当前位置：文档之家 › 平面向量的数乘运算课件

平面向量的数乘运算课件

  • 格式：ppt
  • 大小：508.50 KB
  • 文档页数：11

下载文档原格式

  / 11

合集下载

7.1.4平面向量的数乘

7.1.4平面向量的数乘

3a与a的方向相反 3a 3 a
一、向量的数乘运算的定义：
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下： （1） a a ; （2） 当 0, a与a 的方向相同；当 0, a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
因为O分别为AC，BD的中点，所以 1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 1 1 1 1 OD BD （b − a）＝ a＋ b， 2 2 2 2
AO、 OD 可以用向量a，b线性表示．





运用知识
强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
例1：计算下列各式
(1)(3) 4a (2)3(a b ) 2(a b ) a
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
ad????b试用ab表示向量解ac????abbd????b?a因为o分别为acbd的中点所以1122????????aoac1212abab1122????????odbd12?12b?aab1212ab和12?12ab都叫做向量ab的线性组合或者说aood????????可以用向量ab线性表示
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
向量的数乘
一、①λ
a 的定义及运算律 b=λa 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0)
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线

平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).

- = ,
得
解得 k=λ=- .

,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,

解得 k=- .







所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2

《向量数乘运算》课件

《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)

[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)

课件2：6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

课件2：6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

(3)解：因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， C→D＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又因为 2×2－4×1＝0，所以A→B∥C→D. 又因为A→C＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，A→B＝(2,4)， 所以 2×4－2×6≠0，所以 A，B，C 不共线， 所以 AB 与 CD 不重合，所以 AB∥CD.
∴a 与 d 不平行．]
2．已知向量 a＝(3，x－1)，b＝(1,2)，若 a∥b，则实数 x 的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [∵a∥b，∴3×2－(x－1)＝0，解得 x＝7.]
3．已知 A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则 x＝________.
6 [∵A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)， ∴A→B＝(1,1)，A→C＝(4，x－2)， 又 A，B，C 三点共线，∴A→B∥A→C， 故 x－2－4＝0，解得 x＝6.]
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点坐标为13，0. 当 P 在线段 AB 延长线上时，A→P＝－2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴xy－＋34＝＝－2＋42＋x，2y， 解得xy＝＝－8，5， ∴P 点坐标为(－5,8)． 综上所述，点 P 的坐标为13，0或(－5,8)．
【规律方法】 1．关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程 求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解． 2．本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点 坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平 面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用．

向量的数乘运算(第1课时)(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

向量的数乘运算(第1课时)(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)



解：在□中， = + = + ， = − = − .
1


课堂练习
1. 任画一向量e ，分别求作向量a 4e ,b = 4e .
e
e
e
A
C
B
P
N
M
作法：在平面内任取一点A,作 AB e ,延长AB至C ,使BC 3 AB，则 AC 4e .
D.－2(a＋b)
→ 1
解析 因为 M 是 BC 的中点，所以AM＝2(a＋b).
1.化简：
1
1
1
1
3
(1)3(6 + ) − 9( + 3 )；(2)2 [(3 + 2) − ( + 2 )] − 2(2 + 8 ).
解：(1)原式= 18 + 3 − 9 − 3 = 9；


)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
B
1
1
1
4
4
2
[原式＝6(2a＋8b)－3(4a－2b)＝3a＋3b－3a＋3b
＝－a＋2b．]
→
→
→
2.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于
1
A.2(a－b)
1
B.－2(a－b)
1
C.2(a＋b)
1
例5.计算：
(1)(−3) × 4；(2)3( + ) − 2( − ) − ；(3)(2 + 3 − ) − (3 − 2 + ).
解：(1)原式= (−3 × 4) = −12；

《平面向量的应用》课件

《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。

向量的数乘 (课件)必修第二册湘教版数学

向量的数乘 (课件)必修第二册湘教版数学

【训练 1】 化简下列各式： (1)25(a－b)－31(2a＋4b)＋125(2a＋13b)； (2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n 为实数). 解 (1)原式＝25－23＋145a＋－52－43＋2165b＝0. (2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.
B.a－b
C.2a＋3b
D.2a－3b
解析 A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
4.已知A→B＝a＋4b，B→C＝2b－a，C→D＝2(a＋b)，则( B )
Hale Waihona Puke A.A，B，C 三点共线B.A，B，D 三点共线
C.A，C，D 三点共线
D.B，C，D 三点共线
解析 ∵B→C＋C→D＝a＋4b，即B→C＋C→D＝A→B，∴B→D＝A→B，即存在 λ＝1 使B→D＝
1.思考辨析，判断正误
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( × ) 提示 当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ. (2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).( √ ) 提示 由共线向量定理可知其正确. (3)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).( × ) 提示 若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
点睛
根据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点， 这样两向量所成的角才是两向量的夹角. 例如，如图，在△ABC 中，∠BAC 不是C→A与A→B的夹角，∠BAD 才是C→A与A→B 的夹角.其中，A→D是C→A平移所得.
4.单位向量 长度为__1__的向量称为单位向量.对于任一非零向量 a，都可得到与它方向相同的

平面向量的数乘运算课件

平面向量的数乘运算课件
ห้องสมุดไป่ตู้题型二
已知平面向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$\theta $，且$|\overset{\longrightarrow}{a}| = m,|\overset{\longrightarrow}{b}| = n$，求 $|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}|$的值。
典型例题分析
• 解：$|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}| = \sqrt{(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})^{2}} = \sqrt{|\overset{\longrightarrow}{a}|^{2} + 2\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + |\overset{\longrightarrow}{b}|^{2}}$$= \sqrt{m^{2} + 2mn\cos\theta + n^{2}}$。
03
平面向量的数乘运算的 应用
在几何中的应用
向量数量积的几何意义
平面向量的数乘运算可以表示向量的 长度和方向，其几何意义可以应用于 解决几何问题中的长度、角度、面积 等问题。
平行四边形的性质
三角形的重心坐标
利用数乘运算可以求出三角形重心的 坐标，从而解决与重心坐标相关的几 何问题。

人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件

人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件

)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||


,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为

高中数学必修二课件：平面向量数乘运算的坐标表示

高中数学必修二课件：平面向量数乘运算的坐标表示

【讲评】 准确运用向量线性运算的坐标公式，利用“坐标对应成比例” 熟记向量共线的坐标表示，应用时写为等积式形式．
(2)O是坐标原点， O→A ＝(k，12)， O→B ＝(4，5)， O→C ＝(10，k)．当k为何值 时，A，B，C三点共线？
【思路】 由A，B，C三点共线可知，A→B，A→C，B→C中任意两个共线，用坐 标表示共线条件，解方程可求得k值．
【解析】 ①12×(－3)－34×(－2)＝－32＋32＝0， ∴a∥b. ②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a不平行于b. ③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a不平行于b. ④2×2－3×－43＝4＋4＝8≠0，∴a不平行于b.
(2)已知 O→A ＝(k，2)， O→B ＝(1，2k)， O→C ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k＝___－_14____．
(3)已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a.
【思路】 关键是找到实数λ，μ，使得a＝λb＋μc. 【解析】 设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，
则(10，－4)＝λ(3，1)＋μ(－2，3)
＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)． 依题设得3λλ＋－32μμ＝＝－104，，解得λμ＝ ＝2－，2.
方法二：∵G为△ABC的重心，设G(x0，y0)， 则xy00＝ ＝21＋＋323＋＋（ 34＝－731，）＝43，即G43，73， ∴A→G＝43，73－(2，1)＝－23，43.
课后巩固
1．若O (0，0)，A(1，2)，且O→A′＝2O→A. 则A′点坐标为( C )
A．(1，4)
B．(2，2)
答：(1)× (2)× (3)√ (4)√

6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册

6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册
人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.3.3 平面向量加、减、数乘运算的坐标
表示
复习引入
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2.
e1
e1
a
O
e2
e2
a
探究新知
思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知 BD ＝ BA ＋BC ＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 OD ＝ OB ＋ BD ＝(-1,3)＋(3,-1)
＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
典例分析
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
目标检测
2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 AB ， BA
的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3） ；
（3）A （0，3）， B（0，5）；
（4）A （3，0）， B（8，0）．
的位置的坐标．
2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点
坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.1.4 平面向量的数乘运算
职业中学数学组
1
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
1.向量加法三角形法则: b
a
o.
a+b A B
特点:首尾顺次连，起点 指终点 b a
O. B
a+b
A C
2.向量加法平行四边形法则: 特点:起点相同,对角为和
2
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
2b
6
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a; (2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a
a
的方向相同；
a 的方向相反。 特别的，当 0 时， a 0.
5
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
a
3(2a )
b a
2(a b ) 的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 7



思考:
(1)若b a(a 0),则a, b位置关系如何 ?
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
a
P
3a 3a 与 a方向相反
即 3a 3 a
4
一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向 规定如下：
（1）
| a || || a |;
（2）当 0时， a 的方向与 当 0时， a 的方向与
即a与b共线
b a (a 0)
8
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a 12a (2)3(a b ) 2(a b ) a 5b
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
a 5b 2c
9
课堂小结：
一、
λ a 的定义及运算律 (a≠0) 向量a与b共线 b=λa
二、向量共线定理
10
11
b
a
b
a
o.
a-b A
B
向量减法三角形法则: 特点：平移同起点，方向指被减
3
作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出 a a a ,你能发现什么？ a
O
a
A
a
B
a
C
3a
3a与 a 方向相同 即 3a 3 a
(a) (a) (a) 又如何呢？ 类比上述结论，
a
N M
a
Q