2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41， 故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可． 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误， 故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ， 则有cosA =12， 则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ， 则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0， 故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5． 故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ． 故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)． 设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )， 则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则． 因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。
