求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点 A(－5，6)； (2)与椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 共焦点，且过点(－2， 10)．
[解析] (1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在 y 轴上， 则另一焦点坐标是(0,6)．
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由题意 易求得 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)， ∴3 a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2， ∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推 导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是 令 b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令 b2＝ c2－a2.
3．用待定系数法求双曲线方程 (1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下 ①确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还 是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能．
[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、b 的 方程组，求得 a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方 关系 c2＝a2＋b2 的运用．
[解析] (1)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)，
3a22 －b92＝1 则
2a52 －1861b2＝1
，解得ab22＝＝196 .
4．焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)．
5．在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为_a_2_＋__b_2＝__c_2_.
6．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作 用，也能有效的解决知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时 时留意与椭圆进行对比．
学习要点点拨
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满 足的条件，即双曲线要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|. 这样就能避免两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹 是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”
在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为 mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以简化运算，同理求经过两定点的双 曲线方程也可设为 mx2＋ny2＝1，但这里应有 m·n<0.
4．在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线 上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定 义的应用．
椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆
双曲线
定义|MF1|＋|MF2|＝2a
定义|MF1|－|MF2|＝±2a
因为 a>c>0，
因为 0<a<c，
所以令 a2－c2＝b2(b>0)
所以令 c2－a2＝b2(b>0)
ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1
ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
2．2 双曲线
第二章
第 1 课时 双曲线及其标准方程
学习要点点拨 课前自主预习 课堂典例讲练
课堂巩固练习 课后强化作业
课程目标解读
1．了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程．
重点难点展示
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
②确定方程的形式：根据上述判断设方程为ax22－by22＝1 或ay22 －bx22＝1(a>0，b>0)．
③确立参数的关系式：根据已知条件列出关于 a、b、c 的 方程组．
④解方程组：解上述方程组，得到参数 a、b、c 的值，代 入所设方程即为所求．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点 所在位置，不能确定时应分类讨论．
解法二：设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1， 将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
[点评] 求双曲线标准方程的步骤： (1)定位置：根据双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种 都有可能； (2)设方程：根据焦点位置，设方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)； (3)寻关系：根据已知条件列出关于 a、b(或 m、n)的方程 组； (4)得方程：解方程组，将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设 方程即为所求．
已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用 正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．
5．在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看 x2、 y2 项分母的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴 上，是看 x2，y2 系数的符号．
课前自主预习
1．在平面内到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于定 值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_双__曲__线_．这两个定点 叫做双曲线的_焦__点__，两焦点之间的距离叫做双曲线的_焦__距_．
2．在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，若 2a ＝|F1F2|，则动点的轨迹是_两__条__射__线__；若 2a>|F1F2|，则动点的 轨迹是__不__存__在____．
3．双曲线定义中应注意关键词“__绝__对__值__”，若去掉定 义中“__绝__对__值__”三个字，动点轨迹只能是__双__曲__线__一__支____．
(a>b>0)
(a>0，b>0，a 不一定大于 b)
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向 待定系数法求双曲线的标准方程
[例 1] (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3， －4 2)和(94，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
