不等式及其性质(教师版)

不等式的基本性质

教学对象：八年级

教学课时：2课时

教学目标：

1. 理解不等式的基本性质，能够运用性质1、2、3解决实际问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

教学重难点：

1. 掌握不等式的性质1、2、3。

2. 能够运用不等式的性质解决实际问题。

教学准备：

1. PPT课件

2. 黑板

3. 教案

教学过程：

第一课时

一、导入（5分钟）

1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学过的不等式知识。

2. 提问：不等式有哪些基本性质呢？

二、新课讲解（15分钟）

1. 讲解不等式的性质1：如果a>b，a+c>b+c（c为任意实数）。

2. 讲解不等式的性质2：如果a>b，ac>bc（c为正数）。

3. 讲解不等式的性质3：如果a>b，c>d，ac>bd（c、d为任意实数）。

三、例题讲解（10分钟）

1. 举例讲解不等式性质1的应用。

2. 举例讲解不等式性质2的应用。

3. 举例讲解不等式性质3的应用。

四、课堂练习（10分钟）

1. 让学生独立完成练习题，巩固所学的不等式性质。

2. 解答学生提出的问题，及时给予指导和帮助。

第二课时

五、复习导入（5分钟）

1. 复习上节课所学的不等式性质。

2. 提问：不等式的性质有哪些应用呢？

六、拓展讲解（15分钟）

1. 讲解不等式的性质4：如果a>b，a/c>b/c（c为正数）。

2. 讲解不等式的性质5：如果a>b，a^n>b^n（n为正整数）。

七、例题讲解（10分钟）

1. 举例讲解不等式性质4的应用。

2. 举例讲解不等式性质5的应用。

【课内练习】

1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。

① 6+2 > -3+2； ② 6×（-2） < -3×（-2）； ③ 6÷2 > -3÷2； ④ 6÷（-2） < -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则

不能确定，不能确定，〉，〈

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”： （1）若a ＞b ，则2a+1 > 2b+1; （2）若

＜10，则y > -8；

（3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c > bc+c ； （4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c < 0。 3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

（1）a ＞b 两边都加上-4； （2）-3a ＜b 两边都除以-3； （3）a ≥3b 两边都乘以2； （4）a ≤2b 两边都加上c ； （1）（3）（4）仍成立

4、设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.

（1）a －3 〉 b －3; （2）

2a > 2

b

; （3）－4a < －4b ; （4）5a > 5b ;

（5）当a ＞0, b > 0时，a b ＞0; （6）当a ＞0, b < 0时，a b ＜0; （7）当a ＜0, b < 0时，a b ＞0; （8）当a ＜0, b > 0时，a b ＜0.

5．当x 取何值时，不等式3x ＜5x+1成立（C ）

A.-

B.-1

C.0

D.-3.5 6．下列不等式的变形中，正确的是（AB ） A.若2x ＜-3，则x ＜- , B.若-

不等关系与不等式

要点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变：

符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<

②两个同号实数相乘，积是正数：

符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：0,00a b ab ><⇒<

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数a 、b

①0b a b a ->⇔>；

②0b a b a -<⇔<；

③0b a b a -=⇔=.

对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.

要点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

(1) 对称性：a>b b<a ⇔

(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒

(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)

(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩

⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000

【不等式的基本性质】

一、教材分析：本节课在教材中的地位和作用：本节课是人教版《数学》必修5第三

章第一节不等关系与不等式第二课时的内容．它是在数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个知识体系．

二、教学目标：

1、知识与技能：掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形;

2、过程与方法：通过实例探究不等式基本性质应用;

3、情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.

三、教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用;

四、教学难点：能根据不等式的基本性质进行简单应用.

五、教学准备

1、课时安排：2课时

2、学情分析：学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知

道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．

3、教具选择：多媒体

六、教学方法：启发引导

七、教学过程

1、自主导学：

（一）：预习学案：

1.用________连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．

2．(a＋b)2＝_________________.

(a ＋b)3＝_________________.

不等式的基本性质

教学目标

1． 使学生掌握不等式的三条基本性质；

2． 培养学生观察、分析、比较的能力,提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．

教学重点和难点

重点：不等式的三条基本性质的运用．

难点：不等式的基本性质3的运用．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1． 什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质．

2． 当x 取下列数值时,不等式1-5x ＜16是否成立？

3,-4,-3,4,2．5,0,-1．

3． 用不等式表示下列数量关系：〔1〕 x 的３倍大于x 的2倍与5的差；〔3〕y 的43

与x 的21

的差小于2；

〔2〕 y 的一半与4的和是负数；〔4〕5与a 的4倍的差不是正数．

4． 按照下列条件写出仍然成立的不等式,并说明根据不等式的哪一条基本性质：

〔1〕m ＞n,两边都减去3；〔2〕m ＞n,两边同乘以3；

〔3〕m ＞n,两边同乘以-3；〔4〕m ＞n,两边同乘以-3；

〔5〕m ＞n,两边同乘以．

〔以上各题中,从第2题开始,用投影仪打在屏幕上．学生在回答上述问题时,如遇到困难,教师应做适当点拨〕在学生回答完上述问题的基础上,教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习,进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质,尤其是不等式基本性质。

二、讲授新课

例1 在下列各题横线上填入不等号,使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． 〔1〕若a –3＜9,则a_____12；〔2〕若-a ＜10,则a_____–10；

〔3〕若41a ＞–1,则a_____–4；〔4〕若-32

a ＞,则a_____0．

不等式的性质

一、不等式：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.

3、求不等式解集的过程叫解不等式.

4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.

5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分.

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.

二、不等式的基本性质

性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

（注：移项要变号，但不等号不变。）

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

1．贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）

A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27

解：∵贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，某一天的气温为t℃，∴18≤t≤27．

故选D．

2．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：①是用“＞”连接的式子，是不等式；②是用“≤”连接的式子，是不等式；

“ “ “ “ 9

不等式和不等式组

模块一

不等式的定义和性质

定 义

示例剖析

不等式的概念：用不等号连接的式子叫不 -5 < -2 ， a + 3 > -1 + 4 ， x + 1≤ 0 ， 等式．不等号包括： > ”、 < ”、 ≥ ”、 ≤ ”、 x ≥ 0 ， 3a ≠ 5a ， 3≥ 3 等

“ ≠ ”．

基本性质 1：不等式两边都加上（或减去） 同一个数（或式子），不等号方向不变． 若 a > b ，则 a ± c > b ± c 若 a < b ，则 a ± c < b ± c

基本性质 2：不等式两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变．

基本性质 3：不等式两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变．

若 a > b ，且 c > 0 ，则ac > bc 或

若 a < b ，且 c > 0 ，则ac < bc 或

若 a > b ，且 c < 0 ，则ac < bc 或

若 a < b ，且 c < 0 ，则ac > bc 或 a c a c a c a c >

<

<

>

b

c b

c b

c b

c

不等式具有互逆性

不等式具有传递性

若 a > b ，则 b < a ； 若 b < a ，则 a > b ．

若 a > b ， b > c ，则 a > c ．

注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．

不等式的性质(1)教案

以下是查字典数学网为您举荐的9.1.2 不等式的性质(1)教案，期望本篇文章对您学习有所关心。

9.1.2 不等式的性质(1)

教学目标1、经历通过类比、推测、验证发觉不等式性质的探究过程，把握不等式的性质;

2、初步体会不等式与等式的异同;

3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的爱好，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性.

教学难点正确运用不等式的性质。

知识重点明白得并把握不等式的性质。

教学过程(师生活动) 设计理念

提出问题教师出示天平，并请学生认真观看老师的操作过程，回答下列问题：

1、天平被调整到什么状态?

2、给不平稳的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化?

3、不平稳的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化?

4、假如对不平稳的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平稳吗?缩小相同的倍数呢? 通过天平演示，结合自己的观看和摸索，让学生感受生活中的不等关系。

探究新知1、用或填空.

(1)-1 3 -1+2 3+2 -1-3 3-3

(2) 5 3 5+a 3+a 5-a 3-a

(3) 6 2 65 25 6(-5)2(-5)

(4) -2 3(-2)6 36

(-2)(-6) 3(一6)

(5)-4 -6 (-4)2(-6)2

(-4)十(-2) (-6)十(-2)

2、从以上练习中，你发觉了什么?请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗?请把你的发觉告诉同学们并与他们交流.

3、让学生充分发表发觉，师生共同归纳得出：

不等式的基本性质教案

教案标题：不等式的基本性质教案

教学目标：

1. 理解不等式的基本概念和符号表示。

2. 掌握不等式的基本性质，包括加减乘除不等式、相等不等式、倒置不等式等。

3. 能够解决简单的一元一次不等式问题。

4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：

1. 教学课件、黑板、白板、彩色粉笔。

2. 学生练习册和作业本。

3. 不等式的例题和练习题。

教学过程：

一、导入（5分钟）

1. 利用一个简单的例子，引导学生回顾等式的概念和性质。

2. 提问：不等式与等式有什么区别？请举例说明。

3. 引出本节课的主题：不等式的基本性质。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）

1. 通过教师讲解和课件展示，介绍不等式的符号表示和常见的不等式符号。

2. 引导学生观察和总结不等式的基本特点，如大于、小于、大于等于、小于等

于等。

3. 通过例题演示，让学生熟悉不等式的基本概念和表示方法。

三、讲解不等式的基本性质（20分钟）

1. 介绍加减乘除不等式的性质：同加同减、同乘同除。

2. 通过实例讲解相等不等式和倒置不等式的性质和解法。

3. 引导学生分析和总结不等式的性质，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

四、练习与巩固（15分钟）

1. 分发练习册和作业本，让学生进行不等式的基本性质练习。

2. 教师巡视和指导学生的练习过程，及时纠正他们的错误和解答疑惑。

3. 随堂检测：设计几道简单的不等式题目，让学生上台解答，检验他们的掌握

程度。

五、课堂总结（5分钟）

1. 学生回答问题：本节课你学到了哪些不等式的基本性质？

2. 教师进行总结和概括，强调不等式的基本概念和性质的重要性。

不等式基本性质

知识梳理

一、不等式的性质： （1）;a b b a <⇔> （2） （3）;c b c a b a +>+⇒> （4）;,d b c a d c b a +>+⇒>>

（5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （6）;0,0bd ac d c b a >⇒>>>> （7）;0n

n b a b a >⇒>>、 （8）;0n n

b a b a >⇒

>>

（9）;11,0,b

a b a ab b a <⇒>≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤-

注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法

作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，

这里的“变形”一步最为关键．

注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；

注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法：

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

第2课时不等式性质

【学习目标】

1．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)

2．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)

【使用说明及学法指导】

1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；

2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；

3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；

4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；

5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.

【预学案】

知识点1 不等式的性质

性质1a>b⇔__b<a__；(对称性)

性质2a>b，b>c⇒__a>c__；(传递性)

性质3a>b⇒__a＋c>b＋c__；(同加保序性)

推论：a＋b>c⇒__a>c－b__；(移项法则)

性质4a>b，c>0⇒__ac>bc__，(乘正保序性)a>b，c<0⇒ac<bc；(乘负反序性)

性质5a>b，c>d⇒__a＋c>b＋d__；(同向相加保序性)

性质6a>b>0，c>d>0⇒__ac>bd__；(正数同向相乘保序性)

性质7a>b>0⇒__a n>b n__(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)

【思考】：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？

(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？

1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集；

2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式.

重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质；

难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用.

第12讲不等式定义及其性质

不等式的定义

1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.

例如：2

≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠

52,314,10,10,0,35

a x a x a a

2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．

注意：不等式32

≥成立．

=成立，所以不等式33≥成立；而不等式33

≥也成立，因为33

3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”.

例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1

【答案】C

【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式.

练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个

【答案】C

【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系.

练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

666666666666666. 不等式

● 知识梳理 一、不等式性质

1.比较准则：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b =0⇔a =b ；a －b ＜0⇔a ＜b .

2.基本性质：（1）a ＞b ⇔b ＜a . （2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .

（3）a ＞b ⇔a +c ＞b +c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a +c ＞b +d .

（4）a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . （5）a ＞b ＞0⇒n a ＞n b （n ∈N ，n ＞1）；a ＞b ＞0⇒a n

＞b n

（n ∈N ，n ＞1）. 二、不等式证明

1.均值定理：a +b ≥2ab ；ab ≤（

2

b a +）2

（a 、b ∈R +），当且仅当a =b 时取等号. 2.比较法：a －b ＞0⇒a ＞b ，a －b ＜0⇒a ＜b ；a ＞0，b ＞0，

b

a

＞1⇒a ＞b . 3.分析法、综合法(综合法—由因导果，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用综合法写出证明过程).

4.其它方法：反证法、换元法(三角换元)、放缩法、函数法(利用函数单调性)等. 三．解不等式

1、一元一次不等式的解法：ax>b 的解的情况是

当a>0时，解集为{x ︱x>

a b };当a<0时，解集为{x ︱x

b } 当a=0，b<0时，解集为R ；当a=0，b ≥0时，解集为Φ

22

用图象解恒成立问题 3、分式不等式的解法：

0)()()()()()(≤-⇒≤x h x g x f x h x g x f 0)()()()(≤-⇒x g x h x g x f ⎩

不等关系性质及解不等式

学习目标：

① 不等式的性质

② 解一元二次不等式、分式不等式绝对值不等式

一、基础知识

1.实数大小比较的基本事实：

(1) a>b ⇔_______; (2) a=b ⇔_______ ; (3) a

2.不等式的基本性质：

(1）对称性a>b ⇔b___a; （2）传递性：a>b,b>c ⇒a____c;

（3）a>b, ⇒a+c____b+c; （4）a>b,c>0⇒ac___bc;

（5）a>b,c<0⇒ac___bc; （6）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈);

（7）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈)

（8）a>b,c>d ⇒a+c____b+d;

(9) a>b>0,c>d>0⇒ac____bd;

(10)a>b,ab>0⇒a 1___b

1.

3.一元二次不等式的解法：

（a>o 且0>∆时，简记为：小在中间，大在两边）

设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=∆，则

△>0△=0△<0f(x)>0f(x)<0判别式

函数y=f(x)的简图

不等式

的解集方程f(x)=0的解

4．高次不等式和分式不等式的解法----穿根法

穿根法的要领是：从右往左，从上到下，奇次根穿而过，偶次根穿而不过。

5.含有绝对值的不等式的解法：

a x a )0a (a x <<-⇔><， 图示：___________

a

x a x )0a (a x >-<⇔>>或. 图示：___________ 6.几种常见类型的不等式的解法---图解法：