第2讲 非线性回归模型

三、案例分析
例1，皮鞋销售。某市1986—1991年期间，皮鞋销售量Y（万 双）如下表所示，试确定X与Y之间的关系，并预测1992年的 皮鞋销售量。 年份 X Y △Y 1986 1 5.3 1987 2 7.2 1.9 1988 3 9.6 2.4 1989 4 12.9 3.3 1990 5 17.1 4.2 1991 6 23.2 6.1

AK L


规模报酬递减 规模报酬不变 规模报酬递增
模型 : Y AK L e
t
Y Y Y dY dK dL dt K L t dK dL αY Y Ydt K L 两边同时除以 Y : ( dt 1) dY dK dL α Y K L dK : 资金增长对产出的作用 ; K dL : 劳力增长对产出的作用 ; L : 技术进步率 .
Y aX
b
（a 0, X 0, Y 0）
LnY Lna bLnX 令：U LnY， a 0 Lna，V LnX 则：U a 0 bV
2、指数函数
Y aebX （a 0, Y 0） LnY Lna bX 令：U LnY，a0 Lna 则：U a0 bX
ˆ Yi Yi 0 ˆ X i1 Zi1 1 由 X Z ˆ iP il P
1、多项式函数
Y 0 1 X 2 X 2 3 X 3 P X P u 令：Z i X i，（i 1， 2， ，P） 则：Y 0 1 Z 1 2 Z 2 3 Z 3 P Z P u
α、β、γ的求法： ①利用截面数据进行回归； ②利用时间序列数据进行回归； ③利用混合数据进行回归； ④利用类似地区的α、β、γ。
（三）Taylor展开法 用Taylor展开法估计下面的非线性消费函数模型，其中C表 示消费，Y表示可支配收入。
C 0 1Y
2
u
对于线性消费函数模型，应有β2＝1，所以我们考虑将参数的初 始估计值取为： 00 10 20 1 首先将非线性消费函数在初始值处Taylor展开,然后取线性近似. f 2 f ( 0 , 1 , 2 ) 0 1Y f (1,1,1) ( 0 1) 0 0
第 2讲
一、问题的提出
多元线性回归模型为：
非线性回归模型
PRF : Yi 0 1 X i1 2 X i 2 P X iP ui , i 1, 2,, n
上述模型包括两个方面：①Y与解释变量X1，X2，…，XP之间呈线性关系； 0，1， ，之间呈线性关系。 ②Y与参数 P 满足上述两个条件的模型称为双线性模型。如果上述条件至少有一 不满足称为非线性回归模型。包括：Y与解释变量X线性，但与参数非线 性；Y与参数线性，但与解释变量X非线性；Y与解释变量和参数X均非线 性。 例如C-D生产函数：
Y AK L e


u
1 Yi 0 1 ui Xi
生产函数（TPP）：
Y aX bX
3
2
弹性E p
Y Y MPP X X APP
Ep 1
0 Ep 1
Ep 0
消费函数：
C 0 1Y u C 0 1Y
多要素生产函数：
Y f ( K , L) , 投入要素同时扩大 m倍 m nY f（m K，m L） 规模报酬递减 , (比例不经济) n 1, , (中间临界状态 ) n 1, 规模报酬不变 n 1, 规模报酬递增 , (比例经济) Y AK L Y ' A( m K) ( m L) m m Y, 1, m Y, 1, m Y, 1,
其中，f1，f2，…，fp是X1，X2，…，XL的非线性函数。 作变换：
f1 X 1，X 2， ，X l） Z1 （ Z f （ ，X 2， ，X l） 2 2 X1 令： ，X 2， ，X l） P X1 ZP f（ 则模型变为： Y 0 1Z1 2 Z 2 P Z P u
解:根据表中数据的走势,可设模型如下:
Y ab X LnY Lna XLnb 由表中的数据有： LnY 1.38 0.2935 X (223.15 )(184.8) R 99.99%, F 34159 ˆ e1.38 (e0.2935 ) X 3.9749 1.3411X Y
Y 0 1 X1 2 X 2 u
*
平狄克（R.S.Pindyck）利用美国1947—1995年的时间序列 季度数据，计算得到估计的消费函数模型为：
1.180 ˆ C 256.33 0.195Y
R 0.9990
2
三参数的标准差分别为：16.71,0.0211和0.0126，T检验值分 别为: 15.34,9.24和93.65，因此在α＝5％的显著水平下，三 参数的估计值都是显著的，而且有很高的拟合优度。 对这个非线性消费函数模型，它的边际消费倾向为：
f f ( 1 1) ( 2 1) 1 0 2 0 f f f 因为f (1,1,1) 1 Y , 1, Y, YLnY 1 0 2 0 0 0
2 7 ˆ Y1992 3.9749 1.3411 31.01(万双)
例2，电器需求量。某种家电1984—1991需求量Y（万台）如 下表所示，试确定Y随年份变化的关系，并预测1992年的需 求量. 年份 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 X 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 1.3 1.5 1.8 2.0 1.9 2 2.2 2.1 △Y 0.2 0.3 0.2 -0.1 0.1 0.2 -0.1
dC 2 1 1.180 1 0.18 MPC 1 2Y 0.195 1.180Y 0.2301Y dY
此时的边际消费倾向MPC不是一个常量，而是可支配收入 Y的函数，当Y＝1000时，MPC＝0.7978，当Y＝2000时， MPC＝0.9039，当Y＝3000时，MPC＝0.9723。
例：给定生产函数 Y AK L，其中，Y、K、L分别 1 3 为产量、资本、劳力， 若 ， ，在某期间 4 4 Y、K、L的增长率分别为 5%， 4%， 2%，求技术进步、 资本、劳力在产品增长 中的贡献份额。 1 3 解：技术进步率 5% 4 % 2 % 2.5% 4 4 2 .5 % 技术进步贡献率 50%; 5% 0.25 4% 资金贡献率 20% 5% 0.75 2% 劳力贡献率 30% 5%
dY dK dL 技术进步率: Y K L 技术进步贡献率:

dY Y
; 资金贡献率:
dK dL K ; 劳力贡献率: L dY dY Y Y
Solow余值法的推广：
模型 : Y AK L M e
t
K、L、M分别表示资金、劳力、 土地 dY dK dL dM 技术进步率: Y K L M dK K ; 技术进步贡献率: ; 资金贡献率: dY dY Y Y dL dM L ；土地贡献率： M 劳力贡献率: dY dY Y Y
Y 1 2 X 3 XZ
dY dX
2 23 X
2 3 X
2
2 3 Z
2Y

dY 23 X dX
dY 3Байду номын сангаасZ dX
3 Z
lnY 1 2 X
Y AK L M e u LnY LnA LnK LnL LnM u
索洛（Solow）余值法测算科技进步贡献
Cobb-Douglas生产函数
Y AK L Y : 产出水平；A：社会平均技术水平； K：资金；L：劳力。
Cobb-Douglas生产函数测定技术进步速度时，应具备以下 条件：①仅有资本和劳动两个生产要素，而且它们之间是可 以相互替代的；②完全竞争的市场条件，资本和劳动都以其 边际产品作为报酬；③任何时候，资本和劳动都可以得到充 分利用；④技术进步是中性的，即边际替代率不变 ；⑤规模收益不变；⑥生产函数是一次齐次的。 比例报酬（Returns To Scale）：指所有生产投入按同一比 例增加后产出的变化率。
2
（凯恩斯消费模型）
1 2 p u
Y AX1 X 2 X p e
u
二、非线性回归模型的处理 （一）变换法 适用于Y与解释变量非线性，但与参数线性的情形。
Y 0 1 f（ ，X l） 2 f（ ，X l） 1 X 1，X 2， 2 X 1，X 2， P f（ ，X l） u P X 1，X 2，
则将非线性消费函数模型转化为二元线性回归模型: 利用普通最小二乘得到一组新得参数得估计值： 01 , 11 , 21 将参数初始估计值由 00 10 20 1 换成 01 , 11 , 21 02 , 12 , 22 ，重复上述步骤，又得到一组新的最小二乘估计值： 直到参数收敛为止（达到预定的精度）。
Y 1 2 ln X
Y 1 2 1
弹性系数 X 2 Y 2
Y

参数的意义
dY dX
dY dX X
倒数

X
X
X
2 2
2 XY
X Y
X Y
X 2
多项式（二次 Y 1 2 X 3 X 2 函数) 交互作用 对数线性 对数倒数 对数多项式 (对数 二项式) 双对数 ( 对数对 数) 对数曲线
所以有：
f ( 0 , 1 , 2 ) 1 Y ( 0 1) Y ( 1 1) YLnY ( 2 1) 0 1Y 2YLnY YLnY 代入消费函数模型得到： C 0 1Y 2YLnY YLnY u 移项得：C YLnY 0 1Y 2YLnY u 令：Y * C YLnY , X 1 Y , X 2 YLnY
2、双曲函数
3、对数函数
1 b a Y X 1 1 令：U ，V Y X 则：U a bV
Y a bLnX 令：V LnX 则：Y a bV
4、S型曲线（Logistic）
（二）对数法 1、幂函数
1 Y a be X 1 a be X Y 1 令：U ，V e X Y 则 ： U a bV
同理可得： ˆ 1.29097 0.4217LnX Y (18.95) R 2 0.93 (9.16) F 83.9
ˆ 1.29097 0.4217Ln9 Y 1992 2.2176 (万台)
设定 线性函数 线性对数
函数形式
Y 1 2 X
边际效应
2
2

常 用 的 函 数 形 式