大学物理4-1-5简谐运动

解方程
d x 2 x 2 dt
t 0 时，x x0 ，v=v0
2
设初始条件为:
x A cos(t 0 )
积分常数，根据初始条件确定
简谐运动方程
x A cos( t 0 ) A sin(t 0

2
)
x A sin(t )
4.1 简谐振动及其基本特征
4.3
旋转矢量
x A i A cos(t 0 )
x A cos(t 0 )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
4.3
旋转矢量
x A i A cos(t 0 )

t 0
A
o

x0
4
常数
A和 的确定
4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
x A cos(t 0 ) v A sin(t 0 )
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos0
2 A x0
2
2 v0
v0 A sin 0
v0 t an0 x0
为其它
超前
落后
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
x
x
x
o
t
o
tபைடு நூலகம்
o
t
4.3
旋转矢量
例4-3 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
2
d x m 2 k ( x l ) mg dt
m g kl
d x m 2 kx dt
2
4.1 简谐振动及其基本特征
d x m 2 kx dt
令
2
2
k m
2
d x 2 x 0 dt 2
该系统作简谐振动
4.1 简谐振动及其基本特征 例4-1 弹簧振子悬挂于天花板上， 振子m静止于A点，这时弹簧的伸 长量为l，如图所示。试证明振子 可在A附近作简谐振动，不计空 气阻力。
证明:以A为原点，向下为 轴 正向，建立坐标系。当振子m 位于x处时，所受的合力为：
f mg k ( x l )
l是弹簧挂上重物后的静伸长： x=0 ，mg＝kl
4.1 简谐振动及其基本特征
f k ( x l ) mg
mg＝kl
f kx
该物体受线性回复力作用， 所以它作简谐振动。
dx v0 0 dt
2 0 3
4.3
旋转矢量
t 1s 时, x 2cm ，v 0
代入振动方程有
2 2 4 cos( 0 ) 4 cos( ) 3 2 1 cos( ) 3 2 7 2 5 或 3 3 3
2 2 由 v A sin( ) 0 得: sin( ) 0 3 3 2 2 5 x 4 cos( t ) cm 3 3 3
A
x
o
v
v
T 2
x t 图
v
T
t
v A sin(t 0 ) A
存在一一对应的关系;
2）位相在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性） 3）初位相 t 0，0 描述质点初始时刻的运动状态. ( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
振动的成因
a 回复力 b 惯性
4.1 简谐振动及其基本特征
3 简谐振动的运动学方程
F
m
x
2
o
x
F kx ma
2
d x 2 2 x 得 a x 即 2 dt 具有加速度 a 与位移的大小x成正比,而方 向相反特征的振动称为简谐运动
k 令 m
4.1 简谐振动及其基本特征
2
a t图
T
A 2
A cos(t 0 π)
2
o
t
A
2
4.1 简谐振动及其基本特征
结论: 简谐振动的基本特征（判断依据）
1. 物体受线性回复力作用：F
kx
(平衡位置x=0)
2. 物体的位移、速度、加速度是时间的余弦函数
x A cos(t 0 )
dx v A sin(t 0 ) dt

x
A
A2
a
b
v
π 3
tb
o
t
A
A
0
A ta A
2

x
π 3 1 t T T 2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
d2 x 2 x 2 dt x A cos(t 0 ) 简谐运动方程 dx v A sin(t 0 ) dt vm A vm sin(t 0 ) 2 d x 速度振幅 2 a 2 A cos(t 0 ) dt am A 2 am cos(t 0 )
d2 x a 2 A 2 cos(t 0 ) dt
3. 加速度与位移大小成正比，方向相反
a x
2
4.1 简谐振动及其基本特征 补充例题 一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计 空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动. 证: 以平衡位置A为原点， 向下为x轴正向.
4.3
旋转矢量
例4-4 已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程. 解 设谐振动方程为
x A cos(t 0 )
由图知:
A＝4 cm
t 0 , x0 2 cm
2 4cos 0 2 0 3
由
v0 A sin 0 0 得:
sin 0 0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
1
振幅
A xmax
2 周期、频率
A
x x t 图
T 2
T
x A cos(t 0 ) A cos[(t T ) 0 ] A A cos[t 0 2π]
周期 频率
T 2π
o
t
弹簧振子周期

1 T 2π
0 A cos
v
x
x
T 2
o
T
t
4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
★用分析法确定弹簧振子初位相0（例4-2）
x A cos(t )
v A sin(t )
x0 A cos 0 A cos 0 1 v A sin 0 0 0 sin 0 0
x0 A cos 0 A v0 A sin 0 0
0
x0 A cos 0 0 v0 A sin 0 0
A x0 A cos 0 2 v0 A sin 0 0
3 0 2
加速度振幅
4.1 简谐振动及其基本特征
x A cos(t 0 )
T
2π
A A
x
x t图
T

取 0 0
o
t
t
v A sin(t 0 )
A
v
a
v t 图
T
π A cos( t 0 ) 2
o
A
a A cos(t 0 )
x
o
4.3
旋转矢量
k 0.72N m 解 （ 1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m
2 0
2 0 2
v0 tan 0 x0
o
A
x
0 或 π
由旋转矢量图可知
0 x A cos(t ) 0.05cos(6.0t )
t=0, x0=0, v0>0
v>0
x
0
t=0, x0=A/2, v0<0
v<0
x
0
A／2
0

3
4.3 旋转矢量 旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
4.3
旋转矢量
A 解 （ 2） x 2
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2
π 由旋转矢量图可知 t 3
π 5π t 或 3 3

A
o
v A sin t
A 2
x
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴方向）
旋转矢量 图
x t
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
位相差：表示两个位相之差 .
1）对同一简谐运动，位相差可以给出两运动状 态间变化所需的时间.
x1 A cos(t1 0 ) x2 A cos(t2 0 ) (t2 0 ) (t1 0 ) t t 2 t1
？
4.1 简谐振动及其基本特征
提琴弦线的振动

弓
5 26 3

琴码
4.1 简谐振动及其基本特征
4.1.2 简谐振动的基本特征
简谐运动
简谐运动
最简单、最基本的振动
合成 分解 复杂振动
谐振子
作简谐运动的物体
4.1 简谐振动及其基本特征
弹簧振子的振动
l0 k
m
x
A
o
A
x0 F 0
4.1 简谐振动及其基本特征
x
x0 A cos
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
4.3
旋转矢量
x A i A cos(t 0 )

t t
t 0
A
x
o
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
t=0 ，x0=A, v0=0. 0
x
x0=+A
0 0
t=0, x0=0, v0<0
v<0
x
0
x0 A cos 0 0 v0 A sin 0 0 0
2
4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
t=0, x0=-A, v0=0
x
-A 0
T 2π
m k
2π 圆频率 2π T
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
简谐运动中， x和 v 间不存在一一对应的关系.
4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相位
x A cos(t 0 )
t 0 3 位相 1） t 0 ( x, v)
4.1 简谐振动及其基本特征 4.1.1 简谐振动 1 机械振动 物体或物体的某一部分在一定位置 a 定义： 附近来回往复的运动 平衡位置 b 实例: 心脏的跳动， 钟摆，乐器， 地震等
c 周期和非周期振动
4.1 简谐振动及其基本特征
口琴的发音机理
？
1 2 3
4 5 6
7
7 6 5 4 3 2 1
教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是 相位）的物理意义及各量间的关系. 二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表 示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.
三 掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简 谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一 维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义. 四 理解同方向、同频率简谐运动的合成规律， 了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点. 五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条 件及规律.
4.3
旋转矢量
y vm
t
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a

x
an A
2
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
4.3 用旋转矢量图画简谐运动的