数列性质结论(通项求和方法)

考点1 等差数列（判定、性质、通项及求和）1.（15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）已知{}n a 是等差数列，若7523a a -=，则9a 的值是________.【考点】等差数列的性质. 【答案】3【分析】在等差数列{}n a 中，5972a a a +=，7523a a -= ∴7523a a =+ 5953a a a +=+，得93a =.2. （15泰州一模）数列{n a }，{n b }，{n c }满足：12n n n b a a +=﹣，122n n n c a a ++=+﹣2，n ∈N *． （1）若数列{n a }是等差数列，求证：数列{n b }是等差数列；（2）若数列{n b }，{n c }都是等差数列，求证：数列{n a }从第二项起为等差数列；（3）若数列{n b }是等差数列，试判断当1b +3a =0时，数列{n a }是否成等差数列？证明你的结论．【考点】数列递推式；等差关系的确定． 【解】（1）证明：设数列{n a }的公差为d ， ∵12nn n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n nn n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-，∴数列{n b }是公差为﹣d 的等差数列． （2）当n ≥2时，1122n n n c a a +=+﹣﹣，∵12nn n b a a +=-，∴122n n n b c a -++=，∴1112n nn b c a +++=+， ∴11111=2222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-+ ∵数列{n b }，{n c }都是等差数列， ∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列{n b }从第二项起为等差数列．（3）数列{n a }成等差数列． 解法1：设数列{n b }的公差为d'， ∵12n n n b a a +=﹣，∴11222nn n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-，∴11111122...222nn n n n n b b b a a -+-++++=-，设2112122...22n n n nn T b b b b --=++++， ∴211122...22n n n nn T b b b +-=+++，两式相减得：()211122...222n n n n n T b d b -+'-=++++-，即()11124212n n n n T b d b -+'=---+，∴()1111112421'222n n n n n b d b a a -+++---+=-，∴()()111111111222421'22242n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++''=++--=+---，∴()11+11224=2n n n a b d a b d +'+-'--，令n =2，得()111132133224224=22a b d a b d a b d b ''+-+-'--=- ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=， ∴11224'0a b d +=﹣， ∴1(')n n a b d +=--，∴211(')(')'n n n n a a b d b d d +++-=--+-=-，∴数列{n a }（n ≥2）是公差为-'d 的等差数列， ∵12nn n b a a +=-，令n =1，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列{n a }是公差为﹣d'的等差数列．解法2：∵1132,0n n n b a a b a +=-+=，令n =1，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴1122232,2n n n n n n b a a b a a ++++++=-=-，∴12122132(2)2(2)n nn n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列{n b }是等差数列， ∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，∵12320a a a -+=， ∴1220n nn a a a ++--=，∴数列{n a }是等差数列．3．(江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷) 已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________. 【考点】等差数列的性质. 【答案】4-【分析】等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， ∴1617123,50,60a a a d a a d ==+=+<≥ ， ∴23+5d ≥0，且23+6d ＜0， 解得：232356d -<-≤，又d 为整数，∴d =4-.4．(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a ++≤≤，则155a a +的最大值为________. 【考点】等差数列的性质.【答案】200【分析】∵在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >， 又122360,100a a a a ++≤≤，∴11260,23100a d a d ++≤≤，∴151111564(2)(23)(22)(3)a a a d x a d y a d x y a x y d +=+=+++=+++，∴226,34x y x y +=+=，解得51,22x y ==， ∴151151515(2)(23)601002002222a a a d a d +=+++⨯+⨯=≤.5．（江苏2015高考冲刺压轴卷）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对n ∀∈N ﹡有2nS ＝2n n a a +．令111n nn n nb a a a a ++=+，设{}n b 的前n 项和为n T ，则在123100,,T T T T …中有理数的个数为_____________．【考点】本题考查数列求通项公式及其等差数列的通项公式、裂项求和方法． 【答案】9【分析】由2n S =2n n a a +可得12n S -=211n n a a --+ ，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+- 化简得2211n n n n a a a a --+=-，即11n n a a --=，正项数列{}n a 是等差数列，当1n = 时，12a =211a a +解得11a = ，故n a n =；()111n b n n n n=+++1111n n n n =⋅+⋅++11111n n n n n n +-==-+⋅+， 111111111 (1223111)n T n n n n n =-+-++-+-=--++，故当3,8,15,24,35,48,63,80,99n =时前n 项和为n T 为有理数，故在123100,,T T T T …中有理数的个数为9个．6．（徐州市2014届高考信息卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S n +都是公差为(0)d d ≠的等差数列，则1a = ．【考点】等差数列的通项公式，不等式恒成立问题. 【答案】34-【分析】因为{}n S n + 是公差为(0)d d ≠的等差数列，所以11n n S n S n d +++=++对于n ∈*N 始终成立，平方整理得()()()222211112222110d d n d a a d d n a d -+--++-+=对于n ∈*N 始终成立，即1121120221010d a a d d a d -=⎧⎪--+=⎨⎪-+=⎩解得13412a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为134a =- 7．（南通市2015届高三第三次调研）在等差数列{}n a 中，若*246()n n a a n n ++=+∈N ，则该数列的通项公式n a = ． 【考点】考查等差数列，数列的通项公式，考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力.【答案】21n +【分析】设通项公式为1(1)n a a n d =+-，由211(1)(1)46n n a a a n d a n d n ++=+-+++=+，再通过比较系数得出13,2a d ==，则n a 通项公式为n a =21n +.8．（15江苏模拟（三））已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ．【答案】10.2【分析】由条件得953a =，故1791710.2S a ==.9．（15江苏模拟（三））已知数列{n a }、{n b }满足：1121141nn n n nb a a b b a +=+==-，，. （1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立． 【解】（1）11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋ ∵1113,44a b == ∴234456,,567b b b ===． （2）∵11112n nb b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列． ∴14(1)31n n n b =---=---∴12133n n b n n +=-=++．（3）113n n a b n =-=+． ∴12231111114556(3)(4)444(4)n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++， ∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++． 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+--，a ＝1时，()380f n n =--<恒成立, a >1时，由二次函数的性质知不可能成立．a <l 时，对称轴3231(1)02121a a a --⋅=--<--，f (n )在[)1,+∞为单调递减函数． (1)(1)(36)84150f a a a =-+--=-<， ∴a <1时4n aS b <恒成立．综上知：a ≤1时，4n aS b <恒成立．10．（15江苏高考压轴）已知数列{}n a 中，2a =a (a 为非零常数)，其前n 项和n S 满足1()2n n n a a S -=(n ∈*N )． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若a =2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值； （3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由已知，得1a =1S =111()2a a ⋅-=0，∴2n n na S =， 则有11(1)=2n n n a S +++，∴112()(1)n n n n S S n a na ++-=+-， 即1(1)n n n a na +=－，∴21(1)n n na n a ++=+， 两式相加，得122n n n a a a n *++=+∈N ，， 即211n n n n a a a a n *+++=∈N －－，， 故数列{}n a 是等差数列．又1a =0，2a =a ，∴(1)n a n a =－．（2）若a =2，则2(1)n a n =－，(1)n S n n ∴=-．由21114m n a S -=，得2211(1)n n m -+=-，即224(1)(21)43m n --=－， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43．∵43是质数，2m +2n -3>2m -2n -1，2m +2n -3>0，∴221122343m n m n --=⎧⎨+-=⎩解得m =12，n =11．（3）由n a b p +≤，得(1)a n b p +－≤．若a <0，则+1p bn a -≥，不合题意，舍去； 若a >0，则+1p bn a-≤． ∵不等式n a b p +≤成立的最大正整数解为3p －2， ∴32+131p bp p a---≤＜， 即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b 对任意正整数p 都成立． ∴3a －1=0，解得a =13， 此时，23－b ＜0≤1－b ，解得23＜b ≤1． 故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是a =13，23＜b ≤1． 11．（15南通市直调考）已知无穷数列{}n a 满足：1a =1，22a =1a +3a ，且对于任意n ∈*N ，都有na ＞0，21n a + =2n n a a + +4．（1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 考点： 数列递推式．【解】（1）由条件，∀n ∈*N ，21n a + =2n n a a + +4， 令n =1，得22a =13a a +4．…（2分）又∵22a =1a +3a ，且1a =1，解得2a =3，3a =5．…（4分）再令n =2，得23a =24a a +4，解得4a =7． …（6分） （2）∵21n a + =2n n a a + +4，①∴22n a + =13n n a a ++ +4，②由①－②得，2212n n a a ++- =（2n n a a ++4）－（13n n a a +++4）=2n n a a +－13n n a a ++ …（8分）∴2211322n n n n n n a a a a a a ++++++=+，∴1n a +（1n a ++3n a +）=2n a +（n a +2n a +）， ∴21312n n n n n n a a a a a a +++++++=，∴数列{21n n n a a a +++}为常数数列．…（12分） ∴21n n n a a a +++=132a a a +=2，∴n a +2n a +=21n a +，∴数列{n a }为等差数列． …（14分） 又公差d =2a －1a =2，∴n a =2n －1．…（16分）12. (15江阴市高三上学期月考数学试卷）已知数列{n a }满足122n n n a a a ++=+（n ∈N *），它的前n 项和为n S ，且361072a S ==，．若1302n n b a =-，求数列{n b }的前n 项和的最小值为 ．【考点】数列递推式；数列的求和． 【答案】－225【分析】由题知数列n a 为等差数列，在等差数列{n a }中，由361072a S ==，， 得1121061572a d a d +=+=，， 解得1a =2，d =4， ∴42n a n =-． ∴1302312n n b a n ==--， ∵由n b =2n －31≥0，得n ≥312， ∴{n b }前15项为负值，∴数列{b n }的前n 项和n T 的最小值=15T =－225．13. （15无锡市高三上学期期中试卷）若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为_______． 【考点】等差数列的性质．【答案】24【分析】由题意设一直角三角形的三边长分别为：a 、a +2、a +4，所以222(4)(2)a a a +=++，即24120a a --=，解得，a =6或a =-2（舍去），所以直角三角形的三边长分别为：6、8、10， 所以该直角三角形的周长为24， 故答案为：24．14. （15南京一中等五校联考）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有______项． 【考点】等差数列的通项公式． 【答案】7【分析】222123111...(1)n a a a a a n n a a ++++=++-- =211(1)()a n a n +-+ =211(1)(1)a n a n n +-+-=2211(1)()(1)24n n a n n --++-- =211(1)(31)()3324n n n a --+++≤， 为了使得n 尽量大，故211()02n a -+=， ∴(1)(31)334n n -+≤， ∴（n -1）（3n +1）≤132，当n =6时，5×19＜132， 当n =7时，6×22=132， ∴max 7n =，故答案为7．15. (2015·北京海淀区一模)在等差数列{}n a 中，11a ＝，35a ＝－，则1234a a a a －－－＝________. 【答案】16【分析】在等差数列中，312a a d ＝＋，即512d -＝＋，故3d -＝，则22a -＝，48a -＝，所以1234=16.a a a a ---16. (2015·合肥一模)以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，若2756a a a ＋－＝，则7S ＝________. 【答案】42 【分析】依题意得2755454=()==6a a a a a a a +--＋，17747)7422a a S a +===（.17. (2015·合肥质量检测)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：212n n n a a a ＋＋＝－，534a a ＝－，则7S ＝________.【答案】14【分析】 依题意，数列{}n a 是等差数列，且354a a ＋＝，173577)7()1422a a a a S ++==（＝.18. (2014·海口调研)已知等差数列{}n a ，前n 项和用n S 表示，若579232a a a ＋＋＝14，则13S ＝________. 【答案】26【分析】依题意得7714a ＝，72a ＝，()1131371313262a a S a +=＝＝.19. (2015·银川质量检测)已知数列{}n a 为等差数列，若3170a a ＋＞，且10110a a ＋＜，则使{}n a 的前n 项和n S 有最大值的n 为________．【答案】10【分析】 依题意得1020a ＞，即100a ＞，11100a a -＜＜，因此在等差数列{}n a 中，前10项均为正，从第11 项起以后各项均为负，使数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值的n 为10.20. (2014·荆州质检)公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，且1060S ＝，则20S ＝________. 【答案】320【分析】 由题意可知，2437a a a =，由于{}n a 是等差数列，所以2111(3)(2)(6)a d a d a d ＋＝＋＋，解得132a d -＝ (d ＝0舍去)，又10191010602S a d ⨯+=＝，所以1962a d =＋，从而d ＝2，13a -＝. 所以2012019206020193202S a d ⨯=-+⨯=＝＋.21. (2015·南通模拟)在数列{}n a 中，若221n n a a +-＝p (n ≥1，*n ∈N ，p 为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{(1)n-}是等方差数列； ③若{}n a 是等方差数列，则{kn a }(*k ∈N ，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________． 【答案】①②③【分析】①正确，因为221n n a a p +-=，所以221n n a a p +-=-，于是数列{}2n a 为等差数列．②正确，因为22(1)(1)(1)0nn ---＋＝为常数，于是数列{(1)}n -为等方差数列．③正确，因为()()221k na a+-=+()22()kn kn kn k kn k aa a a +++-+-++-kp =，则{}kn a (*k ∈N ，k 为常数)也是等方差数列．22. (2014·南京、盐城模拟)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)若1a ＝1，且对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有2n k n k n S S S +-+=成立，求数列{}n a 的通项公式．【解】(1)证明:设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -＝＋，从而112n S n a d n -=+， 所以当2n ≥时，11112()()1222n n S S n n da d a d n n ----=+-+=-， 即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．(2)因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有2n k n k n S S S +-+=成立，所以112n n n S S S +-+=，即数列{n S }是等差数列． 设数列{n S }的公差为1d ，则n S ＝1S ＋(n －1)1d ＝1＋(n －1)1d ，所以21[1(1)]n S n d -＝＋，所以当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝222211111[1(1)][1(2)]232n d n d d n d d ---=-+＋＋，因为{}n a 是等差数列，所以2132a a a a --＝，即222222111111111(432)1(632)(432)d d d d d d d d d -+-=-+--+，所以11d ＝，即21n a n -＝. 又当21n a n -＝时，2n S n ＝，此时2n k n k n S S S +-+=对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立，因此21n a n -＝.。

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。

例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。

数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。

数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。

以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。

等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。

其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。

求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。

等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。

其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。

求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。

斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。

其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。

求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。

这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。

在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。

数列知识点：等差数列的通项求和公式高中数列知识点：等差数列的通项求和公式学好数学的关键是公式的掌握，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等，为了学好数学，下面是小编为大家整理的数列知识点：等差数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。

首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。

一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。

数列的性质及求和公式数列是数学中的一种重要概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。

在数列中，每一个数叫做项，而数列中的规律则被称为数列的性质。

数列的性质能够帮助我们了解数列的规律以及推导出一些重要的公式，其中求和公式是数列中的常见问题之一。

本文将首先介绍数列的性质，然后探讨如何求解数列的求和公式。

一、数列的性质数列的性质主要包括首项、公差和通项公式三个方面。

首项是指数列中的第一个数，通常用字母$a_1$表示。

公差是指数列中相邻两项之间的差值，通常用字母$d$表示。

通项公式则是表达数列中任意一项与项号之间的关系式，通常用字母$a_n$表示。

具体而言，数列的通项公式可以使用递推公式或者解析公式来表示。

递推公式是通过前一项与公差的关系来确定后一项的值，通常形如$a_{n+1}=a_n+d$。

例如，等差数列的递推公式为$a_{n+1}=a_n+d$，其中$a_n$表示第$n$项，$d$表示公差。

类似地，等比数列的递推公式为$a_{n+1}=a_n \cdot q$，其中$q$表示公比。

解析公式则是通过项号$n$与首项、公差的关系来直接计算数列的任意一项，通常形如$a_n=a_1+(n-1)d$。

例如，等差数列的解析公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。

类似地，等比数列的解析公式为$a_n=a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$q$表示公比。

二、数列的求和公式数列的求和公式是指计算数列前$n$项和的公式。

对于等差数列与等比数列来说，我们可以推导出相应的求和公式。

下面以等差数列和等比数列为例进行说明。

1. 等差数列的求和公式设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，那么等差数列的求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。

推导过程如下：首先，我们可以利用数列的性质中的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$来确定数列的最后一项$a_n$，将其代入数列的求和公式中。

等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。

求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。

例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。

例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。

例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。

通项公式及其求和方法归纳通项公式求法总结1、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。

例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.类似题型练习：已知}{n a 满足11=a ，)1(11+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

2、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n na f n a +=，从而就有32121(1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===-将上述1n -个式子累乘，变成1(1)(2)(1)n a f f f n a =⋅⋅⋅- ，进而求解。

例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321n n n a a a n n --==⋅≥+，求数列{}n a 的通项公式。

注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.类似题型练习：在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .提示：依题意分解因式可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=，而n a >0,所以1(1)0n n n a na ++-=，即11n na n a n +=+。

3、1n n a pa q +=+型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设1()n n a m p a m ++=+，展开整理1n n a pa pm m+=+-，比较系数有pm m b -=，所以1b m p =-，所以1n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11b a p +-。

数列结论篇一.等差数列1.常用结论(1)通项公式的推广:a n =a m +n -m d n ,m ∈N * .(2)在等差数列a n 中,当m +n =p +q 时,a m +a n =a p +a q m ,n ,p ,q ∈N * .特别地,若m +n =2t ,则a m +a n =2a t m ,n ,t ∈N * .(3)a k ,a k +m ,a k +2m ,⋯仍是等差数列,公差为md k ,m ∈N * .(4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,⋯也成等差数列,公差为n 2d .(5)若a n ,b n 是等差数列,则pa n +qb n 也是等差数列.(6)若a n 是等差数列,则S n n也成等差数列,其首项与a n 首项相同,公差是a n 公差的12.(7)若项数为偶数2n ,则S 2n =n a 1+a 2n =n a n +a n +1 ,S 例-S 分=nd ;S 奇S 明=an a n +1.(8)若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=2n -1 a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=n n -1.(9)在等差数列a n 中,若a 1>0,d <0,则满足a m ≥0a m +1≤0 的项数m 使得S n 取得最大值S m ;若a 1<0,d >0,则满足a m ≤0a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .10 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+a 1-d2n .数列a n 是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).11 等差数列的前n 项和的最值在等差数列a n 中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.2.a n 与S n 之间一步转换a m 1+a m 2+a m 3+⋯⋯+a m n=na m 1+m 2+m 3+⋯⋯+mnn例:a 2+a 6+a 7=3a 5;3a 8-a 12=2a 6.公式一:S n =a 1+a 2+a 3+⋯⋯+a n ⇒S n =n ⋅a n +12(其中n 为奇数)例:S 5=5a 3.公式二:a n =S 2n -12n -1 例:a 5=S99;a 8=S 1515.当m 1、m 2、m 3、⋯、m n 也成等差数列时,均有a m 1+a m 2+a m 3+⋯⋯+a m n=na m 1+m n2.3.只有S 的模型与最值问题性质1.等差数列中:S m +n m +n =S m -S nm -n ,则有S 2m +m 2m +m =S 2m -S m 2m -m可以求出S 3m ,甚至S 4m .注意:(1)若S m =S n ,则一定有:S m +n =0;a m +n +12=0.(2)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,公差为n 2d 性质2等差数列a n 中:S n n为首项是a 1,公差是d 2的等差数列,若m +n =p +q ,则S m m +S n n =S p p+S qq;特别的,若m +n =2p ,则有S m m +Sn n =2S p p.性质3.S n 有最大值⇔a n >0a n +1<0 ;S n 有最小值⇔a n <0a n +1>0 ,若a n =0,则有S n =S n -1同时取得最值S n >0,n 的最大值⇔S n >0S n +1<0;S n <0,n的最大值⇔S n <0S n +1>0.二.等比数列1.常用等比数列结论1.若m +n =p +q =2k m ,n ,p ,p ,q ,k ∈N ,则a m ⋅a n =a p ⋅a q =a 2k .2.若a n ,b n (项数相同)是等比数列,则λa n λ≠0 ,1a n,a n 2,a n ⋅b n ,a n b n 仍是等比数列.3.在等比数列a n 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ⋯为等比数列,公比为q k .4.公比不为-1的等比数列a n 的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n .5.a n 为等比数列,若a 1⋅a 2⋯a n =T n ,则T n ,T 2n T n ,T 3nT 2n,⋯成等比数列.6.当q ≠0,q ≠1时,S n =k -kq n k ≠0 是a n 成等比数列的充要条件,此时k =a 11-q.7.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.2.等比积秒杀公式:a m 1⋅a m 2⋅a m 3⋅⋯⋅a m n=a m 1+m 2+m 3+⋯⋯+mnnn注:角标为分数时,小题依然适用.例:a 2⋅a 6⋅a 7=a 5 3; a 1⋅a 2⋅a 3⋯⋅a n =a 1+n 2n; a 1⋅a 2⋅a 3⋯⋅a 9=a 5 9拓展:若m 1、m 2、m 3⋯m n 成等差数列时,有a m 1⋅a m 2⋅a m 3⋅⋯⋅a m n=a m 1+mn2n3.等间隔的等比数列比值公式1:a m 1+k +a m 2+k +⋯a m n+ka m 1+a m 2+⋯a mn=q k .例如:(1)a 3+a 6+⋯a 99a 2+a 5+⋯a 98=q (2)a 3+a 6+⋯a 99a 1+a 4+⋯a 97=q 2(3)a 7+a 8+a 9a 4+a 5+a 6=q 3(4)a 7+a 8+a 9a 1+a 2+a 3=q 6强调:一定要项数相等,才能用此定理。

等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。

找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。

在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。

1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。

例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。

2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。

等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。

4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。

幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。

5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。

组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。

6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。

可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。

7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。

8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。

9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。

以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。

数列的性质及求和公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的集合。

在数学中，研究数列的性质可以帮助我们更好地理解数字之间的关系，并且能够找出数列的求和公式，从而解决实际问题。

一. 数列的性质数列的性质包括：公差、通项公式、递推公式和首项等。

1. 公差：公差是指数列中相邻两项之间的差值。

数列中的每一项都是前一项加上公差得到的。

如果数列的公差恒定，我们称这个数列为等差数列。

2. 通项公式：通项公式描述了数列中第 n 项与 n 的关系。

通项公式的形式可以是一个直接给出的数学表达式，也可以是一个递推公式。

3. 递推公式：递推公式描述了数列中第 n 项与前一项的关系。

通过递推公式，我们可以根据已知项来计算数列的其他项。

4. 首项：数列中第一项称为首项。

二. 求和公式求和公式是计算数列前 n 项和的公式。

通过求和公式，我们可以快速计算数列的和，而不需要逐个相加。

1. 等差数列的求和公式：对于等差数列，我们可以用下列公式求得前 n 项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，an 表示第 n 项，n 表示项数。

2. 等比数列的求和公式：对于等比数列，我们可以用下列公式求得前 n 项的和：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。

三. 应用举例数列的性质和求和公式可以应用于很多实际问题的解决。

1. 金融投资：假设某人每年向银行定期存款一笔钱，而银行给出的利率是固定的。

我们可以用数列的求和公式来计算多年后的总金额。

2. 数学模型：在一些物理或经济学模型中，数列的性质往往用来描述连续变化的某一变量，如时间、距离或价格等。

3. 序列问题：有时候我们需要找出数列中的某一规律。

通过观察数列的性质，我们可以预测数列的未知项。

4. 概率统计：在一些概率统计问题中，我们需要计算多个事件发生的总次数。

等差数列通项求和及其性质1. 等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

2) 等差数列的判定方法：(1)定义法：对于数列a n，若a n1 a n d (常数)，则数列a n是等差数列。

(2)等差中项：对于数列a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列a n是等差数列。

3) 等差数列的通项公式：如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为a n a1 (n 1)d。

说明：该公式整理后是关于n的一次函数。

通项公式的变形：a n = a m+ (n- d, m n€ N.2. 等差数列性质a + b2.1等差中项：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=-^厂.2.2已知｛a n｝为等差数列，d为公差，S为该数列的前n项和.(1) 有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1+ a n= a2 + a n-1 = a3+ a n-2=・・・=a k + a n-k+1(2) 等差数列｛a n｝中，当m+ n= p+ q 时，a m+ a n= a p+ a q( m n, p, q€ N*).特别地，若m+ n=2p,贝U 2a p= a m+ a n(m n, p€ N*).(3) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k, a k+m, a k+ 2m,…仍是等差数列，公差为mc(k, m€ N*).(4) 若数列｛a n｝, ｛b n｝是公差分别为d1, d2的等差数列，则数列｛pa n｝, ｛a n+ p｝, ｛pa n + qb n｝都是等差数列(p, q都是常数)，且公差分别为pd1, d1, pd1+ qd2.2.3等差数列的单调性当d>0时，数列｛a n｝为递增数列；当d<0时，数列｛a n｝为递减数列；当d = 0时，数列｛a n｝为常数列.3. 等差数列求和(倒序相加法)等差数列的前n项和：① S n n(a1 an)②S n na1 垃9d2 2说明：对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

数列与数列求和通项与求和公式的推导方法数列与数列求和：通项与求和公式的推导方法数列是数学中一个非常重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在数学中，我们常常需要研究数列的性质和求和问题。

本文将介绍数列通项和求和公式的推导方法，帮助读者更好地理解数列的运算规律。

一、数列的概念与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

一般用字母表示数列的一般项，例如$a_1,a_2,a_3,...,a_n$。

在数列中，第一个数$a_1$称为首项，而第n个数$a_n$称为第n项。

数列有很多个性质，其中最重要的是数列的通项公式和求和公式。

通项公式可以方便地计算数列中任意项的值，而求和公式则可以快速计算数列的和。

二、等差数列的通项和求和公式的推导方法等差数列是一种常见的数列，它的每个数都与前一个数的差相等。

设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式可以表示为：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$其中$a_n$表示第n个数，例如$a_1,a_2,a_3,...,a_n$。

接下来，我们来推导等差数列的求和公式。

设等差数列的前n项和为$S_n$，则有以下三种方法可以推导求和公式。

1. 直接相加法首先，我们可以将前n项相加求和。

则有：$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$$将通项公式代入上式，可以得到：$$S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_{(n-1)/2+1} +a_{(n+1)/2})$$由等差数列的性质可知，每对括号中的两个数的和都等于首项和最后一项的和，即$(a_1 + a_n)$。

因此，上式可以简化为：$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$2. 数列倒转法其次，我们可以将数列倒过来后与原数列相加。

设原等差数列的前n项和为$S_n$，倒数列的前n项和为$T_n$，则有：$$T_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + ... + a_1$$将通项公式代入上式，可以得到：$$T_n = (a_n + a_1) + (a_{n-1} + a_2) + ... + (a_{(n+1)/2} + a_{(n-1)/2+1})$$同样地，由等差数列的性质可知，每对括号中的两个数的和都等于首项和最后一项的和，即$(a_n + a_1)$。

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消n a。

n，}的1a1－*)，型如1()n na a f n--=,1()nnaf na-=)n，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n=的情21()(1)(2)a f n f n f a ⋅⋅=⋅-⋅⋅(2)f ⋅⋅，检验“累加法”（“累乘法”（2）已知数列n 满足12n n n ++，且31，求n a .【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11n +n a b =}n即为(四).倒数法1nn nka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)【方法】两边取倒数，得111n n p ca k a k+=⋅+,转化为待定系数法求解【例5】. 已知数列{}n a 的首项为135a =，1n a +且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为 ( )A ．31B ．120C ．130D ．185 练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n项和S n＝32164，则项数n等于()A．13 B．10 C．9 D．62.设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，)在练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.。

要求解数列的通项公式，首先需要了解数列的生成规律。

通项公式也称为递推公式或递归关系式，它描述了数列中每一项与前面一项（或多项）之间的关系。

以下介绍两种常见的求解通项公式的方法：
根据前项与后项之间的关系推导：如果可以观察到数列的前一项与后一项之间的数学关系，可以通过分析这种关系来推导出通项公式。

例如，对于等差数列，前一项与后一项之间的差值是恒定的。

假设第一项为a₁，公差为d，那么第n项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1) * d 在这个例子中，通过观察前一项与后一项之间的差值恒定，我们可以推导出等差数列的通项公式。

利用已知的数列性质或数学方法：有些数列可以通过已知的数列性质或数学方法来求解通项公式。

例如，对于几何数列，每一项与前一项的比值是恒定的。

假设第一项为a₁，公比为r，那么第n项可以表示为：aₙ = a₁ * r^(n-1) 在这个例子中，通过观察前一项与后一项之间的比值恒定，我们可以推导出几何数列的通项公式。

在实际求解中，有时可能需要根据数列的性质或使用不同的数学方法来推导通项公式。

此外，对于复杂的数列，也可能不存在简单的通项公式，而需要使用递归关系或其他方法来计算数列的项。

总之，求解数列的通项公式的关键是观察数列中项之间的关系，并根据这种关系推导出通项公式。

这需要一定的数学技巧和思维能力。