函数的概念习题课

专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（ ）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（ ）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

3.1.1 第2课时 函数的概念(二)基 础 练巩固新知 夯实基础1.下列函数与函数y ＝x 是同一函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3t 3C ．y ＝x 2D ．y ＝v 2v 2. (多选)下列函数，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝x ＋1(x >－1)B ．y ＝x 2C ．y ＝1x (x >0)D ．y ＝1x ＋13.函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A.{－1,0,3}B.{0,1,2,3}C.{y |－1≤y ≤3}D.{y |0≤y ≤3}4.函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]5.已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (2)＋f (－2)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26.下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 7．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝__________________(用区间表示)．8.求下列函数值域。

(1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)；(2)y ＝5x －14x ＋2； (3)f (x )＝4－x ＋x －2.能 力 练综合应用 核心素养9.函数y ＝5x ＋4x －1的值域是( ) A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．(－∞，5)∪(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)10.下列各组函数中是同一函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 211.函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x >1}C ．{2,3}D ．{2,5}12.下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x | 13.若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝_____，f (f (－2))＝_____. 14.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＋b 的值为__92__. 15.若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．16.已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值．(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019的值．【参考答案】1.B 解析 选项A 和选项C 中，函数的值域都是[0，＋∞)；选项D 中，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B 中函数的定义域和值域都和函数y ＝x 相同，对应关系也等价，因此选B.2.AC 解析 y ＝x ＋1(x >－1)的值域为(0，＋∞)；y ＝x 2的值域为[0，＋∞)；y ＝1x (x >0)的值域为(0，＋∞)；y ＝1x ＋1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，3.A 解析 由对应关系y ＝x 2－2x 得，0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}.4.B 解析 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．5. B 解析 f (2)＋f (－2)＝2＋12－2－12＝0. 6.B 解析 A 、C 、D 的定义域均不同．7. [0,2)∪(2，＋∞) 解析要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2或x >2}．8.解：(1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)y ＝5x －14x ＋2＝544x ＋2－1－1044x ＋2＝544x ＋2－1444x ＋2＝54－724x ＋2. ∵724x ＋2≠0，∴y ≠54， ∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}． (3)由题意可得，x ∈[2,4]，因为f 2(x )＝2＋24－x x －2＝2＋2－x －32＋1，所以f 2(x )∈[2,4]，故函数f (x )的值域为[2，2]．9.C 解析∵y ＝5x ＋4x －1＝5(x －1)＋9x －1＝5＋9x －1，且9x －1≠0，∴y ≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)． 10.B 解析对于选项A ，前者定义域为R ，后者定义域为{x |x ≠1}，不是同一函数；对于选项B ，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C ，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D ，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．11.D 解析：∵0<x ≤2且x ∈N *，∴x ＝1或x ＝2.∴f (1)＝2，f (2)＝5，故函数的值域为{2,5}．12.A 解析 对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立．对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立．对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立．对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．13.－18 98 解析 f (3)＝11－9＝－18，f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝98.14. 92 解析 ∵f (x )＝12x 2－x ＋a ＝12(x －1)2＋a －12，∴当x ∈[1，b ]时，f (x )min ＝f (1)＝a －12，f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a .又f (x )在[1，b ]上的值域为[1，b ]，∴⎩⎨⎧ a －12＝1，12b 2－b ＋a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝1舍去或b ＝3. ∴a ＋b ＝32＋3＝92. 15. [3，＋∞) 解析 函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则{ a >0，Δ＝4a 2－12a ≥0，解得a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)．16. 解 (1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝1. 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝2018.。

函数的概念同步练习第2课时 函数的定义域与值域1. 函数()xx f 1=的定义域是 【 】（A ）R （B ）{}0≥x x （C ）{}0>x x （D ）{}0≠x x 2. 函数112++-=x x y 的定义域是 【 】（A ）(]2,1- （B ）[]2,1- （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 3. ()()1210++-=x x x f 的定义域是 【 】 （A ）()+∞-,1 （B ）()1,-∞- （C ）R （D ）()()+∞-,11,14. 函数()x x x f -+=的定义域为 【 】 （A ）[)+∞,0 （B ）(]0,∞- （C ）{}0 （D ）{}15. 函数xy --=112的定义域为 【 】（A ）()1,∞- （B ）()(]1,00, ∞- （C ）()()1,00, ∞- （D ）[)+∞,16. 函数()xx x y -+=01的定义域是 【 】（A ）{}0>x x （B ）{}0<x x （C ）{}10-≠<x x x 且 （D ）{}10-≠≠x x x 且7. 已知函数()x f y =与函数x x y -++=13是相等的函数,则函数()x f y =的定义域是 【 】 （A ）[]1,3- （B ）()1,3- （C ）()+∞-,3 （D ）(]1,∞-8. 函数()132--=x x x f 的定义域是_____________.9. 函数()xx f 211-=的定义域是_____________.10. 函数46--=x xy 的定义域用区间表示为________________. 11. 函数()()R x x x f ∈+=112的值域是 【 】 （A ）()1,0 （B ）(]1,0 （C ）[)1,0 （D ）[]1,012. 函数1+=x y 的值域为 【 】 （A ）[)+∞-,1 （B ）[)+∞,0 （C ）(]0,∞- （D ）(]1,-∞-13. 下列函数中,值域为()+∞,0的是 【 】 （A ）x y = （B ）2100+=x y（C ）xy 16=（D ）12++=x x y 14. 函数()x x x f +=2（1-≤x ≤3）的值域是 【 】 （A ）[]12,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,41 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,21 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡12,4315. 下列函数中,值域是()+∞,0的是 【 】 （A ）()012>+=x x y （B ）x y = （C ）112-=x y （D ）xy 2=16. 函数()()0123>++=x xxx f 的值域是 【 】（A ）()3,∞- （B ）()+∞,3 （C ）()3,2 （D ）()3,017. 函数x x y -+=12的值域是 【 】 （A ）(]2,∞- （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-817,（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,817 （D ）[)+∞,218. 已知[]1,0∈x ,则函数x x y --+=12的值域是 【 】 （A ）[]13,12-- （B ）[]3,1 （C ）[]3,12- （D ）[]12,0- 19. 函数()32122+-+=x x x f 的值域是_____________.20. 已知()[]()2,2422-∈++=x x x x f ,则()x f 的值域为_____________. 21. 函数()12+=x x f ,(]3,1-∈x 的值域为_____________.22. 若函数()x f y =的定义域为[]1,1-,则函数()()12-=x x f x g 的定义域是 【 】（A ）[)1,1- （B ）[)1,0 （C ）[)()1,00,1 - （D ）[]1,1-23. 函数()x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21,则()x f y -=3的定义域是 【 】（A ）[]1,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 （D ）()3,∞-24. 已知函数)(x f 的定义域为[]2,2-,函数()()121+-=x x f x g ,则函数()x g 的定义域为 【 】（A ）⎥⎦⎤⎝⎛-3,21 （B ）()+∞-,1（C ）()3,00,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛- （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2125. 若函数()x f y 23-=的定义域为[]2,1-,则函数()x f y =的定义域是 【 】（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,25 （B ）[]2,1- （C ）[]5,1- （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2126. 函数()3412++-=x ax x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）()⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34,00, （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34,（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,34 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3427. 函数()1312++=ax ax x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛94,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,0 （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡94,0 （D ）⎥⎦⎤ ⎝⎛94,028. 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么解析式为2x y =,值域为{}4,1的“同族函数”共有 【 】（A ）7个 （B ）8个 （C ）9个 （D ）10个29. 若函数442--=x x y 的定义域为[]m ,0,值域为[]4,8--,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）(]2,0 （B ）(]4,2 （C ）[]4,2 （D ）()4,030. 已知函数()()132+-+=x m mx x f 的值域是[)+∞,0,则实数m 的取值范围是___________. 31. 已知函数()3422++-=k kx kx x f 的定义域为R ,则k 的取值范围是_______.32. 已知函数2215x x y --=的定义域是A ,函数22x x a y --=的值域是B ,全集为R ,（C R A ）=B R ,求实数a 的取值范围.33. 已知函数1822+++=x nx mx y 的定义域为()+∞∞-,,值域为[]9,1,求n m ,的值.函数的概念同步练习第2课时 函数的定义域与值域答案解析1. 函数()xx f 1=的定义域是 【 】（A ）R （B ）{}0≥x x （C ）{}0>x x （D ）{}0≠x x解析 解不等式组⎩⎨⎧≠≥00x x 得:0>x∴该函数的定义域是{}0>x x . ∴选择答案【 C 】. 2. 函数112++-=x x y 的定义域是 【 】（A ）(]2,1- （B ）[]2,1- （C ）()2,1- （D ）[)2,1-解析 解不等式组⎩⎨⎧>+≥-0102x x 得:x <-1≤2.∴该函数的定义域为(]2,1-. ∴选择答案【 A 】. 3. ()()1210++-=x x x f 的定义域是 【 】 （A ）()+∞-,1 （B ）()1,-∞- （C ）R （D ）()()+∞-,11,1解析 解不等式组⎩⎨⎧>+≠-0101x x 得:1->x 且1≠x .∴该函数的定义域为()()+∞-,11,1 . ∴选择答案【 D 】.4. 函数()x x x f -+=的定义域为 【 】 （A ）[)+∞,0 （B ）(]0,∞- （C ）{}0 （D ）{}1解析 解不等式组⎩⎨⎧≥-≥00x x 得:0=x . ∴该函数的定义域为{}0. ∴选择答案【 C 】. 5. 函数xy --=112的定义域为 【 】（A ）()1,∞- （B ）()(]1,00, ∞- （C ）()()1,00, ∞- （D ）[)+∞,1解析 解不等式组⎩⎨⎧≠--≥-01101x x 得:x ≤1且0≠x .∴该函数的定义域为()(]1,00, ∞-. ∴选择答案【 B 】.6. 函数()xx x y -+=01的定义域是 【 】（A ）{}0>x x （B ）{}0<x x （C ）{}10-≠<x x x 且 （D ）{}10-≠≠x x x 且解析 解不等式组⎩⎨⎧>-≠+001x x x 得:0<x 且1-≠x .∴该函数的定义域为{}10-≠<x x x 且. ∴选择答案【 C 】.7. 已知函数()x f y =与函数x x y -++=13是相等的函数,则函数()x f y =的定义域是 【 】 （A ）[]1,3- （B ）()1,3- （C ）()+∞-,3 （D ）(]1,∞-解析 本题考查函数定义域的确定和函数相等.只有定义域和对应关系都相同的两个函数才相等.解不等式组⎩⎨⎧≥-≥+0103x x 得:3-≤x ≤1.∴函数x x y -++=13的定义域为[]1,3-.∵函数()x f y =与函数x x y -++=13是相等的函数 ∴函数()x f y =的定义域为[]1,3-. ∴选择答案【 A 】.8. 函数()132--=x x x f 的定义域是_____________.解析 解不等式组⎩⎨⎧≠-≥-01032x x 得:3-≤x ≤3,且1≠x .∴该函数的定义域为[)(]3,11,3 -. 9. 函数()xx f 211-=的定义域是_____________.解析 解不等式021>-x 得:21<x . ∴该函数的定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,.10. 函数46--=x xy 的定义域用区间表示为________________. 解析 解不等式组⎩⎨⎧≠-≥-0406x x 得:x ≤6且4±≠x .∴该函数的定义域为()()(]6,44,44, --∞- 11. 函数()()R x x x f ∈+=112的值域是 【 】（A ）()1,0 （B ）(]1,0 （C ）[)1,0 （D ）[]1,0解析 ∵2x ≥0,∴12+x ≥1∴1102+<x ≤1,即y <0≤1. ∴该函数的值域为(]1,0. ∴选择答案【 B 】.12. 函数1+=x y 的值域为 【 】 （A ）[)+∞-,1 （B ）[)+∞,0 （C ）(]0,∞- （D ）(]1,-∞-解析 ∵1+x ≥0,∴y ≥0.∴该函数的值域为[)+∞,0. ∴选择答案【 B 】.13. 下列函数中,值域为()+∞,0的是 【 】 （A ）x y = （B ）2100+=x y（C ）xy 16=（D ）12++=x x y 解析 本题考查常见函数值域的求法.对于（A ）,∵x ≥0, ∴y ≥0,∴该函数的值域为[)+∞,0;对于（B ）,∵02>+x ,∴0>y ,∴该函数的值域为()+∞,0; 对于（C ）,函数xy 16=的值域为()()+∞∞-,00, ; 对于（D ）,用配方法求其值域.∵4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=x x x y .∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43.∴选择答案【 B 】.14. 函数()x x x f +=2（1-≤x ≤3）的值域是 【 】 （A ）[]12,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,41（C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,21（D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡12,43解析 ∵()412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x f∴该函数图象的对称轴为直线21-=x .∵[]3,1-∈x ,∴()4121min -=⎪⎭⎫⎝⎛-=f x f .()()123332max =+==f x f .∴函数()x x x f +=2（1-≤x ≤3）的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,41.∴选择答案【 B 】.15. 下列函数中,值域是()+∞,0的是 【 】 （A ）()012>+=x x y （B ）x y = （C ）112-=x y （D ）xy 2=解析 对于（A ）,当0>x 时,112>+x ,∴1>y ,即该函数的值域为()+∞,1;对于（B ）,函数x y =的值域为R ;对于（C ）,∵012>-x ,∴0112>-x ,∴0>y ,即该函数的值域为()+∞,0;对于（D ）,函数xy 2=的值域为()()+∞∞-,00, . ∴选择答案【 C 】. 16. 函数()()0123>++=x xxx f 的值域是 【 】（A ）()3,∞- （B ）()+∞,3 （C ）()3,2 （D ）()3,0解析 本题考查用分离常数法求函数的值域.形如bax dcx y ++=的函数常用分离常数法求值域,分离过程为:()b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=. ∵0≠+-bax a bc d ,∴a c y ≠. ∴此类函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,a c a c .()()xx x x x x f ++=+++=++=1121112123 ∵0>x ∴1110<+<x ,∴31122<++<x. ∴32<<y ,即该函数的值域为()3,2. ∴选择答案【 C 】.注意 在求函数的值域时,要先确定函数的定义域.17. 函数x x y -+=12的值域是 【 】 （A ）(]2,∞- （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-817,（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,817 （D ）[)+∞,2 解析 本题考查用换元法求函数的值域.形如()0≠+++=a d cx b ax y 的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令d cx t +=（t ≥0）,用t 表示出x ,并标明t 的取值范围,并代入函数解析式,把y 表示成关于t 的二次函数,最后利用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,值域含有后要标明新元的取值范围. 本题,令x t -=1（t ≥0）,则21t x -=.∴()8174122212222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=+-=t t t t t y .∵[)+∞∈,0t∴81741max =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y ,无最小值.∴该函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-817,. ∴选择答案【 B 】.18. 已知[]1,0∈x ,则函数x x y --+=12的值域是 【 】 （A ）[]13,12-- （B ）[]3,1 （C ）[]3,12- （D ）[]12,0-解析 ∵[]1,0∈x∴2≤x ≤3,∴2≤2+x ≤3. 当0=x 时,()22min=+x ,当1=x 时,()32max=+x .∵[]1,0∈x∴1-≤x ≤0,∴0≤x -1≤1. ∴0≤x -1≤1,∴1-≤x --1≤0. 当0=x 时,()11min-=--x,当1=x 时,()01max=--x.∴当0=x 时,12min -=y ;当1=x 时,3max =y . ∴该函数的值域为[]3,12-.∴选择答案【 C 】.19. 函数()32122+-+=x x x f 的值域是_____________.解析 ()()2112321222+-+=+-+=x x x x f .∵()21-x ≥0,∴()212+-x ≥2.∴()212+-x ≥2∴()21102+-<x ≤2221=∴()211222+-+<x ≤223,即y <2≤223. ∴该函数的值域是⎥⎦⎤⎝⎛223,2. 20. 已知()[]()2,2422-∈++=x x x x f ,则()x f 的值域为_____________.解析 ∵()()314222++=++=x x x x f∴该函数图象的对称轴为直线1-=x ,顶点坐标为()3,1-. ∵[]2,2-∈x∴()()31min =-=f x f ,()()()1231222max =++==f x f .∴()x f 的值域为[]12,3.21. 函数()12+=x x f ,(]3,1-∈x 的值域为_____________.解析 令012=+x ,解之得:21-=x . ∵(]3,1-∈x ,(]3,121-∈-∴()021min =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=f x f ,()()71323max =+⨯==f x f . ∴该函数的值域为[]7,0.方法二: 图象法.函数()12+=x x f ,(]3,1-∈x 的图象如图所示.由函数图象可知,该函数的值域为[]7,0.22. 若函数()x f y =的定义域为[]1,1-,则函数()()12-=x x f x g 的定义域是 【 】 （A ）[)1,1- （B ）[)1,0 （C ）[)()1,00,1 - （D ）[]1,1-解析 本题考查抽象函数定义域的求法. 求抽象函数或复合函数定义域的方法（1）已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域,其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ,求)(x g 的范围（值域）,此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先按（2）求出)(x f 的定义域.由题意可得:⎩⎨⎧≠-≤≤-01112x x ,解之得:1-≤1<x .∴函数()x g 的定义域为[)1,1-. ∴选择答案【 A 】.23. 函数()x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21,则()x f y -=3的定义域是 【 】（A ）[]1,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 （D ）()3,∞-解析 ∵函数()x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-13213x x ,解之得: 2≤x ≤25.∴()x f y -=3的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2.∴选择答案【 C 】.24. 已知函数)(x f 的定义域为[]2,2-,函数()()121+-=x x f x g ,则函数()x g 的定义域为 【 】（A ）⎥⎦⎤⎝⎛-3,21 （B ）()+∞-,1（C ）()3,00,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛- （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21解析 由题意可得:⎩⎨⎧>+≤-≤-012212x x ,解之得:x <-21≤3.∴函数()x g 的定义域为⎥⎦⎤⎝⎛-3,21,选择答案【 A 】.25. 若函数()x f y 23-=的定义域为[]2,1-,则函数()x f y =的定义域是 【 】（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,25 （B ）[]2,1- （C ）[]5,1- （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21解析 ∵函数()x f y 23-=的定义域为[]2,1-∴1-≤x ≤2,∴4-≤x 2-≤2. ∴1-≤x 23-≤5.∴函数()x f y =的定义域是[]5,1-. ∴选择答案【 C 】. 26. 函数()3412++-=x ax x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）()⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34,00, （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34,（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,34 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34解析 由题意可知,对于任意∈x R ,0342≠++x ax 恒成立.当0=a 时,034≠+x ,解之得:43-≠x ,不符合题意;当0≠a 时,函数342++=x ax y 的图象与x 轴无交点.∴⎩⎨⎧<-=∆≠012160a a ,解之得:34>a .综上所述,实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34.∴选择答案【 D 】. 27. 函数()1312++=ax ax x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛94,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,0 （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡94,0 （D ）⎥⎦⎤⎝⎛94,0解析 由题意可知,对于任意∈x R ,0132>++ax ax 恒成立.当0=a 时,()1=x f ,符合题意;当0≠a 时,函数()132++=ax ax x g 的图象开口向上,且与x 轴无交点.∴()⎩⎨⎧<-=∆>04302a a a ,解之得:940<<a . 综上所述,实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡94,0.∴选择答案【 C 】.28. 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么解析式为2x y =,值域为{}4,1的“同族函数”共有 【 】（A ）7个 （B ）8个 （C ）9个 （D ）10个解析 注意,该函数的定义域为{}4,1,只含有2个元素,而不是区间[]4,1.令12=x ,解之得:1±=x ;令42=x ,解之得:2±=x . ∴根据“同族函数”的定义,符合题意的定义域为:{}2,1-,{}2,1--,{}2,1-,{}2,1,{}2,1,1-,{}2,1,1--,{}2,2,1-,{}2,2,1--,{}2,2,1,1--.∴值域为{}4,1的“同族函数”共有9个. ∴选择答案【 C 】.29. 若函数442--=x x y 的定义域为[]m ,0,值域为[]4,8--,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）(]2,0 （B ）(]4,2 （C ）[]4,2 （D ）()4,0解析 根据题意,画出函数的简图,结合简图进行求解.()824422--=--=x x x y .∴()()82min -==f x f .∵[][]4,8,,0--∈∈y m x ,∴[]m ,02∈. 令4442-=--x x ,解之得:4,021==x x .根据二次函数图象的对称性并结合函数442--=x x y 的简图可知:2≤m ≤4. ∴实数m 的取值范围是[]4,2,选择答案【 C 】.30. 已知函数()()132+-+=x m mx x f 的值域是[)+∞,0,则实数m 的取值范围是___________.解析 当0=m 时,()13+-=x x f ,符合题意;当0≠m 时,可知函数()()132+-+=x m mx x g 的图象开口向上,且与x 轴有交点.∴()⎩⎨⎧≥--=∆>04302m m m ,解之得:m <0≤1或m ≥9. 综上所述,实数m 的取值范围是[][)+∞,91,0 .注意 设函数()()132+-+=x m mx x g 的值域为A ,则区间[)⊆+∞,0A .变式训练 已知函数()12++=mx mx x f 的值域为[)+∞,0,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）[]4,0 （B ）(]4,0 （C ）()4,0 （D ）[)+∞,4 答案 【 D 】. 31. 已知函数()3422++-=k kx kx x f 的定义域为R ,则k 的取值范围是_______.解析 当0=k 时, 03>恒成立,符合题意;当0≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<+-->034402k k k k ,解之得:10<<k . 综上所述,k 的取值范围是[)1,0.32. 已知函数2215x x y --=的定义域是A ,函数22x x a y --=的值域是B ,全集为R ,（C R A ）=B R ,求实数a 的取值范围.解析 解不等式2215x x --≥0得:5-≤x ≤3.∴{}35≤≤-=x x A ∴（C R A ）{}35>-<=x x x 或 ∵()11222+++-=--=a x x x a y∴{}1+≤=a y y B . ∵（C R A ）=B R ∴1+a ≥3,解之得:a ≥2. ∴实数a 的取值范围是[)+∞,2.33. 已知函数1822+++=x nx mx y 的定义域为()+∞∞-,,值域为[]9,1,求n m ,的值.解析 n x mx y yx ++=+822整理得:()()082=-+--n y x x m y .当0=-m y 时,n x y +=8,∵∈x R ,∴函数1822+++=x nx mx y 的值域为R ,不符合题意;当0≠-m y 时,则()()()n y m y ----=∆482≥0.整理得:()()162-++-mn y n m y ≤0. ∵[]9,1∈y∴()()0162=-++-mn y n m y 的两个实数根分别为1和9. ∴由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧=⨯=-=+=+991161091mn n m ,解之得:⎩⎨⎧==55n m . 综上所述,n m ,分别为5,5==n m .。

3.1.1 第1课时 函数的概念（一）基 础 练巩固新知 夯实基础1.下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2.若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.（多选）集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x 4.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1，＋∞) 5.已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则函数f (x －1)的定义域为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,3)D ．[－2,1)6.函数f (x )＝12－x的定义域为M ，g (x )＝x ＋2的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x ≥－2} B ．{x |－2≤x <2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |x <2}7.设集合A ＝{x |x 2－8x －20<0}，B ＝[5,13)，则∁R (A ∩B )＝__________________(用区间表示)．8.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x ＋1； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1.能 力 练综合应用 核心素养9.已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5 10.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上11. (多选)下列的选项中正确的是( )A.函数就是定义域到值域的对应关系B.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素C.因f (x )＝5(x ∈R )，这个函数值不随x 的变化范围而变化，所以f (0)＝5也成立D.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了12.函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域为____________________(用区间表示)． 13.函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．14.若函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，则函数f (1－3x )的定义域为________．15.求下列函数的定义域．(1)y ＝(x ＋3)0|x |－x ； (2)y ＝13x 2－5＋7－x .16.已知函数f (x )＝3－x ＋1x ＋2的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }． (1)求集合A ；(2)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∁U A 及A ∩(∁U B )．【参考答案】1.C 解析 根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .2. B 解析 A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3.ABD 解析 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意．故选C. 4.A 解析 由题意知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0即x ≥1且x ≠2. 5. C 解析 ∵f (x )的定义域为[－1,2)，∴－1≤x －1<2，得0≤x <3，∴f (x －1)的定义域为[0,3)．6.B 解析 函数f (x )的定义域为{x |x <2}，g (x )的定义域为{x |x ≥－2}，从而M ＝{x |x <2}，N ＝{x |x ≥－2}，所以M ∩N ＝{x |－2≤x <2}．7. (－∞，5)∪[10，＋∞) 解析 ∵A ＝{x |x 2－8x －20<0}＝{x |－2<x <10}∴A ∩B ＝[5,10)，∴∁R (A ∩B )＝(－∞，5)∪[10，＋∞)．8.解 (1)要使函数有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ≠±1，x ∈R }． 9.D 解析 △ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∴x <5，又两边之和大于第三边，∴2x >10－2x ，x >52，∴此函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5. 10. C 解析 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点．11.BCD 解析 由函数的概念可知，A 不正确，其余三个选项都正确．12. [－1,2)∪(2,3] 解析 使根式3－2x －x 2有意义的实数x 的集合是{x |3－2x －x 2≥0}即{x |(3－x )(x ＋1)≥0}＝{x |－1≤x ≤3}，使分式14－x 2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠±2}，所以函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域是{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ≠±2}＝{x |－1≤x ≤3，且x ≠2}．13. [－1,7] 解析 由已知得7＋6x －x 2≥0，即x 2－6x －7≤0，解得－1≤x ≤7，故函数的定义域为[－1,7]．14. ⎝⎛⎦⎤0，23 解析 因为f (2x －1)的定义域为[0,1)，即0≤x <1，所以－1≤2x －1<1.所以f (x )的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x <1，解得0<x ≤23.所以f (1－3x )的定义域为⎝⎛⎦⎤0，23.15. 解: (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≠0，|x |－x >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－3，|x |>x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－3，x <0.故函数的定义域为{x |x <0且x ≠－3}． (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5≠0，7－x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±5，x ≤7.故函数的定义域为{x |x ≤7且x ≠±5}． 16.解 (1)使3－x 有意义的实数x 的集合是{x |x ≤3}，使1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x >－2}． 所以，这个函数的定义域是{x |x ≤3}∩{x |x >－2}＝{x |－2<x ≤3}．即A ＝{x |－2<x ≤3}．(2)因为A ＝{x |－2<x ≤3}，B ＝{x |x <a }且A ⊆B ，所以a >3.(3)因为U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |－2<x ≤3}，所以∁U A ＝(－∞，－2]∪(3,4]．因为a ＝－1，所以B ＝{x |x <－1}，所以∁U B ＝[－1,4]，所以A ∩∁U B ＝[－1,3]．。

3.4 函数的应用(一)课后训练巩固提升1.从装满20 L 纯酒精的容器中倒出1 L 酒精,然后用水加满,再倒出1 L 酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k 次时前k 次共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1 B.f(x)=120x+1 C.f(x)=1920(x+1) D.f(x)=120xk 次时共倒出纯酒精xL,所以第k 次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x 20L,故f(x)=x+20-x 20=1920x+1.2.某商品的进货价为40元/件,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,该商品的单价每提高1元,该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为( )A.45元B.55元C.65元D.70元50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y元,则y与x 的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,表示甲、乙两人运动的函数关系的图象对应正确的是( )A.甲对应图①B.甲对应图③C.乙对应图②D.乙对应图④,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是①,乙是④.4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打( )A.六折B.七折C.八折D.九折a,商品打x折,-a)×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品由题意,得(1.5a·x10应打八折.5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为( )0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2;当1<t≤2时,f(t)=12×1×2+(t-1)×2=2t-1,故当t∈[0,1]时,函数的图象是抛物线的一部分,当t∈(1,2]时,函数的图象是一条线段,故选C.6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,设S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.,根据题意,得S(x)=√3·(3-x)21-x2(0<x<1),令3-x=t,则t∈(2,3),1t ∈(13,12),则S=√3·t2-t2+6t-8=√3·1-8t2+6t-1,故当1t =38,即x=13时,S有最小值,最小值是32√33.7.有一种新型的洗衣液,去污效果特别好.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=kf(x),其中f(x)={248-x-1(0≤x≤4),7-12x(4<x≤14).若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,第2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.由题意知,k(248-2-1)=3,解得k=1.(2)因为k=4,所以y={968-x -4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14.当0≤x≤4时,由968-x-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4;当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上,当y≥4时,0≤x≤12.故只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×(7-12×12)+1×[248-(12-10)-1]=5(克/升),因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.8.在经济学中,函数f(f(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).(1)求生产P(P(P(x)取得最大值时的实际意义是什么?由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=248 0-40x,其中x∈[1,99],且x∈N*.(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-1252)2+74125.由x∈N*,知当x=62或x=63时,P(a P(x)=2480-40x,该函数是减函数,即随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(P(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.。