专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10
一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．
二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式
0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质：
（1）110,,,-n a a a 均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有
)()()()(21k r f r f r f m f ≠．
三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k i
j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ． 证明：4
)(2
n r f n <．
四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． A B
C
D
Q
P。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1． 设集合{}1234A a a a a =，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1358B =-，，，，则集合A = ．【解析】 {3026}-，，，显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 12343()(1)35815a a a a +++=-+++=，故12345a a a a +++=，于是集合A 的四个元素分别为5(1)653255--=-=-，，=0，5-8=-3，因此，集合{3026}A =-，，， 2．函数()f x =的值域为 ．【解析】((1)-∞+∞，，设ππtan 22x θθ=-<<，，且π4θ≠，则111cos ()πtan 1sin cos )4θf x θθθθ===---．设π)4u θ=-，则1u <≤，且0u ≠，所以1()((1)f x u =∈-∞+∞，，．3．设a b ，为正实数()()23114a b ab a b+-=≤，则log a b = ． 【解析】 1-由11a b+≤，得a b +≤．又2222()4()44()48()a b ab a b ab ab ab +=+-=+⋅≥，即a b +≥， ①于是a b +=， ②再由不等式①中等号成立的条件，得1ab =．与②联立解得11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或11a b ⎧=⎪⎨⎪⎩，，故log 1a b =-．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)02πθ∈，，那么θ的取值范围是 ． 【解析】 π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，不等式55cos sin θθ-<337(sin cos )θθ-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>，又351()7f x x x =+是()-∞+∞，上的增函数，所以sin cos θθ>，故π5π2π2π+()44k θk k +<<∈Z ．因为[02π)θ∈，，所以θ的取值范围是π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）【解析】 由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有31755!5!3600C C ⋅-⋅=种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有2227551()5!5!114002C C C ⋅⋅-⋅=所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000．6． 在四面体中ABCD ，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．【解析】设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过ABD △的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线 上．由题设知，ABD △是正三角形，则点N 为ABD △的中心．设P N ，分别为AB CD ，的中点，则N 在DP 上，且ON DP OM CD ⊥⊥，．P NMCDBOAcos sin θθ=在DMN △中，12213233DM CD DN DP ===⋅==，．由余弦定理得2221212MN =+-⋅=，故MN四边形DMON的外接圆的直径sin MNOD θ=== 故球O的半径R =7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A B ，两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则C点的坐标为 ．【解析】 ()12-，或()96-，设21122()()(2)A x y B x y C t t ，，，，，，由22104x y y x --=⎧⎨=⎩，，得2840y y --=，则128y y +=，124y y ⋅=-．又11222121x y x y =+=+，，所以12121212122()21842()11x x y y x x y y y y +=++=⋅=⋅+++=，．因为90ACB ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，即有 221212()()(2)(2)0t x t x t y t y --+--=， 即42141630t t t ---=，即2(43)(41)0t t t t 2++--=．显然2410t t --≠，否则22210t t -⋅-=，则点C 在直线210x y --=上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以2430t t ++=，解得1213t t =-=-，． 故所求点C 的坐标为()12-，或()96-，．8．已知()200200C 1295nnn n a n -==，，，，则数列{}n a 中整数项的个数为 ． 【解析】 152004005π36200C2n n n a --=⋅⋅要使(195)n a n ≤≤为整数，必有200400536n n--，均为整数，从而6|4n +． 当28142026323844505662687480n =，，，，，，，，，，，，，时，200400536n n--和均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86n =时，86385200C 32n a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=⋅中， 200！中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 同理可计算得86！中因数2的个数为82，114！中因数2的个数为110， 所以86200C 中因数2的个数为197-82-110=5，故86a 是整数．当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92！中因数2的个数为88，108！中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197-88-105=4，故不是整数． 因此，整数项的个数为14115+=．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9． （本小题满分16分）设函数()()lg 1f x x =+，实数()a b a b <，满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，求a b ，的值． 【解析】 ∵1()()2b f a f b +=-+，∴11|lg(1)||lg(1)||lg()||lg(2)|22b a b b b ++=-+==+++， ∴12a b +=+或(1)(2)1a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴(1)(2)1a b ++=．………………4分又由()|lg(1)|f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+．所以10(10621)110(1)6(2)6(2)12a b a b b b +++=+++=++>+．…………8分从而1010(10621)|lg[6(2)]|lg[6(2)]22f a b b b b b ++=++=++++．又(10621)412f a b g ++=，所以10lg[6(2)]4lg22b b ++=+，故106(2)162b b ++=+．……………………12分解得13b =-或1b =-（舍去）．把13b =-代入(1)(2)a b ++1=解得25a =-．所以2153a b =-=-，．10．（本小题满分20分）已知数列{}n a 满足：123a t =-（t ∈R 且1t ≠±）．()()()1*12321121n n n n n n ta t t a n a t ++-+--=∈+-N⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若0t >，试比较1n a +与n a 的大小．【解析】 （1）由原式变形得112(1)(1)21n n n n n t a a a t ++-+=+-，则112(1)12(1)1112121n n n n n nn n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-． 记11n n n a b t +=-，则11121222211n n n b a t b b b t t ++-====+--，．………………5分 又111111122n n b b b +=+=，，从而有1111(1)22n nn b b =+-⋅=， 故121n n a t n+=-，于是有2(1)1n n t a n -=-．……………………10分 （2）112(1)2(1)1n n n n t t a a n n-+---=-+ 11112(1)[(1)(1)(1)](1)2(1)2(1)[(1)[(1)()()](1)(1)n n n n n n n n n t n t t t n t t n n t t nt t tt t t t t nn n n -----=++++-+++++--=-+++=-+-++-++11．（本小题满分20分）作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A B ，两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．⑴ 证明：PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； ⑵ 若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．【解析】 ⑴ 设直线11221:()()3l y x m A x y B x y =+，，，，．将13y x m =+代入221364x y +=中，化简整理得2226930x mx m ++-=．于是有2121293632m x x m x x -+=-=，，PA PB k k ==……………………5分则PA PB k k +==，上式中，分子122111((33x m x x m x =+-++-12122222()32936(3)323123120x x m x x m m m m m m m =+-+--=⋅+---=--+-+=，从而，0PA PB k k ==．又P 在直线l 的上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =10分（2）若60APB ∠=︒时，结合（1）的结论可知PA PB k k = 直线PA的方程为：y x =-，代入221364x y +=中，消去y 得1418(130x x +-+-=．它的两根分别是1x和1x ⋅，即1x =所以1|||PA x -= ．…………15分同理可求得||PB =．所以11||||sin6022PAB S PA PB =⋅⋅⋅︒=△．…20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，P Q ，分别是圆内接四边形ABCD 的对角线AC BD ，的中点．若BPA DPA ∠=∠，证明：AQB CQB ∠=∠．ABCDQEPFQDCB A【解析】 延长线段DP 与圆交地另一点E ，则CPE DPA BPA ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故AB CE =，从而CDP BDA ∠=∠．………………10分又ABD PCD ABD PCD ∠=∠△△，所以，于是AB PCBD CD=，即AB CD PC BD ⋅=⋅…………………………20分从而有11()22AB CD AC BD AC BD AC BQ ⋅=⋅=⋅=⋅，即AB BQ AC CD=． 又ABQ ACD ∠=∠，ABQ ACD △△所以，所以QAB DAC ∠=∠．…………30分 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则CAB DAF BC DF ∠=∠=，． 又因为Q 为BD 的中点，所以CQB DQF ∠=∠．又AQB DQF ∠=∠，所以AQB CQB ∠=∠．…………40分 二、（本题满分40分）证明：对任意整数4n ≥，存在一个n 次多项式 ()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：⑴011n a a a -，，，均为正整数；⑵对任意正整数m ，及任意k （2k ≥）个互不相同的正整数12k r r r ，，，，均有 ()()()()12k f m f r f r f r ≠．【解析】 令()(1)(2)()2f x x x x n =++++ ①……………………10分将①的右边展开即知()f x 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式． 下面证明()f x 满足性质（2）． 对任意整数t ，由于4n ≥，故连续的n 个整数12t t ++，，t n +中必有一个为4的倍数，从而由①知()2(mod4)f t ≡……………………20分因此，对任意(2)k k ≥个正整数12k r r r ，，，，有 12()()()20(mod4)k k f r f r f r ≡≡．但对任意正整数m ，有()2(mod4)f m ≡，故 12()/()()()(mod4)k f m f r f r f r ≡，从而12()()()()k f m f r f r f r ≠．所以()f x 符合题设要求．……………………40分三、（本题满分50分）设()124n a a a n ，，，≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数r ，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=<<-≤≤的三元数组()i j k ，，的个数记为()n f r ． 证明：()24n n f r <【解析】 对给定的(1)j j n <<，满足1i j k n <<≤≤，且j ik ja a r a a -=- ①的三元数组（i j k ，，）的个数记为()j g r ．…………………………10分注意到，若i j ，固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因i j <，即i 有1j -种选法，故()1j g r j -≤．同样地，若j k ，固定，则至多有一个i 使得①成立．因k j >，即k 有n j -种选法，故()j g r n j -≤．从而()min{1}j g r j n j --≤，……………………30分因此，当n 为偶数时，设2n m =，则有 1121222121()()()()(1)(1)(2)(2)22n m m n j j jj j j mmm j j m f r g r g r g r m m m m j m j ---===-==+=+---+-=+∑∑∑∑∑≤2224n m m m =-<=．……………………40分当n 为奇数时，设21n m =+，则有12221221()()()()(1)(211)n mmn j j jj j j m mmj j m f r g r g r g r j m -===+==+=++-++-∑∑∑∑∑≤224n m =<．………………………………50分四、（本题满分50分）设A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个()1319m n m n ⨯≤≤，≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． 【解析】 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为129i i i a b c i =，，，，，，．记11()0129kkk i k i i i i S a T b c k ===+=∑∑，，，，，，，这里000S T ==．……………………10分我们证明：三组数019019;S S S T T T ，，，，，，及00S T +，1199S T S T ++，，都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m n S S ≡，则10(mod10)nin m i m aS S =+=-≡∑，即第1行的第1m +至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．………20分 又假如存在09(mod10)m n m n m n T T <≡≤≤，，，使，则1()0(mod10)niinm i m b c TT =++=-≡∑，即第2行至第3行、第1m +列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m m n n S T S T +≡+．…………30分 因此上述断言得证．故999()01295(mod10)kkkk k k k S T ST ===≡≡+≡++++≡∑∑∑，所以999()550(mod10)k k k k k k k S T S T ===+≡+≡+≡∑∑∑，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．……………………40分另一方面，构造如下一个3×9的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．缩上所述，50分。

2011年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________1. 集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ⊆, 则a 的取值范围是___________2. 某人投两次骰子, 先后得到点数,m n , 用来作为一元二次方程20x mx n ++=的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ 3. 过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切 于点D ，且与平面ABC相切。

若45,60AD BAD CAD BAC =∠=∠=︒∠=︒则四面体ABCD 的外接球的半径r ＝________4. 如图, ,M N 分别为正六边形ABCDEF 的对角线AC ,CE 的内分点,且AM AC ＝CNCE＝λ, 若B ,M ,N 三点共线,则λ=______________ 5. 已知2()(3f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是6. 对所有的实数x 及1t ≤≤222(2)()x t x at ++++＞18, 则实数a 的取值范围是 ______ .7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式：1()2n n n a c b +=(n Z ∈), 则称△ABC 为 “n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3次幂平均三角形”, 则角B 的最大值是 ______ . 8. 设,,u v w 为复数, 其中()22,3,25w a bi a b a b =+≥+=,3u w v -=, 若1v =, 则当u 的辐角主值最小时,uw的值为_____________ 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 9．定义域为实数集R 的函数f (x )同时满足以下3个条件：①x ＞0时，f (x )＞0，②f (1)＝2，③对任意m ，n R ∈，都有f (m ＋n ) ＝f (m )＋f (n )．设集合22{(,)(3)(4)24}A x y f x f y =+≤，{(,)()()(3)0}B x y f x f ay f =-+=，21{(,)|()()()}2C x y f x f y f a ==+，若A ∩B ≠Ф 且A ∩C ≠Ф，试求实数a 的取值范围．10. 已知双曲线方程1222=-y x ，是否存在过焦点的直线l ，交双曲线于A 、B 两点，使得∠AOB ＝π2． 若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由。

全国数学联赛加试（A 卷）
1本题40分。

如图，P 、Q 分别是圆内接四边形ABCD 对角线AC 、BD 中点。

若BPA D PA ∠=∠ 证明:AQB CQB ∠=∠
2本题40分。

证明：对于任意整数n ≥4。

存在一个n 次多项式
1110()n n n F x x a x a x
a --=+++ 具有如下性质：
（1）1231,,n a a a a - 为正整数。

（2）对任意正整数m ，及任意k(k ≥2)个互补相同的正整数12,k r r r ，
均有
123()()()()()k f m f r f r f r f r ≠
3本题50分。

设 123,,,(4)n a a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a ＜＜＜。

对任意正实数r,满足
(1)j i k j a a r r j k n a a -=-≤＜＜≤的三元数组（i,j,k ）的个数记为()n f r 证明：2()4n n f r <
4本题50分。

设A 使一个3X9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数，称A 中的一个mXn （1≤m ≤3，1≤n ≤9）方格表示为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数，称A 中的一个1X1的小方格为坏格，若它不包含于任何一个“好矩形”，求A 种“坏格”个数
的最大值。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案及评分标（专家预测）时间:2011-9-1122一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC(∠A＜∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆D于T.(1)求证：MP·MT=NP·NT；(2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为I1，I2.求证：Q，I1，I2，T四点共圆.证明：(1)连NI，MI.由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC，PM=NC.……10分连AM，CI，则AM与CI交于I，因为∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，所以MC=MI.同理NC=NI.于是NP=MI，PM=NI.故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底，等高).……20分又P，N，T，M四点共圆，故∠TNP+∠PMT=180°，由三角形面积公式==.于是PM·MT=PN·NT.……30分(2)因为∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,所以NC=NI1，同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC，NP=MC，故.……40分又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT，有△I1NT∽△I2MT.故∠NTI1=∠MTI2，从而∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.因此Q，I1，I2，T四点共圆.……50分二、求证不等式：，n=1，2，…证明：首先证明一个不等式：(1).事实上，令h(x)=x-ln(1+x)，.则对x＞0，. 于是h(x)＞h(0)=0，g(x)＞g(0)=0.在(1)中取得(2).……10分令，则，＜=-,因此.……30分又因为lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=.从而===.……50分三、设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m≥k，使得与l互素.证法一：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!).我们证明(,l)=1.设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使｜k!,但k!,则｜l(k!).故由及p|k!,且k!，知|k!且k!.从而p.……50分证法二：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!)2.我们证明(,l)=1.设p是l的的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使|k!,但k!.则|(k!)2.故由及|k!,且k!，知｜k!且k!.从而p.……50分四、在非负数构成3×9数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17=x28=x39=0，x27,x37,x18,x38,x19,x39均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列(k=1,2,……,9)均存在某个i{1,2,3},使得(3)x ik≤u i=min{x i1,x i2,x i3}.求证：(i)最小值u i=min{x i1,x i2,x i3},I=1,2,3一定取自数表S的不同列.(ii)存在数表P中唯一的一列，≠1,2，3使得3×3数表仍然具有性质(O).证明：(i)假设最小值,y=1,2,3不是取自数表S的不同列，则存在一列不含任何u i.不妨设u i≠,i=1,2,3.由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是i=1,2,3.另一方面，由于数表S具有性质(O)，在(3)中取k=2，则存在某个i0∈｛1,2,3｝使得.矛盾.……10分(ii)由抽屉原理知min{x11,x12},min{x21,x22},{x31,x32}中至少有两个值取在同一列.不妨设min{x21,x22}=x22,{x31,x32}=x32.由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个u i，所以只能是x11=u1.同样，第二列中也必含某个u i,I=1,2.不妨设x22=u2.于是u3=x33,即u i是数表S中的对角线上的数字：记M={1,2,…,9},令集合I={k∈M|x ik＞min{x i1,x i2},i=1,3}.显然I={k∈M|x1k＞x11,x3k＞x32}且1,2,3I.因为x18,x38≥x11,x32,所以8∈I.故I≠Φ.于是存在k*∈I使得下面证明3×3数表具有性质(O).从上面的选法可知,(I=1,3).这说明又由满足性质地(O)，在(3)中取k=k*,推得，于是下证对任意的k∈M，存在某个i=1,2,3使得假若不然，则x ik＞min{x i1,x i2},I=1,3.且这与的最大性矛盾.因此，数表S′满足性质(O).……30分下证唯一性.设有k∈M使得数表具有性质(O).不失一般性，我们假定(4)由于x32＜x31,x22＜x21及(i),有又由(i)知：或者(a)或者(b)如果(a)成立，由数表具有性质(O)，则(5)由数表满足性质(O)，则对于3∈M，至少存在一个i∈{1,2,3}, 使得又由(4)，(5)式知，.所以只能有.同样由数表S满足性质(O)，可推得x33≥x3k.于是k=3,即数表S=.……40分如果(b)成立，则(6)由数表满足性质(O)，对于k*∈M,存在某个i=1,2,3使得由k*∈I及(4)和(6)式知，于是只能有类似地，由S′满足性质(O)及k∈M可推得从而k*=k.……50分。

2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。

2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.2、函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a , b ]⊆D ，使f (x )在[a , b ]上的值域为[a , b ]，那么y =f (x )叫做闭函数，现有()f x k =是闭函数，那么k 的取值范围是_________3、如图，在△ABC 中，cos 25C=,0,A H B C ⋅=0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为12，则该圆的半径为________5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．6、若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________7、设对于任意满足mn <m ，n 有不等式2227m n nλ-≥恒成立，则λ的最大值为__________8、 圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知正实数,x y ，设a x y=+，b =. （1）当1y =时，求b a的取值范围；（2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2cxy的取值范围.10. 已知数列{a n }：30,2021==a a ，.311-+-=n n n a a a ⑴ 证明：500112-=-+-n n n a a a )2(≥n⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n n a a 为完全平方数.11. 设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a addccbba-+≥+++．(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，点D 和E 为边BC 上的点，且∠DAE ＝45°，△ADE 的外接圆分别交边AB 和AC 于点P 和Q ，求证：BP ＋CQ ＝PQ二、（本题满分40分）已知n 为正整数，且)2(,,,,321≥k a a a a k 是集合},,2,1{n 中不同的正整数，其满足n 整除1,,2,1),1(1-=-+k i a a i i ，证明：n 不整除)1(1-a a k .三、（本题满分50分）已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且满足abc ＝).1)(1)(1(2---c b a（1）是否存在边长均为整数的△ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合 ．2．函数()f x =的值域为 ．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则 ．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为 ．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。