第五章 相似矩阵§1 特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。则

线性代数第5章相似矩阵及二次型PPT课件

线性代数—相似矩阵

线性代数B-4.3 相似矩阵2015

第五章 相似矩阵§1 特征值和特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。则

相其重数分别为 s1, s2 , , sr ;似 矩(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，阵并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;(3) 若 ti s

4 x1 x2 x3 01 4 解得基础解系 p2 1 , 0 1 4 p3 0 1 （k 2 , k3不能同时为零）就是

A对称, A AT ,1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,1 2 p1T

5-1向量的内积与方阵的特征值1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则λA为 的特征值。;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。1.21

定理 4 设 f ( ) 是矩阵 A 的特征多项式, f ( ) 0.证 一般的结论证明较困难,在此只证明 A ~ 的情形. 由 A 与 相似, 则有可逆矩阵P 使得P 1 AP

第五章相似矩阵及二次型§1 向量的内积、长度、正交性一、向量空间的内积、长度和夹角1．内积的定义：内积的符号：括号或方括号:: 证（3）二、向量空间的单位正交基1．正交向量组定义2．定理1 正交向量组线性无关P113解设a3= (x1, x

其中k1 , k2是任意常数.定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同. 证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP BB E P1AP

(1)n1(a11 a22 ann )a11 a12a1n又 E - A a21 a22an1 an2a2nann取主对 角线的 n-1个元展开式中 的n及n-1次只能在主对角线上

目录/Contents第4章 相似矩阵及二次型 904.5 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的定义 二、用正交变换化二次型为标准形 三、用配方法化二次型为标准形一、二次型及其

的充分必要条件是与有对A 角个矩线n阵性相无似关（的即特A征能向对量角．化）推论 （ A 能对角化的充分条件）如果 n 阶方阵的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角矩阵相似．注意

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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4

第四章 相似矩阵1．试用施密特法把下列向量组正交化：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111),,(321a a a ； (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b ，[][]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=101,,1112122b b b a b

5-1向量的内积与方阵的特征值1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA为 的特征值。;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d3.设21,λλ

知 识 要 点一、内容提要1. 向量的内积 (1) 定义1 设有 n 维向量x = (x1 , x2 , · , xn)T , y = (y1 , y2 , · , yn)T, ·