高中数学必修二(人教a版)课堂达标练：1-2-3空间几何体的直观图 含解析

空间几何体的直观图
【课时目标】．了解斜二测画法的概念．．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
()在已知图形中取互相的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的′轴与′轴，两轴交于点′，且使∠′′′＝°(或°)，它们确定的平面表示水平面．
()已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成于′轴或′轴的线段．
()已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于轴的线段，长度为原来的．
一、选择题
．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有()
．①②．①④
．③④．①③④
．具有如图所示直观图的平面图形是()
．等腰梯形．直角梯形
．任意四边形．平行四边形
．如图，正方形′′′′的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()
．．
．(＋) ．(＋)
．下面每个选项的个边长为的正△的直观图不是全等三角形的一组是()
．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()
．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为°，腰和上底长均为的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()
．＋．＋
．＋．＋
二、填空题
．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；。

双基达标(限时20分钟)1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段()．A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等解析斜二测是平行投影中的斜投影，所以其直观图不会改变平行线段的长度之比．答案 A2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()．A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.答案 C3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()．A．AB B．AD C．BC D．AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．答案 D4．平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点M′，则M′的坐标为________．解析根据斜二测画法可知M′的坐标为(4,2)．答案(4,2)5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为52.答案5 26．画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图．解画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形ABCD的直观图．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．综合提高(限时25分钟)7．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()．A．16 B．64 C．16或64 D．都不对解析在直观图中边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64.答案 C8．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )．A.12 B.22 C ．1D. 2解析 直观图如图所示，则B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°. ∴B ′到x ′轴的距离为1×sin 45°＝22. 答案 B9．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )． A.32a 2 B.34a 2 C.62a 2 D.6a 2解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：图(1) 图(2) 则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°， ∴A ′O ′＝62a .画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC ＝12BC·AO＝62a2.答案 C10．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm，1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm,2 cm,1.6 cm.答案 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm11．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．解在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝12，梯形的高D′E′＝24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝12(1＋2)×24＝328.12．(创新拓展)如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画两底面．由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A、B′B、C′C、D′D、E′E、F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.。

课后导练基础达标1斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形.答案：B2下列关于用斜二测画法画直观图说法错误的是（）A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆解析：斜二测画法中，与x轴、y轴平行的线段继续保持与x′轴、y′轴平行.所以A项正确，从而可知，C、D项也正确，而平行于x轴的或z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一关，所以B项错.答案：B3右图是水平放置的三角形的直观图，AB∥y轴，则△ABC是…（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为AB∥y轴，所以AB⊥AC，故选C.答案：C4如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）解析：在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其一条对角线必2，因此A项正确.在y轴上且长度为2答案：A5利用斜二测画法得到以下结论正确的是（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形A.①②B.①C.③④D.①②③④解析：在斜二测画法的要求下，三角形的直观图仍是三角形，平行四边形的直观图仍为平行四边形.而正方形直观图是平行四边形，菱形的直观图是非菱形的平行四边形.答案：A6以下直观图代表的立体图形是_________________.答案：（1）正六棱柱 （2）圆锥 （3）四棱锥和长方体的组合体 （4）两个三棱锥的组合体7用斜二测画法画一个水平放置的正五角星的直观图，则正五角星的各个角______________. ①相等 ②不等 ③不全等答案：③8画边长为4 cm 的正三角形的水平放置的直观图.画法：（1）以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴，再画对应的x′、y′轴，使∠x′O′y′=45°.（2）在x′轴上截取O′B′=O′C′=2 cm ，在y′轴上截取O′A′=21AO. 连结A′B′,A′C′,则△A′B′C′即为正△ABC 的直观图.综合运用9下列说法正确的是（ ）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交的直线的直观图可能是相交直线C.互相垂直的直线的直观图仍是垂直的D.平行四边形的直观图是平行四边形E.菱形的直观图是菱形解析：正方形的直观图是平行四边形而不是梯形；两相交直线的直观图一定是相交直线；两垂直直线的直观图是夹角为45°的直线；平行四边形的直观图是平行四边形；菱形的直观图是非菱形的平行四边形.答案：D10如下图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（ ）解析：按斜二测画法的规则：平行于x 轴或y 轴上的线段的长度在新系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新系中变为原来的21，并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°.故选C.答案：C11画右面几何体的直观图.画法：（1）画轴.画出x 轴,y 轴,z 轴.（2）画圆柱的两底面，先画圆O ，在z 轴上取点O′，使OO′等于实物图中相应的高度，过O′作x 轴的平行线O′x′，过O′作y 轴的平行线O′y′.利用O′x′和O′y′画出底面圆O′.（3）连线.连结AA′,BB′，则得到圆柱OO′.拓展探究12已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ） A.23a 2 B.43a 3 C.26a 2 D.6a 2 解析：如图（1）为直观图，（2）为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点.则在直角三角形A′O′M′中，∵O′A′=23a ，∠A′M′O′=45°, ∴M′O′=A′N′=23a ， 故A′M′=26a.（1） （2）在直角坐标系中，在x 轴上方y 轴左侧取到x 轴距离为6a ，到y 轴距离为3[]2a 的点A ，则△ABC 为所求.显然S △ABC =21a·6a=26a 2.∴应选C. 答案：C。

1.2.3空间几何体的直观图填一填1。

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图步骤2．空间几何体直观图的画法（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．（2）画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线。

判一判1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．（×）2．在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行．（√)3．在几何体的直观图中,原来垂直的直线仍然垂直．（×)4．平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系会变化．（×)5．建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点．（√）6．原图形中平行于y轴的线段，用斜二测画法画直观图时对应线段平行于y′轴，且长度不变．(×）7．用斜二测画法画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°。

(×)8想一想1。

相等的角在直观图中还相等吗?提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．2．空间几何体的直观图是唯一的吗?提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不相同．3．画水平放置的平面图形的直观图的技巧是什么？提示：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．4．空间几何体的直观图的画法？提示：(1）对于一些常见几何体(柱、锥、台、球）的直观图，应该记住它们的大致形状,以便可以较快较准确地画出．（2)画空间几何体的直观图时,比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．思考感悟：练一练1.若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则该圆柱的高应画成( )A．平行于z′轴且长度为10 cmB．平行于z′轴且长度为5 cmC．与z′轴成45°且长度为10 cmD．与z′轴成45°且长度为5 cm答案：A2．下列关于直观图的说法不正确的是（）A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴,长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴,长度不变C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同答案：A3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一个边长为4，则此正方形的面积是（) A．16 B．64C．16或64 D．都不对答案：C4．在原来的图形中,两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段（）A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等答案：A知识点一平面图形的直观图的画法1。

1.2.3空间几何体的直观图时间:30分钟，总分：70分 班级： 姓名： 一、选择题 （共6小题，每题5分，共30分） 1.在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )A ．角的水平放置的直观图不一定是角B ．相等的角在直观图中仍然相等C ．相等的线段在直观图中仍然相等D ．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 【答案】D【解析】由斜二测画法，得若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等，故选D.2.AB ＝2CD ，AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，已知在直观图中，AB 的直观图是A ′B ′，CD 的直观图是C ′D ′，则( )A ．A ′B ′＝2C ′D ′ B ．A ′B ′＝C ′D ′ C ．A ′B ′＝4C ′D ′ D ．A ′B ′＝12C ′D ′【答案】C【解析】因为AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，所以AB ＝A ′B ′，CD ＝2C ′D ′， 所以A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′.3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）A.16B.64C.16或64D.都不对 【答案】C【解析】根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x 轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y 轴，则正方形边长为8，面积是64.4.三角形ABC 的斜二侧直观图如图所示，则三角形ABC 的面积为（ ）A 、1B 、2CD 【答案】B【解析】用斜二测画法的法则，可知原图形是一个两边分别在,x y 轴的直角三角形，x 轴上的边长与原图形相等，y 轴上的边长是原图形边长的一半，由此得到平面图形的面积.因为1,245OA OB ACB ==∠=︒，,所以原图形中两直角边长分别为2,2，因此Rt ACB ∆的面积为12222S =⨯⨯=.故选B. 5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A.2221+B.221+C.21+D.22+ 【答案】D【解析】平面图形是上底长为1，下底长为21+，高为2的直角梯形.计算得面积为22+.故选D 。

一、选择题1．建立坐标系，得到两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析：在直观图中，平行于x轴(或在x轴上)的线段长不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长减半．在C中，第一个图中，AB不变，高减半，第二个图中，AB减半，高不变，因此两三角形(直观图)不全等．答案：C2．(2012·青岛高一检测)如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：根据画直观图的方法，平行性不变，直观图中平行于y轴的原图中要垂直于x 轴，知C正确．答案：C3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2C.62a2 D.6a2解析：如图(1)为直观图，(2)为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点做A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点．则在直角三角形A′O′M′中，∵O′A′＝32a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝A′N′＝32a，故A′M′＝62a.在直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为6a，到y轴距离为32a的点A，则△ABC为所求．显然S△ABC＝12a·6a＝62a2.答案：C4．(2012·合肥高一检测)一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 cm、5 cm、10 cm，四棱锥的高为8 cm，若按1∶5的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：原图形中平行于x轴的线段在直观图中平行于x′轴，且长度不变；原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y′轴，且长度变为原来的一半．答案：C二、填空题5．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．解析：原图的边长为1 cm和3 cm，所以周长为8 cm.答案：8 cm6．(2012·泉州高一检测)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上中线的实际长度为__________．解析：由题意知：△ABC是直角三角形，AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以斜边AB上的中线长等于斜边长的一半，即2.5.答案：2.57．直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点M′的坐标为________．解析：过点M分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，则OA＝4，OB＝4，在直观图中，过点M ′分别作y ′轴，x ′轴的平行线，交点分别为A ′，B ′.则O ′A ′在x ′轴上，长度仍为4，O ′B ′在y ′轴上，长度变为原来的一半，为2，则点M ′的坐标为(4,2)．答案：(4,2)8．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4 cm 的菱形的直观图的面积是________．解析：菱形的面积为2×34×42＝83，所以直观图的面积为24×83＝2 6. 答案：2 6 三、解答题9．如图是由正方体ABCE 和正三角形CDE 所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图．解：(1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图(1))，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°(如图(2))；(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB; 分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，得到平面图形A ′B ′C ′D ′E ′. (4)擦去辅助线，就得到所求的直观图(如图(3))．10．如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，该梯形绕边AD 所在直线EF 旋转一周得—几何体，画出该几何体的直观图和三视图．解：直观图如图a 所示，三视图如图b 所示．。

空间几何体的直观图．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)．强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错、易混点)教材整理斜二测画法阅读教材～的内容，完成下列问题．．直观图的概念()定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．()说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在投影下画出的空间图形．平行．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤()画轴：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成′∠′′′，且使轴和对应的′′轴，两轴交于)，它们确定的平面表示＝°水平面．°(或′()轴画线：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于′的线轴或段．，平行于轴的线段，长度取长度：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中()长度不变为原来的一半．．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面′′′垂直的轴′′，且平行于′′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．( )()平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．( )()平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．( )()斜二测坐标系取的角可能是°.()【解析】平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故()错误；由斜二测画法的基本要求可知()()()正确．【答案】()√()√()×()√图­­【精彩点拨】按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．【自主解答】画法：()在图()中作⊥轴于，作⊥轴于.()在图()中画相应的′轴与′轴，两轴相交于点′，使∠′′′＝°. ()在图()中的′轴上取′′＝，′′＝，′′＝，′′＝，′轴上取′′＝，分别过′和′作′轴的平行线，并在相应的平行线上取′′＝，′′＝. ()连接′′，′′，′′，′′，并擦去辅助线′′，′′，′轴与′轴，便得到水平放置的正五边形的直观图′′′′′(如图())．．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．。

1.2.3 空间几何体的直观图【选题明细表】1.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( C )①角的水平放置的直观图一定是角;②相等的角在直观图中仍然相等;③相等的线段在直观图中仍然相等;④若两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等;⑤同一个平面图形,由于在直角坐标系中的位置不同,它们直观图的形状可能不同.(A)①②③(B)①③⑤(C)①④⑤(D)④⑤解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角,故①正确;由正方形的直观图可排除②③;由于斜二测画法保持了平行性不变,因此④正确;而⑤显然正确.故选C.2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x 轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )(A)45°(B)135°(C)90°(D)45°或135°解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.3.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( C )(A)12 (B)24 (C)6 (D)12解析:因为原矩形的面积S=6×4=24,所以其直观图的面积为24×=6.4.如图是水平放置的三角形的直观图,D为△ABC中BC的中点,则原图形中AB,AD,AC三条线段中( B )(A)最长的是AB,最短的是AC(B)最长的是AC,最短的是AB(C)最长的是AB,最短的是AD(D)最长的是AC,最短的是AD解析:因为AB∥y轴,BC∥x轴,根据斜二测画法规则,在原图中应有AB ⊥BC,所以△ABC为B=90°的直角三角形,所以在AB,AD,AC三条线段中AC最长,AB最短.5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2, O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5,所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.6.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为.解析:过C′作C′M′∥y′轴,且交x′轴于M′.过C′作C′D′⊥x′轴,且交x′轴于D′,且C′D′= a.所以∠C′M′D′=45°,所以C′M′= a.所以原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,所以S原=·a2=a2.答案:a27.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B 的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为.解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.答案:8.一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( C )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:因为S△A′B′C′=a2sin 60°=a2,所以S△ABC=2S△A′B′C′=a2.9.如图,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为.解析:由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2S直观,得OB·h=2×·2O′B′.因为OB=O′B′,所以h=4.答案:410.在△ABC中,AC=10 cm,边AC上的高BD=10 cm,则其水平放置的直观图的面积为.解析:S△ABC=×10×10=50(cm)2,其直观图的面积为S=S△(cm)2.ABC=答案: cm211.有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①所示;(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,在z′轴上截取O′V′=3 cm,如图②所示;(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示;(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解:四边形ABCD的真实图形如图所示,因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因为DA=2D′A′=2,AC=A′C′=,所以S四边形ABCD=AC·AD=2.。

人教A版高中数学必修二 1.2.3空间几何体的直观图【同步训练3】一、单选题1. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1, A′O′=，那么原△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形2. 空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）A. B.C. D.3. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A.4cm, 1cm, 2cm, 1.6cmB.4cm, 0.5cm, 2cm, 0.8cmC.4cm, 0.5cm, 2cm, 1.6cmD.2cm, 0.5cm, 1cm, 0.8cm4. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形．②平行四边形的直观图是平行四边形．③正方形的直观图是正方形．④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是( )A.①②B.①④C.③④D.①②③④5. 如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()A. B. C. D.6. 如图所示是水平放置的的直观图，轴，，则是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7. 如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）A.ABB.ADC.BCD.AC参考答案与试题解析人教A版高中数学必修二 1.2.3空间几何体的直观图【同步训练3】一、单选题1.【答案】A【考点】平面图形的直观图两条直线垂直的判定斜二测画法【解析】原△ABC中，BO=OC=1,BC=2AO⊥BC目AO=2AO=√3．在直角△ABO和△ACO中|AB=√BO2+AO2=√1+3=2,AC=2．故△ABC等边三角形【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】由三视图求体积二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】选A．由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的直观图的选项是选项A，由三视图可知，该几何体下部分是一个四棱柱．选项都正确．故选A．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算由三视图求体积简单空间图形的三视图【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm,故选C．【解答】此题暂无解答【答案】A【考点】斜二测画法类比推理平面图形的直观图【解析】解：斜二测画法不改变平行性，但改变角的大小，所以①②正确，③④错误．【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】由三视图求体积类比推理二次函数的应用【解析】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法即可得出选项．【解答】正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选：D6.【答案】A【考点】归纳推理平面向量的基本定理类比推理【解析】由直观图得到∠BAC=90∘，且AB=AC，所以△ABC是直角三角形．【解答】因为AB′|′轴，所以∠BAC=90∘，与x′轴平行的线段与原长因为A′B′=A′C′，直观图中与y轴平行的线段是原长度的12度相等，所以(AB+AC.所以△ABC是直角三角形．故选A7.【答案】【考点】平面图形的直观图类比推理演绎推理的基本方法【解析】因为A′B与y’轴重合，B′C’与×轴重合，所以(AB⊥BC,AB=2A′B′,BC=BCL．所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC,BC<AC故选D．【解答】此题暂无解答。

课后导练基础达标1斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形.答案：B2下列关于用斜二测画法画直观图说法错误的是（）A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆解析：斜二测画法中，与x轴、y轴平行的线段继续保持与x′轴、y′轴平行.所以A项正确，从而可知，C、D项也正确，而平行于x轴的或z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一关，所以B项错.答案：B3右图是水平放置的三角形的直观图，AB∥y轴，则△ABC是…（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为AB∥y轴，所以AB⊥AC，故选C.答案：C4如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）解析：在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其一条对角线必2，因此A项正确.在y轴上且长度为2答案：A5利用斜二测画法得到以下结论正确的是（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 A.①② B.①C.③④D.①②③④解析：在斜二测画法的要求下，三角形的直观图仍是三角形，平行四边形的直观图仍为平行四边形.而正方形直观图是平行四边形，菱形的直观图是非菱形的平行四边形. 答案：A6以下直观图代表的立体图形是_________________.答案：（1）正六棱柱 （2）圆锥 （3）四棱锥和长方体的组合体 （4）两个三棱锥的组合体7用斜二测画法画一个水平放置的正五角星的直观图，则正五角星的各个角______________. ①相等 ②不等 ③不全等 答案：③8画边长为4 cm 的正三角形的水平放置的直观图. 画法：（1）以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴，再画对应的x′、y′轴，使∠x′O′y′=45°.（2）在x′轴上截取O′B′=O′C′=2 cm ，在y′轴上截取O′A′=21AO. 连结A′B′,A′C′,则△A′B′C′即为正△ABC 的直观图. 综合运用9下列说法正确的是（ ）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交的直线的直观图可能是相交直线C.互相垂直的直线的直观图仍是垂直的D.平行四边形的直观图是平行四边形E.菱形的直观图是菱形解析：正方形的直观图是平行四边形而不是梯形；两相交直线的直观图一定是相交直线；两垂直直线的直观图是夹角为45°的直线；平行四边形的直观图是平行四边形；菱形的直观图是非菱形的平行四边形. 答案：D10如下图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（ ）解析：按斜二测画法的规则：平行于x 轴或y 轴上的线段的长度在新系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新系中变为原来的21，并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°.故选C.答案：C11画右面几何体的直观图.画法：（1）画轴.画出x 轴,y 轴,z 轴.（2）画圆柱的两底面，先画圆O ，在z 轴上取点O′，使OO′等于实物图中相应的高度，过O′作x 轴的平行线O′x′，过O′作y 轴的平行线O′y′. 利用O′x′和O′y′画出底面圆O′.（3）连线.连结AA′,BB′，则得到圆柱OO′.拓展探究12已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ） A.23a 2 B.43a 3 C.26a 2D.6a 2 解析：如图（1）为直观图，（2）为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点.则在直角三角形A′O′M′中， ∵O′A′=23a ，∠A′M′O′=45°, ∴M′O′=A′N′=23a ， 故A′M′=26a.（1） （2）在直角坐标系中，在x 轴上方y 轴左侧取到x 轴距离为6a ，到y 轴距离为3[]2a 的点A ，则△ABC 为所求.显然S △ABC =21a·6a=26a 2.∴应选C.答案：C。

课后导练基础达标1斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形.答案：B2下列关于用斜二测画法画直观图说法错误的是（）A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆解析：斜二测画法中，与x轴、y轴平行的线段继续保持与x′轴、y′轴平行.所以A项正确，从而可知，C、D项也正确，而平行于x轴的或z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一关，所以B项错.答案：B3右图是水平放置的三角形的直观图，AB∥y轴，则△ABC是…（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为AB∥y轴，所以AB⊥AC，故选C.答案：C4如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）解析：在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其一条对角线必2，因此A项正确.在y轴上且长度为2答案：A5利用斜二测画法得到以下结论正确的是（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 A.①② B.①C.③④D.①②③④解析：在斜二测画法的要求下，三角形的直观图仍是三角形，平行四边形的直观图仍为平行四边形.而正方形直观图是平行四边形，菱形的直观图是非菱形的平行四边形. 答案：A6以下直观图代表的立体图形是_________________.答案：（1）正六棱柱 （2）圆锥 （3）四棱锥和长方体的组合体 （4）两个三棱锥的组合体7用斜二测画法画一个水平放置的正五角星的直观图，则正五角星的各个角______________. ①相等 ②不等 ③不全等 答案：③8画边长为4 cm 的正三角形的水平放置的直观图. 画法：（1）以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴，再画对应的x′、y′轴，使∠x′O′y′=45°.（2）在x′轴上截取O′B′=O′C′=2 cm ，在y′轴上截取O′A′=21AO. 连结A′B′,A′C′,则△A′B′C′即为正△ABC 的直观图. 综合运用9下列说法正确的是（ ）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交的直线的直观图可能是相交直线C.互相垂直的直线的直观图仍是垂直的D.平行四边形的直观图是平行四边形E.菱形的直观图是菱形解析：正方形的直观图是平行四边形而不是梯形；两相交直线的直观图一定是相交直线；两垂直直线的直观图是夹角为45°的直线；平行四边形的直观图是平行四边形；菱形的直观图是非菱形的平行四边形. 答案：D10如下图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（ ）解析：按斜二测画法的规则：平行于x 轴或y 轴上的线段的长度在新系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新系中变为原来的21，并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°.故选C.答案：C11画右面几何体的直观图.画法：（1）画轴.画出x 轴,y 轴,z 轴.（2）画圆柱的两底面，先画圆O ，在z 轴上取点O′，使OO′等于实物图中相应的高度，过O′作x 轴的平行线O′x′，过O′作y 轴的平行线O′y′. 利用O′x′和O′y′画出底面圆O′.（3）连线.连结AA′,BB′，则得到圆柱OO′.拓展探究12已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ） A.23a 2 B.43a 3 C.26a 2D.6a 2 解析：如图（1）为直观图，（2）为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点.则在直角三角形A′O′M′中， ∵O′A′=23a ，∠A′M′O′=45°, ∴M′O′=A′N′=23a ， 故A′M′=26a.（1） （2）在直角坐标系中，在x 轴上方y 轴左侧取到x 轴距离为6a ，到y 轴距离为3[]2a 的点A ，则△ABC 为所求.显然S △ABC =21a·6a=26a 2.∴应选C.答案：C。

[A基础达标]1．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：选B．根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形．2．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是()A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C．因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，所以原平面图形中AB⊥BC．所以△ABC为直角三角形．3．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：选B．如图，OA＝1 cm，在Rt△OAB中，OB＝2 2 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝3 cm．所以四边形OABC的周长为8 cm．4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．2．5 cmD ．5 cm解析：选D ．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D ． 5．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( ) A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D ．因为A ′D ′∥B ′C ′，所以AD ∥BC ． 因为∠A ′B ′C ′＝45°， 所以∠ABC ＝90°．所以AB ⊥BC ．所以四边形ABCD 是直角梯形，如图所示． 其中，AD ＝A ′D ′＝1，BC ＝B ′C ′＝1＋2，AB ＝2， 即S 梯形ABCD ＝2＋2．6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的形状为________．解析：因为∠D ′A ′B ′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB ＝90°，又因四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，且A ′B ′＝2B ′C ′，所以AB ＝BC ，所以原四边形ABCD 为正方形． 答案：正方形 7．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．解析：由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10． 答案：10 8．如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：在直观图中四边形A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B ′到x ′轴的距离为22． 答案：229．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝BO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．解：法一：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328．法二：梯形ABCD 的面积S ＝12(DC ＋AB )×OD＝12(1＋2)×1＝32． 所以梯形ABCD 直观图的面积为 S ′＝24S ＝24×32＝328． 10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以长方体的上底面为底面的四棱锥拼接而成的．步骤是：(1)作出长方体的直观图ABCD A1B1C1D1，如图①．(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图②所示，在z′轴上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥的直观图，如图②．(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图③．[B能力提升]11．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形解析：选C．设y′轴与B′C′交于点D′，则O′D′＝22．在原图形中，OD＝42，CD＝2，且OD⊥CD，所以OC＝（42）2＋22＝6＝OA，所以原图形是菱形．12．如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段B′D的长相等的线段有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C ．先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段B ′D 长度相等的线段．把三角形A ′B ′C ′还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，所以AD ＝DC ＝BD ．故选C ．13．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．解：法一：过C ′作C ′M ′∥y ′轴，且交x ′轴于M ′．过C ′作C ′D ′⊥x ′轴， 且交x ′轴于D ′，则C ′D ′＝32a ． 因为∠C ′M ′D ′＝45°， 所以C ′M ′＝62a ． 所以原三角形的高CM ＝6a ，底边长为a ， 其面积为S ＝12×a ×6a ＝62a 2．法二：因为S △A ′B ′C ′＝12×a ×32a ＝34a 2．由S 直观图＝24S 原图得， S △ABC ＝42 S △A ′B ′C ′＝42×34a 2＝62a 2．14．(选做题)如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。

1.2.3空间几何体的直观图[课时达标检测]一、选择题1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：选A由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC 是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：选C如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．3.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cmB．8 cmC．(2＋32) cmD．(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC ．BCD ．AC解析：选D 还原△ABC ，即可看出△ABC 为直角三角形，故其斜边AC 最长．5．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么正三角形ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积是( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 解析：选D 如图①为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .如图②，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法知：A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，过C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.二、填空题6．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．解析：易知AC ⊥BC ，且AC ＝6，BC ＝8，∴AB 应为Rt △ABC 的斜边，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.答案：107．如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边O ′B ′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：∵O ′B ′＝1，∴O ′A ′＝2，∴在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝22， ∴S △AOB ＝12×1×22＝ 2.答案： 28．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB ＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．解析：过A作AE⊥BC，垂足为E.又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1.由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×(1＋1＋22)×2＝2＋22.答案：2＋2 2三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．解：画法：。

授课资料范本2021-2021学年数学高中人教 A版必修 2教学设计：空间几何体的直观图含剖析编辑： __________________时间： __________________第一章1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.3空间几何体的直观图学习目标经过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图,提高学生画图和识图的能力,培养学生的研究精神和意识,增强学生的空间立体意识,以及转变与化归的数学思想方法 ,为后续课程的学习打好基础 .学习过程一、提出问题 ,引起联想问题 1:我们如何画一个水平放置的正六边形的直观图呢?依照上图 ,写出其画法的步骤 :(1).(2).(3).二、典型例题 ,追踪练习【例 1】梯形 ABCD 中 ,AB∥CD,AB= 4 cm,CD= 2 cm,∠DAB= 30°,AD= 3 cm, 试画出它的直观图 .问题 2:请同学们用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.【例 2】请同学们用斜二测画法画出长、宽、高分别是 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD-A'B'C'D' 的直观图 .问题 3:几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.三、作业精选 ,坚固提高1.利用斜二测画法画直观图时:①三角形的直观图是三角形 ;②平行四边形的直观图是平行四边形 ;③正方形的直观图是正方形 ;④菱形的直观图是菱形 .以上结论中 ,正确的选项是.2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,那么△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形 ,那么该平面图形的面积等于()A. B.1+ C.1+ D.2+4.如图,以下几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④5.以以下图,几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.课堂小结1.平面图形的直观图画法(1)在平面图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴订交于点 O,画直观图时 ,把它们分别画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'= 45°(或135°),它们确定的平面表示水平面 .(2)图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段 ,在直观图中分别画成平行于 x'轴或y'轴的线段 .(3)图形中平行于 x 轴的线段 ,在直观图中保持原长度不变 ,平行于 y 轴的线段 ,长度变为原来的一半 .(4)连接各个极点 ,尔后擦除辅助线即可 .2.立体图形的直观图画法(1)在形所在的空中取水平面,作互相垂直的Ox,Oy,再作 Oz,使∠xOy=90°,∠yOz=90°;(2)画出与 Ox,Oy,Oz 的 O'x',O'y',O'z',使∠ x'O'y'= 45°,∠y'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平面 ;(3)形中 ,平行于 x 、 y 和 z 的段 ,在直中分画成平行于x'、 y'和 z'的段 ,并使它在所画坐中的地址关系与形中相段和原坐的地址关系相同 ;(4)形中平行于 x 和 z 的段 ,在直中保持度不 ,平行于 y 的段 ,度原来的一半 ;(5)擦除作助的坐,就获取了空形的直.部署作本 P20 1.2A 第 5,6.参照答案1:(1)如① ,在正六形 ABCDEF 中,取 AD 所在直 x ,称 MN 所在直 y ,两订交于点 O,在②中 ,画相的 x'与 y' ,两订交于点 O',使∠x'O'y'=45°.(2)在②中 ,以 O'中点 ,在 x'上取 A'D'=AD ,在 y'上取 M'N'= MN,以点N'中点画 B'C'平行于 x' ,并且等于 BC;再以 M'中点画 E'F' 平行于 x' ,并且等于 EF.(3)接 A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去助以及 x'和 y' ,便得正六形 ABCDEF 水平放置的直 A'B'C'D'E'F' ,如③ .二、【例 1】解:(1)如①所示 ,在梯形 ABCD 中,以 AB 所在的直 x,点 A 原点 ,建立平面直角坐系 xAy.如②所示 ,画出的 x' ,y' ,使∠ x'A'y'= 45°.(2)如①所示 , D 点作 DE⊥x ,垂足 E,在②中 ,在 x'上取A'B'=AB= 4 cm,A'E'=AE=cm ≈E'作E'D'∥y'使E'D'=ED,再2.60 cm;,点 D'作 D'C' ∥x' ,且使 D'C'=CD= 2 cm;(3)接 A'D' ,B'C',C'D',并擦去 x'与 y'及其他一些助 ,如③所示 ,四形 A'B'C'D' 就是所求作的直 .2:(1)在☉O 上取互相垂直的直径将段 AB n 等份 ,各分点分作x'和 y' ,使∠ x'O'y'= 45°.AB,CD,分以它所在的直 x 与 y , y 的平行 ,交☉ O 于 E,F,G,H,⋯,画的(2)以 O'中点 ,在 x'上取 A'B'=AB ,在 y'上取 C'D'= CD,将 A'B' n 均分 ,分以些分点中点 ,画与 y'平行的段 E'F' ,G'H',⋯,使 E'F'= EF,G'H'= GH,⋯(3)用圆滑曲次接 A',⋯,D' ,F',H' ,⋯,B',G',E',C',⋯,A'并擦去助 ,获取的水平放置的直 .【例 2】解:(1)如 ,画 x 、 y 、 z ,三订交于点 O,使∠ xOy=45°,∠ xOz=90°.(2)以点 O 中点 ,在 x 上取段 MN,使 MN= 4 cm;在 y 上取段 PQ,使 PQ= cm.分点 M 和 N 作 y 的平行 ,点 P 和 Q 作 x 的平行 ,它的交点分 A,B,C,D,四形ABCD 就是方体的底面 ABCD.(3) A,B,C,D 各点分作 z的平行 ,并在些平行上分截取 2 cm 的段AA',BB',CC',DD'.(4)次接 A',B',C',D' ,并加以整理 ,就获取方体的直 .3:解:(1)如① ,画 x 、 y 、 z ,使∠ xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画出底面☉ O,在 z 上截取 O',使 OO'等于三中相高度 , O'作 Ox 的平行O'x',Oy 的平行 O'y',利用 O'x'与 O'y'画出底面☉ O'.(3)在 Oz 上截取点 P,使 PO'等于三中相的高度.(4)接 PA',PB',A'A,B'B,整理获取三表示的几何体的直如②.三、答案 :1.①②2.B3.D4.D5.解:(1)作出方体的直ABCD-A1B1C1D1,如①所示 .(2)再以上底面 A1B1C1D1的角交点原点建立空直角坐系 ,如②所示 ,在 z'上取点 V',使得 V'O' 的度棱的高 ,接 V'A1 ,V'B1,V'C1,V'D1获取四棱的直 ,如② .(3)擦去助和坐 ,遮住局部用虚表示 ,获取几何体的直 ,如③.。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图基础达标（含解析）新人教A 版必修21．关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12C ．在画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：选C.用斜二测画法作图时，∠x ′O ′y ′也可为135°，故C 错．2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选A.由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．3．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④解析：选 D.原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别在∠x ′O ′y ′成45°和135°的坐标系中的直观图．4. (2013·阜阳高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )解析：选A.根据斜二测画法知，在y 轴上的线段长度为原来的2倍，可知A 正确．5．水平放置的△ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A ′B ′C ′，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选C.用斜二测画法，原图的直角变成45°，直观图中的正△A ′B ′C ′的角度是60°，60°>45°.所以原图是钝角三角形． 6.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．解析：由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，又∵底边OB 的高线长为8，∴面积S ＝12×4×8＝16. 答案：167．(2013·石家庄高一检测)如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．解析：由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.答案：108．平面直角坐标系中的点M (4, 4)在用斜二测画法画出的直观图中对应点M ′，则作出M ′的具体画法是________________________________________．解析：在x ′轴正方向上取点M 1，使O ′M 1＝4，在y ′轴正方向上取点M 2，使M 2O ′＝2.过点M 1、M 2分别作y ′轴、x ′轴的平行线，则这两条直线的交点就是M ′.答案：过点(4,0)作与y ′轴平行的直线，过点(0,2)作与x ′轴平行的直线，则两条直线的交点就是M ′ 9.如图所示，△ABC 中，AC ＝10 cm ，AC 边上的高BD ＝10 cm ，求其水平放置的直观图的面积．解：画x ′轴，y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45 °，作△ABC 的直观图如图所示，则其底边A ′C ′＝AC ＝10 cm ，B ′D ′＝12BD ＝5 cm ，故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝522cm ， 所以S △A ′B ′C ′＝12×10×522＝2522(cm 2)． 故直观图的面积为2522cm 2. 10．用斜二测画法画出正六棱锥P －ABCDEF 的直观图．解：画法：(a )画出正六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于O (如图(1)所示)，画相应的x ′轴，y ′轴和z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45 °，∠x ′O ′z ′＝90°，使∠y ′O ′z ′＝90°(如图(2)所示)．②在图(2)中以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ；以N ′点为中点画B ′C ′平行于x ′轴，并且使B ′C ′＝BC ；再以M ′点为中点画E ′F ′平行于x ′轴，并且使E ′F ′＝EF .③连接A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(b )在O ′z ′轴上截取点P ′，使P ′O ′＝PO .(c )连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便得到正六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′(如图(3)所示)．。

1.2.3 空间几何体的直观图练习1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等2．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD 的直观图是C′D′，则()A．A′B′＝2C′D′B．A′B′＝C′D′C．A′B′＝4C′D′D．A′B′＝12C′D′3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．AD C．BC D．AC4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm6．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．7．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．8．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的找法是________．9．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．10．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．参考答案1.答案：A2.答案：C3.答案：D4.答案：C5.答案：C6.答案：107.答案：168.答案：在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′9.解：如图．10. 解：直观图如图a所示，三视图如图b所示．。