(八年级数学教案)平行线等分线段定理

数学教案：平行线等分线段定理一、教学目标1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法，并能运用该定理解决实际问题；3.提高学生对平行四边形的认识和理解能力；4.加强学生的空间几何思维和推理能力。

二、教学重点1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.运用平行线等分线段定理解决实际问题。

三、教学难点1.掌握平行线等分线段定理的证明方法；2.运用平行线等分线段定理解决实际问题。

四、教学方法1.课堂讲解；2.课堂讨论；3.案例分析；4.课堂练习。

五、教学过程第一步：引入问题老师拿出一支笔和一张纸，向学生展示两个平行线段，要求学生探究两个平行线段之间的关系。

第二步：学生探究学生分组讨论，在讨论的过程中，师生共同发现两个平行线段中间的线段被平分。

第三步：提出结论学生在分组讨论的基础上，提出结论：平行线等分线段定理。

第四步：确立概念老师向学生引入平行线等分线段定理的定义，让学生理解该概念。

第五步：证明定理老师给出定理的证明，让学生观察和理解证明过程。

第六步：实例练习老师让学生在班内分为小组，通过实例练习来加深对平行线等分线段定理的理解。

第七步：课堂讨论老师和学生一起讨论实例练习的解法，帮助学生梳理思路，加深对平行线等分线段定理的理解。

六、教学评估1.学生通过实例练习的成绩；2.学生课堂讨论表现的质量；3.学生对平行线等分线段定理的掌握程度。

七、板书设计1.平行线等分线段定理；2.定义：两个平行线段间的线段被平分。

八、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并总结平行线等分线段定理的证明方法。

九、教学反思通过本节课的教学，学生们进一步了解了平行线等分线段定理，掌握了证明方法，提高了空间几何思维和推理能力，并对平行四边形有了更深的认识。

但是，课堂时间可能会不够充分，需要加强课堂安排。

一平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.如图，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，H是____的中点，F是____的中点.提示BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则A′B′＝B′C′图形语言作用证明同一直线上的线段相等2.推论1证明线段相等，求线段的长度3.推论证明线段相等，求线段的长度要点一平行线等分线段定理例1如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD 的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝()A.3B.6C.9D.4解析如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案 B要点二平行线等分线段定理的推论例2如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求证：MN＝NB.解如图所示，延长ME交BC的延长线于点P，由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN，又∵点C是BP的中点，∴点N是MB的中点.∴MN＝NB.规律方法证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.跟踪演练2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点.求证：AM＝BM.证明过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分线.∴AM＝BM.要点三平行线等分线段定理的综合应用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.求证：DE＝EF.证明(1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，(2)当l1与l2异面时，如图，在直线l2上取一点G，过点G作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R.则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在平面π1中，连接AP，BQ，CR，则由面面平行的性质可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR；同理在平面π2中，就可证明DE＝EF.综上，DE＝EF.规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.跟踪演练3如图所示，四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N.求证：∠AME＝∠CNE.证明连接BD，过F作FG∥AB，交BD于G，连接GE，GF.在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中点，∴DG＝GB，∴FG是△ABD的中位线，∴GF＝12AB，GF∥BM.同理可证：GE＝12CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠AME＝∠CNE.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.3.在几何证明中添加辅助线的方法(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.。

平行线等分线段定理数学教案
标题：平行线等分线段定理数学教案
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握平行线等分线段定理的概念和证明方法。

2. 培养学生的空间想象能力，提高他们的几何思维能力。

3. 通过实际操作，使学生能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学内容
平行线等分线段定理是平面几何中的重要定理之一，它的表述为：如果一条直线与两条平行线相交，那么被截得的两部分长度相等。

三、教学过程
1. 引入新课
教师可以通过展示一些实例或者生活中的场景来引入这个定理，激发学生的学习兴趣。

2. 教学新知
（1）定理的描述：首先，教师要清晰明了地向学生解释定理的内容。

（2）定理的证明：然后，教师需要引导学生一起进行定理的证明。

在这个过程中，教师要注重培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

3. 巩固练习
教师可以设计一些相关的习题，让学生在实践中巩固所学的知识。

四、课堂小结
教师带领学生回顾本节课的主要内容，并强调平行线等分线段定理的重要性。

五、作业布置
教师可以布置一些相关的作业，让学生在课后继续思考和练习。

六、教学反思
教师需要对本节课的教学效果进行反思，以便于改进以后的教学。

篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。

满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。

数学教案－平行线等分线段定理一、教学目标1.了解平行线等分线段定理的定义和基本思想；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.能够运用平行线等分线段定理解决实际问题。

二、教学重点1.平行线等分线段定理的定义和基本思想；2.平行线等分线段定理的证明方法。

三、教学内容1. 平行线等分线段定理的定义平行线等分线段定理是指：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线被平行线所截的两条直线段的长度相等。

2. 平行线等分线段定理的证明方法下面我们来介绍平行线等分线段定理的证明方法。

证明方法一：割线法假设我们有两条平行线AB和CD，一条直线EF与这两条平行线相交，且EF 被AB、CD截成了两段。

我们要证明EF被AB、CD等分。

步骤：1.假设EF被AB截成的线段为EF1，被CD截成的线段为EF2；2.假设AB和CD之间的距离为h；3.延长EF2，假设延长线与AB交于点G；4.因为AB和CD是平行线，所以∠ABG=∠EFC（对应角相等）；5.同理，∠DGC=∠EFC；6.通过割线截定理可知在△CDG和△CAB中，∠ABG=∠DGC，∠BAG=∠DCG（共内角相等）；7.由于∠BAG=∠DCG，所以△BAG与△DCG全等（角边对应相等）；8.根据全等三角形的性质可知，AG=CG；9.同理可证，EF1=EF2；10.所以，EF被AB和CD等分。

证明方法二：直角三角形法假设我们有两条平行线AB和CD，一条直线EF与这两条平行线相交，且EF被AB、CD截成了两段。

我们要证明EF被AB、CD等分。

步骤：1.寻找一条垂直于AB的直线，假设为GH；2.因为GH垂直于AB，所以AB和GH之间的距离等于AB和GF之间的距离；3.同理，GH也垂直于CD，所以CD和GH之间的距离等于CD和HE之间的距离；4.根据垂直线段的性质可知，GF=HE；5.在△EFG和△EHG中，∠EFG=∠EHG=90度（垂直线段与直线的夹角为90度）；6.通过直角三角形的性质可知，△EFG与△EHG全等（一对直角边相等）；7.根据全等三角形的性质可知，EF=EF；8.所以，EF被AB和CD等分。

初二数学平行线等分线段定理【教学内容与目的要求】教学内容：1．平行线等分线段定理；2．三角形、梯形的中位线；教学目的与要求：1．理解并掌握平行线等分线段定理，并着重掌握两个推论。

2．会利用平行线等分线段定理将一条线段用直尺和圆规进行若干等分。

3．掌握三角形、梯形的中位线的定义。

4．理解并熟练掌握三角形和梯形的中位线定理，并要求能够灵活运用中位线定理解决一些较为综合性的几何题目。

5．建立起利用中点来构造三角形中位线和梯形中位线的观念，以便顺利地添加出某些中位线。

【知识重点与学习难点】1．平行线等分线段定理是三角形、梯形中位线定理的基础，而它本身又是第五章相似形中平行线分线段成比例定理的特殊情况。

所以在学习这一小节内容时要明确此定理在这儿是作为过渡性的工具，起承上启下作用的。

当然平行线等分线段定理自身也有着极其重要的应用，需要大家能够牢固地掌握。

2．三角形的中位线和梯形的中位线可以这么说是三角形和四边形的精华，也是这两章内容的高潮。

它的综合性和灵活性都较强，它较为系统地串联了三角形一章和四边形一章这两章的大部分内容，故而这一小节要作为重中之重，格外重视。

三角形的中位线定理和梯形的中位线定理都告诉了我们两个方面的结论，即位置关系(平行)和数量关系(一半)。

【方法指导与教材延伸】1．平行线等分线段定理实际上是通过平行线将“相等”进行转移。

即“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这一组平行线在其他直线上截得的线段也相等”。

它是将一条直线上的线段相等“转移”到另一条直线上的线段相等。

2．作为“平行线等分线段定理”的两个推论是两种特殊情况。

它们特殊在截线与被截线的位置的特殊，从而得到了两个推论：⑴经过梯形一腰中点与底平行的直线，必等分另一腰；⑵经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

这两个推论都是由平行和相等这两个条件得出相等。

3．三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。

一个三角形有三条中位线。

一平行线等分线段定理教学目标1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．2．熟练掌握任意等分线段的方法．3．培养化归的思想。

运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．教学重点和难点重点是平行线等分线段定理及证明；难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．教学过程设计一、从特殊到一般猜想结论1．复习提问，学生口答．（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD1C1 C1C-84 MCD⊥j于C,E为AD中点．求证：△EBC是等腰三角形．教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB ＝∠MBA．（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j 引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j 上的线段之间有何等量关系？四、师生共同小结1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．2．怎样n等分一条已知线段？3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．五、作业课堂教学设计说明本教学过程设计需1课时完成．1．利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．4．定理还可用以下方式引入：（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．。

D BE F4.1-4.2平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理考纲要求：1．探索并理解平行线分线段定理地证明过程；2．能独立证明平行线分线段定理地推论1、推论2； 3.平行线分线段成比例定理与推论地区别4.能应用定理和推论解决相关地几何计算问题和证明问题一：知识梳理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得地线段相等,那么在其他直线上截得地线段推论1：经过三角形一边地中点与另一边平行地直线必推论2：经过梯形一腰地中点，且与底边平行地直线2.三条平行线截两条直线，所得地对应线段推论：平行于三角形地一边，并且和其他两边相交地直线.所截得地三角形地三边与原三角形地三边二：基本技能：判断下列命题是否正确如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ）四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( )3. 一组平行线，任意相邻地两平行线间地距离都相等，则这组平行线能等分线段. （ ）4. 如图l 1//l 2//l 3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ）5．如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 则：BCDEAC AE AB AD ==（ ）三:典型例题1 已知线段AB ，求作：线段AB 地五等分点.2 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 地中点.求证EA ＝EB .4 3. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上地中线，M 是AD 地中点，BM 地延长线交AC 于N ，求证：AN=21CN .4.如下图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=60°,AB=BC,E 为AB 地中点，求证:△ECD 为等边三角形.5：已知：△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上地一点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD求证：.BC BDBE BG =6.已知：△ABC 中，AD 为BC 边上地中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F.求证：FB AFED AE 2=A CGCB E D Fl 3l 2 l 1 A7：如图，已知：D 为BC 地中点，AG ∥BC ，求证：FCAFED EG =DCAG8．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC ， 求证：DCBDAC AB =（提示：过C 作CE ∥AD 交BA 地延长线于E ）9：△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CM ⊥AD 交AD 于E ，交AB 于M ，求证：AMABDC BD =四：能力提升1.如图1所示，F 为AB 地中点，FG ∥BC ，EG ∥CD ，则AG ＝，AE ＝.2.如图2，直线l 过梯形ABCD 一腰AB 地中点E ，且平行于BC ，l 与BD ，AC 、CD 分别交于F 、G 、H ，那么，BF ＝，CG ＝，DH ＝.3.如图3，已知CE 是△ABC 地中线，CD=21AD,EF ∥BD ，EG ∥AC ，若EF=10cm ，则BG =cm ，若CD=5cm ，则AF=cm.4.已知：如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1求AD:DF5.△ABC 中，DE ∥BC ，F 是BC 上一点.AF 交DE 于点G ，AD:BD=2:1,BC=8.4cm 求(1)DE 地长(2)AFAG(3)ADE ABC S S ∆∆。

《1.1平行线等分线段定理》教案3【教学内容】人教版初中《几何》第二册§4.9平行线等分线段定理（课本P 176 ~ P 178） 【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形； 2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 【教学难点】平行线等分线段定理的证明 【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】1．应用定理，等分线段（1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？（图7） 已知：线段AB （如图7）。

求作：线段AB 的三等分点。

作法：（略。

见图8）（师生同步完成作图过程）〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。

（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？（图8） 2．应用推论，分解图形例1．已知：如图9，在□ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CDCM 、AM 分别交BD 于E 、F 。

求证：BE = EF = FD 。

分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？（图9） （2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？ 证明：（略。

过程由学生自己完成）例2．已知：如图10，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， 过点A 、B 、C 、D 、O 分别作直线a 的垂线，垂足 分别为A'、B'、C'、D'、O'。

求证：A'D' = B'C'。

分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？（图10） （2）在直线a 上，有哪些线段是相等的？根据是什么？ 证明：（略。

过程由学生自己完成）BBGC思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1．理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

BCNNF一 平行线等分线段定理【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 【教学难点】平行线等分线段定理的证明 【教学过程】一、实际问题，导入新课1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？ 2．折法：（学生动手） ·先将矩形（ABCD ）纸对折， 得折痕MN （如图1）；·再把B 点叠在折痕MN 上，得到Rt △BEP （如图2）； ·最后沿EP 折叠，便可得到等边△BEF （如图2）。

（如图1）3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。

（如图2）二、复习引导，发现定理 1．复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 2．引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

三、归纳探究，证明定理1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a // b // c ，AB = BC （如图1） 求证：A'B' = B'C'。

2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？（2）四边形ACC'A' 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？ 3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。

证法一：（略）参见课本P 3的证法。

证法二：过A'、B' 点作AC 的平行线，分别交直线b于D 、E （如图2）。

《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》是建立在坐标系及其概念的几何定理，它解释了沿着一条平行线分割线段的方法。

定理：沿着一条平行于线段的边的任何一点P，使得被分割的线段的两个部分的和相等。

教学目标：1、让学生了解平行线等分线段定理；2、引导学生学习定理，训练他们实际使用定理；3、培养学生运用新知识去解决实际几何问题的能力；4、让学生形成正确的数学思维，增强学习的主动性。

教学重点：让学生掌握如何通过沿着一条平行线分割线段，计算线段的平分点及两个部分的和是否为等值。

教学步骤：第一步：讲解定理（1）开篇热身：引导学生了解坐标系及线段的概念，把这些概念构建成数学语言（也可使用图片帮助学生理解）；（2）讲解定理：通过讲解让学生熟悉，平行线等分线段定理的概念，并运用概念来证明定理；（3）让学生自行推理：让学生用数学语言和实际图形来分析和运用定理的原理，以帮助完成证明。

第二步：提供例题第三步：让学生探讨此定理的产生原因第四步：引入实际应用：介绍平行线等分线段定理在画图、计算机及机械等领域的实际应用。

第五步：实践操作：让学生按照老师的指令，开展前面知识点的演练；第六步：结束课程，总结：（1）检查学生自我总结：做出当时学习对自己的影响；（2）总结本次学习：学习定理及其应用的关键；（3）撰写总结报告：将前面学习的定理及方法拓展到新的场景中。

总结：本课针对《平行线等分线段定理》，采用“引导—讲解—练习—讨论—实践—总结“的步骤，使学生正确、系统地理解、掌握及灵活运用定理。

通过本课的学习，不仅认识到定理的本质，在实践中让学生尝试运用它，训练学生的解决实际几何问题的能力，以及正确的数学思维，增强学习的主动性。

平行线等分线段定理【教材分析】教学重点：根据新的课程标准，将平行线等分线段定理及其推论的应用作为重点，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。

教学难点：定理的灵活应用是本节的难点。

在教学过程中循序渐进的设计“猜一猜”、“想一想”、“议一议”、“做一做”、“试一试”以突破这一难点。

【设计理念】现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。

没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质性交往发生的“教学”，是假教学。

把教学本质定位为交往，是对教学过程的正本清源。

对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。

对学生而言，交往意味着心态的开放，主体性的凸现，个性的张显，创造性的解放。

对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。

交往还意味着教师角色定位的转换:教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者。

根据新的课程标准，结合本班学生实际，改变传统的严格意义上的教师教和学生学，力求师生互教互学，彼此形成一个真正的“学习共同体”。

让学生成为学习活动的主人，教师成为学生学习的组织者和合作者，而不是权威的讲授者。

教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生们大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。

学生学习的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与丰富、生动的思维活动，经历实践和创新的过程。

【教学目标】知识目标：能用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论；用它们能初步解决证明线段相等和计算线段长度的问题；会用尺规作图法等分一条已知线段；能独自处理等分实际物体的问题。

平行线等分线段定理教材分析：平行线等分线段定理是梯形这一节的重点，它是在平行四边形和梯形的基础上提出的，定理的证明是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形。

用平行四边形和三角形的知识进行证明，这一定理是研究三角形、梯形中位线、n等分任意线段作图以及第五章“平行线分线段成比例定理”的基础，要求学生掌握这个定理，并且认识它的变式图形。

目标：1、会用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论。

2、会运用平行线等分线段定理及其推论证明和计算有关几何问题，会用它等分一条已知线段。

重点：平行线等分线段定理及其运用难点：运用语言对定理及其推论的概括。

考点：教法：此节课属于探究性课题，通过学生实验、观察、思考、概括出定理、几何命题，从而证明，两个推论和把一条线段任意等分，可以处理为定理的应用和变形，并且渗透了图形运动变化的观点，以及由特殊到一般，再由一般到特殊的思维过程。

课前准备：1、预习教材p180定理的证明。

2、画有一组等距平行线的小黑板，一根长60cm的细小木棒AB。

过程设计：引导性材料：让学生观察画有画有等距平行线的小黑板。

思考：这组平行线中，每相邻两条平行线的距离怎样？在小黑板上画一直线L1，使L1与横线垂直，观察L1被各条横线分成的线段是否相等？再画一条直线L2(与等距平行线不垂直)，那么L2被各条横线分成的线段是否相等？(可抽学生用直尺和圆规去比较)教学设计：［1］问题1：试把刚才实验中得到的事实概括成为一个几何命题［2］问题2：怎样证明上述命题的成立？说明：①证明前，教师先画图----“三条平行线”代表一组平行线，再由学生写出这个命题的已知、求证(并板书)②由于学生预习阅读了课本的证明过程，启发学生说出证法的实质是平移线段AC，构造出两个平行四边形和一对全等三角形，从而使问题得以解决，从而证明到A1B1=B1C1［1］说明：让学生概括命题有助于提高学生语言表述能力，对学生叙述中的困难及时帮助，并逐步修正完善，直到得出命题，并板书。

平行线等分线段定理（一）目的要求：1、使学生掌握平行线等分线段定理及推论，并会等分一条已知线段。

2、要求学生能够认识定理的变式图形，并能运用于实践中去，从而提高分析问题和解决问题的能力。

教学重点：平行线等分线段定理的推论。

教学难点：平行线等分线段定理的证明。

教具准备：一副三角板教学方法：引导发现法教学过程：复习提问：1、什么叫平行线？平行线有什么性质？2、什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？新课讲解：由学生动手做一个实验：每一个同学那一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平行的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 l ，看看这条直线被相邻的横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条于横线相交的直线 l ，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？于是得到平行线等分线段定理：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点学生必须明确。

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理：已知：如图，直线1l ∥2l ∥3l ，AB ＝ BC 。

求证：GO ＝ HO证明：过 O 作 EF ∥ AC ，分别交1l 、3l 于点 E 、F 。

得到平行四边形 ABOE 和平行四边形 BCFO∴ AB ＝ EO ，BC ＝ OF∵AB ＝BC ，∴EO ＝OF又∵∠GOE ＝∠HOF ，∠GEO ＝∠OFH ，∴△GOE ≌△FOH∴GO ＝HO如图，有三条平行线，在梯形ABCD 中，如果AE ＝EB ，那么由上面定理得DF ＝FC ，因此得：推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

运用平行线等分线段定理，我们可以任意等分一条线段。

平行线等分线段定理说课稿
《平行线等分线段定理》说课稿
 一、教材分析
 1、地位和作用
 这个定理与平行线、三角形、平行四边形、梯形都有联系。

该定理除了用于任意等分一条已知线段外，还是推证三角形、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的基础。

这些定理对今后的学习非常有用，尤其在证明两条直线平行和论证线段的倍分关系时，是经常用到的。

 2、教学内容
 本节课的主要内容是对平行线等分线段定理的发现、证明和初步应用，并通过认识它的变式图形得其两个推论。

 3、学前准备
 横格纸、细绳、细棒、直尺、圆规、剪刀、矩形白纸片、画有等距平行线的透明胶片。

 4、教学目的
 使学生掌握平行线等分线段定理及其推论，会按要求等分一条已知线段。

并能够结合已学知识解决一些实际问题。

 5、重点与难点
 重点：定理。

两个推论实际上是定理的两个特例，也是重要的定理。

 难点：定理的证明
 二、教学方法
 创设情景、动手操作、模拟演示、启发引导、猜想论证、学习应用、发展能力。

一.平行线等分线段定理教学目标1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．2．熟练掌握任意等分线段的方法．3．培养化归的思想。

运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．教学重点和难点重点是平行线等分线段定理及证明；难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．教学过程设计一、从特殊到一般猜想结论1．复习提问，学生口答．（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC．说明：①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题．（2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC．教法：①引导学生用语言叙述该若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理1．用化归的方法证明定理．以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．已知：如图4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求证：A1B1=B1C1．分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题（1）的方法来证明．方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过BI作EF//AC分别交j1，j3于E，F，利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．2．用运动的观点掌握定理的变式图形．（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．2．用运动的观点掌握定理的变式图形．（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．说明：（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．（2）强调图 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，与 AC与A1C1的交点 D无关，让学生认清定理的基本图形结构．（2）强调图 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，与 AC与A1C1的交点 D无关，让学生认清定理的基本图形结构．（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．3．用特殊化的方法研究推论．对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．在图4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．在图 4－82中，∵△ABC中， AE＝EB， EF//BC，∴AF＝FC．让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．三、运用定理解决问题1．n等分任意一已知线段的作图．例1已知：如图4-83，线段AB．求作线段AB的五等分点．分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．例2（l）如图4-84 M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交 BD于 E，AN交BD于F，求证： BE＝EF＝FD．（2）如图 4－85． AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E为 AD中点．求证：△EBC是等腰三角形．教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？四、师生共同小结1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．2．怎样n等分一条已知线段？3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．五、作业课堂教学设计说明本教学过程设计需1课时完成．1．利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．4．定理还可用以下方式引入：（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将 n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．。