16.1-二次根式(课件2)

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2014年新人教版八年级下16.1二次根式(2)

4 2
2
= 4 = 2
1 3 =
2
1 3
2
0
2
2
=
0
一般地，
a
a(a 0)
例2：计算
2
1.5 =1.5 解： ab （2） 2 5 ; 积的乘方运算性质：解： 2 5 =2 5 =4 （ 1） 3 2 2 3 （2） 2 11 3 5
2、在实数范围内进行因式分解：（1）x -5
2
（2）2a -6
2
3、 (1)已知 18 n是整数，求自然数n的所有可能的值。
(2)已知 24n是整数，求正整数n的最小值。
2 (4)把5 根号外的因数移到根号里边。 5 2 2 2 2 2 2 解： 5 =5 = 5 = 5 = 10 5 5 5 5 依据上面的例子，将根号外的因数移到根号里边。 1 （1） 3 3 （2）-2 2
16.1
二次根式（2）
一、知识回顾 1、二次根式的定义：一般地，代数式形如 a (a 0 ) 的式子做叫二次根式。 2、二次根式的性质：
a (a 0）是一个非负数,即 a 0.
3、算术平方根的定义：若对于正数x有x2=a，则x叫做a的算术平方根，记作 a
二、探究（1）：
根据算术平方根的意义填空：
2 2 2 2 2
（1） 1.5 ;
2
a b
2 2
练习：（1） 3

2
（2）3 2

2
（3） 5

2
2 （4） 0.2 （5） 7

2
2
（6）5 5

16.1 二次根式(第二课时)

2
2
2
2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
0
2
0
观察上述等式的两边,你能得到什么启示?
二次根式的性质3：
a a
2
2、计算：
(a≥0)
2 （ 2） 3
2
（1） 0.8
4 （ 3） 5
2
2
（4） 7
2
3、计算：
1
人教版八年级上册
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质1：
非负数的算术平方根仍然是非负数。
a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
例1：已知
a 2 3b 9 (4 c) 0 ，
2
求2a-b+c的值。
解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
2
a≥0,
a ≥0
(a≥0) (a≥0)
(双重非负性)
a a
2
1 2
2
2
2 1
2 x 1
2
x 1
2
3
x 2 xy y y x
yx
4、数a在数轴上的位置如图,则
a a _____ .
2
a
-2 -1 0 1
5、实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1 p)

人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件

解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0，（ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0，（ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是

16.1.2 二次根式的化简

2
12 1 3) ＝3；(
52 5 2 2 ) ＝； ( 0.01) ＝ 0.01 ； ( 0) ＝0. 2 2
所以归纳出：( a)2＝a(a≥0)．
【例 1】教材第 3 页例 2 活动 2： (多媒体展示)填空： 22＝________； 0.12＝________； 1 2 （3）＝________； 3 2 （7）＝________；
1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度． 2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功．
16．1 二次根式第2课时二次根式的化简
1．理解( a)2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简． 2．通过具体数据的解答，探究 a2＝a(a≥0)，并利用这个结论解决具体问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
重点理解并掌握( a)2＝a(a≥0)， a2＝a(a≥0)以及它们的运用．难点探究结论．
一、复习导入教师复习口述上节课的重要内容，并板书： 1．形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式． 2. a(a≥0)是一个非负数．那么，当 a≥0 时，( a)2 等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题．
二、新课教授活动 1： (多媒体演示)根据算术平方根的意义填空： ( 4)2＝________；( 2)2＝________； ( 12 3) ＝________；( 52 2) ＝________；
( 0.01)2＝________；( 0)2＝________．由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评．老师点评： 4是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4是一个平方等于 4 的非负数，因此( 4)2＝4. 同理：( 2) ＝2；(

16.1二次根式2课时

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中：若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0；若含有分式，则要求分母的值不等于0；若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想：甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中叫做二次根式，

人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念

(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式，叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分代数式的值为0，则a= .
代数式的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游【戏变规式则训：练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.

16.1二次根式(共2课时)

2 x 3 2 。 2. 如果 = 18 ，那么 x = ± ______
3 2 是 18 的算术平方根。 ± 3 2 是 18 的平方根，
3. 如果 x = a，那么 x = ______ ± a 。
± a 是 a 的平方根， a 是 a 的算术平方根。
2
1. 面积为 3的正方形边长为
3 。 ________
1 ( 1 x ) 2
4 （3 ） 2x 1
1 (x ) 2
复习回忆
二次根式的性质
a (a 0）是一个非负数
(
4)
2
4
( 0.01) 0.01
2
1 1 2 ( ) 3 3
( 0) 0
2
运算顺序：先开方，再平方
性质:
a
2
a (a≥0)
4 4
2
0.1 0.1
提示
根据正方形面积公式 S = a2求解。
举一反三
面积为 b－5 的正方形边长为________ b- 5 。
S
a=？
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为
65 130M2，则它的宽为_________M
3. 关系式 h = 5t2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表 h 示 t ，则 t = ________ 。 5
a = a =
2
2
a ( a≥ 0 )
－a ( a＜0 )
a 与 a a
2 2
2
的比较
a
2
运算顺序先开方,后平方先平方,后开方
取值范围运算结果
a≥0 a 取任意实数 =∣a∣
=a
随堂练习
1. 要画一个面积为18 cm2 的矩形，使它的长宽之比为 2：3，它的长宽应分别取多少？解：设长为 2x ，则宽为 3x 。（ x > 0）矩形的面积 S = 2x

沪科版八年级数学上册课件：16.1《二次根式》(第2课时)

形如：5，a, a b, ab, s , x2, 3, a (a≥ 0)
t 的式子，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，
我们称这样的式子为代数式 .
化简下列各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
a2 a(a 0).
化简： (1) 16
(2) (5)2
解：(1) 16 42 4
(2) (5)2 52 5
a (a≥0)
a2 a -a (a≤0)
计算：
2
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3

6
这里用到了(ab)2 a2b2这个结论
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
22 2
0.12 0.1
2 2

2
3 3
02 0
一般地，根据算术平方根的意义，
2 a a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
2 a
=a
(a≥ 0)
a2 a (a取任何实数)
1.若 a2 ( a)2,则a的取值范围是（）
Ａ．a≥0 Ｃ．a≤0
Ｂ．a≠0 Ｄ．a为任意数
2.计算：
(1)( 3)2
(2) (3)2
(3) ( x 1)2 (4) (x 1)2

人教版下册课件：16.1二次根式性质

解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3

___23___6_,
2

2 3

___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____

16.1《二次根式》课件(共37张PPT)

综合应用深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
×
（2） a+10（a ＞ 0）； √
（3） a2+1；
√
（4） -x（x ≤ 0）．
√
综合应用深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3-4x
；（2）
x x-1
；
（3） -x2 ；（4） x-2- 2-x ．
（1） 2=（）2 ；（2）3=（）2．
综合运用
练习2 根据性质 a2 =a（a≥0），可得：（-5）2=5 ．你认为，当a＜0时， a2 = _________，并说明理由： ____________．
综合运用
练习3 性质（ a）2=a（a≥0）和 a2 =a（a≥0）有什么区别和联系？
• 学习重点：理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简．
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．
（ 4 ）2 = __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（
1 ）2 = 1 （ 3 __3___；
0）2 Байду номын сангаас___0__．
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：（ a ）2 =a（a≥0）．
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 __0_，__3_，__4___.
课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
范围是什么？ a 中的a≥0； a≥ 0．双重非负性

《二次根式》PPT(第2课时)

取值范围是（ B ）
A.x为任意实数
B.1≤x≤4
C.x≥1
D.x≤4
【分析】
|1−x|−
− 4 2 ＝|1−x|−|x−4|，而结果是2x−5，
∴ 1−x≤0且x−4≤0，即1≤x≤4.
随堂训练
1 − 2 2 ＝2a−1，那么（ D ）
3.如果
1
2
B.a≤
1
2
D.a≥
A.a＜
C.a＞
1
2
1
这就是说，当a≥0时， ≥0.
新课导入
问题2 二次根式 ( )2 的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的值又是什么？
当a＞0时， ( )2 表示a的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝a；
当a=0时， ( )2 表示0的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝0 ，
这就是说，当a≥0时， ( )2 =a.

练一练
3.若 − 2＋9与|x−y−3|互为相反数，则x＋y的值为（ D ）
A.3
B.9
C.12
D.27
【分析】
根据互为相反数的两数相加得0，
可知 − 2＋9＋|x−y−3|＝0，
所以ቊ
− 2＋9＝0，
＝15，
解得 ቊ
即x＋y＝27.
− − 3＝0，
＝12，
知识讲解
例3
解：由题意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+4×2=9，
∴x+4y的平方根为±3.
随堂训练
1.下列运算中不正确的是（
A.
2
2
B. 3D2 ＝3

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3.a取什么实数时，下列各式有意义？
(1) a + 2 ; a≥－2 (2) a ; a为任意实数
2
1 (3) . a a＞0
练习
１.已知 y =
x - 2 + 2 - x + 3，求x、y的值.
x=2，y=3 ２.已知 a - 4 + | 3 - a | a ，求a的值. a≥4 a - 4 + a - 3 a，即 a - 4 3 a-4=9，则 a=13
2
（二）
探究（—）当a>0 时，a 表示a的算术平方根，因此 a 当 a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a
0 0
根据上面的讨论，我们可以得出 a（a≥0）是一个什么数呢？ a（a≥0）是一个非负数．
(
4)
2
4
( 0 )2 0
a a
( 0.01) 0.01 2
2
1 2 ( ) 3
1 3
(a≥0)
观测上述等式的两边,你能得到什么启示?
1、（ a）＝a （a 0）
2
6
1:从运算顺序来看,
a
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
先开方,后平方
2.从取值范围来看,
a
a≥0
3.从运算结果来看:
a
2
=a
例:
9
把式子 ( a ) 2 a(a≥ 0) 反过来，就得到
a ( a ) (a≥ 0).
知识回顾
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
2 + 20 、 a2 + b2 、 15 . m 2.下列各式中，是二次根式的有____________________
-144 、 m2 + 20 、 3a 、 a2 + b2 、 15 、 b 2 - 1 .
2
5.把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 ( 5 ) 2 （2）3.4 ( 3.4 ) 2
（3）
1 6
1 2 ( ) 6
（4）x（x≥0） ( x ) 2
10
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x - 3 (2 x) - 3

2
(2 x + 3 )(2 x - 3 )
?
11
12
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性） .
2
a
a(a 0)
13