常系数非齐次线性微分方程

b1
1 3
例２ 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
1
b 0, a ,
4
所求非齐方程特解为
y*


1
xe x
cos 2x,
4
原方程通解为
y

ex
(C1
cos
2x

C2
sin
2x)

1 4
xe x
cos
2x.
例6 求方程 y y ex cos x 的通解.
例7 求方程 y y tan x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 用常数变易法求非齐方程通解
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d)sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0 比较系数得 2 a c
1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
1、 y 4 y 5 , y x0 1 , yx0 0； 2、 y 2 y y xe x e x, y x1 1 , yx1 1；
3、 y 4 y 1 ( x cos 2x) , 2
设 y py qy P( x)e(i)x , y1* xkQme(i)x ,
y* xk e x [Qmeix Qmeix ]

x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx

R(2 m
)
(
x
)
sin
x],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
原方程通解为 y C1 e x C 2 ex x e x
练习题
一、求下列微分方程的通解: 1、 y a 2 y e x ； 2、 y 3 y 2 y 3xex ； 3、 y 4 y x cos x ； 4、 y y sin2 x .
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y

x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x

R(2 m
)
(
x
)
sinx];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.


A

1 2
,
于是 y* x( 1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2 y C1e x
C2e2x

x(1 x 1)e2x 2
.
例３ 求方程 2 y 5 y 5x2 2 1的通解.
例.
求解定解问题

y y(0)
3
y 2 y(0)
例8. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) y x ex 3sin x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
x ( d cos x k sin x )
三、小结 (待定系数法)
( x) e x
x
t (t)dt x
x (t )dt ,
0
0
求 (x).
练习题答案
一、1、
y

C1
cos
ax

C2
sin
ax

1
e
x
a
2
；
2、 y

C1e x

C2e 2 x

ex(3 2
x2

3x)；
3、
y

C1
cos
2
x

C2
sin
2
x

1 3
x
cos
x
0 i不是根 k 1 i是单根,
注意
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例4 求方程 y y x cos 2x 的一个特解.
解 对应齐次方程特征方程 r2 1 0 特征根 r i
Q 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x, 代入方程得
16
8
三、i(t ) 4 102 e5103 t sin(5 103 t )(安), uc (t ) 20 20e5103 t [cos(5 103 t ) sin(5 103 t](伏).
四、 ( x) 1 (cos x sin x e x ).
2
2

A
p

q
ex
,
不是特征方程的根
y*



A xex
2 p
是特征方程的单根 ,

A x2ex
2
是特征方程的重根
例1.求方程
的一个特解
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
设 y c1( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)

sin x cos x
ln sec C2
x

tan
x

C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
可设
Q( x)

x
Q 2 m
(
x
),
y* x2Qm ( x)ex .
综上讨论
0 不是根
设
y*

xkexQm ( x)
,k

1 2
是单根, 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex

eix 2

Pn
e i x
eix 2i
]
( Pl Pn )e(i)x ( Pl Pn )e(i)x
2 2i
2 2i
P( x)e(i) x P( x)e(i) x ,
设 y py qy P( x)e(i)x , y1* xkQme(i)x ,
y x0

0,
y

x
0

0.
三、在 R, L, C 含源 串联电路中,电动势为E 的电源对 电容器 C 充电 .已知 E 20 伏,C 0.2 微法 , L 0.1 亨,R 1000 欧 ,试求合上开关 K 后 的电 流 i(t ) 及电压 uc (t ) .
四、设函数 ( x)连续,且满足
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x x cos 2x
3a 1
3b 4c 0

3c 0
3d 4a 0
a 1 ，b 0, c 0, d 4
3
9
y* 1 x cos 2x 4 sin 2x.

2 9
sin
x
；
4、
y

C1e x

C2e x

1 cos 2x 10

1. 2
二、1、 y 1 (11 5e4x ) 5 x ；
16
4
2、 y [2 1 (1 1) x]e x x3 e x x2 e x ；
e6 2e
6
2
3、 y 1 sin 2x 1 x(1 sin 2x).
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x
的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x（重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
第八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 y Y y* , 常见类型 f ( x) Pm ( x)ex ,
f ( x) ex[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x]
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
一、 f ( x) ex Pm ( x)型
y py qy f ( x)
设非齐方程特解为 y* Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
3
9
例5 求方程 y 2 y 5 y ex sin 2x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y e xC1 cos 2x e xC2 sin 2x,
Q 1 2i 是单根,
故 y* xe x (a cos 2x b sin 2x),
代入上式 e x[4b cos 2x (4a)sin 2x] e x sin 2x
y
1 y(0)

0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为
y C1 C2ex C3e2 x
由初始条件得

C2

2C3


1 2
解得
CC21
1
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex; (2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)ex;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
为实数 ) .
解: 特征方程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:


2时,
令Байду номын сангаас
y

Ae x ,
代入原方程得
A

1
( 2)2
,
故原方程通解为


2时,
令
y

B
x2e
x,
代入原方程得
B

1 2
,
故原方程通解为
3. 已知二阶常微分方程 y ay by c ex 有特解 y ex (1 x e2x ) ,求微分方程的通解 .
3 4
C3


1 4
于是所求解为
y 3 ex 1 e2x 1 x
4
4
2
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式

e x [ Pl
e i x