最新天津高三数学理科试题精选分类汇编15：选修部分

专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。

2024年天津高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x −=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x −=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32−C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x −=B ．22184x y −=C ．22128x y −=D ．22148x y −=9．一个五面体ABC DEF −．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12+ C D 12二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．圆22(1)25−+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， CE =12DE,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x ax =−+恰有一个零点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A −的值．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； (3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==−． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a −+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b −≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x −≤−．2024年天津高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}1【答案】B【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 因此{}2,3,4A B =， 故选B2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选C.3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选A4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x −=+B ．22cos 1x x y x +=+ C ．e 1x xy x −=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【详解】A ，设()22e 1x x f x x −=+，函数定义域为R ，但()112e 1f −−−=，()112e f −=，则()()11f f −≠，A 错误；B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x −+−+−===+−+，则()g x 为偶函数，B 正确；C ，设()e 1x xh x x −=+，函数定义域为{}|1x x ≠−，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，C 错误；D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ−−−=， 则()()11ϕϕ≠−，则()x ϕ不是偶函数，D 错误. 故选B.5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3−<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2−<<<，所以0.30.30 4.21 4.2−<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选B6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交【答案】C【详解】A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，A 错误. B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，B 错误. C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，C 正确.D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，D 错误. 故选C.7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32−C ．0D ．32【答案】A【分析】结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =−，再整体求出,126⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围。

2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2024年天津高考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=5．若0.30.3 4.24.24.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．b c a>>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12C D 12-二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+u u r u u r u u u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x =-+有唯一零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题16．在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案：1．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B 2．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 4．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B 6．C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C.7．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =，则222PF F c c ====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=故选：C.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅-=-+=.故答案为：7.11．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==； 乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =u u r u u r ，则13BE BC CE BA BC =+=+u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15．()(1-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210-+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210-+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-，当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210-+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210-+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.16．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =，解得sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=17．(1)证明见解析【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =-、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z = ，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,m nm n m n ⋅===⋅故平面1CB M 与平面11BB CC；（3）由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有1BB m m ⋅==即点B 到平面1CB M.18．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝，故122ABC S c =⨯=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=- ，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．(1)21n n S =-(2)①证明见详解；②()131419nn S ii n b =-+=∑【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b =-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =-(2){}2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.（3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有11110ϕ=<++=-='，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e ef f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<---<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-≤.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷习题资料理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1205．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．106．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和7．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A． B．C．5 D．108．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1），c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确+m的是（）A．数列{b n}为等差数列，公差为q mB．数列{b n}为等比数列，公比为q2mC．数列{c n}为等比数列，公比为D．数列{c n}为等比数列，公比为10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．14．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．15．（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB ∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点．本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．23．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．z在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查．2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选：C．【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选：B．【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a ≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4﹣4ab≥0，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．故选：A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．7．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A． B．C．5 D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选：C．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1），c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确+m的是（）A．数列{b n}为等差数列，公差为q mB．数列{b n}为等比数列，公比为q2mC．数列{c n}为等比数列，公比为D．数列{c n}为等比数列，公比为【分析】①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，可判断A，B两个选项②由于等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项．【解答】解：①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，﹣b n=，不是常数，故选项A不正确，又b n+1②∵等比数列{a n}的公比为q，∴，∴=，∴===，故C正确D不正确．综上可知：只有C正确．故选：C．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键．10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f （x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f （x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选：D．【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．15．（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．【分析】根据二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．【解答】解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i ，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E 的方程；（2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积之比为4：1，求直线l 的方程．【分析】（I ）由题意，求出过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），即可得到直线OB i 的方程为．联立方程，即可得到P i 满足的方程；（II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S △OCM =S △OCN ，可得|x 1|=4|x 2|．即x 1=﹣4x 2．联立即可得到k ，进而得到直线方程．【解答】（I ）证明：由题意，过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），∴直线OB i 的方程为． 设P i （x ，y ），由，解得，即x 2=10y ． ∴点都在同一条抛物线上，抛物线E 的方程为x 2=10y ． （II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10， 联立消去y 得到x 2﹣10kx ﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=10k ，x 1x 2=﹣100，∵S △OCM =4S △OCN ，∴|x 1|=4|x 2|．∴x 1=﹣4x 2．联立，解得．∴直线l的方程为．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力．19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB ∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x ＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cos2x＜，∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），∵x ∈（，），∴G′（x）＞0，G（x ）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x ）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意．（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况．令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，π）（π，）（，2π）h′（x）+0﹣﹣0+h（x）↗1↘↘﹣1↗当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，=3×671，∴依题意得n=671×2=1342．综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点．【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题．22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行。

2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B =( )A.{}1,2,3,4B.{}2,3,4C.{}2,4D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( ) A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x x y x -=+ D.||sin 4ex x x y += 5.若0.30.3 4.24.24.2log 0.2a b c -===，，,则a b c ，，的大小关系为( ) A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是( )A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是( )A. B.32- C.0 D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为( )A.36B.33142+C.32D.33142- 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅=______． 11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______． 12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______．三、解答题:本大题共5小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ,下顶点为B C ，是线段OB 的中点,其中ABC S =△． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,k n n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数． (ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;(ⅱ)求1nS i i b =∑．20.设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;(3)若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学解析一、选择题．1.【答案】B【解析】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =所以{}2,3,4A B =故选:B2.【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.【答案】A【解析】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A4.【答案】B【解析】对A,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确; 对C,设()e 1x x h x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误; 对D,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R ,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.【答案】B【解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <所以b a c >>故选:B6.【答案】C【解析】对于A,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα=因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C.7.【答案】A【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω= 即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 画出()sin2f x x =-图象,如下图由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减所以,当π6x =时,()min π3sin 32f x =-=- 故选:A 8.【答案】C 【解析】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m =211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得12sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ= 21sin 5θ=,由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin902:1:5PF PF F F θθ=︒= 则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅=得22m = 则211222,42,2210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:12222PF PF a -==,222,8a b c a ==-=所以双曲线的方程为22128x y -=. 故选:C9.【答案】C【解析】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -(顶点与五面体ABC DEF -一一对应)与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===则形成的新组合体为一个三棱柱该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选:C.第Ⅱ卷二、填空题．10.【答案】7-【解析】))i 2i 527⋅=-+=-. 故答案为:7.11.【答案】20【解析】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rr r r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()630r -=,可得3r =所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.【答案】45【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p =即2p = 由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-(舍) 故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-= 故原点到直线AF 的距离为4455d == 故答案为:45 13.【答案】①.35②.12 【解析】设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==; 乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M === 故答案为:35;12 14.【答案】①.43②.518- 【解析】因为12CE DE =,即23CE BA =,则13BE BC CE BA BC =+=+ 可得1,13λμ==,所以43λμ+=; 由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅=因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11111113232AF DG k BA kBC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅取到最小值518-; 15.【答案】()()11,3-【解析】令()0fx =,即21ax =-- 由题可得20x ax -≥当0a =时,x∈R ,有211=--=,则x =,不符合要求,舍去; 当0a >时,则23,121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点 由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤当0x ≤时,则20ax-<,则211ax ax =--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦ 当2a =时,即410x +=,即14x =- 当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a =>-(正值舍去)当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去 即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解 则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解 当(]0,2a ∈,且x a ≥时由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 令()g x y ==即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝ 故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得 由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=± 即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去) 且函数()g x 在(),a +∞上单调递增故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<故1a <<; 当a<0时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax =--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =-时,即410x -=,即14x = 当()2,0a ∈-,102x a =-<+(负值舍去)或102x a =- 当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a=>-,有两解,舍去 即当[)2,0a ∈-时,210ax -+=在0x ≥时有唯一解 则当[)2,0a ∈-时,210ax -+=在x a ≤时需无解 当[)2,0a ∈-,且x a ≤时由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a = 且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得 ()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去) 且函数()g x 在(),a -∞上单调递减故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求; 综上所述,()()11,3a ∈-.故答案为:()(1-⋃. 三、解答题.16.【答案】(1)4(3)5764 【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =(负舍); 则4,6a c ==. 【小问2详解】因为B 为三角形内角,所以sin 16B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin A =,解得sin A =【小问3详解】 因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由(2)法一知sin 16B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=⨯=.17.【答案】(1)证明见解析(2)11(3)11【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC 则有1//D M NP ,1D M NP =故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP 又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M 故1//D N 平面1CB M ; 【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系有()0,0,0A ,()2,0,0B ,()12,0,2B ,()0,1,1M ,()1,1,0C ,()11,1,2C 则有()11,1,2CB =-,()1,0,1CM =-,()10,0,2BB =设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =,()222,,n x y z =则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 分别取121x x ==,则有13y =,11z =,21y =,20z = 即()1,3,1m =,()1,1,0n = 则13222cos ,1119111m n m n m n ⋅+===⋅++⋅+ 故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211; 【小问3详解】由()10,0,2BB =,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = 则有1221111191BB m m⋅==++ 即点B 到平面1CB M 的距离为21111. 18.【答案】(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,3b c =,其中c 为半焦距 所以()()32,0,0,3,0,2c A c B c C ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△ 故3c =,所以23a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--= 故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+因为0TP TQ ⋅≤恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤. 若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -此时需33t -≤≤,两者结合可得332t -≤≤. 综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 19.【答案】(1)21n n S =- (2)①证明见详解;②()131419nn S ii n b =-+=∑ 【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q > 因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=- 可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q或1q =-(舍去)所以122112nn n S -==--. 【小问2详解】(i)由(1)可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥当124kk n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-< 可知12,1k k n a b k -==+()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-当且仅当2k =时,等号成立 所以1n k n b a b -≥⋅;(ii)由(1)可知:1211nn n S a +=-=-若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列 可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑ 所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑ 且1n =,符合上式,综上所述:()131419nn S ii n b =-+=∑. 20.【答案】(1)1y x =-(2){}2(3)证明过程见解析 【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-. 【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>. 所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫⎫-=-=--=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+时()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥. 一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =得2022a a a ≤-=-=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件. 综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2. 【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+--- 且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+---- 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10ex <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论. 情况一:当1211ex x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立;情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=-则()ln 1x x ϕ=+'. 由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln1ln1110 2e2e ec cϕ⎛⎫⎪=+<++=--+=⎪⎝⎭'且当2124ln1x cc≥-⎛⎫-⎪⎝⎭,2cx>时,2ln1c≥-可知()2ln1ln1ln102cx xcϕ⎛⎫=+>+=--≥⎪⎝⎭'.所以()xϕ'在()0,c上存在零点x,再结合()xϕ'单调递增,即知0x x<<时()0xϕ'<,x x c<<时()0xϕ'>.故()xϕ在(]00,x上递减,在[],x c上递增.①当x x c≤≤时,有()()0x cϕϕ≤=;②当0x x<<时,112221e ef fc⎛⎫=-≤-=<⎪⎝⎭,故我们可以取1,1qc⎫∈⎪⎭.从而当21cxq<<-时,>可得()1ln ln ln ln0 x x x c c c c c c qcϕ⎫=-<--<--=-<⎪⎭.再根据()xϕ在(]00,x上递减,即知对0x x<<都有()0xϕ<;综合①②可知对任意0x c<≤,都有()0xϕ≤,即()ln ln0x x x c cϕ=-≤.根据10,ec⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c<≤的任意性,取2c x=,1x x=,就得到1122ln ln0x x x x-≤.所以()()()()12121122ln lnf x f x f x f x x x x x-=-=-≤.情况三:当12101ex x<≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11ef x f⎛⎫-≤⎪⎝⎭()21ef f x⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.。

静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a << B. b c a <<C. a b c<< D. b a c<<5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 26. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 29. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨--≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 取值范围是（ ）A 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．13. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设的.AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA的面积是三角形的BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 前n 项和n T .（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()cos f x x x a x >-.的静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静 审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，111n n n a a a qq q-=⋅=⋅，.当10a >且01q <<时，则10a q >，且n y q =单调递减，则1n n aa q q=⋅是递减数列，故充分性满足；当1n n a a q q =⋅是递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，故必要性不满足；所以“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的充分不必要条件.故选：A3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx+>-，即()()220x x +⋅-<，所以22x -<<，所以函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()242()log 2xf x x f x x--=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；当()0,2x ∈时，212x x+>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；又()211log 302f =>，所以排除A.故选：D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a<< B. b c a<<C. a b c <<D. b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）A. 1 B. 0C. 1- D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出224log 3,log 3x y ==，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C6. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 【答案】C 【解析】【分析】由题设知三棱锥-P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．【详解】三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥-P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ==，则R =所以该球的表面积为224π4π20πS R ==⋅=．故选：C ．7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A ，整体代入法判断对称中心判断B ，利用函数图象变换法则即可判断CD.【详解】()1πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；当π6x =时，πππ2πsin 2sin 06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 一个对称中心，故B 错误；由πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin(23y x =+，故C 正确；将sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到ππsin[2()]sin(2)63y x x =+=+，故D 正确.故选：B的8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠==，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422aa a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．9. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令94a =和138a =求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点，()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点和()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a =，则2sin 2,0()42,0x x f x x x x π<⎧=⎨--≥⎩，当0x <时，()f x 在区间9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个零点，当0x ≥时，()020f =-<，Δ240=>，()f x 在区间[)0,∞+有1个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除A ､C.令138a =，则2sin 2,0()14,02x x f x x x x π<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，当0x <时，()f x 在区间13,08⎛⎫- ⎪⎝⎭有3个零点，当0x ≥时，()1002f =>，Δ140=>，()f x 在区间[)0,∞+有2个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除B ，故选D.法二（分类讨论）：①当()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点时，满足0532a ∆<⎧⎪⎨-≤-<-⎪⎩，无解；②当()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点时，满足()000522f a ⎧⎪∆>⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得522a <≤；③当()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点时，满足()000322f a ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得3724a <≤，综上所述，a 的取值范围是375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数a .【详解】由题意()()()()()()2i 2i+12241i 41i2i 222i 12i 12i+14155a a a a a a +-++++-===-----，由题意复数2i 2i 1a +-是纯虚数，则2205a-=且4105a +-=，解得1a =.故答案为：1.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB 的中点M 到准线的距离，最后求出弦AB 的中点M 的横坐标.【详解】抛物线28y x =的准线l 的方程为：2x =-，焦点为(2,0)F ,分别过,,A B M ，作,,AC l BD l MH l ⊥⊥⊥，垂足为,,C D H ，在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知：,AC AF BD BF ==，因此有4222AC BDAF BFAB MH ++====，所以点M 的横坐标为422-=.故答案为：2.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．【答案】2【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线0x y -=的距离d ，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆()22200x ax y a =+->可变形为：222()x a y a -+=，所以圆心为(,0)a ，半径r a =，所以圆心到直线0x y -=的距离d ，根据弦长公式可得2==，因为0a >，解得2a =.故答案为：213. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________【答案】20【解析】【分析】先由()πcos2n f n =的周期性及函数值特点，分析数列{}n a 的特点1234n n n n a a a a ++++++=()1,5,9,13,16n = ，；再根据这个特点求解即可.【详解】由()πcos 2n f n =可得：周期为2π4π2T ==，()π1cos 02f ==，()2π2cos 12f ==-，()3π3cos 02f ==，()4π4cos 12f ==.因为()π21cos 2n n a n =-⋅，所以123n n n n a a a a ++++++()()()()()()()1π2π3ππ21cos221cos 241cos 261cos 2222n n n n n n n n +++=-⋅++-⋅++-⋅++-⋅4=，()1,5,9,13,16n = ，所以数列{}n a 的前n 项和具有周期为4的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，所以204520S =⨯=故答案为：20.14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.【答案】8+8+【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为21m n +=，所以()()()()1122262238m n m m n n m n n m n mmnmnm nmn++++++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为0m >，0n >，所以62n m m n +≥=，当且仅当62n m m n =时取等号，即23n m =-=时，()()11m nmn++有最小值8+，故答案为：8+【点睛】关键点睛：利用等式把代数式()()11m n mn++变形为628n m mn++.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.【答案】 ①. 1 ②. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以I 为原点，建立平面直角坐标系，根据,,G B I 三点共线，得到1x y +=，设(,)P x y ，求得)GE AP x ⋅=+ ，令z x =+，转化为求该直线在y 轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】以I 为原点，,BG IO 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为,,G B I 三点共线，且AG xAB y AI =+，所以1x y +=，由正六边形的内角均为120 ，且边长为1，可得31(()22G E A -，设(,)P x y ，可得31),(22GE AP x y ==+ ，则31()22GE AP x y x ⋅=⋅+=+，令z x =，则)y x z =-，当该直线经过点C 时，截距最大，对应的z 最大，此时·GE AP最大值为3，当该直线经过点(G 时，截距最小，对应的z 最小，此时·GE AP的最小值为32-，所以·GE AP 3,32⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；3[,3]2-.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）；（2； （3）1314.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ；(2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sin A C =，∴由正弦定理得a =，又ABC1sin1502ac ︒=，解得2c =，∴a =；【小问2详解】由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴b =.由正弦定理sin sin sin a b A A B =⇒==.【小问3详解】∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A得，cos A =，∴sin 22sin cos A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．的【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）1．【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC ；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB 的法向量，是平面ABC 的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB 的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC ．因为为在中，，，所以，所以．因为AB //CD ，所以．又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA 的面积是三角形BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）2)4y x =-【解析】【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OBP 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P 的坐标，则可求BP 直线方程.【小问1详解】因为，12c e a ==，||3AF =，所以2,3a c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如图，因为四边形OPQA 与三角形BFP 的面积之比为3:1，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122QP AB y OB y ⋅=⋅，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Qy m=-，所以22512434m m m -=-+，解得m =，当m =:2BP x y =+，当m =时，:2BP x y =+，故直线BP的方程为2)y x =-.19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T.（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.【答案】（1）3nn a =，21n b n =-（2）1122(21)3n nT n =-+⋅ （3）175402591648n n +-+⋅【解析】【分析】（1）首先根据n a 与n S 的关系得到n a ，再根据等比数列的性质即可得到n b ；（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当1n =时，11323a a =+，解得13a =.当2n ≥时，11323n n a S --=+，所以113233n n nn n a a a a a --=⇒=-，即{}n a 是以首先13a =，公比为3的等比数列，即3nn a =.因为131log 3b ==，2465,1,3b b b ++-成等比数列，所以()()()2426153b b b +=+-，即()()()213115153d d d ++=+++-，解得2d =.所以()12121n b n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得2112(2)2(21)(21)3n n nn n n b n d b b a n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦，则123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n nn n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅【小问3详解】1223221211k k n n n k c c c c c c c c =++=+++∑ ，因为()()()()2121212221221211021332193n n nn n n n n n n c c c c c c c n n -+-+-++=+=-+=-⋅，设()219n n d n =-⋅，前n 项和为n K ，则()121939219n n K n =⨯+⨯++-⨯ ，()()23191939239219n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，()()()()12118119892992199221919n n n n n K n n -++--=+++--⋅=+⨯--⋅- 1458593232n n n K +-=+⋅.所以211110754025931648n n n k k k c c n K +=+-==+⋅∑第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11x f x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-.【答案】（1）30x y -=（2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()0f '，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，按照1a ≥和1a <分类讨论研究函数的单调性即可；（3）把原不等式作差变形得()()e cos 1ln 0,0,x a x x x x x x ∞++--->∈+，结合()cos cos a x x x x +>+，把不等式证明转化为e cos 1ln 0x x x x +-->问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.【小问1详解】当3a =时，()e 21x x x f =+-，()e 2x f x '=+，所以()00e 23f '=+=，又()00e 10f =-=，由导数几何意义知，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()030y x -=-，即30x y -=.【小问2详解】因为()()e 11x f x a x =+--，所以()e 1x f x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10x f x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减.【小问3详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,x a x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()cos k x x x =+，则()1sin 0k x x ='-≥故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln x xa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos x h x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，的则()21e sin x m x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->.综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x xa x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是()()f x g x >，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式()()f x g x >移项，构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证不等式()0h x >，进而转化为证明min ()0h x >，因此只需在所给区间内判断()h x '的符号，从而得到函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的最小值即可.。

天津高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，，（）A. B. C． D．以上都不对参考答案：B2. 设函数f（x），若对于在定义域内存在实数x满足f（﹣x）=﹣f（x），则称函数f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）=4x﹣m?2x+m2﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，1+） B．[﹣1，2） C．[﹣2，2] D．[﹣2，1﹣]参考答案：B【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据“局部奇函数”，可知函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，结合指数函数的性质，利用换元法进行求解．【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m?2﹣x+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣m?（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣m?t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣m?t+2m2﹣8，对称轴x=，①若m≥4，则△=m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即7m2≤32，此时m不存在；②若m＜4，要使t2﹣m?t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，解得﹣1≤m＜2，综上：﹣1≤m＜2，故选B【点评】本题主要考查函数的新定义，利用函数的新定义得到方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解的问题去解决是解决本题的关键．综合考查了二次函数的图象和性质．3. 已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为：，若目标函数仅在点处取到最大值，则有A． B.C. D. 或参考答案：B试题分析：是与的交点，目标函数仅在点处取到最大值，所以直线的倾斜角比的要大，比的要小，即有考点：线性规划和最优解4. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为()（A）18 （B）24 （C） 36 （D） 48参考答案：C5. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意可得5＞n≥4，即可得解输入n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=160，k=4不满足条件k＞n，执行循环体，a=4，s=484，k=5由题意，此时应该满足条件k＞n，退出循环，输出s的值为484，可得：5＞n≥4，所以输入n的值为4．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6. 展开式中，常数项为15，则n的值可以为A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：7. 设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：由=，得复数的共轭复数为：4﹣i．故选：B．8. 已知集合则为（）A． B． C．D．参考答案：A略9. （5分）（2006?北京）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．参考答案：C考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：压轴题．分析：由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．解答：解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥综上：≤a＜故选C．点评：本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．10. 已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．解答：解：∵抛物线方程为x2=4y，∴p=2，准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；∵|AF|=3|FB|，∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；联立方程组，消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，由根与系数的关系得，y1+y2=4k2﹣2，即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，解得y2=k2﹣1；代入直线方程y=kx﹣1中，得x2=k，再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中，得k2=4k2﹣4，解得k=，或k=﹣（不符合题意，应舍去），∴k=．故选：D．点评：本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某长方体的长宽高分别为，则该长方体外接球的体积为参考答案：考点：长方体的外接球. 12. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是.参考答案：略13. 设函数cos x +1,若f (a )=11,则f (-a )= .参考答案：14. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为的圆的方程为________． 参考答案： x 2＋y 2＋2x －4y ＝015. 若满足，则目标函数的最大值为______.参考答案：－1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，由得即，则有最大值，故答案为．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 16. 在△ABC 中，，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当取得最小值时，.参考答案：-917. 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a=________ . 参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编15：选修部分一、选择题1 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）极坐标方程cos ρθ=和参数方程⎩⎨⎧+=--=t y t x 321(t 为参数)所表示的图形分别是（ ）A ．圆,直线B ．直线,圆C ．圆,圆D ．直线,直线二、填空题 2 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,CB 是⊙O 的直径,AP是⊙O 的切线,AP 与CB 的延长线交于点P ,A 为切点.若10=PA ,5=PB ,则AB 的长为_________.3 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是_______________.4 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知:如图⊙O 和⊙P 相交于A,B 两点,⊙O的弦BC 切⊙P 于点B,CP 及其延长线交⊙P 于D,E 两点,过点E 做EF ⊥CE 延长线与点F.若CD=2,CB=22,则EF 的长为 .5 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.6 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）如图,过圆O 外一点P 分别作圆的P AOC切线和割线交圆O于,A B两点.且7PB=,C是圆O上一点且使得5BC=,BAC APB∠=∠,则AB=_________.7 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）圆4sinρθ=的圆心到直线1,12x ty t=+⎧⎨=-⎩(t为参数)的距离是_____8 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）如图所示,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=72,AB=BC=3,则AC的长为__________.9 ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l的参数方程为⎩⎨⎧x＝3t，y＝1＋t(t为参数)，设直线l与抛物线C的两交点为A，B，点F为抛物线C 的焦点，则|AF|＋|BF|＝__________.10．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））如图，AC为⊙O的直径，OB AC⊥，弦BN交AC于点M．若3OC=，1OM=，则MN=_____．ABCOMN11．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）如图过⊙0外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .12．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）点P(x,y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,θ∈R)上,则yx的取值范围是 . 13．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）直线4,:(),:22cos()12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆(极轴与x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若直线l 被圆C 截得的弦长为655,则实数a 的值为____________. 14．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E是AB 延长线上一点,且DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为______.15．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）如图,已知PA 是圆O 的切线,切点为A ,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,4PA =,圆O 的半径是23,那么__________PB =.最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编15：选修部分参考答案一、选择题 1. 【答案】A解:由cos ρθ=,得2cos ρρθ=,即22,x y x +=即2211()24x y -+=,所表示的图形为圆.消去参数t 得方程为310x y ++=,图形为直线,所以选A.二、填空题2.; 4. 25. 42≤≤-a6. .358.2739.163 10. 1 11.【解析】因为PA 是圆的切线，所以BAP APB ∠=∠，又CAC APB ∠=，所以BAP ∆与BCA ∆相似，所以AB PB CB AB =，所以27535AB PB CB ==⨯=g，所以AB = 12.【答案】[ 【解析】消去参数θ得曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为(2,0)-，半径为1.设yk x=，则直线y kx =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d ==，即2k =222141,3k k k =+=，所以解得k =，由图象知k的取值范围是33k -≤≤，即yx的取值范围是[33-。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x ≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x 2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g （b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n 的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．和S n﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y （元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为创作人：百里公地创作日期：202X.04.01故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．25．（12分）（•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P （a，b），圆P截X 轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X 轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d 有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，创作人：百里公地创作日期：202X.04.01P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。

2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两局部, 共150分. 考试用时120分钟. 第一卷1至2页, 第二卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第一卷考前须知：1. 每题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 那么A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩那么目标函数z= y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 假设输入x 的值为1, 那么输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 以下三个命题:①假设一个球的半径缩小到原来的12, 那么其体积缩小到原来的18; ②假设两组数据的平均数相等, 那么它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 假设双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 那么p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===那么sin BAC ∠ = (A) 1010 (B) 105 (C) 31010 (D) 55(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 假设11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 那么实数a 的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第二卷考前须知：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每题5分, 共30分.(9) a , b ∈R , i 是虚数单位. 假设(a + i )(1 + i ) = bi , 那么a + bi = .(10) 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 那么|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 假设·1AD BE =, 那么AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 假设AB =AC , AE = 6, BD = 5, 那么线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 那么当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题总分值13分)函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题总分值13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题总分值13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.(18) (本小题总分值13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 假设··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题总分值14分)首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题总分值14分)函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2024年天津市高考数学真题试卷一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A ．6B 12+ C D 12-二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题16．在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，． (1)求a ； (2)求sin A ； (3)求()cos 2B A -．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； (3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中2ABC S =△． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案1．B【详细分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【过程详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 所以{}2,3,4A B = ， 故选：B2．C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【过程详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．A【详细分析】由点的分布特征可直接判断【过程详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A4．B【详细分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【过程详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141eϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【过程详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B6．C【详细分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【过程详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误. 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误. 对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C.7．A【详细分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【过程详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=， 即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【详细分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【过程详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===， 由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =则21122PF PF F F c c ====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9．C【详细分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【过程详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【过程详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7. 11．20【详细分析】根据题意结合二项展开式的通项详细分析求解即可. 【过程详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12．45/0.8【详细分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【过程详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =， 由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=， 故原点到直线AF 的距离为4455d ==， 故答案为：4513．3512【详细分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【过程详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 则甲选到A 得概率为：63105P ==； 乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==； 乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【过程详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=， 因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ ， 又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭， 因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15．()(1-⋃【详细分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【过程详解】令()0f x =，即21ax =--， 由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则2x =±，不符合要求，舍去； 当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点， 由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-， 当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去， 即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解， 则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解， 当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得， 由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±， 即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去）， 且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<，故1a <符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =， 当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-， 当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去， 即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解， 则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解， 当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =， 且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得， ()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-， 令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去）， 且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【名师点评】关键点名师点评：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 16．(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ； （3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【过程详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 16A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=， 则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+=17．(1)证明见解析(2)11【详细分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【过程详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ， 则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ， 又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ， 故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z = ，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ， 分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,11m nm n m n ⋅===⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC的夹角余弦值为11； （3）由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有111BB mm⋅==，即点B到平面1CB M的距离为11.18．(1)221129x y+=(2)存在()30,32T t t⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ⋅≤恒成立.【详细分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：32y kx=-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t表示TP TQ⋅，再根据0TP TQ⋅≤可求t的范围.【过程详解】（1）因为椭圆的离心率为12e=，故2a c=，b=，其中c为半焦距，所以()()2,0,0,,0,2A cB C⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，故122ABCS c=⨯=△故c=a=，3b=，故椭圆方程为：221129x y+=.（2）若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx=-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t，由22343632x yy kx⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx+--=，故()222Δ144108343245760k k k=++=+>且1212221227,,3434kx x x xk k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t=-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+， 因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【名师点评】思路名师点评：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．(1)21n n S =- ①(2)证明见过程详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【详细分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式详细分析求解；（2）①根据题意详细分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法详细分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法详细分析求解.【过程详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112n n n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立， 所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑， 所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑， 且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b =-+=∑.【名师点评】关键点名师点评：1.详细分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和详细分析可得()()1211213143449k k k k ii bk k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =- (2){}2(3)证明过程见解析【详细分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足； （3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论. 【过程详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-. （2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g⎛⎫⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∞∈+()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤+-=--=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件. 综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2. （3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----， 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=+<+=-+= ⎪⎝⎭'， 且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'. 所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<-> ()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤. 情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立. 综上，结论成立.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。