专题03(第四篇)-备战2121年高考满分秘籍之数学压轴题天天练(解析版)

设直线 的方程为
，
，
由
消去 ，得
，
从而 所以
， ，
设以 为直径的圆的圆心
，半径为 ，则
又
，
,
又因为圆 与直线 相切，则
，即
，
，解得
．
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所以直线 的方程为
，即
第二十一题 【福建省南平市 2019 届高三第二次（5 月)理】已知平面上动点 到点 1． （1）求动点 的轨迹方程；
距离比它到直线
，则 的最小值是
【答案】
【解析】
由
，可设
.因为
， 是 的中点，所以
.
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所以直线 的方程为
.代入
，可得
.
因为
，所以点 为 的中点，可得
.
所以
.
所以当
时， 取得最小值 ，即 的最小值为 .
第十三题
【广东省梅州市 2019 届高三总复习质检理】在
中，角
所对的边分别为 ，
，
的平分线交 于点 ，且 【答案】18 【解析】 如图：
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上，
【答案】 【解析】 解：由点
在椭圆
，得
，
又因为
，
，得 ，
由于椭圆可以看做是用一个不平行底面的圆去截圆柱所得的图形，如图所示
且椭圆在底面的摄影是底面圆，其中
，
由射影的性质可知
， 为两平面的二面角的平面角
记椭圆内接八边形面积为 ，对应的在底面圆上的射影也是八边形，面积为
所以
，即
要想得到 项，只能 ，此时 的系数为
当 时，
二项式
的展开通项
要想得到 项，只能 ，此时 的系数为
当 时，
二项式
的展开通项
要想得到 项，只能 ，此时 的系数为
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展开式中 的系数小于
所以
展开式中 的系数为
所以
，解得
故选：B.
第七题
【四川省绵阳市 2019 届高三第三次诊断文】已知抛物线 ：
，即证
即可．
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令
，则
．
由
，解得 ；由
，解得
，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递增．
故
．
令
，则
．
由
，解得
；由
，解得 ．
∴ 在 上单调递增，在
上单调递减．
故
．
又
，
故
成立．
∴
．
第二十题
【福建省泉州市 2019 届高三第二次（5 月)理】已知椭圆 的左、右焦点分别为
（ ）．点
在 上，
，△ 的周长为 ，面积为 ．
．
（2）设
．
由题意可令直线 方程为
，直线 方程为
．
将直线 方程
代入抛物线方程
，并化简得
．
则
，
．
将直线 方程
代入抛物线方程
，并化简得
．
则
，同理可得
．
因此
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故
，即 为定值．
第二十二题
【广东省梅州市 2019 届高三总复习质检理】已知过定点
平面 ，若球 是三棱锥
的外接球，则球 的半径为（ ）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】A 【解析】 解：取 AB 中点 D，AC 中点 E，连 PD，ED
因为
，所以 E 为△ 外接圆的圆心
因为 OE∥PD，OE 不包含于平面 ，所以 OE∥平面
因为平面
平面 ，
，得 PD AB，ED AB
画出函数图像，因为关于 的方程
有两个不同的实根 ，所以
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故选 D
第六题
【福建省南平市 2019 届普通高中毕业班第二次（5 月)（理)】已知
90，则 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 解：因为
展开式为
要想得到展开式中的 项，只能是 ， 和
当 时，
二项式
的展开通项
专题 03
高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练 03
第一题
【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考】已知平面向量 不共线，且
，
，记 与
的
夹角是 ，则 最大时，
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】
设 ，则
，
，
所以
.易得
，
，
当
时， 取得最小值， 取得最大值，
此时
.故选 C. 第二题
【福建省泉州市 2019 届高三第二次（5 月)理】已知函数
，
其中 ，
，底面圆半径
由平面几何知识易知圆内接八边形中内接正八边形面积最大为
所以椭圆内接八边形面积最大为
第十六题 【陕西省咸阳市 2019 届高三模拟检测（三)文】设函数 (I)求函数 的极值；
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(Ⅱ)若不等式
，对任意实数 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 极小值为 【解析】 解：（Ⅰ）
所以四面体 ABCD 的外接球也就是以 AB、AC、AD 作为长宽高的长方体的外接球，
所以
=
故答案为 8
第九题
【广东省梅州市 2019 届高三总复习质检理】已知函数
，若方程
恰有四
个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
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如图所示,
恒过定点
,过 与函数
距离少
（2）记动点 的轨迹为曲线 ，过点
作直线 与曲线 交于 两点，点
，延长 ， ，与曲
线 交于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ， ，试探究 是否为定值？若为定值，请求出定值，
若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
解：（1）设动点
．
由题意知动点 到点
距离和到直线
距离相等，
由抛物线定义得动点 的轨迹方程为
当 时，
当
时，
作出函数 的草图，如图：
①若
与 不可能有四个交点；
②若
与 有三个交点；
③若
当
与
相切时，
设切点为
则
，即
解得
，两图像要有四个交点，则
．
综上实数 的取值范围是 ，故选 B．
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解法二：由于 ，方程
等价于
，
即依题意 与
图像有四个交点．
令
，
当，
得．
当
时
当 时，
单调递增，当
当
时，
图像上点
连线与函数图像
有三个交点,设过点 直线与函数
图像相切于点
,由
,切线方程
为
,过 点代入可得
,又
得
,所以
,那么
.由图像
观察知当直线
绕定点逆时针转动时,与函数
会出现 四个交点,出现四个交
点的斜率范围,即
.此时函数
，若方程
恰有四个不相等的实数根.
故本题答案选 A.
第十题
【福建省泉州市 2019 届高三第二次（5 月)质检理】已知双曲线 的中心为 ，左、右顶点分别为
(2)由(1)
当 时,
此时 单调递增,
若
,可得
,与
矛盾;
当 时, 由(1) 知当
时, 单调递减, 当
时, 单调递增,
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同理不存在
或
，使得
;
不妨设
,则有
因为
时, 单调递减, 当
时, 单调递增,且
,
所以当
时,
由
且
,可得
,故
,
又在
单调递减,且
所以
,所以
.同理
即
解得 综上所述,命题得证.
第十九题
【四川省绵阳市 2019 届高三第三次诊断性文】已知函数
，对于任意的
，
恒成立．
（1）求 的取值范围；
（2）设
，当 取最小值且 时，试比较 与 在
上的大小，并证明你的结论．
【答案】（1） 【解析】 （1）∵
；（2）
，证明见解析.
，
∴
．
①当 时，得
，则 在
上单调递减．
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又
，
∴
与抛物线 交于点 （ 在第一象限内)，与其准线交于点 ，若
A．
B．
C．
【答案】B 【解析】
的焦点为 ，点
，直线
，则点 到 轴距离为（ ）
D．
由题意得抛物线的焦点为
，准线方程为
，设准线与 y 轴交于点 ．
过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则
，
∴
，
∴
,
∴直线 的倾斜角为 ，
∴
，解得 ．
又由
得
，即
，
∴
设
，
，
，
因为
，
，所以 平面 ，所以
，
设 的中点为 ，则
，所以 为三棱锥
外接球的球心，
由题知
，解得
，所以
，
在
中，
,
，所以
在
中，
在
中，
，
所以三棱锥
的表面积为
， ，
. 故答案为：27.
第十五题
【福建省南平市 2019 届高三第二次（5 月)理】知点
在离心率为 的椭圆
则该椭圆的内接八边形面积的最大值为_____．
所以 PD 平面 ，ED 平面
且
，
所以球心 到平面 的距离等于
在△ 中，
，
，所以
，
所以△ 得外接圆半径
，即
由勾股定理可得球 的半径 故选：A.
第五题 【河南省新乡市 2019 届高三第三次模拟文】已知函数
，若关于 的方程
只
有两个不同的实根，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】
，
（1）求 的方程； （2）过 的直线 与 交于 两点，以 为直径的圆与直线 相切，求直线 的方程．
【答案】（1） 【解析】
（2）
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（1）设椭圆
，
依题意知△ 的周长为 ，得
，…①
又因为
，所以
，
所以△ 的面积
，
所以 ，即
…②，
联立①②解得
，则
，
所以 的方程为
．
（2）当直线 斜率为 0 时，不满足题意．
，左、
右焦点为 ，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点．若
，
等于_________．
【答案】
【解析】
，则 的离心率
解法一：已知
，得
渐近线 的斜率为 ，得
又
，
，所以
解法二：已知
即 ，得
，解得 ，故
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又渐近线 的斜率为 ，可得
．
在
中，由余弦定理，得
，即
，
而
到渐近线
的距离是
，所以
．
时，
又当 时，
得
，
当
时，
当
时，
当 时，
当
单调递减， 单调递增， 极小值为 时，
所以 与
图像有四个交点时
故选 B．
单调递减， ，
第三题 【陕西省咸阳市 2019 届高三模拟检测（三)理】已知椭圆、双曲线均是以直角三角形 ABC 的斜边 AC 的两
端点为焦点的曲线，且都过 B 点，它们的离心率分别为 ，则
是
取值范围；
（2）试比较两数 与 的大小，并证明你得出的结论．
【答案】（1） 【解析】
（2）见证明
解（1）
．
∵是 ∴
上的增函数， 恒成立，即
恒成立，
则
恒成立．
上的增函数，求实数 的
令
，
，即 是
上的增函数，则
，
故 ，即实数 的取值范围是
．
（2）
．
证明：记
由（1）知 是
∵
，
∴
，
， 上的增函数，
∴
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∴
∴
∴
取
，得
．
第十八题 【广东省梅州市 2019 届高三总复习质检理】已知函数
，其中 为自然对数的底数， .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若存在实数
，使得
【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】
解:(1)
，且
，求证：
当 时,
得
.
当
时,
当
时,
所以当
时, 单调递减, 当
时, 单调递增,
可得当
时, 有极小值
所以
所以 又 解法二：由
， ， ，
，所以
， 时， 取得最大值．
，得
，
令
，则
，则
，
即
，
代入得
，
取 ，得
，解得
，又
，则
，故
所以
，于是
．
由
，得
，解得 或
，
又因为
，
，
所以
时， 取得最大值．
第十二题
【浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考】已知抛物线
，过点
作直线 交抛物线于另一点 ，
是线段 的中点，过 作与 轴垂直的直线 ，交抛物线于点 ，若点 满足 __________．
，则
的最小值为______．
因为 可得
即
，所以
所以
当且紧当
时取等号.
故答案为 18
第十四题
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【河南省八市重点高中联盟 2019 届高三 5 月领军文】已知三棱锥
的各顶点都在球面上，
, 平面 ,
，
,若该球的体积为
，则三棱锥
的表面积为
__________． 【答案】27 【解析】
如图所示，因为 平面 ，所以
，无极大值(Ⅱ)
令
，则 ，
当
，
， 单调递减，
当
时，
， 单调递增，
所以 的极小值为
，无极大值
（Ⅱ）因为不等式 所以，
对任意实数 恒成立， 对任意实数 恒成立，
即
对任意实数 恒成立，
令
，
则
因为 ，所以
，即 在
所以
，即
，
， 上单调递减，
所以
第十七题
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【福建省南平市 2019 届高三第二次（5 月)理】（1）已知函数
，则
∴
，
∴
百度文库
又点 在第一象限，
． ，
，
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∴ 故选 B．
，即点 到 轴距离为
．
第八题
【广东省梅州市 2019 届高三总复习质检理】设
是半径为 2 的球面上的四点，且满足
，则三个三角形的面积之和
的最大值是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【解析】
设 AB=a，AC=b，AD=c，由题 AB、AC、AD 是两两垂直；
不恒成立．
②当 时，由
，解得 ．
（ⅰ）当 ，即
时，
可得 在 上单调递减，在
上单调递增，
要使得
恒成立，
则
．
令
，
则
，
∴ 在 上单调递增，
又
，
所以
恒成立，不合题意．
（ⅱ）当
，即 时， 在
上单调递增．
由
，得
恒成立．
综上可得 ．
∴实数 的取值范围为
．
（2）
．证明如下：
由（1）得当 取最小值时
；当 时，
．
故只需证
()
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A．
B．2
C．
【答案】B 【解析】 如图
D．3
由题，设椭圆的长半轴为 ，双曲线的半实轴为 ，根据椭圆和双曲线定义：
可得 设 在直角三角形 ABC 中，由勾股定理可得
即
即
2
故选 B
第四题
【福建省南平市 2019 届普通高中毕业班第二次（5 月（) 理)】在三棱锥
中，
，
，
，
，平面
结合条件
，得渐近线
满足
，
所以
，解得
，故
第十一题
【福建省泉州市 2019 届高三 5 月月考理】在在数列 中，
，
的值为_________． 【答案】 【解析】 解法一：因为
．若 ①
．则数列 的前 项和取得最大值时
所以
②，
① ②，得
即
，所以数列 为等差数列．
在①中，取 ，得
即
，又
，则
，
所以
．因此
，
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个不等的实数根，则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 解法一：方程
有四个实数根，
等价于
与
图像有四个不同的交点．
若方程
有四
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当 时，
解得
．
当
，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以 极大值为
当 时，
当
时，
当 时，
，
解得
（舍正），
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以 极大值为