精品文档 梯形、等腰梯形及其性质、判定 第1题. （2007北京课标，5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高． 答案：解：作DF BC ⊥于点F ． 因为AD BC ∥，所以12∠=∠． 因为AB AD =，所以23∠=∠． 所以13∠=∠． 又因为AB DC =，60C ∠=o ， 所以11133022 ABC C ∠=∠=∠=∠=o ． 又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==． 在Rt CDF △ 中，由正弦定义，可得DF = 所以梯形ABCD 第2题. (2007福建福州课改,3分)下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 答案：Ｂ 第3题. (2007福建福州课改,4分)如图，45AOB ∠=o ，过OA 上到点O 的距离分别为1357911L ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标 出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S L ，，，， ）写出第10个黑色梯形的面积10S = ． 答案：76 第4题. （2007福建三明课改，4分）用含30o 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平 行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 答案：B B C B C
精品文档 第5题. （2007甘肃兰州课改，4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 答案：Ｄ 第6题. （2007广东河池非课改，2分）已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．答案：5＜a ＜9 第7题. （2007广西玉林课改，2分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=o ，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与 CE 相交于P ，则DPE ∠= ． 答案：120o 第8题. （2007湖南郴州课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN 答案：因为AD ∥BC ，AB =DC ，所以B C ∠=∠ 因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=? 在Rt △BME 和Rt △CNE 中， BME CNE B C BE CE ∠=∠??∠=∠??=? ，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE 所以EM ＝EN 第9题. （2007河南课改，3分）如图，在直角梯形ABCD 中， 1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cm CD =，则BC = cm ． 第10题. （2007湖北十堰课改，3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 答案：Ｃ E N M D C B A B C D A A B D F E
1.4 等腰梯形的性质和判定(1) [ 教案] 班级 姓名 学号 九年级数学备课组 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质和判定。 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质和判定。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 1.什么叫梯形 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 2.两种特殊的梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等; 二、等腰梯形的判定： 1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可 以从不同角度着手证明。 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 三、等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 E D C B A D C B A
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 四、典型示例： 1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB 求证：四边形ABFE 是等腰梯形； 2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长 和∠D 的度数. 3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=2 1（BC-AD ） 4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形． 五、巩固练习 1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ） A.等腰梯形 B.直角梯形 C.平行四边形 D.不能确定 2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135° 3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对. 4.梯形的上底长为 5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______. 5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______. 6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______. 7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______. 8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证： PA=PD B C A M D A D C B P
梯形及多边形的性质及证明（导学案） 一、知识过关 1. 梯形的定义：________________________________________． 2. 等腰梯形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________． 3. 梯形的中位线：______________________________________． 4. 梯形中位线定理：_____________________________________ ___________________________________________________． 5. 四边形中的中点 6. 中心对称图形：_______________________________________ ___________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于_________________；外角和等于_____． 9. 平面图形的镶嵌： ___________________________________________________ ___________________________________________________． 二、精讲精练 1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的 是（ ） A ．AC =BD B ．∠OB C =∠OCB C ．S △AOB =S △DOC D ．∠BCD =∠BDC 等腰梯形 A C D B 直角梯形D A C B C A D B F E D C B A
《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案 教学目标： 知识目标：理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用； 能力目标：通过动手操作，探索等腰梯形的性质及其证明方法，初步培养学生探索问题和研究问题的能力； 情感目标：营造一个相互协作的课堂气氛，引领学生自主探究、集体讨论，激发学生的学习热情； 教学重点与难点： 1、等腰梯形性质的探究及证明； 2、等腰梯形性质定理的简单应用。 教学过程： 1、复习旧知，引入新课 填空（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形； （4）的四边形是平行四边形； （5）的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； 用举反例的方法举出有一组对边平行，一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形，从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义；我们这节课就来研究等腰梯形的性质。 2、自主探索、提出猜想 把学生分成以四个人一组的若干小组，提供给每个小组一个等腰梯形的模型，让同学们用各种数学工具通过各种数学方法，如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质？ 同学们可能会得出下面一些结论： （1）两腰相等； （2）两个底角相等； （3）等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； （4）两条对角线相等； …………
3、交流反馈、共同论证 结论（1）由等腰梯形的定义可以得到而不用证明；结论（2）的证明探索： 的两种思路：） 一是把两个角转化到同一个三角形中，用“等边对等角 二是把两个角转化到两个全等三角形中，用“全等三角形的对应角相等”证明； 完善结论后得到： 等腰梯形的性质定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。 结论（3 ）： 观察翻折、旋转的动画演示后，由轴对称图形和中心对称图形的定义可以直接得到： 等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴。 等腰梯形不是中心对称图形！ 结论（4）的证明可以让学生独立完成，请一个同学上黑板板书，其他同学自己在课堂练习本上完 C E C C C F
偃师市实验中学数学教学资源库（华师大版） 八年级数学下册第二十章《等腰梯形的判定》 第一部分教学目标分解 教学目标双向细目表 说明：1、学习内容的排列与教材的编排顺序相一致。 2、学习水平分为A、B、C、D四个等级： A：识记---了解、认识、感知、初步体会、初步学会； B：理解----说明、表达解释、懂得、领会； C：再现性情景应用---掌握、会用、归纳等； D：生成性的情景应用---会推导、证明、研究讨论、解决问题、总结评价等。 3、对于每一知识要点和技能要点所需达到的学习水平，可在空格内“√”。 第二部分课堂教学设计 一、关于教材分析与处理 （一）教材内容分析 本节课是在学习了等腰梯形的性质以及平行四边形、矩形、菱形的判定的基础上学习的，其中等腰梯形的判定定理1是由定义得到的，判定定理2、3是由等腰梯形的性质1、2变成逆命题证明后所得到的，前面我们在学习平行四边形、矩形、菱形的判定时，就是通过复习它们的性质，再证明性质的逆命题是真命题，从而得到平行四边形、矩形、菱形的判定方法。等腰梯形的判定也是在学习了三角形和平行四边形后学习的，因此关于等腰梯形常用的辅助线的作法也是本节课的一个主要内容。 （二）教学重点难点 根据课程标准的要求，结合学生的实际特点，确定教学的重点与难点： 重点：等腰梯形的判定。 难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． （三）教材前后联系 《等腰梯形的判定》是华东师大版义务教育实验教材数学八年级（下册）第20章第5节的内容，本节课注重新旧知识的联系与类比，注重图形的分析、判别；在学生学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定之后，接触的性质的基础上，引入了等腰梯形的判定，这一节课既是前面所学知识的延续，又是对四边形的判定进行综
课 题. 等腰梯形的性质 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推 理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 新知探索： 一、引人新课： 1、_______________________________的图形叫做等腰梯形? 2、____________相等的_______________叫做等腰梯形; 二 等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可以从以下的三个角度着手证明（附三种方法的图形）。 证法一： 证法二： 证法三： 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 本节小结： 本节课你有什么收获（先小组讨论，然后推举代表回答）： ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 本节作业 1、 E D C B A D C B A D C B A E D C B A F E D C B A E D C B A
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明配套练习 1.下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2.用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直 角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 3.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 4.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ． 5.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠= ，AD AB =．点 E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠= 6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 7. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC = Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF = 8.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 9. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ） A ．矩形或等腰梯形 B ．矩形或平行四边形 C ．平行四边形或等腰梯形 D ．矩形或等腰梯形或平行四边形 10.在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ） A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s 11.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E 连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形． A C D F E A D E C B A D C B E A B Q
《等腰梯形》基础训练 姓名 班级 学号 成绩 【知识要点】 1、等腰梯形的性质定理和判定定理，并能应用进行计算和证明； 2、通过添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题； 3、方法：梯形问题一般通过添加平行线，或作高，将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形的问题来解决的． 等腰梯形性质： ⑴边： ；⑵角： ； ⑶对角线： ；(3)对称性：___________________________. 等腰梯形判定： ⑴定义： ； ⑵角： ； ⑶对角线： ； 一．填空题 (3分×10 = 30分) 1．等腰梯形的上、下底长分别为6、8， 且有一个角是60°， 则它的腰长为 ． 2．如果等腰梯形的高等于腰长的一半，则它的四个角分别等于 ． 3．已知等腰梯形的上、下底长分别为2㎝和6㎝，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 ． 4．若梯形面积为144，且两底的比为4:5，高为16，则梯形的上、下底分别为 ． 5．直角梯形的高为6㎝，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别为_____ _____㎝． 6．如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠B =60°，AC ⊥AB ，则∠D = _ __°，∠ACD =_________°． 7．如图2，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，DE ∥AB ，DE =DC ，∠A=100°，∠EDC =_______°． 图1 图2 图3 8．如图3，在等腰梯形ABCD 中，相等的线段共有 对． B A D C E B A D C B D C A
9．等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别是15㎝、49㎝，则腰为=㎝．10．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12，BC=10，AD=5，则CD= ．二．选择题(3分×6 = 18分) 1．有两个角相等的梯形是( ) （A）等腰梯形（B）直角梯形（C）一般梯形（D）直角梯形或等腰梯形2．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，则四边形ABCD中( ) （A）平行四边形（B）等腰梯形（C）矩形（D）等腰梯形或矩形3．下列命题正确的是( ) （A）凡是梯形对角线都相等 （B）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 （C）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （D）只有两个角相等的梯形是等腰梯形 4．已知梯形的中位线长为24㎝，上、下底的比为1:3，则梯形的上、下底之差是( ) （A）24㎝（B）12㎝（C）36㎝（D）48㎝ 5．已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) （A）78°或120°（B）102°或60°（C）120°或78°（D）60°或120° 6．下列关于等腰梯形的判断，正确的是( ) （A）两底相等（B）同底上的两底角互补 （C）每两个角相等（D）对角线交点在对称轴上 三．解答题(6分×6 + 8分×2 = 52分) 1．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD与CD的长度分别为a和b． （1）求AB的长．（2）若AD⊥AB于点A，求梯形的面积．
等腰梯形的性质专项练习30题（有答案） 1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=2，AB=6，∠B=60°，求下底BC的长． 2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数． 3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长． 4．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使BF=CD．求∠CAF的度数． 5．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∠C=60°，求AB的长． 6．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长． 7．如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD． （1）求∠A的度数． （2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积． 等腰梯形的性质---- 1
等腰梯形的性质--- 2 8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=60°．AE ⊥BC 于E ；EF ⊥CD 于F ，点F 是CD 的中点．求证：AD=BE ． 9．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB=CD ，AE ⊥BC 于E ，∠B=60°，∠DAC=45°， ，求梯 形ABCD 的周长？ 10．如图示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，中位线长为5cm ，高为2cm ，求梯形底边BC 的长及梯形的面积． 11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=6cm ，BD ⊥CD 于D ，∠C=60°． （1）求∠DBC 的度数； （2）求AD 的长． 12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2AD ，梯形周长为40，对角线BD 平分∠ABC ，求梯形的腰长及两底边的长． 13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，已知AD=5cm ，BC=9cm ， 求等腰梯形ABCD 的周长．
等腰梯形的性质与判定 海南侨中数学组苏晓君 一、教学目标 1. 掌握等腰梯形的判定方法. 2. 能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力． 3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想 二、教法设计 小组讨论，引导发现、练习巩固 三、重点、难点 1．教学重点：等腰梯形判定． 2．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 四、教学步骤 【复习提问】 1．什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？ 3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？ 我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题． 【引人新课】 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 前面我们用等腰三角形的定理证明了等腰梯形的性质定理，现在我们也可以用等腰三角形的判定定理来证明等腰梯形的判定定理． 例1已知：如图，在梯形中，，，求证：． 分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，定理就容易证明了． （引导学生口述证明方法，然后利用投影仪出示三种证明方法） （1）如图，过点作、，交于，得，所
以得． 又由得，因此可得． （2）作高、，通过证推出． （3）分别延长、交于点，则与都是等腰三角形， 所以可得． （证明过程略）． 例2 求证：对角线相等的梯形是等腰梯形． 已知：如图，在梯形中，，． 求证：． 分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在和中，已有两边对应相等，别人要能证，就可通过证得到． （引导学生说出证明思路，教师板书证明过程） 证明：过点作，交延长线于，得， ∴． ∵， 定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 典型示例： 例3、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD 相交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不于B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F。EG∥AC交BD于点G。
课题等腰梯形的性质和判定日期 教学目标1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念 2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养 学生的分析能力和计算能力． 3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生 体会图形变换的方法和转化的思想 重难点教学重点：等腰梯形的性质和判定． 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教 法 小组讨论，引导发现、练习巩固 角色教师活动学生活动 备 注 教学过程一、【复习提问】 1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯 形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？ 3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅 助线有哪几种？ 我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是 否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题． 二、【引人新课】 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形． 例1已知：如图，在梯形中，， ，求证： （1）如图，过点作、，交于，得 ，所以得． （2）作高、，通过证推 出． 与老师共同讨论 解决。 引导学 生口述 证明方 法，然 后利用 投影仪 出示三 种证明 方法 A B C D
教学过程（3）分别延长、交于点，则与 都是等腰三角形，所以可得. 由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两 个角相等． 例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等． 已知：在梯形中，，，求 证：． 分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出 ，然后再利用，即可得出 ． 解决梯形问题常用的方法 在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作 交于，从而把梯形问题转化成三角形来解， 实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法 叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法 之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形． （4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形． 我们学过“如果一个 三角形中有两个角 相等，那么它们所对 的边相等．”因此， 我们只要能将等腰 梯形同一底上的两 个角转化为等腰三 角形的两个底角，定 理就容易证明了． 让学生想一想，还可 以用什么样的方法 作辅助线来解决梯 形问题，多找几名学 生回答，然后教师总 结，可借助多媒体演 示见图）． 解决梯形 问题的基 本思想和 方法就是 通过添加 适当的辅 助线，把 梯形问题 转化为已 经熟悉的 平行四边 形和三角 形问题来 解决．
梯形的性质及判定 、知识提要 1. 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形; 等腰梯形：两腰相 等的梯形叫做等腰梯形； 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形. 2. 等腰梯形性质 ①等腰梯形同一底上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等. 3. 等腰梯形判定 ①两腰相等的梯形叫做等腰梯形；； ②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； ③对角线相等的梯形是等腰梯形. 4. 重心 线段的重心就是线段的中点；平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点； 三角形的重心就是三角形的三条中线的交点. 一、基础练习 1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC, A . 30° B . 45° C. 60° D. 80° 2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD / BC,对角线AC, BD相交于点0,以下四 个结论： ① / ABC= / DCB，② 0A=0D， ③/BCD=Z BDC，④S ZAOB=S A DOC. 其中正确的是（） A .①②B.①④C.②③④D.①②④ 2.女口图，等腰梯形ABCD 中, A B / DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，贝U梯形 ABCD的面积是（） A. 1615 B. 16 5
C. 32、15 D. 16.17 3. 4. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD // BC, AD=5, AB=6, BC=8, AE / DC,贝U △ABE的周长是( ) A . 3 B. 12 C. 15 D. 19 (2010金华)如图，在等腰梯形ABCD中，AB / CD，对角线 AC平分/ BAD, / B=60° CD=2cm，则梯形ABCD的面积为 ( )cm2. 5. 6. 7. A. 3、3 C. 6.3 若等腰梯形的 上、面积是( ) B. 6 D. 12 下底边分别为 A. 16.3 B. 8 3 C. 1和3, 一条对角线长为 4、3 D. 2.3 4, 则这个梯形的 已知梯形的两底边长分别为6和8, —腰长为7,则另一腰长 是_______________ . 如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC丄BD于点O, AE丄BC, DF丄BC,垂足分别为E, F，设AD=a, BC=b,则四边形AEFD的周长是( ) A . 3a+b B. 2 (a+b) C. 2b+a D. 4a+b a的取值范围 C 8.沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为 课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问 题.如图，若y是关于t的函数，图象为折线O-A-B- C, 17 其中 A (t1, 350), B (t2, 350), C (一，0),四 80 y 3?0 ]7 30 13731 A. B.—— C.——D. 51680160 O 边形OABC的面积为70,则t2-t i=( ) 9.如图，在梯形ABCD中，AB / DC , DB平分/ ADC,过点A作AE / BD，交CD 的延长线于点E,且/ C=2/E. (1) 求证：梯形ABCD是等腰梯形； (2) 若/ BDC=30°, AD=5, 求CD 的长.
1、梯形定义 ： 2、基本概念（如图）： 底： 腰： 高： 等腰梯形直角梯形 3②等腰梯形同一底上的两个角 ． ③等腰梯形的两条对角线 ． 4、等腰梯形判定方法： 。 几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。 2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．）
例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE. 分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD; 2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE.. 例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积. 【变式练习】 1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF. (1)求证：AB=CF； (2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由. 2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( ) A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.平行四边形 3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( ) A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm
第30讲 梯形和等腰梯形的判定与性质 一、 中考考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二： (1) 梯形的性质： ①两底平行 ②梯形的面积S= 1 2 (a+b)h （2）等腰梯形的性质 ①、等腰梯形在同一底上的两个角 。 ②、等腰梯形的对角线 。 ③、等腰梯形的对角 。 考点二：等腰梯形的判定 1、两腰相等的 是等腰梯形。 2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。 3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。 二、 重庆怎么考（例题精讲） 例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。 例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90 ,∠C =45 ,AD =1,BC =4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长. B F C A D 图 2 E 图1
例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，34tan =∠CAD ，CA =CD ， E 、 F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y . （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值. 例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动． 当运动时间t =_______ 秒时。以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形． 例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长 三、课堂练兵（课堂训练） 1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为 2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF 3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD 的平分线，且 CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ，若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______． 4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个 六边形的周长等于______． 5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ． 若 第12题 B G
知识点：梯形、等腰梯形、直角梯形等概念，等腰梯形的有关计算与证明 （1）（2008年山东省潍坊市）如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( C ) A.80° B.70° C.75° D.60° （2）(2008年浙江省绍兴市)如图，沿虚线将剪开，则得到的四边形是（A ） A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形 （3）（2008山东东营）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（D ） A．10 B．16 C．18 D．20 （4）（2008湖北襄樊）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（D ） A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形 （5）(2008浙江义乌)如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8， AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折， 点A的落点记为P． （1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= 2 ； （2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于：．
（6）（2008桂林市）如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ＝6,ＢＣ＝8,则梯形的高为7。 （7）（2008年陕西省）如图，梯形中，，，且 ，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系 是：． （8）(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为， 则该等腰梯形的面积为：（结果保留根号的形式）． （9）(2008 河南实验区)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= 20 cm
等腰梯形
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明水平测试 1.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点 1E AE =，，求梯形ABCD 的高． 2.下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 3. 如图，45AOB ∠=o ，过OA 上到点O 的距离分别为 1357911L ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标出 一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S L ，，，， ）写出第10个黑色梯形的面积10S = ． 4.用含30o 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图 形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 5.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 6.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ． 7.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=o ， AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠= ． B C
8.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cm CD =，则 BC = cm ． 10. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 11. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC = Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF = 12.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互 相垂直 E N M D C B A B C D A 9 10 A B C D F E 11
等腰梯形 基础过关 1.等腰梯形的一个底角是65°，则它的其余三个角是_________. 2.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ≠BC ，若使它成为等腰梯形，则可添加的条件是_________（只写一个即可） 3.等腰梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形最多有________对. 4.等腰梯形中，下面判断正确的是（ ） A.两底角相等 B.两个角相等 C.同底上两底角互补 D.对角线交点在对称轴上 5.对角线互相垂直平分的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．直角梯形 能力提高 6.等腰梯形的腰与上底相等且等于下底的一半，则梯形的对角线与下底的夹角是________. 7.等腰梯形的腰长是5cm ，上、下底的长分别是6cm 和12cm ，则它的面积是________cm 2. 8.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=4cm ，BD 平分∠ABC ，∠C=60°， 则梯形的周长是___________cm. 9．若等腰梯形的三边长分别是3、4、11，则这个等腰梯形的周长是（ ） A ．21 B ．29 C ．21或29 D ．21或22或29 10.若等腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么这个梯形一底角是（ ） A ．30° B.45° C. 60° D. 75° 11.在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，其面积是 450cm 2，则对角线所用的竹条至少需要（ ） A.230 B.30 C.60 D.260 12．如图，把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个 等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ） A ．（ cm B ．（ cm C ．22cm D ．18cm 13.下列命题中真命题的个数是（ ） ①等腰梯形的对角线和各边组成的三角形中，面积相等的有三对.②等腰梯形的对角线相等. ③相邻两角相等的梯形是等腰梯形.④等腰梯形中有可能有直角. A.4 B.3 C.2 D.1 14.下列命题中： （1）有两个角相等的梯形是等腰梯形 ； （2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条 (12题图) C B A D (8题图)