初中数学课件：图形的旋转

《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。

它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。

一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。

二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。

即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。

例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。

2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。

比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。

3. 旋转前后的图形全等。

经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。

无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。

例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。

三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。

它决定了图形旋转的位置。

不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。

2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。

明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。

3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。

旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。

四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。

例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。

2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。

初中数学人教版2011版第二十三章《旋转》第一课时图形的旋转教学设计河南省三门峡市灵宝第一初级中学魏金旦一、教学内容概述《图形的旋转》是初中数学人教版2011版第二十三章第一节。

本节课是在学生学习了平移、轴对称之后的又一种图形的全等变换，隐含着重要的变换思想，教材从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，是构建学生数学知识体系并形成数学技能的重要内容。

二、教学目标设计根据新课程标准的要求，结合教材的具体内容，我确立教学目标为：1、认识旋转这一图形变换并了解其相关概念。

2、探索并发现旋转的性质,并能利用性质证明线段相等或角相等。

3、能按要求做出简单图形旋转后的图形.4、经历从直观到抽象、从感性认识到理论认识的转变，发展直观想象能力，并体会数学美。

三、教学重难点的确定重点是旋转的有关概念及性质；难点是概念的形成过程与性质的探究过程。

四、学情分析九年级学生具有较强的观察能力和逻辑思维能力，但是探究能力、归纳概括的能力还需要强化提高，尽量创造条件和机会，让学生猜想、验证、归纳，教师补充完善学生总结情况，同时强化知识之间的联系性，注意培养学生发散思维和数学思想。

五、教法与学法根据对教材内容分析，结合九年级学生的特点我预设本节课的教法学法如下：1.情景法：创设情境激发学生的学习兴趣；2.探究法：通过观察-----猜想-----验证----概括探究旋转的性质；3.讨论法：讨论解题途径的多样性，发散学生思维；4.展示法：学生展示交流成果，培养学生严谨的逻辑推理能力和数学语言的表达能力，提高自信心；5.演示法：利用多媒体演示旋转的变化效果，用几何画板辅助验证旋转的性质。

六、教学环境及资源准备在教学过程中，为支持教师的教与学生的展示，我将几何画板、电子白板与PowerPoint相结合，增强直观性、趣味性、自主性、实效性。

七、教学过程设计（一）赏旋转问题1.把一个哭脸变成两个哭脸要经历怎样的图形变换呢？师生活动：学生独立思考得出结论是平移和轴对称。

元调复习专题5—图形的旋转，平移和轴对称★核心知识梳理1、 图形的平移（经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段_________，对应角_________，连接各组对应点的线段_________．2、轴对称图形，轴对称（1）轴对称与轴对称图形（2）轴对称的性质：连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．3、图形的旋转(1)旋转定义：(2)旋转性质：(3)中心对称定义：(4)中心对称性质：★典型例题讲解一、几何变换与角度问题例1.如图，矩形ABCD ，∠DAC=650，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F,将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C’处，求∠AFC’的度数。

练习.1.如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是 ．二、几何变换中线段计算与证明例2：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=2√3，PC=4，求△ABC 的边长练习：1.如上图 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O 为Rt △ABC 内一点，连接A0、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，（1）求∠ABC 和∠A′BC 的度数；（2）求OA+OB+OC 的值．2.如图1，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，把△ABC 绕点A 旋转到△ADE 的位置，DE 交BC 于点M ，连接AM ．（1）求证：∠AMB=∠AME ；（2）如图2，AD 交BC 于H ，在边AE 上取一点G ，使DH=EG，连接GC ，求点A 到直线CG 的距离3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= .三、几何变换与点的坐标例3.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF 绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE’，BF’ 的长；（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证AE’ ＝BF’，且AE’ ⊥BF’；（Ⅲ）若直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）练习：1.点A的坐标为（2，0），把点A绕着坐标原点旋转135º到点B，那么点B的坐标是_________ ．2.如图，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，把AOB△绕点A顺时针旋转90°后得到AO B''△，则直线A B'的解析式是．3.（2013•武汉）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．四、综合题例4. （2015•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．练习：(2015北京东城)已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；BA C （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.【典型练习基础篇】一、选择题：( ) 1．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是A ．60ºB ．90ºC ．72ºD ．120º()2．如图，△ABC 绕A 按逆时针方向旋转一定的角度后成为△AB′C′.则下列等式中：①BC=B′C′；②∠BAB′=∠CAC′；③∠ABC=∠AB′C′； ④△ABB′≌△ACC′．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个( )3．在“线段、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、圆”这几个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是 A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个( )4．在图形旋转中，下列说法错误的是A.图形上各对应点的旋转角度相同;B.对应点到旋转中心距离相等;C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到;D.旋转不改变图形的大小、形状（ ）5.在平面直角坐标系中，已知点C （0，3），D （1，7），将线段CD 绕点M （3，3）旋转180°后，得到线段AB ，则线段AB 所在直线的函数解析式是A ．y=3x+15B ．y=3x-15C ．y=15x-3D ．y=-15x+3( )6. 在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是A ．AE ∥BC ；B ．∠ADE=∠BDC ； C ．△BDE 是等边三角形；D ． △ADE 的周长是9二、填空题7．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 点逆时针旋转得到△A'CB'，若∠A'CB=160º，则此图形旋转角是 度．第7题 第8题 第9题8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A 是对应点，点B′与点B 是对应点，连接AB′，且A 、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为9．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=•8，•PC=10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，•得到△P •′AB ，•则点P •与点P •′之间的距离为_____，∠APB=_______°．10．若点(a ＋l ，3)与点(－2，b －2)关于x 轴对称，则点P(－a ，b)关于原点的对称点坐标是 ．三、解答题第1题图 第2题图第5题图 第6题图11.（1）点（1，2）绕原点O 逆时针旋转90°得到的点的坐标是 ；（2）直线y=2x 绕原点O 逆时针旋转90°得到的直线解析式是 ；（3）求直线y=2x+3绕原点O 逆时针旋转90°得到的直线解析式.12.（2015•武汉）如图，已知点A （﹣4，2），B （﹣1，﹣2），平行四边形ABCD 的对角线交于坐标原点O ．（1）请直接写出点C 、D 的坐标；（2）写出从线段AB 到线段CD 的变换过程；（3）直接写出平行四边形ABCD 的面积．13.如图，正方形ABCD 和平行四边形CPEF ，点P 在射线AB 上，点E 在边AD 上，作FG ⊥AD 于G 。

初中数学旋转的六大模型初中数学中，旋转是一个重要的几何变换方法。

通过旋转，可以将一个图形围绕某个点或轴进行转动，从而得到新的图形。

旋转不仅在几何学中有广泛应用，在实际生活中也有很多旋转的例子，比如地球自转、风车转动等。

本文将介绍初中数学中常用的六大旋转模型，分别是点的旋转、线段的旋转、直线的旋转、射线的旋转、多边形的旋转和圆的旋转。

1.点的旋转：点的旋转是指将一个点围绕某个点或轴进行转动，得到新的位置。

旋转时，需要确定旋转中心和旋转角度。

旋转角度可以用角度制或弧度制表示。

当旋转角度为正时，点按逆时针方向旋转；当旋转角度为负时，点按顺时针方向旋转。

点的旋转模型可以用来解决一些几何问题，比如求解旋转后的坐标、判断点是否在某个旋转图形内等。

2.线段的旋转：线段的旋转是指将一条线段围绕某个点或轴进行转动，得到新的线段。

旋转时，需要确定旋转中心和旋转角度。

线段的旋转模型可以用来解决一些几何问题，比如求解旋转后的线段长度、判断两条线段是否相交等。

3.直线的旋转：直线的旋转是指将一条直线围绕某个点或轴进行转动，得到新的直线。

旋转时，需要确定旋转中心和旋转角度。

直线的旋转模型可以用来解决一些几何问题，比如求解旋转后的直线方程、求解旋转后的直线与其他直线的交点等。

4.射线的旋转：射线的旋转是指将一条射线围绕某个点或轴进行转动，得到新的射线。

旋转时，需要确定旋转中心和旋转角度。

射线的旋转模型可以用来解决一些几何问题，比如求解旋转后的射线方程、判断射线是否与其他几何图形相交等。

5.多边形的旋转：多边形的旋转是指将一个多边形围绕某个点或轴进行转动，得到新的多边形。

旋转时，需要确定旋转中心和旋转角度。

多边形的旋转模型可以用来解决一些几何问题，比如求解旋转后的多边形的面积、判断多边形是否相似等。

6.圆的旋转：圆的旋转是指将一个圆围绕某个点或轴进行转动，得到新的圆。

旋转时，需要确定旋转中心和旋转角度。

圆的旋转模型可以用来解决一些几何问题，比如求解旋转后的圆的面积、判断两个圆是否相交等。