第二节 空间向量的运算

2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）2023.08【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；二、空间两个向量的夹角．1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a = ，OB b = ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅。

要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

空间向量及其运算知识总结精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB ;b a OB OA BA ;)(R a OP运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：)()(c b a c b a⑶数乘分配律：b a b a )( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求． 5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：t OA OP a或)(OA OB t OA OP OB t OA t )1(，中点公式．)(21OB OA OP aC'B'A'D'D A CA 'pb aOPA B M精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除yk i A(x,y,z)O jxz 7．向量与平面平行：已知平面 和向量a r，作OA a u u u r r ，如果直线OA 平行于 或在内，那么我们说向量a r 平行于平面 ，记作：//a r．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb r r r推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB u u u r u u u r u u u r ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB u u u r u u u u r u u u r u u u r ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z u u u r u u u r u u u r u u u u r③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc r r r r若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u r u u u r10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b rr ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b u u u r u u u r r r ，则AOB 叫做向量a r 与b r的夹角，记作,a b r r ；且规定0,a b r r ，显然有,,a b b a r r r r ；若,2a b r r ，则称a r 与b r互相垂直，记作：a b r r .11．向量的模：设OA a u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .12．向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b r r r r 叫做,a b rr 的数量积，记作a b r r ，即a b r r ||||cos ,a b a b r rr r ．已知向量AB a u u u r r 和轴l ，e r是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A ，作点B 在l 上的射影B ，则A B u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r上的正射影. 可以证明A B u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e u u u u r u u u r r r r r． 13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e r r r r r．（2）0a b a b r r r r ．（3）2||a a a r r r ．14．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b r r r r r r ．（2）a b b a r r r r（交换律）．（3）()a b c a b a c r r r r r r r空间向量的直角坐标及其运算精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz ，点O 叫原点，向量 ,,i j k r r r都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk u u u r r r，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCD A B C D 的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz ，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似②正四面体：如图所示，正四面体A BCD 的棱长为a ，一般选择A 在BCD 上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB（或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C 的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则112233(,,)a b a b a b a b r r ，112233(,,)a b a b a b a b r r ，123(,,)()a a a a R r， 112233a b a b a b a b r r ，112233//,,()a b a b a b a b R r r ，x C精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1122330a b a b a b a b r r．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则||a r||b r5．夹角公式：cos ||||a ba b a b rr r r r ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB u u u r,A B d空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z u u u r.平面法向量 如果a r ，那么向量a r叫做平面 的法向量.二、证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R r r 或312123//aa a ab b b b r r .2.线面平行：直线l 的方向向量为a r ，平面 的法向量为n r ，且l ，若a n r r 即0a n r r则//a r.3.面面平行：平面 的法向量为1n u r ，平面 的法向量为2n u u r ，若12//n n u r u u r 即12n n u r u u r则// .三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b r r r r2．线面垂直：直线l 的方向向量为a r ，平面 的法向量为n r ，且l ，若//a n r r即a n r r 则a r.3.面面垂直：平面 的法向量为1n u r ，平面 的法向量为2n u u r ，若12n n u r u u r 即120n n u r u u r则 .四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)a a a a r 123(,,)b b b b r(0,90] 为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b r r r r r r；cos ,||||a b a b a br rr r r r ；cos |cos ,|a b r r. 2．线面夹角：如图，已知PA 为平面 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除的垂线PO ，连结OA 则PAO 为斜线PA 和平面 所成的角，记为 易得sin |sin(,)|2OP APu u u r u u u r|cos ,|OP AP u u u r u u u r|cos ,|n AP r u u u r |cos ,|n PA r u u u r ||||||n PA n PA r u u u rr u u u r . 3． 面面夹角：设1n u r 、2n u u r分别是二面角两个半平面 、 的法向量，当法向量1n u r 、2n u u r同时指向二面角内或二面角外时，二面角 的大小为12,n n u r u u r；当法向量1n u r 、2n u u r一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角 的大小为12,n n u r u u r .五、距离1．点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，,A B d||AB u u u r 2．点面距离：A 为平面 任一点，已知PA 为平面 的一条斜线，n r为平面 的一个法向量，过P 作平面 的垂线PO ，连结OA 则PAO 为斜线PA 和平面 所成的角，记为 易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n u u u r u u u r u u u r u u u r r ||||||||PA n PA PA n u u u r r u u u r u u u r r ||||PA n n u u u r rr . 3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b的公垂线的方向向量为n r , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n r上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n r uuu r r uuu r r r .4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.。

空间向量的运算空间向量是指具有大小和方向的量，它常用箭头表示。

在立体几何中，空间向量具有重要作用，可以用来描述物体的位移、速度、加速度等。

本文将对空间向量的运算及其与立体几何的关系进行总结，包括向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等运算。

1.向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量按照相应的运算规则相加或相减的操作。

设有向量a(x1,y1,z1)和向量b(x2,y2,z2)，则它们的加法和减法运算规则为：a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)这些运算规则与平面向量的运算规则相同，只是在三维空间中进行。

2.向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数的操作。

设有向量a(x,y,z)和实数k，它们的数量乘法运算规则为：ka = (kx, ky, kz)这表示向量a的大小被k倍放大或缩小，方向不变（如果k为负数，则方向相反）。

3.向量的内积向量的内积是指将两个向量进行数量上的乘法运算。

设有向量a(x1,y1,z1)和向量b(x2,y2,z2)，它们的内积运算规则为：a·b=x1x2+y1y2+z1z2内积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以它们的大小之积。

内积还可以用几何方法来计算。

设向量a和b的夹角为θ，a的大小为，a，b的大小为，b，则有以下关系式：a·b = ，a，b，cosθ4.向量的外积向量的外积是指将两个向量进行叉乘运算，得到一个新的向量。

设有向量a(x1,y1,z1)和向量b(x2,y2,z2)，它们的外积运算规则为：a×b=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)外积的结果是一个新的向量，它垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手定则。

外积运算还有以下性质：-，a × b， = ，a，b，sinθ，其中θ是向量a和b之间的夹角。

-a×b=-b×a5.空间直线和平面的向量表示在立体几何中，直线和平面是两个重要的几何概念。

空间向量的运算空间向量是在三维空间中表示的有大小和方向的量。

在数学和物理学中，进行空间向量的运算是一项重要的任务。

本文将介绍空间向量的加法、减法、数量乘法、向量积和标量积等运算。

一、空间向量的加法空间向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。

设有两个空间向量A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。

其中，向量C的坐标分别等于向量A和向量B对应坐标的和。

例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的和向量C为(5,7,9)。

二、空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

设有两个空间向量A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。

其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标减去向量B对应坐标。

例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的差向量C为(-3,-3,-3)。

三、空间向量的数量乘法空间向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有一个空间向量A和一个实数k，它们的数量乘法运算可以表示为：C=kA。

其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标乘以实数k。

例如，设有向量A(1,2,3)和实数k为2，则它们的乘积向量C为(2,4,6)。

四、空间向量的向量积空间向量的向量积，也称为叉乘或矢积，是运算结果为向量的一种运算。

设有两个空间向量A和B，它们的向量积可以表示为：C=A×B。

其中，向量C的坐标可通过以下公式求得：Cx = AyBz - AzByCy = AzBx - AxBzCz = AxBy - AyBx例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的向量积为(-3,6,-3)。

五、空间向量的标量积空间向量的标量积，也称为点乘或数量积，是运算结果为标量的一种运算。

设有两个空间向量A和B，它们的标量积可以表示为：C=AB。

其中，标量C的值可通过以下公式求得：C = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别代表向量A和B的模，θ代表两个向量之间的夹角。

高中数学解题技巧之空间向量运算在高中数学中，空间向量运算是一个重要的知识点，也是一种常见的解题方法。

掌握了空间向量运算的技巧，可以帮助我们更好地解决与空间几何相关的问题。

本文将从向量的定义、向量的加减法、数量积和向量积等方面介绍空间向量运算的解题技巧。

1. 向量的定义首先，我们需要了解向量的定义。

在空间中，向量可以表示为一个有方向和大小的箭头。

通常，我们用字母加上一个箭头来表示向量，如AB→表示从点A指向点B的向量。

向量的大小可以用模表示，记作|AB→|，表示向量AB→的长度。

2. 向量的加减法向量的加减法是空间向量运算中的基本操作。

当我们需要求两个向量的和或差时，可以使用向量的平行四边形法则或三角形法则。

平行四边形法则：设有向量AB→和AC→，则向量AB→+AC→的终点是以A为起点，以BC为对角线的平行四边形的对角线的另一端点。

三角形法则：设有向量AB→和AC→，则向量AB→+AC→的终点是以A为起点，以BC为边的三角形的第三个顶点。

举例说明：已知向量AB→=3i+4j+2k，向量AC→=2i-j+3k，求向量AB→+AC→。

解析：根据平行四边形法则，我们可以将向量AB→和向量AC→的起点放在一起，然后以向量BC→为对角线，得到向量AB→+AC→的终点。

根据向量的定义，我们可以得到：向量AB→+AC→=AD→其中，向量AD→的坐标为(3+2)i+(4-1)j+(2+3)k=5i+3j+5k。

因此，向量AB→+AC→=5i+3j+5k。

3. 数量积数量积是空间向量运算中的另一个重要概念。

数量积可以帮助我们求解向量之间的夹角、判断向量的正交性等问题。

数量积的定义：设有向量AB→和AC→，则向量AB→·AC→=|AB→||AC→|cosθ，其中θ为向量AB→和向量AC→之间的夹角。

举例说明：已知向量AB→=3i+4j+2k，向量AC→=2i-j+3k，求向量AB→·AC→。

解析：根据数量积的定义，我们可以求得向量AB→·AC→的值。

空间向量的运算空间向量是在三维空间中具有大小和方向的量，可以表示物体的位移、力、速度等。

空间向量的运算包括求和、减法、数乘以及点积和叉积。

首先，我们来看空间向量的加法运算。

设有两个向量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是一个新的向量，它的起点与A的起点重合，终点与B的终点重合。

换句话说，在三维空间中，将两个向量首尾相接，新向量的起点就是第一个向量的起点，终点就是第二个向量的终点。

这一过程称为向量的加法。

接下来，我们来看空间向量的减法运算。

设有两个向量A和B，它们的减法运算可以表示为A - B = D，其中D是一个新的向量，它的起点与A的起点重合，终点与B的起点重合。

换句话说，在三维空间中，将第二个向量翻转180度，然后执行向量的加法运算，新向量的起点就是第一个向量的起点，终点就是第二个向量的起点。

这一过程称为向量的减法。

然后，我们来看空间向量的数乘运算。

设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为kA = E，其中E是一个新的向量，它的起点与A的起点重合，终点在与A的终点在一条直线上，但与A的终点的距离是原来的距离的k倍。

换句话说，在三维空间中，将向量A延长或缩短，但方向不变，就得到一个新的向量。

这一过程称为向量的数乘。

最后，我们来看空间向量的点积和叉积运算。

点积运算又称为内积或数量积，它表示两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的积。

点积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。

点积运算的计算公式为A · B = |A| |B| cosθ，其中A和B是两个向量，|A|和|B|分别表示它们的模长（大小），θ表示它们的夹角。

叉积运算又称为外积或向量积，它表示两个向量的乘积与它们的夹角的正弦值的积。

叉积的结果是一个向量，该向量垂直于给定的两个向量的平面。

叉积运算的计算公式为A x B = |A| |B| sinθ n，其中A和B是两个向量，|A|和|B|分别表示它们的模长（大小），θ表示它们的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位向量。

空间向量的基本运算与性质空间向量是三维空间中的有向线段，具有方向和大小。

在空间几何中，空间向量的基本运算包括加法、减法、数乘等，同时它们还具有一些特性和性质。

本文将详细讨论空间向量的基本运算和性质。

一、空间向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们的和向量c为c(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们的差向量c为c(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。

3. 数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x, y, z)和实数k，则它们的数乘结果为 b(kx, ky, kz)。

二、空间向量的性质1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

具体而言，设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们平行的条件为：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。

2. 共线向量如果两个向量共线，则它们在同一直线上。

具体而言，设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们共线的条件为存在一个实数k，使得：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 = k。

3. 零向量零向量是指起点和终点重合的向量，它的大小为0，没有方向，表示为0或者O。

4. 模长向量的模长是指向量的大小，可以用勾股定理计算得到。

设有向量a(x, y, z)，则它的模长为：|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)。

5. 单位向量单位向量是指模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

6. 向量的共线性判断设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，要判断它们是否共线，可以通过计算它们的方向比例：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。

2 空间向量的运算1．我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模2. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ；⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．3. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．4．数量积：a) 定义：θcos b a b a =⋅，式中θ为向量a 与b 的夹角。

b) 物理上：物体在常力F 作用下沿直线位移s ，力F 所作的功为θcos s F =W其中θ为F 与s 的夹角。

c) 性质：Ⅰ.2a a a =⋅Ⅱ.两个非零向量a 与b 垂直b a ⊥的充分必要条件为：0=⋅b aⅢ. a b b a ⋅=⋅Ⅳ. c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(Ⅴ. )()(c a c a ⋅=⋅λλλ为数 d) 几个等价公式：Ⅰ.坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则z z y y x x b a b a b a ++=⋅b aⅡ.投影表示式：a b b a b a b a j j Pr Pr ==⋅Ⅲ.两向量夹角可以由ba b a ⋅=θcos 式求解 5．向量积： a) 概念：设向量c 是由向量a 与b 按下列方式定义：c 的模θsin b a c =，式中θ为向量a 与b 的夹角。

c 的方向垂直与a 与b 的平面，指向按右手规则从a 转向b 。

※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。

b) 公式：b a c ⨯=e) 性质：Ⅰ.0a a =⨯Ⅱ.两个非零向量a 与b 平行a ∥b 的充分必要条件为：0b a =⨯Ⅲ. a b b a ⨯-=⨯Ⅳ. c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(Ⅴ. )()()(c a c a c a ⨯=⨯=⨯λλλλ为数 c) 几个等价公式：Ⅰ.坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则k j i b a )()()(x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a -+-+-=⨯Ⅱ.行列式表示式：z y xz yx b b b a a a k ji b a =⨯1．求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

3.1空间向量及其运算1．空间向量的有关概念：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。

2．空间向量的表示方法：用有向线段表示，且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

3．空间向量的加法与减法及数乘运算：OB a b =+ ，AB OB OA =- ，()OP a R λλ=∈4．运算法则：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+ 5．平行六面体：平行四边形按非零向量a平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作ABCD A B C D ''''-，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

6．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c . 7.向量的直角坐标运算：设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3), A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2).则a +b = ),,(332211b a b a b a +++. a -b = ),,(332211b a b a b a ---. a ·b =332211b a b a b a ++.若a 、b 为两非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ 332211b a b a b a ++=0.aba b c ++a b + acb1．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。

（1）求的长；（2）求><11,cos CB 的值。

第六节 空间向量1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝ 。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是 的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的条件是存在实数,x y ，使 。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。

若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示。