八年级数学学人教版 第11章 三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.3 三角形的稳定性【学案】

初中数学人教版八年级上册实用资料11.1.2三角形的高、中线与角平分线◇教学目标◇【知识与技能】1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念;2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.【过程与方法】1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法;2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.【教学难点】探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.◇教学过程◇一、情境导入有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草,妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积,一半种花草,一半种菜,不知如何作,小明说,这还不好办,做一边的中线就行了,聪明的你,能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗?二、合作探究探究点1三角形的高典例1如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD,BE相交于点F,连接CF.(1)在△ABC中,AC边上的高为,BC边上的高为;(2)在△ABD中,AD边上的高为;(3)在△BCE中,CE边上的高为;(4)在△BCF中,BC边上的高为;(5)在△ABF中,AF边上的高为,BF边上的高为.[解析]三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线引垂线,顶点和垂足间的线段.[答案](1)BE;AD(2)BD(3)BE(4)FD(5)BD;AE【归纳提升】锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.变式训练下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是()[答案] D探究点2中线的特性典例2三角形一边上的中线把原三角形分成两个()A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形[解析]根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.[答案] B【技巧点拨】三角形的中线把三角形分为两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等.探究点3三角形的角平分线典例3如图,CD,BE分别是△ABC的角平分线,它们相交于点I,则:(1)∠ACD=∠=∠ACB,∠ABC=∠ABE.(2)BI是∠的平分线,CI是∠的平分线.(3)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BIC=度.(4)你能画出△ABC的第三条角平分线吗?[解析](1)BCD;;2.(2)ABC;ACB.(3)110°.(4)连接AI并延长,即为∠BAC的角平分线.探究点4三角形的中线与周长典例4如图,AD是△ABC的中线,且AB=10 cm,AC=6 cm,求△ABD与△ACD的周长之差.[解析]∵AD为中线,∴BD=CD,∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,∵AB=10,AC=6,∴△ABD与△ACD的周长之差=10-6=4 cm.变式训练在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34 cm,△ABD的周长为30 cm,求AD的长.[解析]由题意得AB+AC+BC=34,AB+AD+BD=30,∵AB=AC,BD=BC,∴②×2得2AB+2AD+BC=60,③③-①得2AD=26,∴AD=13 cm.三、板书设计三角形的高、中线与角平分线三角形的高、中线与角平分线◇教学反思◇通过本课时的教学要让学生认识三角形的三条重要线段的概念、图形和它们的相关特性,如三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于一点的性质,应逐步加强学生几何语言的表达能力.。

第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段【高、中线（重心）、角平分线】
两边之差＜第三边＜两边之和。

按边分类、三角形的稳定性。

11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。

直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

备注：推论和定理一样，可以作为进一步推理的依据。

11.3 多边形及其内角和
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭式图形。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。

n边形内角和等于（n-2）×180º。

多边形的外角和等于360º。

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第十一章 11.1.1三角形的边知识点1：三角形的概念(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC” .另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).(2)按照三角形的大小去数.(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.知识点2：三角形的分类(1)三角形按边分类:三角形(2)三角形按角的大小分类:三角形(3)按边分类中各种三角形的关系:归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.知识点3：三角形的三边关系(1) 三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差小于第三边.归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.考点1：三角形的数法【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).考点2：三角形的分类【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).解:A.点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.考点3：三角形边的求法【例3】已知等腰三角形的周长是600px.(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=24.解得x=4.8.故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.∵150px,225px,225px可以组成三角形,∴三角形其他两边长均为225px.点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.考点4：三角形的三边关系【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为.解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.。

第十一章　三角形 11.1　与三角形有关的线段 11.1.1　三角形的边学习目标 1.了解三角形的概念,会用符号语言表示三角形. 2.通过具体的实践活动理解三角形三边的不等关系.学习过程 一、自主学习 问题 1:观察下面的图片,你能找到哪些我们熟悉的图形?问题 2:在小学,我们学过三角形,你了解三角形的哪些性质? 二、深化探究 探究 1:观察三角形的构成,探索三角形的概念 问题 1:你能画出一个三角形吗?问题 2:结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的? 问题 3:下面的几个图形都是由三条线段组成的,它们都是三角形吗?问题 4:什么叫三角形?探究 2:自主学习三角形的表示方法及分类 阅读教材第 2 页到第 3 页探究前内容,回答下列问题. 问题 1:如图回答以下问题: (1)在三角形中,什么叫边?什么叫内角?什么叫顶点? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)如何用符号表示三角形 ABC? (4)如何用小写字母表示三角形 ABC 的三条边?问题 2:如果将三角形分类,按照边的关系分可以分成几类?按照角的关系又如何分类呢?问题 3:如图,找出图中的三角形,用符号表示出来,并指出 AB,AD,CD 分别是哪个三角形的边.探究 3:通过观察实践,理解三角形三边关系 问题 1:任意画一个△ABC,假设有一只小虫从点 B 出发,沿三角形的边爬到点 C,它有几条线路 可以选择?各条线路的长一样吗?问题 2:联系三角形的三边,从问题 1 中你可以得到怎样的结论? 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段能组成一个三角形吗?为什么? 三、练习巩固 练习 1:三角形是指( ) A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 练习 2:图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.练习 3.有三根木棒的长度分别为 3 cm,6 cm 和 4 cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?练习 4:用一条长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的 2 倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗?为什么?四、深化提高 练习 1:下面各组数中作为线段长不能构成三角形的一组是( ) A.0.2,0.6,0.7 B.5k,7k,10k(k>0) C.m-a,m,m+a(m>a,m>0,a>0) D.22,22,33 练习 2:小明想要钉一个三边长都是整数的三角形,现在他只有两根分别长 4 cm 和 5 cm 的木 条,那么第三根木条的长度可以是多少?(写出所有可能结果)练习 3:平面上有四个点 A,B,C,D,用它们作顶点可以组成几个三角形?参考答案 一、自主学习问题 1:三角形、四边形等. 问题 2:三条边;三个内角;具有稳定性;三角形的内角和是 180°. 二、深化探究 探究 1: 问题 1:能 问题 2:三角形是由三条线段组成的. 问题 3:只有第(1)个是三角形,其他的都不是. 问题 4:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 探究 2: 问题 1:组成三角形的三条线段都叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简 称三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.三角形有三条边、三个内角、三个顶点.三角 形 ABC 用符号表示为△ABC.△ABC 的边 AB 为∠C 所对的边,可以用顶点 C 的小写字母 c 表示,同样, 边 AC 可用 b 表示,边 BC 可用 a 表示. 问题 2:三角形按照“有几条边相等”可以分为:{ 等边三角形 等腰三角形 三角形 不等边三角形也可以按照边的相等关系分为:{ { 不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形三角形三角形按照角的关系可以分为:{直角三角形锐角三角形 三角形 钝角三角形 问题 3:图中共有三个三角形,分别是△ABC,△ABD,△ADC,其中 AB 既是△ABC 的边,也是△ABD 的边,AD 既是△ABD 的边,也是△ADC 的边,CD 是△ADC 的边. 探究 3: 问题 1:小虫从点 B 出发沿三角形的边爬到点 C 有 2 条线路: (1)从 B→C,即线段 BC 的长; (2)从 B→A→C,即线段 BA 与线段 AC 长之和:BA+AC. 经过测量可得 BA+AC>BC,所以这两条线路的长不一样. 根据“两点的所有连线中,线段最短”,说明 BA+AC>BC. 问题 2:三角形两边的和大于第三边. 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段不能组成一个三角形,因为 5+3<9. 三、练习巩固 答案:1.C 2.共有 5 个三角形.分别是:△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE. 3.能,因为 3+4>6. 4.解:(1)设底边长为 x cm,则腰长 2x cm. x+2x+2x=18, 解得 x=3.6. 所以,三边长分别为 3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm. (2)因为长 4 cm 的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论. 如果长 4 cm 的边为底边,设腰长为 x cm,则 4+2x=18, 解得 x=7. 如果长 4 cm 的边为腰,设底边长为 x cm,则 2×4+x=18, 解得 x=10. 因为 4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 由以上讨论可知,可以围成一边长是 4 cm 的等腰三角形. 四、深化提高 练习 1:C 练习 2:解:第三根木条的长度可以是 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm. 练习 3:解:由于题中并没有说明这四个点是否在同一条直线上,所以要分情况讨论. (1)四点共线时,不能组成三角形. (2)三点共线时,可以组成三个三角形. (3)任意三点都不共线时,可以组成四个三角形.。

数学人教版八年级上第十一章11.1 与三角形有关的线段11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC. 注：顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：?直角三角形三角形?锐角三角形?钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ADC.△ABC的三边是：AB，BC，AC，三个内角分别是：∠BAC，∠B，∠C；△ABD的三边是：AB，BD，AD，三个内角分别是：∠BAD，∠B，∠ADB；△ADC的三边是：AD，DC，AC，三个内角分别是：∠ADC，∠DAC，∠C.2．三角形的三边关系 (1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c－b边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．A．1,2,3.5 B．4,5,9 C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°. (3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在( )． A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有感谢您的阅读，祝您生活愉快。