第二章_应力分析

《过程设备设计基础》教案2—压力容器应力分析课程名称：过程设备设计基础专业：过程装备与控制工程任课教师：第2章 压力容器应力分析§2-1 回转薄壳应力分析一、回转薄壳的概念薄壳：（t/R ）≤0.1 R----中间面曲率半径 薄壁圆筒：（D 0/D i ）max ≤1.1~1.2 二、薄壁圆筒的应力图2-1、图2-2 材料力学的“截面法”三、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素（1）回转曲面、回转壳体、中间面、壳体厚度 * 对于薄壳，可用中间面表示壳体的几何特性。

tpD td pR tpD Dt D p i 22sin 24422====⨯⎰θπθϕϕσσαασπσπ（2）母线、经线、法线、纬线、平行圆（3）第一曲率半径R1、第二曲率半径R2、平行圆半径r（4）周向坐标和经向坐标2、无力矩理论和有力矩理论（1）轴对称问题轴对称几何形状----回转壳体载荷----气压或液压应力和变形----对称于回转轴（2）无力矩理论和有力矩理论a、外力（载荷）----主要指沿壳体表面连续分布的、垂直于壳体表面的压力，如气压、液压等。

P Z= P Z（φ）b、内力薄膜内力----Nφ、Nθ（沿壳体厚度均匀分布）弯曲内力---- Qφ、Mφ、Mθ（沿壳体厚度非均匀分布）c、无力矩理论和有力矩理论有力矩理论（弯曲理论）----考虑上述全部内力无力矩理论（薄膜理论）----略去弯曲内力，只考虑薄膜内力●在壳体很薄，形状和载荷连续的情况下，弯曲应力和薄膜应力相比很小，可以忽略，即可采用无力矩理论。

●无力矩理论是一种近似理论，采用无力矩理论可是壳地应力分析大为简化，薄壁容器的应力分析和计算均以无力矩理论为基础。

在无力矩状态下，应力沿厚度均匀分布，壳体材料强度可以得到合理的利用，是最理想的应力状态。

（3）无力矩理论的基本方程a、无力矩理论的基本假设小位移假设----壳体受载后，壳体中各点的位移远小于壁厚。

考虑变形后的平衡状态时壳用变形前的尺寸代替变形后的尺寸直法线假设----变形前垂直于中面的直线变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面。

2019年固体力学与岩石力学基础例题第二章 应力分析例题2.1 设某点的应力张量为012120201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭σ试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。

解：设该平面的法线矢量为：v =(l ，m ，n)由几何关系知：l 1=m 3=n 1联立方程：l 2+m 2+n 2=1于是解得：l =√1111，m =3√1111，n =√1111所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：T x =σx l +τyx m +τzx n =0×√1111+1×3√1111+2×√1111=5√1111 T y =τyx l +σy m +τzy n =1×√1111+2×3√1111+0×√1111=7√1111 T z =τzx l +τzy m +σz n =2×√1111+0×3√1111+1×√1111=3√1111该平面的法向应力和切向应力为：σv =T x l +T y m +T z n =5√1111×√1111+7√1111×3√1111+3√1111×√1111=2911τv 2=T v 2−σv 2=8311−841121=72121τv =6√211解答完毕。

例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。

图2.1解：在OP 面上有应力边界条件：(σx1x2)x1=0=γx 2 (τx1x2)x1=0=0式中，γ为水的比重。

解答完毕。

例题2.3 已知一点的应力张量为2201211210σ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。

解：由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：0×l +1×m +2×n =0 1×l +σ22×m +1×n =0 2×l +1×m +0×n =0又根据几何关系：l 2+m 2+n 2=1解得：σ22=12l =√66 m =−√63n =√66解答完毕。

第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析1.只受内压作用：（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中θσ为拉应力，r σ为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而z σ介于θσ和r σ之间，即2r z θσσσ+=，且沿壁厚均匀分布。

（2）在筒体内壁面处，θσ、r σ的绝对值比外壁面处为大，其中θσ具有最大值，且恒大于内压力i p ，其危险点将首先在内壁面上产生。

（3）θσ沿壁厚分布随径比K 值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即2()1()2io r R r R K θθσσ==+=。

显然，不均匀度随2K 成比例，可见K 值愈大，应力分布愈不均匀。

当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。

由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K 值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。

为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。

2.往往采用组合圆筒或单层厚壁圆筒自增强处理技术，以提高筒体的弹性承载能力。

3.温差应力：厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。

（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差t ∆成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。

（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向应力与径向应力之和，即t t t z r θσσσ=+ ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向应力分别相等，且最大应力发生在外壁面处。

（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。

第二章 应力分析研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。

第1节 内力和外力1.1 外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。

我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。

1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。

量纲：力/（长度）3。

求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法：X X 2X X 2第2节 应力和应力张量2.1 应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法：过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力）FF -l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。

即n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++==,,1S n P B C S A B C ∆∆∆∆==0)()(=++-V f S t S t i i n ∆∆∆而 S n S t t i i i i ∆∆=-=-,)()(代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ∆∆或 )()(i i n t n t =展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n++= 或n t m t l t t z y x n )()()()( ++=2.1 应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1jxj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1(x 2x 1 x 1(x)x 3,,32S n PAB S n PAC ∆=∆∆=∆同理，得j yj j j z yz y yy x yx y e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==2323222121)()2(jzj j j z zz y zy x zx z e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==3333232131)()3(将法线方向n 取为单位长度，则将式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.讨论：） （ ３３３３３３２２２２２２253.l p l p l p l p ⎪⎪⎪⎭⎪⎬====σσσσ） （2631232221.l l l =++７）＝１ （）（）＋（）　（２３３２２２２2311.p p p σσσ+（1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。

第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。

2019年固体力学与岩石力学基础作业（普通班）第二章 应力分析2.1 有如图2.1所示三角形水坝，试列出OQ 面（光滑面）的应力边界条件和OP 面的应力边界条件。

图2.1解：首先，在OP 边上，边界条件为：式中， 为水的比重。

其次，在OQ 边界上，边界条件为：解答完毕。

2.2 在物体中一点P 的应力张量为111213212223313233104=030405σσσσσσσσσ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（1）求过P点且外法线为1231122-n =e e 的面上的应力矢量()n σ。

（2）求应力矢量()n σ的大小。

（3）求()n σ与n 之间的夹角。

（4）求()n σ的法向矢量n σ （5）求()n σ的切向矢量τ。

2解：（1）过P 点，且外法线为n 的应力矢量为：（2） 的大小为：（3）根据向量关系的有关理论：于是，夹角为：°（4）法向矢量为：（5）切向矢量的求解：于是有：解答完毕。

2.3 通过同一点P 的两个平面1π、2π，其单位法向矢量分别为1n 及2n ，这两平面上的应力矢量分别为1()n σ及2()n σ。

证明（1）12()()21n n ⋅=⋅σn σn（2）如果1()n σ在平面2π上，则2()n σ在平面1π上。

解：（1）证明：因为：所以有：可以改写为：由于：（常数）所以，等式恒成立。

证明完毕。

（2）如果1()n σ在平面2π上时，由几何关系知：根据（1）的证明，有：即，2()n σ在平面1π上。

解答完毕。

2.4 已知一点平面状态下的应力张量11122122σσσσ⎛⎫⎪⎝⎭，如图2.2所示斜面的外法线向量为n ，与1x 轴的夹角为θ，求斜面上的应力矢量。

图2.2解：n 单位向量为：该斜面上的应力矢量为：解答完毕。

2.5 证明：112233112233=σσσσσσ'''++++是不变量。

解：从数学角度上，是行列式的坐标转换问题。