最值问题(4年级培优)教师版

培优专题(四) 特殊平行四边形的最值问题

【例】如图，正方形ABCD的边长为10 cm，E是AB上一点，BE＝4 cm，P是对角线AC上一动点，求PB ＋PE的最小值.

1．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值

2．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，求这个最小值

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过点M作MD⊥AC于点D，过点M作ME⊥CB于点E，求线段DE的最小值．

4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，求四边形AEPQ的周长的最小值为．

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.

(1)求证：四边形BCED′是菱形；

(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．

第07讲-错中求解

教学目标

①学习了解加、减、乘、除式中常见错中求解问题；

①利用倒推法来解决一些较简单的问题；

③通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇

于探索的意志品质。

知识梳理

一、错中求解

在进行加、减、乘、除运算时,要认真审题,不能抄错题目,不能漏掉数字。计算时要仔细小心,不能丝毫马虎,否则就会造成错误。我们要学会怎么从错误中找出正确的答案。

二、解题策略

解答这类题,往往要采用倒推的方法,从错误的结果入手分析错误的原因,最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数,利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。

典例分析

考点一：简单的加减乘除问题

例1、小马虎在做一道加法题时,把一个加数十位的5错看成2,另一个加数个位上的4错看成1,结果计算的和为241。正确的和是多少？

【解析】把一个加数十位上的5看成2,少了3个10,这样和就减少了30；把另一个加数个位上的4看作1,少了3个1,这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33,所以正确的和是241＋33=274。

例2、小明在做一道加法时,把一个加数个位上的2看作了4,另一个加数个位上的7看作9,结果计算的和为215。正确的和为多少？

【解析】把一个加数的个位数上的2看成了4,则结果增加了2;

另一个加数个位上的7看成了9,则结果又增加了2,

所以现在结果一共增加了4.那么正确的和是215-4=211。

例3、小马虎在做一道减法时,把减数十位上的2看作了5,结果得到的差是342,正确的差是多少？

【解析】十位上的2表示2个十,十位上的5表示5个十,把十位上的2看作5,就是把20看作50,减数从20变为50,增加了30,所得的差减少了30,应在342中增加30,才是正确的差。

【培优奥数专题】五年级下册数学-最值问题（解析版）

一、知识点

1、定理一：

如果两个正整数的和一定，它们的差越小，乘积越大

特别：当两个数相等时，他们的乘积最大

口诀：“和同近积大”

举例：6＝1＋5，1×5＝5：

6＝2＋4，2×4＝8；

6＝3＋3，3×3＝9（乘积最大）

2、定理二：

两个正整数的乘积一定，它们的差越小，和也越小

特别：当两个数相等时，他们的和最小

口诀：“积同近和小”

举例：6＝1×6，1＋6＝7；

6＝2×3，2＋3＝5（和最小）

二、学习目标

1.我能够理解定理一与定理二，熟记“和同近积大”与“积同近和小”的口诀。

2.我能够运用定理一与定理二解决简单的实际问题。

三、课前练习

1.分别将8、10、15拆分成两个正整数的和，并求出每种拆分方法的乘积。

【解答】详解略，强调：

8＝4＋4，4×4＝16最大；

10＝5＋5，5×5＝25最大；

15＝7＋8，7×8＝56最大。

总结规律：如果两个正整数的和一定，那么这两个数的差越，乘积越。

【解答】小，大或大，小

2.分别将18、30、105拆分成两个正整数的乘积，并求出每种拆分方法的和。

【解答】

详解略，强调：

18＝3×6，3＋6＝9最小；

30＝5×6，5＋6＝11最小；

105＝7×15，7＋15＝22最小；

总结规律：如果两个正整数的乘积一定，那么这两个数的差越，和越。

【解答】小，小或大，大

四、典型例题

思路点拨

从小热身里面我们可以发现两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两个数乘积越大，简单记成“和同近积大”。

（1）如果两个正整数的和是17，那么这两个正整数的乘积的最大值是。

第十九讲最值问题初步

极端分析法, 赋值法又称特殊值法，给代数或者方程式的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到解题目的

最值原理 ,根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。

拆数问题把数字变换分解的方法叫做拆数问题

1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?

【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．

则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．

这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．

方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，

有

61

61

61

61

a b c

a b d

a c d

b c d

++≥

⎧

⎪++≥

⎪

⎨

++≥

⎪

⎪++≥

⎩

①

②

③

④

，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81

1

3

,因为

a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．

评注：不能把不等式列为

a b c60

a+b+d60

a+c+d60

b+c+d60

++〉

⎧

⎪〉

⎪

⎨

〉

⎪

⎪〉

⎩

①

②

③

④

，如果这样将①+②+③+④得到

3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.

2．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．

单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。有n个队参加的单循环赛中，每个队要参加的比赛场数为（n－1）场。

比赛的总场次为n×（n－1）÷2场。

双循环赛：每两个队之间都要比赛两场，有主客场之分。有n个队参加的双循环赛中，每个队要参加的比赛场数为2（n－1）场。

比赛的总场次为n×（n－1）场。

循环赛：胜的场次等于负的场次；平局的总场次为偶数。

对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。

模板一：体育比赛中的数学之计算场次

四年级六个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？一共要进行多少场比赛？（如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛）

解析：每两个班赛一场，每个班要和其他5个班级各赛一场，所以每个班要赛5场。共进行6×5÷2=15（场）

答案：赛5场，共赛6×5÷2=15（场）

难度系数：A 出处：网络修改

20名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单循环赛，那么一共要比赛多少场？

答案：20×19÷2=190（场）

难度系数：A 出处：网络

A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，A 已经赛4盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛1盘．问：此时E同学赛了几盘？

解析：利用点线图

所以E 赛2盘

难度系数：B 出处：网络

八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了4场，北京队赛了3场，江苏队赛了2场，山东队赛了1场．那么广东队赛了几场？

教学过程

一、课堂导入

在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），

问题：这是在平面直角坐标系那章我们经常遇到的求四边形面积的题目，这类问题相信大家都有不同的解题方法，在二次函数这一章，我们依然要研究四边形的面积，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物

线(直线、坐标轴等)上求作一点，使得四边形面积最大并求出该点坐标时,又该如何解答呢？

二、复习预习

（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：

（二）相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（三）相似三角形模型探究与解题技巧：

1、课堂导入题解

如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．

解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，

①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；

②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．

故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．

小学四年级数学培优 Part 1“数与运算”之整数计算综合

熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算等方法处理各种数列的计算问题；学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数.

1、计算：

(1)72×27×88÷(9×11×12) (2)31×121-88×125÷(1000÷121)

(3)37×47+36×53 (4)123×76-124×75 (5)1+2-3+4+5-6+7+8-9+...+97+98-99

2、已知平方差公式：a 2-b 2=(a +b )×(a -b ).

计算(1)202-192+182-172+162-152+...+22-12 (2)951×949-52×48

3、规定运算“★”为：a ★b =a ×b -(a +b ).请计算：

(1)5★8； (2)8★5； (3)(6★5)★4； (4)6★(5★4).

Part 1“数与运算”之数列与数表

通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题.注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.

1、一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍.请问：(1)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？

2、如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来. 请问：(1)99在第几行起第几个数？ (2)第10行左起第3个数是多少？ Part 1“数与运算”之多位数与小数

专题18 函数的单调性、奇偶性、最值问题

1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）

A.f（－5）>f（3）

B.f（－5）<f（3）

C.f（－3）>f（－5）

D.f（－3）<f（－5）

【答案】C

【解析】设0<x1<x2，则x1－x2<0，

由>0，得f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）<f（x2），

∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数，

∴由－3>－5，可得f（－3）>f（－5）.

2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）

A.f（－x1）>f（－x2）

B.f（－x1）＝f（－x2）

C.f（－x1）<f（－x2）

D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定

【答案】A

【解析】∵x1<0，x1＋x2>0，

∴x2>－x1>0，

又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

∴f（x2）<f（－x1），

∵f（x）是偶函数，

∴f（－x2）＝f（x2）<f（－x1）.

3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）

7 / 7

数学培优微专题《解三角形中的最值问题》

1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(c+a，b)，n=(c-a，b +c)，且a=3，m⊥n.

(1)求△ABC面积的最大值；

(2)求b+c的取值范围．

答案：(1)33

4；(2)(3，23]．

解析：(1)因为m⊥n，所以(c+a)(c-a)+b(b+c)=0，即c2-a2+b2+bc=0，所以

cos A=b2+c2-a2

2bc=-1

2，又A是三角形的内角，所以A=120°，由c2-a2+b2+bc=0，

且a=3，所以b2+c2=9-bc≥2bc，解得bc≤3.所以S△ABC=1

2bc sin A≤

1

2×3·sin120°

=334.

(2)由(1)可知c2+b2+bc=9，(b+c)2-bc=9，即(b+c)2-9=bc≤b+c

2

2，解得b+ c≤23，又b+c>a=3，所以b+c的取值范围是(3，23]．

2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsinBsinA－3a＝0.

(1)求角B的大小；

(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．

解(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝3sin A，

故sin B＝

3

2，由题意得B＝

π

3.

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3-A.

由△ABC是锐角三角形，得A∈(π

6,

π

2).

由cos C＝cos(2π

3-A)＝-

1

2cos A＋

3

2sin A，得

cos A＋cos B＋cos C＝32sin A＋12cos A＋12

＝sin(A＋π

6)+

1. 掌握最值中的数字谜的技巧

2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题

数字谜中的最值问题常用分析方法

1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以

转化为竖式数字谜；

2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．

3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、

分解质因数法、奇偶分析法等．

4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的

最值的可能值，再验证能否取到这个最值．

5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、

方程、估算、找规律等题型。

【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么

其中最小的四位数是多少？

【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是

11469a b c d

d c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10，与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0

011469

a b c c b a +

，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049．

培优专题(四) 特殊平行四边

形的最值问题

欧阳学文

【例】如图，正方形ABCD的边长为10 cm，E是AB上一点，BE＝4 cm，P是对角线AC上一动点，求PB＋PE的最小值.

1．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值

2．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，求这个最小值

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M 为斜边AB上一动点，过点M作MD⊥AC于点D，过点M 作ME⊥CB于点E，求线段DE的最小值．

4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，求四边形AEPQ的周长的最小值为．

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.

(1)求证：四边形BCED′是菱形；

(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．

培优专题01 二次函数含参数最值问题

【题型目录】

题型一：定轴动区间问题

题型二：定区间动轴问题

题型三：含绝对值二次函数问题

题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题

题型五：二次函数值域包含性问题

【典型例题】

题型一：定轴动区间问题

【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．

(1)求()f x 的解析式；

(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)()22f x x x =-

(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩

【分析】（1）由题意可得0c ，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.

（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.

【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c ，

()()22

1121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩ ，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以()22f x x x =-.

培优专题01二次函数含参数最值问题

【题型目录】

题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题

题型三：含绝对值二次函数问题

题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】

题型一：定轴动区间问题

【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；

(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()2

2f x x x =-(2)()222,1

1,11

2,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩

【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，

()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221

a a

b =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()2

2f x x x =-.

（2）()2

2f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.

当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2

min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()2

A D

E

B C

练习 1

在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字(例如：可以在2的前面插入2得到

1229854)，那么能得到的最小七位数是多少？

两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？

请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入算式□□□×□□□的方格中，使这个乘法算

式的结果最大.

用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，那么这个长方形的面积最大是多少平方厘米？如果是22根呢？各位数字互不相同的多位数中.请问：

1、数字之和为32的最小数是多少？

2、数字之和为32的最大数是多少？练习 5

练习 3练习 4

练习 2

练习 6

请将6-9这4个数分别填入算式“□×□+□□”的□中，要使得算式结果最大应该怎么填？

自我

挑战

3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？

把1-6这6个数分别填入算式“□□□-□□□”的□中，要求前一个三位数比一个三位数大.

（1）这个减法算式的结果最大可能是多少？

（2）最小可能是多少？如果7个互不相同的自然数之和为100，那么：（1）其中最小的数最大可能是多少？

（2）最大的数最小可能是多少？

挑战 1

挑战 2

练习 7

挑战 3

用1，2，3，4，5，7，8，9这8个数字分别组成2个四位数，使这2个数的差最小大减小），这个差最小是多少？

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A

B ，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：