数
字信号处理试卷答案
完整版 一、填空题：（每空1分，共18分）
1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是连续（连续还是离散？）。
2、 双边序列z 变换的收敛域形状为圆环或空集。
3、 某序列的DFT 表达式为∑-==10)()(N n kn M W
n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是
M π2。 4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2
52)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为2,2
121-=-=z z ；系统的稳定性为不稳定。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ；终值)(∞h 不存在。
5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为64+128-1＝191点点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为256点。
6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为T ω
=Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω
与数字频率ω之间的映射变换关系为)2tan(2ωT =
Ω或)2arctan(2T Ω=ω。 7、当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --=，此时对应系统的频率响应)()()(ωϕωωj j e H e
H =，则其对应的相位函数为ωωϕ21)(--=N 。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器巴特沃什滤波器、切比雪夫滤波器、
椭圆滤波器。
二、判断题（每题2分，共10分）
1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可
以了。（╳）
2、 已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。(╳)
3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做DFT 变换。（╳）
4、 用双线性变换法进行设计IIR 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非
线性畸变。（√）
5、 阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。（╳）
三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
系统初始状态为1)1(=-y ，2)2(=-y ，系统激励为)()3()(n u n x n =，
试求：（1）系统函数)(z H ，系统频率响应)(ωj e H 。
（2）系统的零输入响应)(n y zi 、零状态响应)(n y zs 和全响应)(n y 。
解：（1）系统函数为23223121)(22211+-+=+-+=
---z z z z z z z z H 系统频率响应2
32)()(22+-+===ωωωωωωj j j j e z j e e e e z H e H j 解一：（2）对差分方程两端同时作z 变换得 即：)(231)21(231)
2(2)1(2)1(3)(211211z X z
z z z z y y z y z Y ------+-+++------=
上式中，第一项为零输入响应的z 域表示式，第二项为零状态响应的z 域表示式，将初始状态及激励的z 变换3)(-=z z z X 代入，得零输入响应、零状态响应的z 域表示式分别为 将)(),(z Y z Y zs zi 展开成部分分式之和，得 即2413)(--+-=z z z z z Y zi 3
21528123)(-+--+-=z z z z z z z Y zs 对上两式分别取z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
故系统全响应为
解二、（2）系统特征方程为0232=+-λλ，特征根为：11=λ，22=λ；
故系统零输入响应形式为k zi c c k y )2()(21+=
将初始条件1)1(=-y ，2)2(=-y 带入上式得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=-=+=-2)41()2(1)21()1(2121c c y c c y zi zi 解之得31=c ，42-=c ， 故系统零输入响应为：k zi k y )2(43)(-=0≥k
系统零状态响应为
即3
21528123)(-+--+-=z z z z z z z Y zs 对上式取z 反变换，得零状态响应为)(])3(2
15)2(823[)(k k y k k zs ε+-= 故系统全响应为
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取4=N 点基FFT 2的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。
（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。
解：（1）
4点按时间抽取FFT 流图加权系数
（2）⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(0
0x x Q x x Q ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(11x x Q x x Q 即：3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X
（3）1）对)(k X 取共轭，得)(k X *；
2）对)(k X *做N 点FFT ；
3）对2）中结果取共轭并除以N 。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB 截止频率为πω5.0=c rad ，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设1=T
） 解：（1）预畸
（2）反归一划
（3）双线性变换得数字滤波器
（4）用正准型结构实现
六、（12分）设有一FIR 数字滤波器，其单位冲激响应)(n h 如图1所示：
图1
试求：（1）该系统的频率响应)(ωj e
H ； （2）如果记)()()(ωϕωωj j e H e H =，其中，)(ωH 为幅度函数（可以取负值），)(ωϕ为
相位函数，试求)(ωH 与)(ωϕ；
（3）判断该线性相位FIR 系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），
说明你的判断依据。
（4）画出该FIR 系统的线性相位型网络结构流图。
解：（1）)2,1,0,1,2()(--=n h
