的实线).由图2可知:这三个三角形也不全等.结论:只给出一个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.2.给出两个条件画三角形,有几种可能?①动手画:三角形的一个内角为30°,一条边为3 cm.如图3,这三个三角形不全等.②那如果三角形的两个内角分别是30°和50°时,所画的三角形又如何呢? 画的三角形形状一样,但大小不一样.如图4,这两个三角形不能重合,即不全等. ③如果给定三角形的两边分别为4 cm,6 cm,那么所画出的三角形全等吗? 也不全等.如图5,这两个三角形不能重合,即不全等.结论:给出两个条件不能保证两个三角形全等.因此,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等. 3.给出三个条件画三角形.想一想有几种可能的情况?有四种情况:①三个角;②三条边;③两条边一个角;④两个角一边. 下面同学们讨论两种情况:(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°,80°.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗? 结论:给出三角形的三个内角,得到的三角形不一定全等.(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm 和7 cm,你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?结论:已知三角形的三条边画三角形,则画出的所有三角形全等.这样就得到了三角形全等的判定方法:三边分别相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS ”. 几何语言为在△ABC 和△DEF 中,{AB =DE,BC =EF,AC =DF,所以△ABC ≌△DEF, 4.三角形的稳定性图(1)是用三根木条钉成的三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的.如:房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固和稳定了. 图(2)的形状是可以改变的,它不具有稳定性.续表大家想一想,如何才能使图(2)的框架不能活动?在相对的顶点上钉一根木条,使它变为两个三角形框架即可.在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑,就是用到了它的稳定性.同学们能举出一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗?[例题] 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABD和△ACD全等吗?为什么?教师指导1.易错点三边对应相等是前提条件,三角形全等是结论.2.归纳小结(1)判定三角形全等至少需要三个条件.(2)学会用“SSS”判定两个三角形全等.(3)理解三角形的稳定性.3.方法规律(1)学会用几何语言解决问题的格式和方法.(2)两个三角形中的公共边,是隐含条件,解决问题时注意应用.(3)在用“SSS”证明两个三角形全等时,要找条件:①直接条件,②间接条件,③隐含条件.1.准备几根硬纸条(1)取出三根硬纸条钉成一个三角形,你能拉动其中两边,使这个三角形的形状发生变化吗?(2)取出四根硬纸条钉成一个四边形,拉动其中两边,这个四边形的形状改变了吗?钉成一个五边形,又会怎么样?上面的现象说明了什么?2.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗?为什么?3.如图,B,D,C,F四点在同一条直线上,AB=EF,AC=ED,BD=FC.△ABC和△EFD是否全等,为什么?(先小组讨论,找出哪些是直接条件,哪些是间接条件,是否存在隐含条件,再写出过程)条件.自学指导通过自学课本第22~24页,了解三角形全等的条件.合作探究1.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边.那么这两个三角形全等吗?如图,三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2 cm,你能画出这个三角形吗?你画的与同伴的一定全等吗?大家动手来画一画;可以利用量角器和三角尺,也可以用直尺和圆规.如果改变角度与边长,能得到同样的结论吗?经过比较,得到:已知一个三角形的两个内角及其夹边,那么由此得到的三角形都是全等的.由此我们得到了判定三角形全等的另一条件:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为“角边角”或“ASA”.2.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,那么这两个三角形全等吗?如图,三角形的两个内角分别为60°和45°,一边长为3 cm,情况会怎样呢?(1)如果60°角所对的边为3 cm,你能画出这个三角形吗?与同伴比较是否全等?(2)如果45°角所对的边为3 cm,那么按这个条件画出的三角形全等吗?已知两角及一角的对边画三角形时,不容易画,但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时,就可以了.那如何转化呢?因为三角形的内角和为180°,已知两个内角,那么第三个内角就可以求出,这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”了.动手操作、比较.如果60°角所对的边为3 cm时,画出的图形如图1.经比较:这样得到的三角形都全等.现在我们来改变角度及边长,你能得到同样的结论吗?分小组尝试.不管两个角的角度及一边长如何变化,只要已知一组值,就能得到三角形全等. 由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简称“角角边”或“AAS ”. [例题] 如图,O 是AB 的中点,∠A=∠B,△AOC 与△BOD 全等吗?为什么?教师指导 1.易错点要判定两个三角形全等时,边和角“对应相等”,而不是“分别相等”,即两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序. 2.归纳小结探索两个三角形全等的条件,到现在为止,我们有以下几种方法可得到两个三角形全等{SSS ASA AAS1.图中的两个三角形全等吗?请说明理由.2.如图,已知,点D 在AB 上,点E 在AC 上,BE 和CD 相交于点O,AB=AC,∠B=∠C,则BD 与CE 相等吗?你能说明下面小亮思考过程的理由吗?{∠A =∠A,AB =AC,∠B =∠C⇒△ABE ≌△ACD ⇒AD=AE ⇒BD=CE.这节课我们继续来探索三角形全等的条件.自学指导通过自学课本第24~28页的内容.思考:小明不慎将一块三角形模具打碎成两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带哪块去合适?为什么?合作探究1.大家想一想:如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能情况呢?那在每种情况下得到的三角形全等吗?我们逐一来研究.先看第一种情况下,两个三角形是否全等.2.做一做(1)如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角.如:三角形的两条边分别为2.5cm,3.5 cm.它们的夹角为40°,你能画出这个三角形吗?你画出的三角形与同伴画的一定全等吗?大家利用直尺、三角尺和量角器来画满足以上条件的三角形,然后与同伴画的来比较一下.由此得到结论:如果已知三角形的两边及其夹角,那么所得的三角形都全等.我们来改变上述条件中的角度和边长,大家分组讨论,是否能得到以上结论?由此我们得到了三角形全等的条件:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简称“边角边”或“SAS”.续表[例1] 如图,已知AB与CD相交于点O,OA=OB,OD=OC,△AOD与△BOC全等吗?说明理由.3.议一议如果“两边及一角”条件中角是一边的对角,如:两边长分别为2.5 cm和3.5 cm,其中2.5 cm的边所对的角为45°,画图形会得到什么情况?画一画,试一试.并与同桌比较.结论:两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.即:“边边角”或“SSA”不一定成立.[例2] 已知:△ABC≌△A1B1C1,D,D1分别是BC,B1C1上的一点,且BD=B1D1.AD与A1D1相等吗?为什么?问题与思考:(1)若将例2中,BD=B1D1改为D,D1分别是BC,B1C1上的中点,上述结论还成立吗?说明理由.思考:由此,你能得到什么结论?提示:D,D1分别是BC,B1C1上的中点,那么AD与A1D1分别是两个三角形的线.结论:两个全等三角形对应边上的中线相等.(2)若将(1)中三角形对应边的中线改为“对应角的平分线(如图1)”,“对应边的高线(如图2)”,相应的结论还成立吗?根据下面的图形,说说你的想法.结论:①两个全等三角形对应角的平分线相等.②两个全等三角形对应边上的高相等.(3)两个全等三角形的面积是否相等?周长呢?结论:两个全等三角形的面积相等,周长也相等.续表(5)边角边.1.图(1)中,AB=EF,AC=ED,∠A=∠E.图(2)中,AD=CB,∠DAC=∠BCA=90°,分别找出各图中的全等三角形,并说明理由.2.小明做了一个如图所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD.将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?与同伴进行交流.3.如图,AD是△ABC的中线,在AD及其延长线上截取DE=DF,连接CE,BF,试说明:(1)△BDF≌△CDE;(2)BF与CE有何关系?为什么?自学指导自学课本第30~32页,思考下列问题,1.什么是尺规作图?2.用尺规作图怎样作一条线段等于已知线段.已知:线段a,求作线段AB,使得AB=a.3.用尺规作图怎样作一个角等于已知角.已知:∠α.求作:∠AOB,使∠AOB=∠α.以上两个尺规作图我们叫做“基本作图”.合作探究我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角,而边和角是三角形的基本元素,那么你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗?[例1] 已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.已知:线段a,c,∠α.求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.作法:①作一条线段BC=a;②以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α;③在射线BD上截取线段BA=c;④连接AC.则△ABC就是所求作的三角形.对于此题,也可以先作出一个角等于已知角,然后再在这个角的两条边上分别截取线段等于已知线段,从而作出三角形.将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗?为什么?。

1.4 三角形的尺规作图●教学目标（一）教学知识点在给出三角形的一些要素后能利用尺规准确地作出三角形.（二）能力训练要求1.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形.2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.（三）情感与价值观要求在学生利用尺规作图的过程中，培养学生的动手能力和探索精神.●教学重点利用尺规作三角形.●教学难点如何利用尺规作三角形.●教学方法讲练结合法.●教具准备投影片四张第一张：做一做（记作投影片§1.4 A）第二张：作图过程（记作投影片§1.4 B）第三张：做一做（记作投影片§1.4 C）第四张：做一做（记作投影片§1.4 D）学生用具：直尺、圆规●教学过程Ⅰ.巧设现实情景，引入新课［师］在六年级我们已研究了用尺规作图.会用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.现在来回忆一下：用尺规作图的步骤：［生］用尺规作图的步骤有：已知、求作、分析、作法.［师］很好.下面大家来画一条线段等于已知线段.［生］已知：线段a,求作：一条线段，使它等于a.图作法：1.画射线AC.2.在射线AC上截取AB=a.则线段AB就是所求作的线段.图［师］好，那如何作一个角等于已知角呢？［生］已知：∠AOB.求作：一个角，使它等于∠AOB.图作法：1.画射线O′B′.2.以O为圆心，以任意长为半径画弧.交OA于D点，交OB于C点；3.以O′为圆心，以OC的长为半径画弧.交O′B′于点C′.4.以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′.5.过D′作射线O′A′.则∠A′O′B′就是所求作的角.图［师］很好，从回答问题中知道大家基本掌握了用尺规作线段和角.边和角是三角形的基本元素.如果给了一些三角形的基本元素，你能用尺规作出一个三角形，使它满足已知条件吗？这节课我们就来利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来做一做（出示投影片§1.4 A）已知三角形的两边及其夹角.求作这个三角形.［师］如何求作这个图形呢？［师生共析］需要先写出已知、求作，然后进行分析，最后画图形，写作法.已知：线段a、c，∠α.图求作：△ABC，使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.图分析：假设这个三角形已作出，如图.从图中可知，是两边夹角，所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条，然后以所作的线段为角的一边，它的一端点为角的顶点，作角.使这个角等于已知角，再在角的另一边截取已知线段的另一条，最后连结，组成三角形.［师］下面大家按老师的叙述步骤来作图.（教师叙述作法，师生共画，完成之后，出示投影片§1.4 B）作法示范1.作一条线段BC=a2.以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α3.在射线BD上截取线段BA=c4.连接AC.△ABC就是所求作的三角形.［师］很好，将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？［生齐声］全等.因为两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.［师］同学们真棒.大家想一想：这个题还有没有其他的作法呢？［生］有，先作出一个角等于已知角，然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段.从而作出三角形.［师］很好.哪位同学口述作法呢？［生］1.作∠DBF=∠α2.在射线BD上截取BA=c在射线BF上截取BC=a3.连接AC.则：△ABC就是所求作的三角形.图［师］这位同学叙述得真好.下面大家来根据作法画出相应的图形（出示投影片§1.4 C）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α、∠β，线段c图求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β，BA=c.请按照给出的作法作出相应的图形.作法图形1.作∠DAF=∠α2.在射线AF上截取线段AB=c3.以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β.BE交AD于点C△ABC就是所求作的三角形［师］在画图时，要准确运用直尺和图规，并要注意保留作图痕迹.［生］我们根据给出的作法，画出相应的图形:如图：图［师］同学们画得很准确，将你作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？［生］我所作的三角形与同伴作出的三角形进行了比较，它们全等.因为两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.［师］很好.下面同学们来独立作一个图形以巩固尺规作图的技能.课本“做一做”3.（出示投影片§1.4 D）已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a、b、c图求作：△ABC,使AB=c，AC=b,BC=a.（1）请写出作法并作出相应的图形.（2）将你作出的三角形与同伴作的进行比较，它们全等吗？为什么？答案：（1）作法及图形如下表.（2）根据已知条件所作的三角形都是全等的.因为三边对应相等的两个三角形全等.作法图形1.作一条线段BC=a2.分别以B、C为圆心，以c,b为半径画弧，两弧交于A点3.连接AB、AC，则△ABC就是所求作的三角形Ⅳ.课时小结本节课我们利用尺规作出一些三角形.在几何作图中，通常先画出所要求作的图形的草图，然后根据草图把已知事项具体化；在求作中，通常先写出要作出什么图形，再写出这个图形符合什么条件.写作法时，一般不重复基本作法过程.如：作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角等.几何作图的每一步作图都必须有根有据.（一）课本习题1.11 1、2、3（二）1.预习内容：2.预习提纲（1）复习三角形全等的条件.（2）如何利用三角形全等解决实际问题.Ⅵ.活动与探究我们经常能见到国徽、国旗以及军人帽徽上的五角星.图（1）中也有一个漂亮的五角星.你想画出它吗？要想画一个很漂亮的五角星，需要先画出一个正五边形.如何画正五边形呢？可按下面的方法来画（如图（2））1.作⊙O2.作直径AC垂直于直径BD.3.以OC的中点E为圆心，EB为半径画弧交OA于点F；4.以BF为半径，从圆周上B点起依次截取就可得到正五边形的五个顶点.连结正五边形所有的对角线，再稍加修饰就构成一个漂亮的五角星了.图过程：让学生在画图的过程中，进一步掌握尺规作图的技能.结果：（学生画出较好的五角星）●板书设计§1.4 三角形的尺规作图一、用尺规作图：已知：线段a、c，∠α图求作：△ABC，使BC=a,AB=c，∠ABC=∠α. 作法：1.作一条线段BC=a2.以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α3.在射线BD上截取线段BA=c.4.连接AC.则△ABC就是所求作的三角形二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。