勾股定理的应用(2)

14．2勾股定理的应用（二）

知识与基础

1.在 Rt ΔABC 与 Rt ΔA`B`C`中∠C ＝∠C`＝90°，有下列几组条件（ ）.

①AC ＝B`C`，BC ＝A`C`；②AC ＝A`C`，BC ＝B`C`；③AC ＝A`B`，∠A ＝∠A`；④BC ＝A`C`，AB ＝A`B`.其中能判定这两个直角三角形全等的有（ ）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.下面是直角三角形具备的几条性质：（ ）.

①两个较小的内角之和等于较大的内角；②三个内角的和等于180°；③面积等于较短的两边的乘积的一半；④有斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等.其中一般三角形不具备的有（ ）.

A.4条

B.3条

C.2条

D.1条

3.在下列语句中，不正确的是（ ）.

A.有两条边对应相等的两个直角三角形全等；

B.一般三角形所具备的性质，直角三角形都具备；

C.直角三角形没有稳定性；

D.两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等

4.如图，0A ＝0B ，AD ⊥0B ，BC ⊥0A ，D 、C 为垂足，AD 、BC 相交于点P.下面给出的四个结论：①△A0D ≌△B0C ；②∠1＝∠2；③PC ＝PD ；④0P 平分∠A0B.其中，一定成立的有（ ）.

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

5.如图，AB 是∠CAD 的平分线2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 上任意一点，下面给出的四个结论：①BC ＝BD ，②EC ＝ED ，③∠CAE ＝∠ADE ，④点B 在∠CED 的平分线上，其中，正确的结论有（ ）.

2.7勾股定理的应用(二) --- [ 教案] 班级 姓名 学号

教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.

2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。发展学生的分析问题能力和表达能力。

3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。

重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用

教学过程

（一）创设情景，引入新课；

这些图形都有什么共同特征？

几组勾股数.

3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；

.图1中的x 等于多少?

图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正

在数轴上画出表示5的点

在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；

图1

x 11

z y 1

1x

图2

例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。 （五）尝试应用，反馈矫正2

如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，

求△ABC 的面积。

如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，

求△ABC 的周长和面积。

（六）实践探索，揭示新知3；

如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1

17.1 勾股定理

第2课时勾股定理的应用

课前预习

1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.

2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；

（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；

（3）证明包含平方关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.

3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.

课堂练习

知识点1 勾股定理的实际应用

1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.

2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.

3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.

【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22

-=2.在

2.5 1.5

AB CB

-=22

Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22

-=1.5.∴AE=AC -

ED CD

2.52

-=22

CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.

4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.

第二讲：勾股定理的综合应用

类型一：勾股定理的直接用法

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

例2、如图，已知：在中，，，.

求：BC的长.

思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，

为此作于D，则有

，，再由勾股定理计算出AD、DC

的长，进而求出BC的长.

解析：作于D，则因，

∴（的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中，

.

根据勾股定理，在中，

.

∴.

【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

例3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了

到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：（1）过B点作BE//AD

第03讲勾股定理的应用（3种题型）

【知识梳理】

一．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

二．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

【考点剖析】

题型一．勾股定理的实际应用

例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m

【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()

14.2章勾股定理的应用（2）

教学目标：

１.在特殊三角形中要会找出直角三角形或构建直角三角形。 ２.当三角形的三边是整式时，要会判断大小，从而判断三角形的形状。

思维激活：

以△ABC 三边a,b,c 为边向外

作正方形，以三边为直径作半圆，

若S 1+S 2=S 3成立，则△ABC 是直角

三角形吗？

问题研讨：

问题1：已知：等边△ ABC 的边长是6cm

(1)求高AD 的长.

(2)求S △ ABC.

解：（1）∵ △ ABC 是等边三角形，AD 是高，

在Rt △ ABD 中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，

∵ AD 2=AB 2-BD 2

∴

＝

练一练：

1．等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为16cm ，则底边上的高为 ，面积为__________．

2．等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，那么它的斜边上的高为 ．

问题2：

32

1==∴BC BD

知识拓展：

问题3：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积。

解：作∆ABC的高AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：

∴ S∆ABC＝

试一试：

等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，

AC=BC=1.

求：斜边的一半.

课堂小结：

和同学们交流一下这节课你学到了什么？

课堂作业：

课本60页，习题第１、５题

课后反思：