第二章 应力分析
研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。
第1节 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。
1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。 量纲：力/（长度）3。
求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法：
X X 2
X X 2
第2节 应力和应力张量
2.1 应力
当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法：
过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力）
F
F -
l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。即
n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++==
,
,
1S n P B C S A B C ∆∆∆∆==
0)()(=++-V f S t S t i i n ∆∆∆
而 S n S t t i i i i ∆∆=-=-,
)()(
代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ∆∆
或 )()(i i n t n t =
展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n
++= 或
n t m t l t t z y x n )()()()( ++=
2.1 应力张量
每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1
j
xj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1(
x 2
x 1 x 1
(x)
x 3,
,32S n PAB S n PAC ∆=∆∆=∆
同理，得
j yj j j z yz y yy x yx y e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==2323222121)()2(j
zj j j z zz y zy x zx z e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==3333232131)()3(
将法线方向n 取为单位长度，则
将式（3.25）代入式（3.26），得
3.3.2.讨论：
）
（ ３３３
３３３２２
２
２２２253.l p l p l p l p ⎪
⎪⎪⎭
⎪⎬====σσσσ）
（2631232221.l l l =++７）
＝１ （）（
）＋（
） （
２
３
３
２
２
２
２
2311
.p p p σσσ+
（1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一
椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。此椭球面上任一点都存在着三个坐标p 1，p 2，p 3，分别为过o 点的某一平面上应力的三个分量。
（2）：当σ1=σ2=σ3时，式（3.27）变为：
上式为一球面方程。在主坐标系中，三个主应力均等于σ的应力张量为σδ，
σδ=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111
000000σδσδσδ 式中，δ=δij =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≠=j i j i 01——应力球张量
（3）应力偏张量
莫尔园
σ
）
（＝）（）＋（） （２
３２２２28321.p p p σ+
