【人教版】2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练9 2.1~2.4组合练 文

专题02 函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1， 当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)． 综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y(4);2|2|12---=x x y解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．(2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1， 所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x ．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得 所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ． (2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知21)1(x xxf -=，求f (x )的解析式； (2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式； (4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式． 【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(111)1(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则tx 1=．则1111)(22-=-=t t t t t f ，所以⋅-=1)(2x x x f 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(1)1(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1， 所以，可设f (x )＝a (x －1)2－1，又f (0)＝2，所以a (0－1)2－1＝2，所以a ＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) (A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y (C))20(|1|23≤≤--=x x y(D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143x x x ++(D)212x x +4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______． 7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______． 三、解答题9．已知f (x )＝2x ＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性． (1);1)(-=x xx f (2);11)(+=xx f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y 解：(1)解01≥-x x，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )， 所以此函数为奇函数． (4)解011>-+xx，得－1＜x ＜1， 又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f xxx x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f x xxx -=+-=+-=---， 所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． ③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零， 故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等． 总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴， 所以12=-b，b ＝－2． 根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，(1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ． 方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．例6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．证明：设),2(21+∞-∈abx x 、，且x 1＜x 2 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 12＋bx 1＋c )＝a (x 22－x 12)＋b (x 2－x 1) ＝a (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋b (x 2－x 1)＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)＋b ] 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，又因为),2(21+∞-∈abx x 、， 所以0)(,2121>++->+b x x a ab x x ，所以f (x 2)－f (x 1)＞0， 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数． 例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0，所以a 2＋2＞2a ， 由已知，f (x )是单调增函数，所以f (a 2＋2)＞f (2a )．(2)因为f (x )是单调增函数，且f (a 2)＞f (a ＋6)，所以a 2＞a ＋6， 解得a ＞3或a ＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x 1，x 2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：∆x ＝x 2－x 1的符号；∆y ＝f (x 2)－f (x 1)的符号；函数y ＝f (x )在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x 1，x 2，若x 2＞x 1，且f (x 2)＞f (x 1)，则函数y ＝f (x )在区间上是增函数；不仅如此，若x 2＞x 1，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则f (x 2)＞f (x 1)； 若f (x 2)＞f (x 1)，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则x 2＞x 1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数． (1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0． 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以－f (3)＝f (－3)，又f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (－3)＞f (－2)，即－f (3)＞f (－2)． (2)因为mn ＜0，所以m ，n 异号，不妨设m ＞0，n ＜0， 因为m ＋n ＜0，所以n ＜－m ，因为n ，－m ∈(－∞，0)，n ＜－m ，f (x )在区间(－∞，0)上是减函数， 所以f (n )＞f (－m )，因为f (x )是奇函数，所以f (－m )＝－f (m )， 所以f (n )＞－f (m )，即f (m )＋f (n )＞0．例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x ＋2k )＝f (x )，k ∈Z ． 所以f (7.5)＝f (－0.5＋8)＝f (－0.5)＝41． (2)设x ∈[2n －1，2n ＋1]，则x －2n ∈[－1，1]． 所以f (x )＝f (x －2n )＝(x －2n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y ＝x 2－4x(B)y ＝｜x ｜(C)xy 1(D)y ＝x 2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2(B)2(C)1(D)－14．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数(B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数 (D)f (x )＋f (－x )是偶函数二、填空题5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______．6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．7．设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a ＝______．8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2π,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②;2221x x > ③｜x 1｜＞x 2． 其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．10．已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)当a ＝1时，证明函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0) (1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb 2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-ab ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．(3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-a b是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间．(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R ．(2)a ＞1时，对数函数为增函数；0＜a ＜1时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1． 5．幂函数y ＝x α(α∈R )幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地接近y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地接近x 轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x ∈(0，＋∞)时，x α＞0，所以所有的幂函数y ＝x α(α∈R )在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aa nm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=；bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题． 【例题分析】例1 化简下列各式： (1)31522732-⨯；(2)031π2)27102(412-+-；(3)21)972()71()027.0(231+----；(4)log 2[log 3(log 464)]；(5)4015018lg 5lg 2lg g g --+．解：(1)⋅=⨯=⨯=⨯---3432)3()2(2732123135253152 (2)⋅=-+=-+=-+--41243232)2764()49(π2)27102()412(3121315.0(3)443549310)925(49)103()972()71()027.0(21313321231-=+-=+-=+-----(4)log 2[log 3(log 464)]＝log 2[log 3(log 443)]＝log 2[log 33]＝log 21＝0．(5) .145lg 45lg4050lg 852lg40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定f (x )的解析式．解：解法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++,7,4,4,,8441,1242c b a ab ac c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．解法二f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，为f (2)＝－1，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为212)1(2=-+=x ， 又f (x )的最大值为8，所以8)21()(2+-=x a x f .因为(－1，－1)点在抛物线上，所以8)211(12+--=-a ，解得a ＝－4． 所以所求二次函数为7448)21(4)(22++-=+--=x x x x f .例3 (1)如果二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______．(2)二次函数y ＝ax 2－4x ＋a －3的最大值恒为负，则a 的取值范围是______． (3)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数， 画简图可知此抛物线对称轴22+-=a x 或与直线x ＝2重合，或位于直线x ＝2的左侧， 于是有222≤+-a ，解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a ＜0，且判别式∆＜0”，即⎩⎨⎧<--<0)3(416,0a a a ，解得a ∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，所以抛物线对称轴为x ＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f (2)＜f (1)＜f (4)．例4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的范围．解：当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，其图象与x 轴的交点为)0,31(，符合题意； 当m ＜0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧．所以m ＜0符合题意；当m ＞0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2mm a b m m 解得0＜m ≤1．综上，m ∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋b 与y ＝b ax 的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f (0)＝1”，例5中“作直线y ＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y ＝1”．例6 已知幂函数)()(22123Z ∈=-+k xx f k k ．(1)若f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以021232>-+k k ，解得－1＜k ＜3， 因为k ∈Z ，所以k ＝0，1，2，又因为f (x )为偶函数，所以k ＝1，f (x )＝x 2． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以021232<-+k k ， 解得k ＜－1，或k ＞3(k ∈Z )． 例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)21log ,0,6.0log 6.02；(2)lg2与lg(x 2－x ＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； (4)332与；(5)21log ,32,)21(3131；(6)a m ＋a －m 与a n ＋a －n (a ＞0，a ≠1，m ＞n ＞0)【分析】(1)函数y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log 20.6＜log 21＝0， 函数y ＝log 0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以01log 21log 6.06.0=> 所以216.0log 06.0log 2<<. (2)由于2411)21(322>+-=+-x x x ，所以lg2＜lg(x 2－x ＋3)． (3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为9)3(,8)2(636==.根据不等式的性质有.323<(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131>>>即所以 比较32与log 32，只需比较3233log 与log 32，因为y ＝log 3x 是增函数，所以只需比较323与2的大小，因为3332289)3(=>=，所以2332>，所以2log 323>， 综上，.2log 32)21(331>>(6))1)((1)(--=+-+++--n m n m nm n n m m a a a aa a a a ，当a ＞1时，因为m ＞n ＞0，a m ＞a n ，a m ＋n ＞1，所以a m ＋a－m＞a n ＋a －n ；当0＜a ＜1时，因为m ＞n ＞0，a m ＜a n ，a m ＋n ＜1，所以a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ． 综上，a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．例8 已知a ＞2，b ＞2，比较a ＋b ，ab 的大小． 【分析】方法一(作商比较法)b a ab b a 11+=+，又a ＞2，b ＞2，所以211,211<<b a ，所以1<+abba ，所以a ＋b ＜ab ． 方法二(作差比较法))]2()2([21)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=-+， 因为a ＞2，b ＞2，所以2－a ＜0，2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 方法三(构造函数)令y ＝f (a )＝a ＋b －ab ＝(1－b )a ＋b ，将y 看作是关于a 的一次函数， 因为1－b ＜0，所以此函数为减函数，又a ∈(2，＋∞)，y 最大＜f (2)＝(1－b )×2＋b ＝2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9 若log 2(x －1)＜2，则x 的取值范围是______． 解：log 2(x －1)＜2，即log 2(x －1)＜log 24，根据函数y ＝log 2x 的单调性，可得x －1＜4，所以x ＜5， 结合x －1＞0，所以x 的取值范围是1＜x ＜5．例10 已知A ，B 为函数y ＝log 8x 的图象上两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．。

第2讲导数及其应用「考情研析」 1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值（最值）问题是高考的常见题型.核心知识回顾1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x）在错误!x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f（x)在点(x0，f(x0））处切线的斜率,即k＝错误!f′（x0)．（2）曲线y＝f（x）在点(x0,f(x0）)处的切线方程为错误!y－f（x0）＝f′(x0）（x－x0)．2．函数的单调性(1）在某个区间（a,b）内,如果错误!f′(x）＞0（f′(x)〈0),那么函数y＝f（x）在这个区间内错误!单调递增（单调递减）．(2)利用导数求函数f（x)的单调区间的一般步骤：①确定函数错误!f（x）的定义域；②求□，04导数f′（x)；③在函数f（x)的定义域内错误!解不等式f′（x)>0或f′(x)〈0;④根据③的结果确定函数f(x)的错误!单调区间．3．导数与极值函数f(x）在x0处的导数错误!f′（x0）＝0且f′(x）在x0附近“错误!左正右负”⇔f（x）在x0处取得错误!极大值；函数f(x）在x0处的导数□，04f′(x0)＝0且f′（x）在x0附近“错误!左负右正”⇔f(x)在x0处取得错误!极小值．4．求函数f(x)在区间［a，b］上的最值的一般步骤(1）求函数y＝f（x)在［a，b]内的错误!极值；(2)比较函数y＝f(x)的错误!各极值与错误!端点处的函数值错误!f(a)，f(b）的大小，最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．热点考向探究考向1 导数的几何意义例1 (1)（2019·唐山市高三第二次模拟）已知函数f(x）＝错误!为奇函数,则f（x）在x＝2处的切线斜率等于（）A．6 B．－2C．－6 D．－8答案B解析设x>0,则－x〈0，f（－x)＝x2－2x，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x）＝－x2＋2x，f′（x）＝－2x＋2,则f′（2）＝－2，故选B.（2）设直线y ＝错误!x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0）的一条切线,则实数b 的值为（ ）A ．ln 2－1B ．ln 2－2C ．2ln 2－1D ．2ln 2－2答案 A解析 设切点坐标为（x 0,ln x 0），则错误!＝错误!，即x 0＝2，∴切点坐标为（2，ln 2)，又切点在直线y ＝错误!x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ,即b ＝ln 2－1.(3)已知曲线y ＝错误!x 3＋错误!，则曲线在点P （2,4)处的切线方程为_____________；曲线过点P （2,4)的切线方程为__________________________．答案 4x －y －4＝0 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0解析 ①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋错误!上，y ′＝x 2， ∴在点P （2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4。

1．若函数y ＝f ′(x )在区间(x 1，x 2)内是单调递减函数，则函数y ＝f (x )在区间(x 1，x 2)内的图象可以是( )【答案】B【解析】选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0和⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12和⎝⎛⎭⎫0，12 【答案】C【解析】由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝(2x ＋1)(2x －1)x，令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0，解得x >12，故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选C. 3.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数．∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)，∴x >－1.4．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可，令f ′(x )＝1－12ax －12≤0，解得a ≥2x ，则a ≥4.∴a min ＝4. 5．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有专题03 函数的单调性与导数 第一章 导数及其应用( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )【答案】C 【解析】因为⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C. 6．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x【答案】A【解析】对于选项A ，f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫12x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x ，∵e 2＞1，∴e x f (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )＞0，得x ＞0或x ＜－2； 令e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，∴函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x ，∵e 3＜1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫e 3x 在R 上单调递减，∴f (x )＝3－x 不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.7.如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2,5]上函数f (x )的递增区间为________．【答案】(－1,2)和(4,5]【解析】因为在(－1,2)和(4,5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________． 【答案】(0，＋∞)【解析】若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.9．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎭⎫1，32 【解析】显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32. 10．(1)已知函数f (x )＝ax e kx －1，g (x )＝ln x ＋kx .当a ＝1时，若f (x )在(1，＋∞)上为减函数，g (x )在(0,1)上为增函数，求实数k 的值；(2)已知函数f (x )＝x ＋a x－2ln x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的单调区间． 【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝x e kx －1，∴f ′(x )＝(kx ＋1)e kx ，g ′(x )＝1x＋k . ∵f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 则∀x ＞1，f ′(x )≤0⇔k ≤－1x， ∴k ≤－1.∵g (x )在(0,1)上为增函数，则∀x ∈(0,1)，g ′(x )≥0⇔k ≥－1x， ∴k ≥－1.综上所述，k ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－a x 2－2x ＝x 2－2x －a x 2. ①当Δ＝4＋4a ≤0，即a ≤－1时，得x 2－2x －a ≥0，则f ′(x )≥0.∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a ＞0，即a ＞－1时，令f ′(x )＝0，得x 2－2x －a ＝0，解得x 1＝1－1＋a ，x 2＝1＋1＋a ＞0.(ⅰ)若－1＜a ≤0，则x 1＝1－1＋a ≥0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0,1－1＋a )，(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增，在(1－1＋a ，1＋1＋a )上单调递减．(ⅱ)若a ＞0，则x 1＜0，当x ∈(0,1＋1＋a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(1＋1＋a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间(0,1＋1＋a )上单调递减，在区间(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增.。

专题 函数与导数一、选择题1．函数2()14ln(31)f x x x =-+-的定义域为（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（ ） A ．2x y = B ．ln y x =C ．1y x x=-D ．1y x x=+3．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭5．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞ C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞7．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知函数(),()ln 1x f x e e g x x =-=+，若对于1x ∀∈R ，()20x ∃∈+，∞，使得()()12f x g x ＝，则12x x -的最大值为（ ）A ．eB ．1-eC ．1D ．11e-9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-= B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-10．曲线()3f x x x =-在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ） A ．220x y ++= B ．220x y +-= C ．220x y -+=D ．220x y --=11．已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A ．e -B ．1-C ．1D ．e12．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2xg x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m （ ） A ．有最大值1e + B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -二、填空题 13．函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____14．已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的导函数是()g x ，设1x 、2x 是方程()0g x =的两根．若0a b c ++=，()()010g g ⋅<，则12x x -的取值范围为 .15．若函数()22f x x ax b =++在区间[]1,2两个不同的零点，则+a b 的取值范围是_____16．已知定义域为的函数()y f x =，若对于任意x D ∈，存在正数K ，都有()f x K x ≤成立，那么称函数()y f x =是上的“倍约束函数”，已知下列函数：①()2f x x =；②()2sin()4f x x π=+； ③32()2f x x x x =-+； ④22()1x f x x x =++，其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上）17．对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++ ()0a b c d R a ∈≠，，，，有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点()()m f m ，为函数()y f x =的“拐点”．若点()13-，是函数()325g x x ax bx =-+- ()a b R ∈，的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则当4x =时，函数()()4log h x ax b =+的函数值是__________．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据函数解析式，得到2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解出x 的取值范围，得到()f x 定义域.【详解】因为函数2()14ln(31)f x x x =-+-有意义，所以2140310x x ⎧-≥⎨->⎩，解得112213x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩所以解集为1132x <≤ 所以()f x 定义域为11,32⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：B. 【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题. 2．C 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间()0,∞+上的单调性，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，设()2xf x =，定义域为R ，关于原点对称，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，且当0x >时，()2xf x =，该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，设()1g x x x =-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11g x x x g x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由于函数y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数1y x=在区间()0,∞+上为减函数， 所以，函数()1g x x x=-在区间()0,∞+上为增函数； 对于D 选项，设()1h x x x =+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由双勾函数的单调性可知，函数()1h x x x=+在区间()0,1上为减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则该函数在区间()0,∞+上不单调. 故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的奇偶性与单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 3．B 【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 4．C 【解析】 【分析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小. 【详解】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<= 0.901.1 1.11c =>=所以：b a c << 故选：A 【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题. 6．C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性结合图形找出使得函数()y f x =单调递减以及满足()0f x >的对应x 的取值范围即可. 【详解】 因为12log y x =在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-U . 因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零. 7．C【分析】由()0h x =，得出()()f x g x =，转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可． 【详解】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C. 【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题． 8．D 【解析】 【分析】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ，从而可得12x x -的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可． 【详解】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ， ∴1x e e -＝21lnx +=a ， ∴1x ＝ln(a+e)，2x ＝1a e -， 故12x x -＝ln(a+e)-1a e -，（a ＞-e ）令h （a ）＝ln(a+e)-1a e -， h ′（a ）11a e a e-=-+， 易知h ′（a ）在（-e ，+∞）上是减函数， 且h ′（0）＝0，故h （a ）在a 0=处有最大值， 即12x x -的最大值为11e-； 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题． 9．A 【解析】 【分析】推导出当0x ≥时，()()2f x f x +=，结合题中等式得出()()100f f ==，可判断出A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；作出函数()y f x =在区间()1,1-上的图象，利用数形结合思想可判断C 选项的正误；求出函数()y f x =在[)0,+∞上的值域，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =的值域，可判断出D 选项的正误. 【详解】Q 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误； 如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A. 10．C 【解析】 【分析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可. 【详解】()2 '31x f x =-,故切线的斜率为()'12f -=.又()10f -=.所以曲线()3f x x x =--在点()()1,1f --处的切线方程为21)(y x =+.即220x y -+=.故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.11．B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．【详解】 对函数进行求导，得''1()2(1)f x f x=+把1x =代入得， ''(1)2(1)1f f =+直接可求得'(1)1f =-．【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是()1f '是一个实数．12．A【解析】【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m g x m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值． 【详解】 ∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2，当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0，∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m g x g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（ 解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值，故选A.【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．13．【解析】试题分析：由题意可得：30{40x x -≠->，解得{}|43x x x <≠且．考点：本题函数的定义域，学生的基本运算能力．14．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】由题意得()232g x ax bx c =++，并且c a b =--，由()()()01320g g c a b c ⋅=++<， 可得2320b b a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，可得2b a <-或1b a >-，根据韦达定理得出12x x -的取值范围． 【详解】由题意得()232g x ax bx c =++，0a b c ++=Q ，c a b ∴=--， 又()()()01320g g c a b c ⋅=++<Q ，所以()()320a b a b a b ++-->， 整理得2320b b a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，解得2b a <-或1b a >-. 因为1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根，则1223b x x a +=-，121333c b x x a a==--，所以()2212121223433b b x x x x x x a a ⎛⎫-=+-=++ ⎪⎝⎭， 2320b b a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭Q ，所以，221223232321333b b b b x x a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=++=+++>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，12x x -的取值范围是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查韦达定理的应用，考查零点相关的取值范围问题，解决此类问题的方法是正确地利用韦达定理表示所求表达式，利用二次函数在定区间上求最值的方程求解即可，属于中等题．15．[)1,0-【解析】【分析】由二次函数的区间根问题可得：即210240 442a b a b a b a ++≥⎧⎪++≥⎪⎨>⎪⎪-<<-⎩，由与线性规划有关的问题，作出可行域，再求最值即可． 【详解】由()()2,f x x ax b a b R =++∈在区间[]1,2上有两个不同的零点， 得：()()21020 40122f f a b a ⎧≥⎪≥⎪⎪⎨->⎪⎪<-<⎪⎩，即210240 442a b a b a ba ++≥⎧⎪++≥⎪⎨>⎪⎪-<<-⎩， 则(),ab 满足的可行域如为点A ，B ，C 所围成的区域，目标函数z a b =+，由图可知，当直线z a b =+过点B 时，z 取最小值1-，当直线0a b z +-=过点A 时，z 的最大值趋近0，故10z -≤<，即+a b 的取值范围是[)1,0-，故答案为[)1,0-.【点睛】本题考查了二次函数的区间根问题及与线性规划有关的问题，属于中档题.16．①④【解析】【分析】对于任意x D ∈，存在正数K ，使得对于任意x D ∈，都有()f x K x „成立()f x k x ⇔„，对①②③④逐个分析判断即可.【详解】因为()2f x x =，所以存在正数2，都有()222f x x x x==„，因此①是“倍约束函数”； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0x +→时2sin ()4x f x x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=→+∞故不存在正数k 使得对于任意x D ∈，都有()f x K x „成立，所以②不是“倍约束函数”；③32()2=-+f x x x x ，当x →+∞时，2()21f x x x x=-+→+∞故不存在正数k 使得对于任意x D ∈，都有()f x K x „成立，所以③不是“倍约束函数”； ④22()1x x x x =++，20(0)()1||111x f x x x x x x x =⎧⎪⎪==⎨++⎪++⎪⎩而11131x x ++„，故存在正数13使得对于任意x D ∈，都有1()3f x x…成立，所以④是“倍约束函数”.故答案为①④17．2【解析】【分析】求函数g(x)的二次导数，利用拐点定义得到关于a，b的方程组，求出a，b值，即可得h（x）解析式，从而求出h（4）．【详解】g'（x）＝3x2﹣2ax+b，g″（x）＝6x﹣2a，由拐点定义知x＝1时，g″（1）＝6﹣2a＝0，解得：a＝3，而g（1）＝﹣3，即1﹣a+b﹣5＝0，解得：b＝4，所以h（x）＝log4（3x+4），h（4）＝log416＝2，故答案为2．【点睛】本题考查导数的应用以及求函数值，考查转化思想以及新定义的问题．。

高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

2020年高考数学二轮精品复习资料专题二 函数与导数（学生版）【考纲解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型.6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数(0xy a a =>且1)a ≠与对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠互为反函数.7.了解幂函数的概念;结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图象,了解它们的变化情况.8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题.【考点预测】1.对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查，渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.3.由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.4.函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有机结合体现了高考命题的趋势.5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵活,它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其含义并能准确进行知识的应用.6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.【要点梳理】1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等；解决实际应用题的一般步骤是：分析实际问题，找出自变量，写出解析式，确定定义域，计算.2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系.3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的高度重视.4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，应熟练掌握.函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点，应认真研究、熟练掌握.5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值，常与导数结合在一起考查，是高考的常考点.6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础，掌握其单调性、奇偶性，通过图象进行判断和应用,常与导数结合在一起考查.7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查，它主要结合导数的应用进行考查.8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查.9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一.10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性；（3）确定极值点；（4）求出极值.12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.【考点在线】考点一 函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ） （A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅例2．(2020年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（ ）A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2练习2: (2020年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________例3．(2020年高考山东卷文科12)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<练习3:（2020年高考全国卷文科10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=( ) A.-12 B.1 4- C.14 D.12考点三 函数的图象函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例4．(2020年高考山东卷理科9文科10)函数2sin 2x y x =-的图象大致是( )练习4:（2020年高考山东卷文科11）函数22x y x =-的图像大致是( )了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例5．（2020年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15练习5:（2020年高考江西卷文科4)曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e考点五 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.例6．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．练习6: 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.考点六 函数的应用建立函数模型，利用数学知识解决实际问题.例7. (2020年高考山东卷文科21)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .练习7:(2020年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.考点七（理科） 定积分例8. (2020年高考全国新课标卷理科9)由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 练习8: (2020年高考湖南卷理科6)由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为( ) A.21 B. 1 C. 23 D. 3【易错专区】问题1：函数零点概念例1.函数2()712f x x x =-+的零点为 .问题2：零点定理例2.已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围【考题回放】1. （2020年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1(,0)4 B.1(0,)4 C. 11(,)42 D.13(,)242.(2020年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是( )（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 3.(2020年高考安徽卷文科10)函数()()n f x ax x 2=⋅1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 的值可能是( )（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. （2020年高考福建卷文科8)已知函数f （x ）=20,1, 0x x x x >⎧⎨+≤⎩，。

高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

＝x 的坐标为(1,1).＝12{－cos1－[－cos(－1)]} ＝12(－cos1＋cos1)＝0. 故①为一组正交函数；对于②.⎠⎛－1 1 [(x ＋1)(x －1)]d x ＝⎠⎛－11 (x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|1－1＝13－1－(－13＋1)＝23－2＝－43≠0.故②不是一组正交函数；对于③.⎠⎛－1 1 (x ·x 2)d x ＝⎠⎛－1 1x 3d x ＝(14x 4)|1－1＝0.故③为一组正交函数． 故选C. 『规律总结』1．求曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P (x 0.y 0).求y ＝f (x )在点P 处的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0).由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k .求y ＝f (x )的切线方程．设切点P (x 0.y 0).通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0.再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点).求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0.y 0).利用导数求得切线斜率f ′(x 0).然后由斜率公式求得切线斜率.列方程(组)解得x 0.再由点斜式或两点式写出方程．2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．3．(理)利用定积分求平面图形的面积的两个关键点关键点一：正确画出几何图形.结合图形位置.准确确定积分区间以及被积函数.从而得到面积的积分表达式.再利用微积分基本定理求出积分值．关键点二：根据图形的特征.选择合适的积分变量．在以y 为积分变量时.应注意将曲线方程变为x ＝(y )的形式.同时.积分上、下限必须对应y 的取值．易错提醒：求曲线的切线方程时.务必分清点P 处的切线还是过点P 的切线.前者点P 为切点.后者点P 不一定为切点.求解时应先求出切点坐标．＝－3x＋2x2．(文)如图.函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0.则f (1)＋f ′(1)＝( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由条件知(1.f (1))在直线x －y ＋2＝0上.且f ′(1)＝1.∴f (1)＋f ′(1)＝3＋1＝4. (理)(20xx·烟台质检)在等比数列{a n }中.首项a 1＝23.a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x .则该数列的前5项和S 5为( C )A ．18B ．3C ．2423D ．2425[解析] a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝18.因为数列{a n }是等比数列. 故18＝23q 3.解得q ＝3.所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423.故选C.3．已知常数a 、b 、c 都是实数.f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x ).f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}.若f (x )的极小值等于－115.则a 的值是( C )A ．－8122B ．13C ．2D ．5[解析] 依题意得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－2,3].于是有3a >0.－2＋3＝－2b3a .－2×3＝c3a.∴b ＝－3a2.c ＝－18a .函数f (x )在x ＝3处取得极小值.于是有f (3)＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115.－812a ＝－81.a ＝2.故选C.6．已知函数f (x )＝12x 2＋3ax －ln x .若f (x )在区间[13.2]上是增函数.则实数a 的取值范围为[89.＋∞).[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋3a －1x ≥0在[13.2]上恒成立.即3a ≥－x ＋1x 在[13.2]上恒成立．又y ＝－x ＋1x 在[13.2]上单调递减.∴(－x ＋1x )max ＝83.∴3a ≥83.即a ≥89.7．(文)若函数y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间.则a 的取值范围是a >0.[解析] y ′＝－x 2＋a .若y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间.则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根.故a >0.(理)(20xx·临沂模拟)如图.已知A (0.14).点P (x 0.y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上.若阴影部分面积与△OAP 面积相等.则x 0＝64. [解析] 因为点P (x 0.y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上. 所以y 0＝x 20.则△OAP 的面积S ＝12|OA ||x 0|＝12×14x 0＝18x 0.阴影部分的面积为∫x 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30.因为阴影部分面积与△OAP 的面积相等. 所以13x 30＝18x 0.即x 20＝38.所以x 0＝38＝64. 8．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．。

专题二函数与导数第1讲函数的概念、图象与性质[记牢方能用活]一、函数与映射的相关结论1．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．2．映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有n m个．二、函数的表示方法及分段函数1．表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法．2．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．三、函数的图象及应用1．描点法作图的方法步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换四、函数的性质及应用1．利用性质判断函数的奇偶性一般情况下，在相同定义域内，有下列结论成立：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．2．函数单调性判断的常用方法(1)定义法：要注意函数的定义域；(2)图象法：作出函数图象，从图象上直观判断；(3)复合函数法：同增异减；(4)性质法：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减；(5)导数法．3．几种常见抽象函数的周期调研1函数的表示、分段函数a．分段函数求值问题1．(2019·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1(x ≥2)，log 2x (0<x <2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A ．－2B ．8C ．1D ．2答案：D 解析：当m ≥2时，m 2－1＝3，∴m ＝2或m ＝－2(舍)；当0<m <2时，log 2m ＝3，∴m ＝8(舍)．∴m ＝2.故选D.2．(2018·江苏，9,5分)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0， 则f (f (15))的值为________．答案：22 解析：由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.b ．分段函数的不等式问题3．(2017·全国Ⅲ，15,5分)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1， 解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0；当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立； 当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立． 综上可知，x ＞－14.小提示：分段函数的有关方程、不等式问题，都需对函数表达式分段讨论，只有解析式明确后，才能解方程、解不等式，关键是对自变量的分类讨论，得到函数表达式．[对点提升]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤2，log a x －12，x >2的值域为R ，则f (22)的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－12 答案：D 解析：当x ≤2时，f (x )∈[－1，＋∞)，依题意可得当x >2时，函数f (x )的取值必须包含(－∞，－1)，如图所示，可知函数在区间(2，＋∞)上单调递减，得0<a <1.当x ＝2时，log a 2<0，且log a 2－12≥－1，即－12≤log a 2<0，所以f (22)＝log a 22－12＝32log a 2－12，即f (22)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－12.故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln (x ＋1)，x >0，－x 2＋3x ，x ≤0，若不等式|f (x )|－mx ＋2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案：[－3－22，0] 解析：原不等式恒成立等价于不等式mx ≤|f (x )|＋2恒成立．在平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|＋2的大致图象，如图所示，则不等式恒成立即是函数y＝mx的图象恒在函数y＝|f(x)|＋2的图象的下方．下面考虑函数y＝x2－3x＋2(x≤0)的图象的切线的斜率，且此切线过原点．设切点为P(a，b)(a<0)，则b＝a2－3a＋2，y′＝2x－3，于是切线方程为y－b＝(2a－3)(x－a)．因为切线过原点，所以－b＝(2a－3)·(－a)，即－(a2－3a＋2)＝－2a2＋3a，所以a2＝2.又因为a<0，所以a＝－ 2.此时切线的斜率k＝2a－3＝－3－2 2.结合图象可知，所求实数m的取值范围为[－3－22，0]．调研2函数的图象及应用a．由解析式辨识图象1．(2019·全国Ⅰ，5,5分)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()解析：∵f(－x)＝sin(－x)－xcos(－x)＋(－x)2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2>0，排除B，C.故选D.小提示：函数图象的辨识方法1．由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置；2．由函数的单调性判断图象的变化趋势；3．由函数的奇偶性判断图象的对称性；4．由函数的周期性识辨图象；5．由函数图象上的特征点排除不符合要求的图象．b．函数零点与图象的综合2．(2016·全国Ⅱ，12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1m(x i＋y i)＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案：B 解析：由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴ i ＝1m(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.小提示：凡是两函数交点坐标之和(或积)等问题，都与图象的性质有关，数形结合法是解题关键，准确判断函数的对称性(对称轴、对称中心)，借助对称性解决问题．[对点提升]1．(2019·全国Ⅲ，7,5分)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )答案：B2．(2016·山东，15,5分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：f(x)的大致图象如图所示，要满足存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.调研3函数的性质及应用a．利用函数性质求值问题1．(2018·全国Ⅱ，11,5分)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝() A．－50 B．0C．2 D．50答案：C解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．又f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数，得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.小提示：本题中函数既有对称中心，又有对称轴，则其表现出周期性．若函数f(x)有对称轴为x＝a和x＝b，则T＝2|a－b|；若有对称中心为(a,0)，(b,0)，则T＝2|a－b|；若有对称中心为(a,0)，对称轴为x＝b，则T＝4|a－b|.b．利用函数性质比较大小2．(2019·全国Ⅲ，11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()答案：Cc．由单调性求参数3．(2019·北京，13,5分)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．答案：－1 (－∞，0] 解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)的定义域为R ， ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∵f (x )＝e x ＋a e －x ，∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x －a e x . ∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即e x ≥ae x 在R 上恒成立，∴a ≤e 2x 在R 上恒成立． 又e 2x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]． 小提示：利用对称性、单调性比较大小，应先将自变量转化为同一单调区间，不等式的求解可利用数形结合，褪掉抽象符号f .[对点提升]1．(2019·江西南昌第一中学模拟)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x )ln 1－x1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝________.答案：－3 解析：∵y ＝ex＋e －x 是偶函数，y ＝ln1－x 1＋x在(－1,1)上为奇函数，∴φ(x )＝(ex＋e －x )·ln1－x1＋x为奇函数． ∵f (a )＝φ(a )－1＝1，∴φ(a )＝2. ∴f (－a )＝φ(－a )－1＝－φ(a )－1＝－3.2．(2019·四川成都外国语学校阶段考)函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(－4,4] 解析：因为函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，所以当x ∈[2，＋∞)时，x 2－ax ＋3a >0且函数g (x )＝x 2－ax ＋3a 为增函数，即a2≤2且f (2)＝4＋a >0，解得－4<a ≤4.提醒 完成专题训练(五)第2讲基本初等函数、函数与方程[记牢方能用活]一、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实根分布二、指数函数与对数函数的图象与性质三、函数的零点1．函数的零点与方程的根、函数图象的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果有解，则有几个解就有几个零点．(2)利用零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数图象在[a，b]上的图象是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个相应函数图象的交点的个数问题，有几个交点就有几个零点．四、应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.调研1 幂函数与二次函数 a ．幂函数的性质1．(2018·上海，7,5分)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.答案：－1 解析：本题主要考查幂函数的性质． ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，故α＝－1. b ．二次函数的性质2．(2019·浙江，16,4分)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________．答案：43 解析：由题意，得f (t ＋2)－f (t ) ＝a (t ＋2)3－(t ＋2)－(at 3－t ) ＝a [(t ＋2)3－t 3]－2＝a (t ＋2－t )[(t ＋2)2＋(t ＋2)·t ＋t 2]－2 ＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2 ＝2a [3(t ＋1)2＋1]－2. 由|f (t ＋2)－f (t )|≤23， 得|2a [3(t ＋1)2＋1]－2|≤23， 即－23≤2a [3(t ＋1)2＋1]－2≤23， 23≤a [3(t ＋1)2＋1]≤43，∴23·13(t ＋1)2＋1≤a ≤43·13(t ＋1)2＋1.设g (t )＝43·13(t ＋1)2＋1，则当t ＝－1时，g (t )max ＝43.∴当t ＝－1时，a 取得最大值43，满足题意． 小提示：幂函数y ＝x α(α∈R)的性质及图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2．如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数； 3．如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上为减函数；4．当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． [对点提升]1．(2019·河南濮阳二模)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2＋2m －3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m ＝( )A ．－1B ．2C ．3D ．2或－1答案：A 解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2＋2m －3 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 5，其图象与两坐标轴有交点，不合题意；当m ＝－1时，f (x )＝1x 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m ＝－1，故选A.2．(2019·河南南阳模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 答案：D 解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57，∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D. 调研2 指数、对数函数 a ．指数式、对数式的大小比较1．(2019·全国Ⅰ，3,5分)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a答案：B 解析：因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以b >c >a .故选B.2．(2019·天津，6,5分)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案：A 解析：因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.小提示：指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较．对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小．b ．指数函数、对数函数的图象与性质3．(2018·上海，11,5分)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________. 答案：6 解析：本题主要考查指数式的运算．由已知条件知，f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p2p＋ap ＝65，①2q 2q＋aq＝－15，②①＋②，得2p (2q ＋aq )＋2q (2p ＋ap )(2p ＋ap )(2q ＋aq )＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6. c ．对数式的大小比较4．(2019·安徽安庆二模)若函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m <n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D ．(1，e 1e)答案：D 解析：f (x )＝log a x 的定义域与值域相同， 等价于方程f (x )＝log a x ＝x 有两个不等的实数解． ∵log a x ＝x ，∴ln xln a ＝x ， ∴ln a ＝ln xx 有两个不等实数解，问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx 的图象有两个交点． 作函数y ＝ln xx 的图象，如图所示．根据图象可知，当0<ln a <1e ，即1<a <e 1e时，直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx 的图象有两个交点．故选D.[对点提升]1．(2019·湖北华中师大第一附属中学模拟)设a ＝2 01612 017，b ＝log 20162 017，c ＝log 2 017 2 016，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．c >b >a答案：A 解析：∵a ＝2 01612 017>2 0160＝1,1＝log 2 0162 016>b ＝log 20162 017>log 2 016 2 016＝12，c ＝log 2 017 2 016<log 2 017 2 017＝12，所以a >b >c .故选A.2．(2019·山东淄博模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12，对任意a ∈R ，存在b ∈(0，＋∞)，使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A ．2e －1B ．e 2－12 C ．2－ln 2 D ．2＋ln 2答案：D调研3 函数的零点 a ．零点个数的判断1．(2018·全国Ⅲ，15,5分)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案：3 解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0， 即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.2．(2017·江苏，14,5分)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．答案：8 解析：由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x ＜10的情况． 在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m ＝q p ，则10n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x ∉D 部分的交点．画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10＜1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程解的个数为8.b ．由零点个数求参数3．(2019·浙江，9,4分)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0答案：C解析：由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a <－1时，1－a >0，可知g (x )在(－∞，0)上单调递增； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故A ，B 排除． ②当a >－1，即a ＋1>0时， 因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)， 所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增．如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点．当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去．综上，－1<a <1，b <0.故选C.4．(2018·全国Ⅰ，9,5分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C 解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )． 在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.小提示：已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．[对点提升]1．(2019·黑龙江哈师大附中模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，则关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案：A解析：因为函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，故其零点x1，x2，…，x2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x1＋x2＋…＋x2 017＝m＝0.则关于x 的方程为2x＋x－2＝0，令h(x)＝2x＋x－2，则h(x)为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h(0)＝20＋0－2＝－1<0，h(1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x的方程2x ＋x－2＝m的根所在区间是(0,1)．2．(2019·河南安阳二模)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是()A．[0,1] B．[－1,0]C．[0,2] D．[－1,1]答案：A解析：令f(x)＝0，可得ln(x＋1)＝－a(x2－x)，令g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝－a(x2－x)．∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，∴g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点．显然当a＝0时符合题意；当a<0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图1所示，显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；当a>0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图2所示，若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.综上，0≤a≤1.故选A.调研4函数模型及综合应用a．函数关系在实际问题中的应用1．(2019·全国Ⅱ，4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1 (R＋r)2＋M2r2＝(R＋r)M1R3.设α＝rR.由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r的近似值为()A.M 2M 1RB.M 22M 1RC.33M 2M 1R D.3M 23M 1R答案：D 解析：由α＝r R ，得r ＝αR ，代入M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1. 又∵3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈3M 23M 1， ∴r ＝αR ≈3M 23M 1R .故选D.b.函数模型在实际问题中的应用2．(2019·湖北荆门模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱 1 000元，存入银行，年利率为 2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )(参考数据：1.022 54＝1.093,1.022 55＝1.118,1.040 15＝1.217) A ．176元 B ．104.5元 C ．77元 D ．88元答案：B 解析：将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×1.040 15＝1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元)．将1 000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1 000×0.022 5×5＝112.5(元)，故可以多获利息217－112.5＝104.5(元)，故选B.小提示：在实际应用中，对数量关系的理解很重要，若考查图象问题，可由特殊值、特殊信息来验证；若考查求值计算，应用方程思想，把条件转化为条件方程．[对点提升4](2019·江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的矩形健身场地AMPN .如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，点P 在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形健身场地AMPN 每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k 为正常数).(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解：(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10,20]， ∴2003≤S ≤225 3.(2)矩形健身场地AMPN 造价T 1＝37k S ，又∵△ABC 的面积为12×30×tan 60°×30＝4503， ∴草坪造价T 2＝12kS (4503－S )．∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k S ＋5 400k 3S，2003≤S ≤225 3. (3)∵S ＋2163S ≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.∴选取|AM |为12米或18米时总造价T 最低．提醒 完成专题训练(六)第3讲 导数及其应用(单调性与极值)[记牢方能用活]一、导数的运算及几何意义函数f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，是指点P(x0，y0)即为切点，切线为y －y0＝f′(x0)(x－x0)；而过点P(x0，y0)的切线方程，则点P(x0，y0)不一定是切点，设切点为P′(x1，y1)，写出切线表达式y－y1＝f′(x1)(x－x1)，将P(x0，y0)代入切线方程求解x1，从而得到切线方程．二、导数与函数单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．三、函数的极值设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)>f(x0)，则f(x0)是函数y＝f(x)的一＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．个极小值，记作y极小值四、函数的最值1．在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但如果连续函数在开区间(a，b)内只有一个极值点，那么极大值点就是最大值点，极小值点就是最小值点．调研1导数的运算及几何意义a．导数的运算求值1．(2019·福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln 1x，则f(1)＝()A．－e B．2 C．－2 D．e答案：B解析：由已知，得f′(x)＝2f′(1)－1x，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.b．导数的几何意义2．(2019·全国Ⅰ，13,5分)曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．答案：y＝3x解析：y′＝3(2x＋1)e x＋3(x2＋x)e x＝e x(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.c．应用导数的几何意义求参数3．(2019·全国Ⅲ，6,5分)已知曲线y＝a e x＋x ln x在点(1，a e)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1答案：D解析：y′＝a e x＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝a e＋1，∴切线方程为y－a e＝(a e＋1)(x－1)，即y＝(a e＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.故选D ． 小提示：1．第1题中的f ′(1)理解为常数，求导后构造方程．2．第3题中应用点(1，a e)既在直线上，也在曲线上，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝2，f (1)＝2＋b求值． [对点提升]1．(2019·广东深圳二模)已知函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A ．π4B ．3π4 C.π3D ．2π3答案：B 解析：由函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，可得a ＝0，则f (x )＝x ＋2x ，f ′(x )＝1－2x 2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为3π4，故选B ．2．(2019·山东名校调研)已知曲线y ＝e x ＋a 与y ＝x 2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是( )A ．[2ln 2－2，＋∞)B ．(2ln 2，＋∞)C ．(－∞，2ln 2－2]D ．(－∞，2ln 2－2)答案：D 解析：由题意可设直线y ＝kx ＋b (k >0)为它们的公切线，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x2可得x 2－kx －b ＝0，由Δ＝0，得k 2＋4b ＝0.①由y ＝e x ＋a 求导可得y ′＝e x ＋a ，令e x ＋a ＝k ，可得x ＝ln k －a ，∴切点坐标为(ln k －a ，k ln k －ak ＋b )，代入y ＝e x ＋a 可得k ＝k ln k －ak ＋b .②联立①②可得k 2＋4k ＋4ak －4k ln k ＝0.化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝4k－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0<k<4，令g′(k)<0，得k>4.∴g(k)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，∴g(k)max＝g(4)＝4ln 4－4，且当k→0时，g(k)→－∞，当k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D．调研2利用导数研究函数的单调性a．含参函数单调性的讨论1．(2017·全国Ⅰ，21,12分)已知函数f(x)＝a e2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2a e2x＋(a－2)e x－1＝(a e x－1)(2e x＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝－ln a.当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－1a＋ln a.①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故f(x)没有零点；③当a∈(0,1)时，1－1a＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0.又f(－2)＝a e－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－ln a)上有一个零点．设正整数n 0满足n 0＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0 (a e n 0＋a －2)－n 0＞e n 0－n 0＞2 n 0－n 0＞0. 由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －1＞－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)上有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)． 小提示：单调区间的讨论，常伴随着求导后的因式分解，讨论含参因子的符号变化，也常有对极值点和定义域的讨论．第(2)问中函数有两零点，不但要求极小值f (－ln a )<0，而且需要寻找极值点两侧存在两个自变量x 1，x 2满足其值为正值，此两点的判断是难点．b ．利用单调性解决零点个数2．(2019·全国Ⅰ，20,12分)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明：(1)f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点；(2)f (x )有且仅有2个零点． 证明：(1)设g (x )＝f ′(x )， 则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2有唯一零点，设为α. 则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2上单调递减，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点．(2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)上单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)上单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2上单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，所以存在β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫β，π2上单调递减．又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2没有零点．③当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点． 小提示：此问题中两零点的证明与上一题处理方式不同．利用零点存在性定理，结合函数单调性．[对点提升]1．(2019·河南安阳模拟)已知函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图，则函数g (x )＝f (x )e x 的单调减区间为( )A ．(0,4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C ．(0,1)，(4，＋∞)D ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞答案：C 解析：由题意可知导函数是二次函数，原函数是三次函数，由g (x )＝f (x )e x ，得g ′(x )＝e xf ′(x )－e xf (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x ，由题图可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )－f (x )>0，g ′(x )>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )－f (x )<0，g ′(x )<0，当x∈(1,4)时，f ′(x )－f (x )>0，g ′(x )>0，当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )－f (x )<0，g ′(x )<0.∴函数g (x )＝f (x )e x 的单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选C.2．(2019·湖南娄底二模)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a 在x ∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，－1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 1－e ，－1 D ．[－1，e)答案：A 解析：f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2，当a ≥－1时，f ′(x )>0，f (x )在[1，e]上单调递增，不合题意．当a ≤－e 时，f ′(x )<0，f (x )在[1，e]上单调递减，也不合题意．当－e<a <－1时，当x ∈(1，－a )时，f ′(x )<0，f (x )在[1，－a )上单调递减；x ∈(－a ，e)时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，e]上单调递增．又f (1)＝0，所以f (x )在[1，e]上有两个零点，只需f (e)＝1－a e ＋a ≥0即可，所以e1－e ≤a <－1.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，－1，故选A ． 调研3 利用导数研究函数的极值、最值问题 a ．利用导数求解最值1．(2019·全国Ⅲ，20,12分)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性．(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．(1)解：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减．若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上单调递减．(2)解：满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1,2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.小提示：(1)求出f ′(x )＝0的两根，比较根的大小并分类讨论．(2)利用(1)中的单调区间讨论f (x )在[0,1]上的最值，最终确定参数a ，b 的值． 第(2)问中分类讨论的标准是单调区间的端点与0,1的大小关系，从而确定函数在[0,1]上的最值．b ．由极值求参数2．(2018·全国Ⅲ，21,12分)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0. (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x. 设函数g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x， 则g ′(x )＝x(1＋x )2. 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0；当x ＞0时，g ′(x )＞0，故当x ＞－1时，g (x )≥g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0.所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，故当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0. (2)解：(ⅰ)若a ≥0，由(1)知，当x ＞0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x ＞0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． (ⅱ)若a ＜0， 设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax 2.由于当|x |＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2＞0， 故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2.若6a ＋1＞0，则当0＜x ＜－6a ＋14a ，且|x |＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )＞0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＜0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0， 故当x ∈(x 1,0)，且|x |＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )＜0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2，则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )＞0；当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16. 小提示： 1．解题指导：(1)当a ＝0时，写出f (x )的解析式，对f (x )求导，易得f (0)＝0，结合单调性可将问题解决．(2)对a 进行分类讨论，分析各类情况下的极大值点，进而求得参数a 的值． 2．易错警示： 容易忽略函数定义域．函数解析式中含有对数型的式子，则其真数部分应大于零． [对点提升](2018·北京，18,13分)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得，f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.提醒 完成专题训练(七)第4讲 导数的综合应用(不等式、零点问题)[记牢方能用活]一、利用导数证明不等式问题1．解决含参不等式恒成立(或有解)问题的方法(1)直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．(2)先分离参变量，再构造函数，进而把问题转化为函数的最值问题． 2．解决有关不等式的证明问题的方法 (1)直接构造函数，转化为函数的最值问题． (2)证明f (x )≥g (x )时可转化为证明f (x )min ≥g (x )max . 3．常用的函数不等式第一组：与对数函数有关的不等式ln x ≤x －1(x >0)，ln x<x (x >0)，ln x ≤xe (x >0)， ln x ≤x 2－x (x >0)，ln x ≥1－1x (x >0)， ln(1＋x )≤x (x >－1)， ln x<12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (x >1)，ln x>12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (0<x <1)，ln x<x －1x (x >1)，ln x>x －1x(0<x <1)， ln x>2(x －1)x ＋1(x >1)，ln x<2(x －1)x ＋1(0<x <1)，ln(x ＋1)≥x1＋x(x >－1)． 第二组：与指数函数有关的不等式 e x ≥x ＋1，e x >x ，e x ≥e x ，e x ≤11－x(x <1)， e x <－1x (x <0)，e x >x 2(x >0)， e x≥1＋x ＋12x 2(x >0)．4．不等式与函数最值关系。

专题对点练92.1~2.4组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设函数f(x)=则f(f(e))=()A.0B.1C.2D.ln(e2+1)2.设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<14.(2018全国Ⅲ,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()5.函数y=1+log0.5(x-1)的图象一定经过点()A.(1,1)B.(1,0)C.(2,1)D.(2,0)6.若函数f(x)=的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(0,1]D.(-1,0)7.已知函数f(x)=,则()A.∃x0∈R,使得f (x)<0B.∀x∈(0,+∞),f(x)≥0C.∃x1,x2∈[0,+∞),使得<0D.∀x1∈[0,+∞),∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)>f(x2)8.已知函数f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)为增函数,则“<x<2”是“f[log2(2x-2)]>f”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知f(x)=若不等式f(x-1)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则实数a的最大值为()A.B.-1 C.-D.1二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.11.已知二次函数f(x)=ax2-2x+c的值域为[0,+∞),则的最小值为.12.(2018天津,文14)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2018全国Ⅰ,文21)已知函数f(x)=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.14.已知函数f(x)=e x-ax2-2x(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的最小值;(2)当a<-1时,证明不等式f(x)> -1在(0,+∞)上恒成立.15.(2018浙江,22)已知函数f(x)=-ln x.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln 2;(2)若a≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.专题对点练9答案1.C解析f(e)=ln e=1,所以f(f(e))=f(1)=12+1=2.故选C.2.B解析∵a=60.4>1,b=log0.40.5∈(0,1),c=log80.4<0,∴a>b>c.3.D解析∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时,y=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D.4.D解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.5.C解析∵函数y=log0.5x恒过定点(1,0),而y=1+log0.5(x-1)的图象是由y=log0.5x的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C.6.A解析函数f(x)=的值域为[-1,1],当x≤a时,f(x)=cos x∈[-1,1],满足题意;当x>a时,f(x)=∈[-1,1],应满足0<≤1,解得x≥1.∴a的取值范围是[1,+∞).7.B解析由函数f(x)=,知在A中f(x)≥0恒成立,故A错误,B正确;又f(x)=在[0,+∞)上是递增函数,故C错误;在D中,当x1=0时,不存在x2∈[0,+∞)使得f(x1)>f(x2),故D不成立.故选B.8.D解析由f(x)是偶函数且当x≤0时,f(x)为增函数,则x>0时,f(x)是减函数,故由f[log2(2x-2)]>f,得|log2(2x-2)|<=log2,故0<2x-2<,解得1<x<,故“<x<2”是“1<x<”的既不充分也不必要条件,故选D.9.B解析作出函数f(x)和f(x-1)的图象,当a≥0时,f(x-1)≥f(x)对一切x∈R不恒成立(如图1).图1图2当a<0时,f(x-1)过定点(1,0)(如图2),当x>0时,f(x)=ax2+x的两个零点为x=0和x=-,要使不等式f(x-1)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则只需要-≤1,得a≤-1,即a的最大值为-1.10.解析x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=时,x2+y2取最小值.因此x2+y2的取值范围为.11.6解析二次函数f(x)=ax2-2x+c的值域为[0,+∞),可得判别式Δ=4-4ac=0,即有ac=1,且a>0,c>0,可得≥2=2×3=6,当且仅当,即有c=,a=3时,取得最小值6.12.解析当x>0时,f(x)≤|x|可化为-x2+2x-2a≤x,即+2a-≥0,所以a≥;当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|可化为x2+2x+a-2≤-x,即x2+3x+a-2≤0.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x≤0时,y≤0,所以当x=0时,y≤0,即a-2≤0,所以a≤2.综上所述,a的取值范围为.13.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-.由题设知,f'(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f'(x)=e x-.当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.14.(1)解a=0时,f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2,令f'(x)>0,解得x>ln 2,令f'(x)<0,解得x<ln 2,故f(x)在(-∞,ln 2)递减,在(ln 2,+∞)递增,故f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2.(2)证明∵f'(x)=e x-2ax-2,∴f'(1)=e-2-2a>e-2-2=0,f'(0)=-1<0,故存在x0∈(0,1),使得f'(x0)=0,令h(x)=e x-2ax-2,则x∈(0,+∞)时,h'(x)=e x-2a>e x+2-e>0,故h(x)在(0,+∞)递增且h(x0)=0,故x=x0是h(x)的唯一零点,且在x=x0处f(x)取最小值f(x0)=-x0(ax0+2),又h(x0)=0,即-2ax0-2=0,得ax0+1=,故f(x0)=-x0,构造函数g(t)=e t-t,则g'(t)=e t-1,[g'(t)]'=e t,故t∈(0,1)时,[g'(t)]'<0,g'(t)在(0,1)递减,故t∈(0,1)时,g'(t)<g'(0)<0,故g(t)在(0,1)递减,故f(x0)在(0,1)递减,故f(x)min=f(x0)>e1-1=-1,原结论成立.15.证明(1)函数f(x)的导函数f'(x)=,由f'(x1)=f'(x2),得,因为x1≠x2,所以.由基本不等式,得≥2,因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g'(x)=-4),所以x(0,16)16(16,+∞)g'(x)-0+g(x)↘2-4ln 2↗所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln 2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln 2.(2)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n≤n<0,所以,存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a.所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a,得k=.设h(x)=,则h'(x)=.其中g(x)=-ln x.由(1)可知g(x)≥g(16).又a≤3-4ln 2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.。

回顾2 函数与导数[必记知识]1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R .②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．[提醒] (1)解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.(2)解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．[提醒] 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.3．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．[提醒]求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝a x(a＞0，且a≠1)恒过(0，1)点；y＝log a x(a＞0，且a≠1)恒过(1，0)点．(2)单调性：当a＞1时，y＝a x在R上单调递增；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，y＝a x在R上单调递减；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减．5．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．6．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I 是其单调区间的子集．[提醒]已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b).7．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f ′(x )＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点．(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤①求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[提醒] f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.[必会结论]1．函数周期性的常见结论(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |；若f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |.(2)若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0，f (x )≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |；若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0，f (x )≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |.(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )的周期为|a －b |.(4)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 与x ＝b (a ≠b )对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.(5)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则函数f (x )的周期为2|a |.(6)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则函数f (x )的周期为4|a |.2．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称；(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 3．三次函数的相关结论给定三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，求导得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，则(1)当4(b 2－3ac )＞0时，f ′(x )＝0有两个实数解，即f (x )有两个极值点；当4(b 2－3ac )≤0时，f (x )无极值点．(2)若函数f (x )的图象存在水平切线，则f ′(x )＝0有实数解，从而4(b 2－3ac )≥0.(3)若函数f (x )在R 上单调递增，则a ＞0且4(b 2－3ac )≤0.[必练习题]1．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln （x －1）的定义域为( ) A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]解析：选D.要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln （x －1）的定义域为(1，2)∪(2，10]，故选D. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f （2x ），0＜x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫22的值是( ) A ．0B ．1C ．12D ．－12解析：选C.因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，f （2x ），0＜x ＜1，且0＜22＜1，2＞1，所以f ⎝⎛⎭⎫22＝f (2)＝log 22＝12，故选C. 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2B ．154C ．174D ．a 2解析：选B.由题意知f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x ＋2，又f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2. ①又g (x )＋f (x )＝a x －a －x ＋2. ②①＋②得g (x )＝2，②－①得f (x )＝a x －a －x ，又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝4－14＝154，故选B. 4．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b解析：选B.由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确．因为y ＝log c x 是减函数，得log c a ＜log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b，因为0＜c ＜1，所以lg c ＜0.而a ＞b ＞0，所以lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，所以log a c 与log b c 的大小不能确定．5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (π)＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D. 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ＞0时，f ′(x )＜f （x ）x，且f (－1)＝0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1，0) 解析：选B.设F (x )＝f （x ）x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数．F ′(x )＝1x 2[xf ′(x )－f (x )]，x ＞0时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，F (1)＝F (－1)＝0，结合F (x )的图象得f (x )＞0的解为(－∞，－1)∪(0，1)．7．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)8．函数y ＝e x －x 在区间[－1，1]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝0，又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，f (0)＝e 0－0＝1，而e －1＞1e＋1＞1，所以函数f (x )＝e x －x 在区间[－1，1]上的最大值为e －1. 答案：e －19．设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ，所以f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝010．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中正确结论的序号为________(写出所有正确结论的序号)．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0，0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝ －f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③。

专题对点练9　2.1~2.4组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设函数f (x )=则f (f (e))=( ){x 2+1,x ≤1,lnx ,x >1,A .0B .1C .2D .ln(e 2+1)2.设a=60.4,b=log 0.40.5,c=log 80.4,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a<b<cB .c<b<aC .c<a<bD .b<c<a3.已知函数y=log a (x+c )(a ,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a>1,c>1B .a>1,0<c<1C .0<a<1,c>1D .0<a<1,0<c<14.(2018全国Ⅲ,文9)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )5.函数y=1+log 0.5(x-1)的图象一定经过点( )A .(1,1)B .(1,0)C .(2,1)D .(2,0)6.若函数f (x )=的值域为[-1,1],则实数a 的取值范围是( ){cosx ,x ≤a ,1x ,x >aA .[1,+∞)B .(-∞,-1]C .(0,1]D .(-1,0)7.已知函数f (x )=,则( )x 12A .∃x 0∈R ,使得f (x )<0B .∀x ∈(0,+∞),f (x )≥0C .∃x 1,x 2∈[0,+∞),使得<0f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2D .∀x 1∈[0,+∞),∃x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)>f (x 2)8.已知函数f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )为增函数,则“<x<2”是“f [log 2(2x-2)]>f”的( )(log 1223)A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知f (x )=若不等式f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的最大值为( ){ax 2+x ,x >0,-x ,x ≤0,A .B .-1C .-D .1916二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知x ≥0,y ≥0,且x+y=1,则x 2+y 2的取值范围是 .11.已知二次函数f (x )=ax 2-2x+c 的值域为[0,+∞),则的最小值为 . 9a +1c 12.(2018天津,文14)已知a ∈R ,函数f (x )=若对任意x ∈[-3,+∞),f (x )≤|x|恒成{x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.立,则a 的取值范围是 .三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2018全国Ⅰ,文21)已知函数f (x )=a e x -ln x-1.(1)设x=2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间;(2)证明:当a ≥时,f (x )≥0.14.已知函数f (x )=e x -ax 2-2x (a ∈R ).(1)当a=0时,求f (x )的最小值;(2)当a<-1时,证明不等式f (x )> -1在(0,+∞)上恒成立.15.(2018浙江,22)已知函数f (x )=-ln x.x (1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.专题对点练9答案1.C 解析 f (e)=ln e =1,所以f (f (e))=f (1)=12+1=2.故选C .2.B 解析 ∵a=60.4>1,b=log 0.40.5∈(0,1),c=log 80.4<0,∴a>b>c.3.D 解析 ∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时,y=log a (1+c )<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a (x+c )=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D .4.D 解析 当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C .故选D .(12)4+(12)25.C 解析 ∵函数y=log 0.5x 恒过定点(1,0),而y=1+log 0.5(x-1)的图象是由y=log 0.5x 的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C .6.A 解析 函数f (x )=的值域为[-1,1],{cosx ,x ≤a ,1x ,x >a 当x ≤a 时,f (x )=cos x ∈[-1,1],满足题意;当x>a 时,f (x )=∈[-1,1],应满足0<≤1,解得x ≥1.∴a 的取值范围是[1,+∞).7.B 解析 由函数f (x )=,知在A 中f (x )≥0恒成立,故A 错误,B 正确;x 12又f (x )=在[0,+∞)上是递增函数,故C 错误;x 12在D 中,当x 1=0时,不存在x 2∈[0,+∞)使得f (x 1)>f (x 2),故D 不成立.故选B .8.D 解析 由f (x )是偶函数且当x ≤0时,f (x )为增函数,则x>0时,f (x )是减函数,故由f [log 2(2x-2)]>f,得|log 2(2x-2)|<=log 2,(log 1223)|log 1223|故0<2x-2<,解得1<x<,故“<x<2”是“1<x<”的既不充分也不必要条件,故选D .9.B 解析 作出函数f (x )和f (x-1)的图象,当a ≥0时,f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 不恒成立(如图1).图1图2当a<0时,f (x-1)过定点(1,0)(如图2),当x>0时,f (x )=ax 2+x 的两个零点为x=0和x=-,要使不等式f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立,则只需要-≤1,得a ≤-1,即a 的最大值为-1.10.　解析 x 2+y 2=x 2+(1-x )2=2x 2-2x+1,x ∈[0,1],所以当x=0或1时,x 2+y 2取最大值1;当x=时,[12,1]x 2+y 2取最小值.因此x 2+y 2的取值范围为.[12,1]11.6　解析 二次函数f (x )=ax 2-2x+c 的值域为[0,+∞),可得判别式Δ=4-4ac=0,即有ac=1,且a>0,c>0,可得≥2=2×3=6,当且仅当,即有c=,a=3时,取得最小值6.9a +1c 9ac 9a =1c 12.　解析 当x>0时,f (x )≤|x|可化为-x 2+2x-2a ≤x ,即+2a-≥0,所以a ≥;[18,2](x -12)2当-3≤x ≤0时,f (x )≤|x|可化为x 2+2x+a-2≤-x ,即x 2+3x+a-2≤0.对于函数y=x 2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x ≤0时,y ≤0,所以当x=0时,y ≤0,即a-2≤0,所以a ≤2.综上所述,a 的取值范围为.[18,2]13.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a e x -.由题设知,f'(2)=0,所以a=.12e 2从而f (x )=e x -ln x-1,f'(x )=e x -.12e 212e 2当0<x<2时,f'(x )<0;当x>2时,f'(x )>0.所以f (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)当a ≥时,f (x )≥-ln x-1.e xe 设g (x )=-ln x-1,e xe 则g'(x )=.e x e ‒1x 当0<x<1时,g'(x )<0;当x>1时,g'(x )>0.所以x=1是g (x )的最小值点.故当x>0时,g (x )≥g (1)=0.因此,当a ≥时,f (x )≥0.14.(1)解 a=0时,f (x )=e x -2x ,f'(x )=e x -2,令f'(x )>0,解得x>ln 2,令f'(x )<0,解得x<ln 2,故f (x )在(-∞,ln 2)递减,在(ln 2,+∞)递增,故f (x )min =f (ln 2)=2-2ln 2.(2)证明 ∵f'(x )=e x -2ax-2,∴f'(1)=e -2-2a>e -2-2=0,f'(0)=-1<0,(e 2-1)故存在x 0∈(0,1),使得f'(x 0)=0,令h (x )=e x -2ax-2,则x ∈(0,+∞)时,h'(x )=e x -2a>e x +2-e >0,故h (x )在(0,+∞)递增且h (x 0)=0,故x=x 0是h (x )的唯一零点,且在x=x 0处f (x )取最小值f (x 0)=-x 0(ax 0+2),e x0又h (x 0)=0,即-2ax 0-2=0,e x 0得ax 0+1=,ex 02故f (x 0)=-x 0,构造函数g (t )=e t -t ,ex 0(1-x 02)(1-t 2)则g'(t )=e t -1,[g'(t )]'=e t ,(12-t 2)(-t 2)故t ∈(0,1)时,[g'(t )]'<0,g'(t )在(0,1)递减,故t ∈(0,1)时,g'(t )<g'(0)<0,故g (t )在(0,1)递减,故f (x 0)在(0,1)递减,故f (x )min =f (x 0)>e 1-1=-1,原结论成立.(1-12)15.证明 (1)函数f (x )的导函数f'(x )=,12x ‒1x 由f'(x 1)=f'(x 2),得,12x 1‒1x 1=12x 2‒1x 2因为x 1≠x 2,所以.1x 1+1x 2=12由基本不等式,得≥2,12x 1x 2=x 1+x 24x 1x 2因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.由题意得f (x 1)+f (x 2)=-ln x 1+-ln x 2=-ln(x 1x 2).x 1x 212x 1x 2设g (x )=-ln x ,12x 则g'(x )=-4),14x (x 所以x (0,16)16(16,+∞)g'(x )-0+g (x )↘2-4ln 2↗所以g (x )在[256, +∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2,即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2.(2)令m=e -(|a|+k ),n=+1,则f (m )-km-a>|a|+k-k-a ≥0,(|a |+1k )2f (n )-kn-a<n ≤n <0,(1n -a n -k )(|a |+1n -k )所以,存在x 0∈(m ,n ),使f (x 0)=kx 0+a.所以,对于任意的a ∈R 及k ∈(0,+∞),直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有公共点.由f (x )=kx+a ,得k=.x -lnx -a x 设h (x )=,则h'(x )=.x -lnx -ax lnx -x 2-1+a x 2=-g (x )-1+a x 2其中g (x )=-ln x.x 2由(1)可知g (x )≥g (16).又a ≤3-4ln 2,故-g (x )-1+a ≤-g (16)-1+a=-3+4ln 2+a ≤0,所以h'(x )≤0,即函数h (x )在(0,+∞)上单调递减.因此方程f (x )-kx-a=0至多1个实根.综上,当a ≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.。