(完整版)数形结合思想例题分析(可编辑修改word版)

初中数学用数形结合思想解方程（组）与不等式

在平面直角坐标系内，可以借助于一次函数所对应的图象——直线，直观地进行一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的求解。这种数形结合求解方程（组）与不等式的方法，也称为“图象解法”，下面结合例题加以说明。

一、利用图象解一元一次方程

例1 利用函数图象解方程06x 3=-。 分析 在坐标系中先画方程所对应的一次函数6x 3y -=的图象，由于解析式中函数值y 就是图象上点的纵坐标y ，当y=0时，对应图象上纵坐标等于0的点，也就是与x 轴的交点，这个点的横坐标就是我们要求的方程的解。

解：在坐标系中画出直线6x 3y -=，如图1。

图1

从图象可以看出直线6x 3y -=与x 轴交点的横坐标为2。

所以原方程的解为2x =。

二、利用图象解一元一次不等式

例2 利用函数图象解不等式04x 2<+-。

分析：先构造出与不等式04x 2<+-对应的一次函数4x 2y +-=，然后从图象上观察x 为何值时直线上的点在x 轴的下方（此时纵坐标0y <）。

解：在坐标系中画出直线4x 2y +-=，如图2所示。

图2

从图象可知：当x>2时，直线4x 2y +-=上的点都在x 轴的下方。

所以不等式04x 2<+-的解集为2x >。

例3 利用函数图象解不等式：8x 5x 4+<+。 分析：本题可以将不等式化为03x 3<-，再利用例2的方法求解；也可以在坐标系中分别画出5x 4y +=和8x y +=的图象，找出交点的横坐标，确定5x 4y +=在8x y +=的下方的x 的X 围。

高中数学数形结合思想在解题中的应用

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形"，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()

x y

-+-=

214

22

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数".

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理，

大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图,

见

数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

例1.的取值范围。

之间，求

和

的两根都在

的方程

若关于k

k

kx

x

x3

1

3

2

2-

=

+

+

分析：0

)

(

3

2

)

(2=

+

+

=x

f

x

k

kx

x

x

f程

轴交点的横坐标就是方

，其图象与

令

()13(1)0 y f x f

一、数形结合思想方法简述

数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。

在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。

应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。

通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。数学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。

高中数学数形结合思想经典例题

一、选择题

1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧3x ，x≤0，log 2

x ，x>0，下列结论正确的是( )

A ．函数f (x )为奇函数

B ．f (f (14))＝1

9

C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称

D ．函数f (x )在R 上是增函数

2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)

D ．(0，1)

3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )

4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）

x <0的解集为( )

A ．(－2，0)∩(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(0，2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－2，0)∪(0，2)

5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )

A.215

5

B ．21

C ．20

D ．25

6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取

值范围是( ) A ．(0，1

2)

B ．(1

2，1)

C ．(1，2)

D ．(2，＋∞)

7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y

高中数学数形结合思想经典例题

一、选择题

1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧3x ，x≤0，log 2

x ，x>0，下列结论正确的是( )

A ．函数f (x )为奇函数

B ．f (f (14))＝1

9

C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称

D ．函数f (x )在R 上是增函数

2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)

D ．(0，1)

3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )

4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）

x <0的解集为( )

A ．(－2，0)∩(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(0，2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－2，0)∪(0，2)

5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )

A.215

5

B ．21

C ．20

D ．25

6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取

值范围是( ) A ．(0，1

2)

B ．(1

2，1)

C ．(1，2)

D ．(2，＋∞)

7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y

数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

22

-+-=

214

x y

如等式()()

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值

问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。

之间，求

和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

-=++

分

析

：0

)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令

数形结合的思想方法(1)---讲解篇

一、知识要点概述

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析

例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

-=++ 分析：0)(32)(2

=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令

数形结合的思想

目录

数形结合的思想 (1)

一、数形结合在解一元二次不等式中的应用 (1)

二、数形结合在求最值中的应用 (6)

三、方程中数形结合的应用 (10)

四、三角函数中数形结合的应用 (12)

五、数形结合在函数中的应用 (13)

数形结合思想的运用贯穿于整个初中数学阶段的学习 , 而数形结合思想又可以细分为“以形助数”“以数解形”和“数形互化”三个方面 , 本专题从这三个方面入手 , 结合精选例题深入剖析分析数形结合思想在初中数学教学中的运用.

一、数形结合在解一元二次不等式中的应用

做题思路：

一元二次不等式往往可以转化为二次函数的图象来解决，首先把一元二

次不等式化为一般形式2

0ax bx c ++>，然后令2

y ax bx c =++，作出二次函数

2y ax bx c =++的图象，求出图象与坐标轴的交点，然后观察图象即可得出一元二次不等

式2

0ax bx c ++>的解集. 1.阅读理解：

自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：250x x −>．

解：设250x x −=，解得10x =，25x =，则抛物线25y x x =−与x 轴的交点坐标为(0,0)和(5,0)，画出二次函数25y x x =−的大致图象（如图所示）

，由图象可知：当0x <或5x >时函数图象位于x 轴上方，此时0y >，即250x x −>，所以，一元二次不等式250x x −>的解集为0x <或5x >．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 ．

专题48 中考数学数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型

（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析

例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

-=++ 分析：0)(32)(2

=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令

24年初中中考数学典型例题解析-数形结合

1.如图，在边长为3的正方形ABCD中，30

∠=︒

CDE，DE CF

⊥，则BF的长是______

．

【分析】根据题意，证得()

ASA

△≌△

DCE CBF，从而BF CE

=，在Rt CDE

△中，30

∠=︒

CDE，3

CD=，根据含30︒

直角三角形边的关系与勾股定理可得CE=

得到答案．

【详解】解：在正方形ABCD中，BC CD

=，90

B DCE

∠=∠=︒，

DE CF

⊥，

90

CDE DCF

∴∠+∠=︒，

90

DCE DCF BCF

∠=︒=∠+∠，

∴CDE BCF

∠=∠，

在DCE

△和CBF

V中，

90

B DCE

BC CD

CDE BCF

∠=∠=︒

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

，

()

ASA

△△

≌

DCE CBF

∴，

∴BF CE

=，

在Rt CDE

△中，30

∠=︒

CDE，3

CD=，在含30︒直角三角形中：①由30︒所对的直角边是斜边的一半可设CE x

=，则2

DE x

=；

②由勾股定理得到CD==；

从而可得CE===，

【点睛】本题考查正方形背景下求线段长，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质、含

30︒直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

2.如图，在ABC 中，70CAB ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C '' 的位置，使得CC AB '∥，划BAB '∠的度数是（）

A.35︒

B.40︒

C.50︒

D.70︒

【答案】B 【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．

【详解】解：∵70CC AB CAB '∠=︒，∥，

中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数"或“以数解形"可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.另外，由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想. 二、典型例题

（一）在数与式中的应用

例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b +-=_________。 （二)在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0

20x a x ->⎧⎨

->⎩

的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相

应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是（ ）

A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩

，

B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩

，

C ．2103250

x y x y --=⎧⎨

+-=⎩，

D ．20210

x y x y +-=⎧⎨

--=⎩，

（三）在锐角三角函数中的应用

例4、画△ABC ，使cosA=2

1,AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样