计算机图形学上机实验4_实现Bezier曲线和Bezier曲面的绘制

Bezier 曲线

什么是 Bezier 曲线？

Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。

Bezier 曲线的特点

Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。以下是 Bezier 曲线的一些特点：

1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线

的形状、弯曲程度和速度。

2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲

线在控制点之间呈连续曲率。

3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成

无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。

4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，

如圆弧、椭圆等。

Bezier 曲线的数学表达

Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。根据控

制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。

对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：

Bezier 1D

Bezier 1D

其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。

对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：

Bezier 2D

Bezier 2D

其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。

Bezier 曲线的应用

bezier曲线绘制算法

摘要：

1.贝塞尔曲线简介

2.贝塞尔曲线的计算方法

3.贝塞尔曲线的应用

4.贝塞尔曲线的优缺点

正文：

贝塞尔曲线是一种以四个控制点定义的平滑曲线，它具有很好的局部性和全球性，广泛应用于计算机图形学、动画设计等领域。

计算贝塞尔曲线的方法有多种，其中比较常见的是使用de Casteljau 算法。该算法通过计算两个分段贝塞尔曲线的交点，来求解原始贝塞尔曲线上的点。具体来说，假设我们有四个控制点A、B、C、D，我们首先计算出AB、BC 两条线段的贝塞尔曲线，然后求解这两条贝塞尔曲线的交点P，接着以P 为控制点，计算出PB、PC 两条线段的贝塞尔曲线，最后求解这两条贝塞尔曲线与AC 的交点，该交点即为所求的贝塞尔曲线上的点。

贝塞尔曲线的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，它可以用于绘制任意形状的曲线，还可以用于控制物体的动画运动路径；在计算机辅助设计中，它可以用于精确控制设计曲线的形状，提高设计的准确性和效率。

贝塞尔曲线的优点在于其具有很好的局部性和全球性，可以很好地描述出各种复杂的曲线形状。同时，贝塞尔曲线的计算方法相对简单，易于实现和控制。然而，贝塞尔曲线也存在一些缺点，例如其计算过程中需要处理复杂的数

学运算，对计算机的计算能力有一定的要求。此外，贝塞尔曲线的控制点数量较多，调整起来比较麻烦，需要一定的技巧和经验。

总的来说，贝塞尔曲线是一种重要的曲线描述方法，其在计算机图形学、动画设计等领域有着广泛的应用。

贝塞尔曲线曲面

贝塞尔曲线和曲面是计算机图形学中的重要概念。

贝塞尔曲线是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔在20世纪60年代提出的一类参数曲线。它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。

贝塞尔曲面则是通过贝塞尔曲线扩展到三维空间的结果，它是一类三维参数曲面，通过调整控制线，可以得到各种各样的曲面形状。

贝塞尔曲线和曲面广泛应用于计算机图形学中，如游戏设计、建筑设计、工业设计等领域。在计算机图形学中，它们被用来创建各种复杂的形状和表面，使得设计更加灵活和高效。

《计算机图形学》实验报告

目录

1实验2：直线的生成 (1)

1.1实验要求和目的 (1)

1.2实验课时 (1)

1.3实验环境 (1)

1.4实验内容 (1)

1.5核心代码 (3)

1.6实验结果 (7)

1.6.1DDA算法 (10)

1.6.2Mid-Bresenham算法 (11)

1.7心得与体会 (12)

2实验4：BSpline曲线绘制 (13)

2.1实验要求和目的 (13)

2.2实验课时 (13)

2.3实验环境 (13)

2.4实验内容 (13)

2.5核心代码 (16)

2.6实验结果 (18)

2.6.1B-样条算法 (19)

2.6.2Bezeir算法 (22)

2.7心得与体会 (24)

附录 (25)

BSpline曲线控制点的测试数据 (25)

数据1 (25)

数据2 (27)

数据3 (29)

数据4 (30)

数据5 (31)

数据6 (33)

数据7 (36)

数据8 (38)

1实验2：直线的生成

1.1实验要求和目的

理解直线生成的原理；掌握典型直线生成算法；掌握步处理、分析实验数据的能力；

编程实现DDA算法、Bresenham中点算法；对于给定起点和终点的直线，分别调用DDA算法和Bresenham中点算法进行批量绘制，并记录两种算法的绘制时间；利用excel 等数据分析软件，将试验结果编制成表格，并绘制折线图比较两种算法的性能。

1.2实验课时

3学时

1.3实验环境

本试验提供自带实验平台

·开发环境：Visual C++ 6.0

·实验平台：Free_Curve（自制平台）

1.4实验内容

本实验提供名为 Experiment_Frame_One的平台，该平台提供基本绘制、设置、输入

计算机图形学课程实

验 报 告

实验题目 自由曲线和曲面的绘制 班 级 计算081 姓 名 杨 恒 学 号 3080811017 指导教师 胡钢 日 期 2011.6.3

西安理工大学理学院应用数学系

二零一一年春季学期

信息与计算科学专业基础课 Computer Graphics

Report Of course experiment

实验说明

实验目的：掌握自由曲线和曲面(包括Bezier 曲线、曲面和B 样条曲线、曲面)的生成算法思

想，并能上机编程绘制相应的曲线、曲面和利用曲线、曲面进行简单的几何造型设计。

实验地点： 教九楼401 数学系机房

实验要求(Direction): 1.每个学生单独完成；2.开发语言为TurboC 或C++，也可使用其它

语言；3.请在自己的实验报告上写明姓名、学号、班级；4.每次交的实验报告内容包括：题目、试验目的和意义、程序制作步骤、主程序、运行结果图以及参考文件；5. 自己保留一份可执行程序,考试前统一检查和上交。

实验内容

实验题一

1.1实验题目

上机编写一个能绘制Bezier 曲线和B 样条曲线的通用程序，并调试成功。具体要求为：(1)用户在运行程序时，可以根据提示信息来决定选择绘制Bezier 曲线，还是B 样条曲线；(2)两种曲线控制顶点的个数和坐标值要求可以随机输入(即Bezier 曲线和B 样条曲线的次数和位置可以随机输入)；(3)当用户输入控制点的坐标位置后，屏幕上生成曲线的同时显示其特征多边形；且在特征多边形的顶点处输出该顶点坐标；(4)要求在可执行程序后附上运行结果(两种曲线都至少附上一个结果图)。

计算机图形学实验4-----HermiteBezierB样条三种曲线的绘制

实验四 Hermite Bezier Ｂ样条三种曲线的绘制

⼀、实验⽬的

了解和学习Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线算法

掌握基于 Win32、Visual C++环境MFC绘制图形配置过程制过程

编程实现Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线的绘制

⼆、实验原理

三次参数曲线

1.曲线段可以⽤端点、切向量和曲线段之间的连续性等约束条件来定义

2.两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲线；

3.两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义的Bezier曲线；

4.由四个控制顶点定义的样条曲线。

三、实验关键代码

void CDrawYTQXView::Hermite() //绘制Hermite三次插值样条

{

int a[4][4] ={{2,-2,1,1},{-3,3,-2,-1},{0,0,1,0},{1,0,0,0}};//Mh 矩阵系数

int b[4][2];//边界点

for(int i=0;i<4;i++)

{

b[0][0]=p1[i][0];b[0][1]=p1[i][1];//起点的坐标

b[1][0]=p1[i+1][0];b[1][1]=p1[i+1][1];//终点的坐标

b[2][0]=p2[i][0];b[2][1]=p2[i][1];//起点的导数

b[3][0]=p2[i+1][0];b[3][1]=p2[i+1][1];//终点的导数

Caculate(a,b);

CClientDC dc(this);

165 0(,)r u v r au bv =++ (0≤u , v ≤1)

式中，矢量r 0为平面上一点的位置矢量，a 和b 为

常矢量，且a 不平行于b ，

该平面片是由矢量a 和b 张成的四边形。

又如图5.4所示，以固定方向长度为a 的直线

段作为母线沿给定一条空间曲线r 1(u )移动生成一

个柱面，其方程为

1(,)()r u v r u av =+ (0≤u , v ≤1) 式中a 是沿母线方向的常矢量。

5.2.2 Bezier（贝塞尔）曲面

如前所述，Bezier 曲线是一条与控制多边形顶点位置有严格关联关系的曲线，Bezier 曲线形状趋向于特征多边形形状，阶次由控制多边形顶点的个数来决定。Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，它也是以Bernstein 函数作为基函数，是由Bernstein 函数构造空间点阵列的位置来控制的。

1．Bezier 曲面的数学表达形式

在三维空间里，给定(n ＋l) × (m ＋1)个点的空间点P ij (I = 0，l ，…，n ；j =0，1，…，m )，称n × m 次参数曲面：

,,00(,)()()n m

ij i n j m i j P u v P B u B v ===∑∑ (0≤u ,v ≤1)

为n × m 次Bezier 曲面。

P ij 是(,)P u v 的控制顶点，,()i n B u 和,()j m B v 为Bernstein 基函数，具体表示为

,,()(1)()(1)i i n i

i n n j

j m j j m m B u C u u B v C v v −−=−=−

Bezier曲线曲面的拼接

Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造

方法。其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。在实际应

用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。

一、Bezier曲线曲面的构造

Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲

线方程即可。其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲

线方程则用于描述控制点间的线段的形状。

对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：

$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$

其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：

$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$

这个公式包含两个部分。第一部分是二项式系数

$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组

合数。第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲

线上占据的位置和弧长。通过这两部分的组合，我们可以得到一个

平滑连续的Bezier曲线。

对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：

$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)

P_{ij}$$

其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。这个方程就是通过控制点的二维数组来描

bezier曲线代码实现

一、什么是贝塞尔曲线？

贝塞尔曲线是一种数学曲线，它使用一组控制点来定义一条曲线。它在计算机图形学、汽车设计和电子游戏等领域得到了广泛的应用。

二、贝塞尔曲线的类型

1. 二次贝塞尔曲线：由三个点定义，包括起始点、控制点和结束点。

2. 三次贝塞尔曲线：由四个点定义，包括起始点、两个控制点和结束点。

三、贝塞尔曲线的实现

1. 二次贝塞尔曲线的实现：

```python

import pygame

def quadratic_bezier(points, num_divisions):

x0, y0 = points[0]

x1, y1 = points[1]

x2, y2 = points[2]

for i in range(num_divisions):

t = i / num_divisions

x = (1 - t)**2 * x0 + 2 * (1 - t) * t * x1 + t**2 * x2

y = (1 - t)**2 * y0 + 2 * (1 - t) * t * y1 + t**2 * y2

pygame.draw.line(screen, (255, 255, 255), (x, y), (x, y))

```

2. 三次贝塞尔曲线的实现：

```python

import pygame

def cubic_bezier(points, num_divisions):

x0, y0 = points[0]

x1, y1 = points[1]

x2, y2 = points[2]

昆明理工大学理学院

信息与计算科学专业设计/综合性实验报告

年级： 2015级姓名：学号： 201511101105 指导教师：胡杰

实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210

实验内容：

1．实验/作业题目：

MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线

2．实验/作业课时：2个课时

3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机

（2）软件：windows OS，VC++6.0或以上版本。

实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。

完成实验要求的知识或技能：

Bezier算法的迭代算法。

（2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。在此使用了三次Bezier算法。

（3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。

（4）基本的程序阅读能力，VC6.0的基本使用技巧

4．基本要求(完成实验要达到的目标)：

Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质 1、端点性质： a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。 b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。 2、凸包性：Bezier 曲线完成落在控制多边形的凸包内。 3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。 4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)

北方工业大学

计算机图形学课程实验报告

题目：实验五曲线曲面

学院：计算机学院

专业：数字媒体技术

指导教师：蔡兴泉

学生班级：

学生学号：

学生姓名：

教师评定：

实验报告5 曲线曲面

一．实验目的

1．熟悉OpenGL图形库；

2．掌握曲线曲面实现算法。

二．实验环境

1．软件环境：

操作系统：WinXp

应用软件：VC6.0，OpenGL

2．硬件环境（查看自己的机子）

CPU: Intel PIV 2.80GHz

内存RAM: 1GB

显卡：NVIDIA GeForce7650，256M显存

三．实验内容

1. 写程序实现Bezier曲线

2. 写程序实现绘制3个半径不同、颜色不同的小球

3. 写程序实现一个场景，绘制1个立方体、1个圆锥、1个圆柱、1个茶壶

四．程序及结果

1. Bezier曲线实现关键程序及注释

void RenderScene(void)

{

int i;

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT) //设置贝塞尔曲线

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, //生成的数据类型

0.0f, //u值的下界

100.0f, / //u值的上界

3, //顶点在数据中的间隔，x,y,z所以间隔是 3

nNumPoints, //u方向上的阶，即控制点的个数

&ctrlPoints[0][0]); //指向控制点数据的指针

glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);// //必须在绘制顶点之前开启

glBegin(GL_LINE_STRIP); //使用画线的方式来连接点

for(i = 0; i <= 100; i++)

bezier 曲线的曲面拟合

一、Bezier曲线

Bezier曲线是一种基本的几何曲线，它是由法国的科学家法国人Pierre Bezier于1962年提出的，在计算机图形学中应用广泛，在大多数绘图软件中都有它的实现。实际上，Bezier曲线是一种由控制点和贝塞尔曲线段组成的平滑曲线，这些贝塞尔曲线段可以连接构成一条实现的曲线段。

Bezier曲线的定义如下：用n+1个控制点P0，P1，...Pn确定唯一的n阶Bezier曲线，该曲线由n个(n>=2)Bezier曲线段组成，它的路径方程为：

B(t) = sum(Pi* Bn,i(t) (i=0,1,...n)

其中Bn,i (t)为贝塞尔基函数：

Bn，i (t)= C(n,i)*t^i*(1-t)^(n-i) (i=0,1...n) 其中C(n,i) 为组合数：

C(n,i) = n!/(i!*(n-i)!)

Bezier曲线具有一定的优势：

（1）Bezier曲线的计算量不多，而且计算量固定，从它的定义式可以看出，Bezier曲线的计算量只和控制点的数量有关，和区间长度无关；

（2）Bezier曲线的计算公式是一种确定的公式，易于推导，即使在变换空间中也能简单的求解；

（3）Bezier曲线的优点在于曲线的表示力强，它不仅能准确描

述曲线上的每一点，而且能模拟出椭圆、圆弧、抛物线、双曲线等复杂的曲线。

二、Bezier曲面

Bezier曲面是基于Bezier曲线构建的一种曲面，与Bezier曲线相比，Bezier曲面有更大的表示能力，能代表更复杂的曲面，该方法在计算机图形学中应用广泛，特别是在汽车设计、航空航天、产品建模、工业设计、船舶设计等行业非常流行。

计算机图形学实验报告(例文)

计算机图形学实验报告

0900213 38 8 郭佩佩

实验一

建立计图实验环境1．实验目的为了体现面向对象的程序设计思想，本实验采用基于Visual C 十十集成环境的MFC 编程方法，从开发windows 应用程序的角度，来建立一个菜单交互式绘图基本环境，为后续的实验打基础。

2．实验内容1）

建立菜单交互式绘图基本环境的工程文件Vcad，运行后如图：

2)在绘图菜单的下拉子菜单下有如下菜单项：

直线

----用弹性线方法输入直线的起止点后，调用bresenham 算法替换原来

的moveto/lineto 算法画直线

圆/圆弧

----在该菜单选择后，可分别画圆或圆弧。

直线段裁剪----输入矩形域左上角及右下角后，产生裁剪区域；然后可输入若干条直线段，矩形域作为主裁剪域对其裁剪之。

面区填充

----输入多边形的若干顶点后，调用面区填充算法对多边形域的内部填充

之。

贝塞尔曲线----输入四顶点后，调用三次贝塞尔曲线生成算法生成贝塞尔曲线。

实验二

园和园弧的绘制算法

1.实验目的通过园和椭圆弧生成算法的上机调试，掌握：

1）

VC++图形函数的使用方法；2）

圆和椭圆弧的生成原理。

2．实验内容1）以函数形式编写圆的生成算法，然后在VCAD 绘图小系统中的绘图----圆子菜单下找到合适的程序修改点，将本实验要求你编写的画圆算法插入工程文件中，通过调试来验证你编写的画圆算法的正确性。

2）

以函数形式编写角度DDA 椭圆弧生成算法，然后在VCAD 绘图小系统中的绘图----圆弧子菜单下找到合适的程序修改点，将本实验要求你编写的画圆弧算法插入工程文件中，通过调试来验证你编写的画圆弧算法的正确性。

实验报告

贝塞尔曲线生成算法的设计与调试

1、实验目的

在掌握曲线、曲面数学理论的基础上，通过调试，绘制Bezier 曲线。加深同学对数学理论的理解。通过二条Bezier曲线的拼接设计，掌握自由曲线的拟合方法。

2、实验原理

1、由三次Bezier曲线的公式：P（t）=∑P i B i,3(t) 出发，编写生成Bezier曲线的程序，要求如下：

（1）用鼠标输入特征多边形的四点。然后调用Bezier曲线生成算法绘出曲线。

（2）重复上步3—4遍，验证编写的算法的正确性。

2、将特征多边形改为五个控制点，修改程序后绘出四次曲线。

3、实现二条三次Bezier的拼接，并使连接点处保持一阶连续。

3、实验程序

typedef cptype float[4][4];

float cc (int n,int i) //计算n!/（i!(n-i)!）

{int j;

float a;

a=1;

for(j=i+1;j<=n;j++) a*=j;

for(j=2;j<=n-i;j++) a/=j;

return a;

}

float b_lend(Int i,int n,float t2) //计算B i,n(t)

{float v;

v=cc(n,i);

for(j= 1;j<=i;j++) v*=t2;

for(j=1;j<=n-i;j++) v*=(1-t2);

return v;

}

void bezier(float x0,float y0,float z0,float t0,int n,cptype cp2)//给定t0,计算f(t0)