浙江专用2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何5第5讲椭圆教学案

第2课时 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系(自主练透)1．(一题多解)若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：选D.法一：由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立． 由于m >0 且m ≠5，所以m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆有交点．弦长问题(师生共研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【解】 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝4＋3＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k2＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝12（k2＋1）3＋4k2.同理，|CD|＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k2＋13＋4k2＝12（k2＋1）3k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12（k2＋1）3＋4k2＋12（k2＋1）3k2＋4＝84（k2＋1）2（3＋4k2）（3k2＋4）＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线的斜率)．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝b2＋c2，ca＝63，2c＝22，解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x＋m，x23＋y2＝1，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.所以|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝2（x2－x1）2＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]＝12－3m22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.中点弦问题(多维探究) 角度一 由中点弦确定直线方程或曲线方程(1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．(2)焦点是F (0，52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________．【解析】 (1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为P (x 0，y 0)，通解：有x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.两式作差，得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）2＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－x 02y 0. 即2＝－x 02y 0，所以x 0＋4y 0＝0.优解：由k AB ·k OP ＝－b 2a 2得2·y 0x 0＝－12，即x 0＋4y 0＝0.故所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0，将x ＋4y ＝0代入x 22＋y 2＝1得：x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 42＝1，解得x＝±43，又中点在椭圆内，所以－43<x <43.(2)通解：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1. 优解：设弦的中点为M ，由k AB ·k OM ＝－a 2b2得2×2×27－127＝－a 2b 2，得a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，所以所求的方程为y 275＋x 225＝1.【答案】 (1)x ＋4y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－43<x <43 (2)y 275＋x 225＝1 角度二 对称问题如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解】 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：(2)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直于直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上”的应用．1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是________．解析：设所求直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0. 因为P (3，1)是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点， 所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， 故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34， 直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －13＝0. 答案：3x ＋4y －13＝02.已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．求实数m 的取值范围．解：由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63.椭圆与向量的综合问题(师生共研)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．【解】 (1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所以2b 2a ＝433.因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33， 又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1，0)， 则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.又A (－3，0)，B (3，0)， 所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.从而x 1＋x 2＝－6×22＋3×2＝－32，x 1x 2＝3×2－62＋3×2＝0.所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－4×0＝32，|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋2×32＝332.而原点O 到直线CD 的距离为d ＝|k |1＋k2＝21＋2＝63， 所以△OCD 的面积为S ＝12|CD |×d ＝12×332×63＝324.解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．(2020·河南郑州二模)已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．解：(1)由0<m <2，得2m <4，可知：曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b2＝1，把点N ⎝⎛⎭⎪⎫3，12代入得34＋14b 2＝1，解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2，解得c 2＝3，所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，得k 2>14.x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k2， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝6－4k21＋4k2＝2. 得k 2＝13>14，所以k 的值为±33.[基础题组练]1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B.由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， 所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A.设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23. 3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B ．423C. 2D ．2解析：选B.由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝423.4．(2020·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32 B ．23 C.22D ．33解析：选B.由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2.所以12＝4c2a 2＋b 2，所以e ＝23，故选B. 5．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D.因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，2mn ＝4，mn ＝2， 所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1.6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5537．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．解析：由点差法可求出k 1＝－12·x 中y 中，所以k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12. 答案：－128.从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba，由于OP ∥AB ，所以－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得（－c ）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，所以e ＝c a ＝22.答案：229．已知椭圆E 的一个顶点为A (0，1)，焦点在x 轴上，若椭圆的右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离是3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程． 解：(1)由题意得b ＝1.右焦点(c ，0)(c >0)到直线x －y ＋22＝0的距离d ＝|c ＋22|2＝3，所以c ＝ 2.所以a ＝b 2＋c 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝2，此时直线l 的方程为x ＝0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，所以x A ＝0，x B ＝－6k1＋3k2， 所以|AB |＝1＋k 26|k |1＋3k 2，|AB |2＝36k 2（1＋k 2）（1＋3k 2）2.令t ＝1＋3k 2，t ∈(1，＋∞)，则|AB |2＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t＋1，所以当1t ＝14，即k 2＝1，得k ＝±1时，|AB |2取得最大值为92，即|AB |的最大值为322，此时直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.因为2<322，所以当弦AB 的长度最大时，直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.10．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围． 解：(1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，所以r 1＝54a ，r 2＝34a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35， 解得a ＝2，因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，①设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2， 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM ，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，M 为AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k24k，②把②代入①得3＋4k 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3＞0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[综合题组练]1．(一题多解)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C.32D ．55解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，且x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，所以b 2a 2＝14，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C.法二：将直线方程x －y ＋5＝0代入x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，得(a 2＋b 2)x 2＋10a 2x ＋25a 2－a 2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－10a2a 2＋b 2，又由中点坐标公式知x 1＋x 2＝－8，所以10a 2a 2＋b 2＝8，解得a ＝2b ，又c ＝a 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝32.故选C.2．(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且|QF 1|＝2|PF 1|，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为( )A ．2－ 3B ．2－1 C.2＋1D ．2＋ 3解析：选D.法一：可设|PF 1|＝t ，则|QF 1|＝2|PF 1|＝2t ， 由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －t ，|QF 2|＝2a －2t ， |PQ |＝4a －3t ，则|PQ |2＋|PF 1|2＝|QF 1|2，即(4a －3t )2＋t 2＝4t 2，即有4a －3t ＝3t ，解得t ＝43＋3a ，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为12|PF 1|·|PF 2|12|QF 1|·|QF 2|·sin 30°＝12·43＋3a ·2＋233＋3a 12·83＋3a ·23－23＋3a ·12＝1＋33－1＝2＋ 3.故选D.法二：同法一得出t ＝43＋3a ，则S △PF 1F 2S △QF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |12|F 1F 2||y Q |＝|y P ||y Q |＝|PF 2||QF 2|＝2a －t2a －2t ＝2a －43＋3a2a －2×43＋3a＝（2＋23）a （23－2）a＝2＋ 3.故选D.3．(一题多解)(2020·安徽蚌埠一模)已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，则∠F 1AF 2的平分线所在直线的斜率为________． 解析：法一：因为F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，所以F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 所以AF 1⊥x 轴，所以|AF 1|＝32，则|AF 2|＝52，所以点F 2(1，0)关于l (∠F 1AF 2的平分线所在直线)对称的点F ′2在线段AF 1的延长线上，又|AF ′2|＝|AF 2|＝52，所以|F ′2F 1|＝1，所以F ′2(－1，－1)，线段F ′2F 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，所以所求直线的斜率为32－⎝⎛⎭⎪⎫－12－1－0＝－2.法二：如图．设∠F1AF2的平分线交x轴于点N，∠F1AN＝β，∠ANF2＝α.因为tan 2β＝|F1F2||AF1|＝232＝43＝2tan β1－tan2β，所以tan β＝12或－2(舍)．在Rt△AF1N中，tan β＝|F1N||AF1|，即|F1N|32＝12，所以|F1N|＝34，所以k l＝tan α＝tan(π－∠ANF1)＝－tan∠ANF1＝－|AF1||F1N|＝－3234＝－2.答案：－24.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，15．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )．所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2（n －y ），得⎩⎨⎧m ＝（2＋1）x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋（2＋1）22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →， 知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋（y 1＋y 2）22＝1，即4k 2（k 2＋2）2＋8（k 2＋2）2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2020·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，原点到过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于P ，Q 两点，求△PQF 1内切圆半径r 的最大值．解：(1)直线AB 的方程为x a ＋y－b＝1， 即bx －ay －ab ＝0. 原点到直线AB 的距离为|－ab |（－a ）2＋b2＝32， 即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2，① 由e ＝c a ＝63，得c 2＝23a 2，② 又a 2＝b 2＋c 2，③所以联立①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2. 故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)得F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．易知直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋2， 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋2，x 23＋y 2＝1，(k 2＋3)y 2＋22ky －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22kk 2＋3，y 1y 2＝－1k 2＋3.④而S △PQF 1＝S △F 1F 2P ＋S △F 1F 2Q ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝ 2 （y 1＋y 2）2－4y 1y 2，⑤ 将④代入⑤，得S △PQF 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k k 2＋32＋4k 2＋3＝2 6 k 2＋1k 2＋3. 又S △PQF 1＝12(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝23r ，所以2 6 k 2＋1k 2＋3＝23r ，故r ＝ 2 k 2＋1k 2＋3＝2k 2＋1＋2k 2＋1≤12， 当且仅当k 2＋1＝2k 2＋1，即k ＝±1时取等号．故△PQF 1内切圆半径r 的最大值为12.。

椭圆课时作业1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．33 C ．22D ．24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C ．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A ．4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12×(2a －|MF 1|)＝12×(10－2)＝4，故选B ．5．(2019·河南豫北联考)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．24C ．12 D ．1答案 D解析 由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D ．6．(2019·吉林长春模拟)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则·的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴＝(－1－x ，－y )，＝(1－x ，－y )，则·＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C ．7．(2019·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C ．8．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2C ．13D ．－12答案 D解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理，得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，∴此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4(y 1＋y 2)＝－12，则此直线的斜率为－12. 9．(2020·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C ．10．(2020·西安摸底检测)设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A ．463B ．263C ．433D ．233答案 A解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.11．(2019·山西八校联考)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A ．53 B ．103C ．203D ．53答案 A解析 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由△ABF 2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r ＝12.△ABF 2的面积＝△AF 1F 2的面积＋△BF 1F 2的面积＝12|y 1|·|F 1F 2|＋12|y 2|·|F 1F 2|＝12(|y 1|＋|y 2|)·|F 1F 2|＝3|y 1－y 2|(A ，B 在x轴的上下两侧)，又△ABF 2的面积＝12r (|AB |＋|BF 2|＋|F 2A |)＝12×12(2a ＋2a )＝a ＝5，所以3|y 1－y 2|＝5，即|y 1－y 2|＝53.12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 240＋y 215＝1C ．x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1 答案 C解析 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝12|FF ′|知，∠FPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C ．13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝m ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3m,2c ＝3m ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 14．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．15．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.16．(2020·南充模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且·＝0，＝3，则椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵·＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又＝3， ∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12. 由已知得半焦距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4， ∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2.又由①知y 2＝162c2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2. 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P . 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．18．(2019·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解 由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即直线BN ⊥l .19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为26，且过点A (2,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．解 (1)因为椭圆C 的焦距为26，且过点A (2,1)， 所以4a 2＋1b2＝1,2c ＝2 6.又因为a 2＝b 2＋c 2，由以上三式解得a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2≠2， 则y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－84k 2＋1.因为k AP ＋k AQ ＝0，所以y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2， 化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 即2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4m ＋4＝0. 所以2k (4m 2－8)4k 2＋1－8km (m －1－2k )4k 2＋1－4m ＋4＝0， 整理得(2k －1)(m ＋2k －1)＝0. 因为直线l 不经过点A ， 所以2k ＋m －1≠0，所以k ＝12.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.20．(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)，直线PB 的斜率为k (k ≠0)，因为B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第五节 椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点．集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)当2a ＞F 1F 2时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜F 1F 2时，P 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质[小题体验]1．已知椭圆x 29＋y 24＝1的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案：122．已知直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2.直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝13．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2，b 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝11．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]1．(2019·无锡一中月考)已知椭圆x 213－m ＋y 2m －2＝1的焦距为6，则m ＝________.解析：∵椭圆x 213－m ＋y 2m －2＝1的焦距为6，∴当焦点在x 轴时，(13－m )－(m －2)＝9，解得m ＝3； 当焦点在y 轴时，(m －2)－(13－m )＝9，解得m ＝12. 答案：3或122．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)考点一 椭圆的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆x 29＋y 24＝1，得a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为(±5，0)．设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，a ′＞b ′＞0，则c ′＝5，又c ′a ′＝55，解得a ′＝5.∴b ′2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案：x 225＋y 220＝12．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，求椭圆C 的标准方程．解：设点F 关于y ＝12x 的对称点为P (x 0，y 0)，又F (1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－1＝－2，y 02＝12×x 0＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝45.又点P 在椭圆上，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧925a 2＋1625b2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝95，b 2＝45，则椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1.3．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P (－23，0)，Q(0,2)两点；(2)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的焦点且经过点(2，－3)．解：(1)由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上， 所以a ＝23，b ＝2，所求椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 所以所求椭圆焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋3b2＝1，解得a 2＝4＋23，b 2＝3＋23或a 2＝4－23，b 2＝3－23(舍去)， 所以椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 23＋23＝1.[谨记通法]求椭圆标准方程的 2种常用方法考点二 椭圆的定义及其应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ⎝⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F 1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，半焦距c ＝1，因为H ⎝⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上，所以2a ＝HF 1＋HF 2＝ ＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫21032＋ －2＋⎝⎛⎭⎪⎫21032＝6. 所以a ＝3，b ＝22，故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1，所以PF 2＝x 1－2＋y 21＝ x 1－2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－32. 因为0＜x 1＜3，所以PF 2＝3－13x 1.在圆x 2＋y 2＝b 2中，M 是切点， 所以PM ＝OP 2－OM 2＝x 21＋y 21－8＝ x 21＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8＝13x 1. 所以PF 2＋PM ＝3－13x 1＋13x 1＝3.同理，Q F 2＋Q M ＝3， 所以F 2P ＋F 2Q ＋P Q ＝3＋3＝6. 因此△PF 2Q 的周长是定值6.[由题悟法]利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法[即时应用]1．已知椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是椭圆上的点，且△PF 1F 2的周长是4＋22，则椭圆的标准方程为________．解析：∵椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)，F 2()2，0， ∴椭圆的焦距为F 1F 2＝2 2. ∵△PF 1F 2的周长是4＋22， ∴PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝4＋22， 可得PF 1＋PF 2＝4.根据椭圆的定义，可得2a ＝PF 1＋PF 2＝4，∴a ＝2， 又∵c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝2，可得a 2＝4，b 2＝2. 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1―→⊥PF 2―→，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝4c 2，所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝4c 2，所以2PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2.所以PF 1·PF 2＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×2b 2＝b 2＝9.所以b ＝3.答案：3考点三 椭圆的几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有： (1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (3)焦点三角形的研究．[题点全练]角度一：求离心率的值或范围1．(2019·连云港调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若F 1A ⊥OB ，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵F 1A ⊥OB ，∴b 2a 2c ·－b 2a c＝－1，可得a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝6－22(负值舍去)． 答案：6－222．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ，所以－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a代入椭圆方程得－c2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，所以e＝c a＝22. 答案：22角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围 3．若方程x 2a －5＋y 22＝1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：∵方程x 2a －5＋y 22＝1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －5＞0，a －5＞2，解得a＞7.∴实数a 的取值范围是(7，＋∞)． 答案：(7，＋∞)4．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________． 解析：x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k＞2，解得0＜k ＜1.所以实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)角度三：焦点三角形的研究5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆C 的短半轴长有关． 解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以c 2a 2≥14，即e ≥12.又0＜e ＜1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短半轴长有关．[通法在握]1．应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[演练冲关]1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为______．解析：当9＞4－k ＞0，即－5＜k ＜4时，a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，所以5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， 所以－k －54－k＝45，解得k ＝－21，所以k 的值为1925或－21. 答案：1925或－212．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 因为在Rt △PF 1F 2中，PF 1＝b 2a，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以2ac b2＝ 3.又因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0， 解得e ＝33或e ＝－3， 又因为e ∈(0,1)，所以e ＝33. 答案：333．(2019·南京一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝θ，若cos θ＝13，则椭圆C 的离心率为________．解析：∵PF 2⊥F 1F 2，cos ∠PF 1F 2＝13，F 1F 2＝2c ，∴PF 1＝6c ，PF 2＝42c ，又PF 1＋PF 2＝2a ，∴6c ＋42c ＝2a ， ∴椭圆C 的离心率e ＝2c 2a ＝13＋22＝3－2 2.答案：3－2 2考点四 直线与椭圆的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32.过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M .已知点B (1,0)，直线PB 交l 于点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．解：(1)因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2. 又因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且－2＜x 0＜2, x 0≠1，则x 204＋y 20＝1.因为MB 是PN 的垂直平分线，所以点P 关于点B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以x 0＝2－m .由A (－2,0)，P (x 0，y 0)， 可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0m ＋x 0＋2，即M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0m ＋x 0＋2. 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x0－1·y 0m ＋x 0＋2m －1＝－1， 即y 20m ＋x 0－x 0＋m －＝－1.因为x 204＋y 20＝1.所以x 0－m ＋x 0－m －＝1.因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝5±133.因为m ＞2，所以m ＝5＋133.[由题悟法]直线与椭圆的位置关系的解题策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．[即时应用](2018·南通、扬州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22.A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP ―→＝2AO ―→. (1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP ―→＝m BC ―→，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值．解：(1) 因为OP ―→＝2AO ―→，而P (2，2)，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，代入椭圆方程，得1a 2＋24b 2＝1，①又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②，得a 2＝2，b 2＝1.故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． 因为OP ―→＝2AO ―→，所以P (－2x 1，－2y 1)，因为BP ―→＝m BC ―→，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x 2＝m x 3－x 2，－2y 1－y 2＝m y 3－y 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1.代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m x 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2＋y 21b 2＋m －2m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22a 2＋y 22b 2－m －m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2a 2＋y 1y 2b 2＝1，③ 因为A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ④因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b2＝0. ⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋m －2m 2＝1，解得m ＝52.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，且a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝6，∴椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为2a ＝12，c a ＝12，所以a ＝6，c ＝3，b 2＝27.所以椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝13．椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意，椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，则PF 1＋PF 2＝22，F 1F 2＝2.由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2， 解得PF 1·PF 2＝43.故△F 1PF 2的面积S ＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝33.答案：334．(2019·南京名校联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5. 答案：32或 5 5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M ，令MF 1＝m ，MF 2＝n .由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，因为MF 1⊥MF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，因为(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(n 2＋m 2)，当且仅当m ＝n ＝a 时取等号，即4a 2≤2(4c 2)，所以a ≤2c ，所以c a ≥22，即e ≥22，因为e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东模拟)设点P 在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则P Q 的最大值是________．解析：已知圆心C (0,2)，P Q ≤PC ＋C Q ＝1＋C Q ，故只需求C Q 的最大值即可． 设Q(x ，y )，则 C Q ＝x 2＋y －2＝－y2＋y －2＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＋272. ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，C Q max ＝272＝362， ∴ P Q max ＝1＋362.答案：1＋3622．(2019·常州模拟)若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为________．解析：不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)．即c 2a 2＝89， 所以e ＝c a ＝223.答案：2233．(2018·镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：法一：PF 1―→·PF 2―→＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→＋OF 2―→)＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→－OF 1―→)＝|PO ―→|2－|OF 1―→|2＝n －(m －n )＝2n －m .法二：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1―→·PF 2―→＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .答案：2n －m4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，B 1A ―→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．答案：5－125．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝52－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝16.(2019·启东月考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．解析：∵F 为椭圆的右焦点，OF ＝2，∴c ＝ 2.设椭圆方程为x 2b 2＋2＋y 2b2＝1(b ＞0)，∵A ，B 是椭圆的两个顶点，∴A ()b 2＋2，0，B (0，b )．又∵C 是AB 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋22，b 2.由OC 的延长线交椭圆于点M ，MF ⊥OA ，得M ⎝⎛⎭⎪⎫2，b 2b 2＋2.∵k OM ＝k OC ，∴b 2b 2＋22＝b2b 2＋22，∴b ＝2，故所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆C 上， 所以△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2 ＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2 ＝4a ＝16， 所以a ＝4. 又离心率e ＝ca ＝22， 所以c ＝22， 所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．(2019·句容月考)离心率e ＝13，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e ＝13，焦距为4，∴c ＝2，a ＝6，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝1.答案：x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1―→＝λF 1Q ―→.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且△P Q F 2的周长为8，求椭圆C 的方程；(2)若PF 2⊥x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，求实数λ的取值范围．解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以PF 1＋PF 2＝Q F 1＋Q F 2＝2a ， 从而△P Q F 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且在椭圆上， 所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，且y 0＞0，Q(x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为F 1(－c,0)，所以PF 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q ―→＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1―→＝λF 1Q ―→，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1， 从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e2－3.因为e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，5. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A .若平行于AF 且在y 轴上截距为3－ 2 的直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A ，可得AF 的斜率为－bc，则平行于AF 且在y 轴上截距为3－2的直线方程为y ＝－b cx ＋3－ 2.由该直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，可得|－3＋3－2|1＋b 2c2＝1，解得b ＝c ，所以e ＝c a ＝12＝22. 答案：222．(2018·连云港质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知PA ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26， 因此椭圆C 的离心率e ＝AB PA ＋PB ＝4PA ＋PB 的最大值为22613. 答案：226133.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥Q F ，C 为P Q 中点，线段P Q 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段P Q 不垂直x 轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF ＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线P Q 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以PF ＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线P Q 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0， 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1＞0， ①x 1x 2＝b 2－2k 2＋1＞0， ②Δ＝k 2－b 2＋＞0， ③由PF ―→·Q F ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0， 代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④ 由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b2k 2＋1，得C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb 2k 2＋1，b 2k 2＋1，所以线段P Q 的中垂线AB 的方程为y －b2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb 2k 2＋1. 令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1， 则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2AFAO＝－x Ax A＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x A－1. 由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b29b 4＋2b 2＋1， 所以S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3.所以b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线P Q 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。

第5讲 椭 圆1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M 与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的轨迹为椭圆F 1、F 2为椭圆的焦点|F 1F 2|为椭圆的焦距|MF 1|＋|MF 2|＝2a 2a ＞|F 1F 2|2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形性质X 围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：(0，0)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c离心率e ＝ca，e ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．(4)设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]1．(选修2­1P40例1改编)若F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A.x 225＋y 216＝1 B.x 2100＋y 29＝1 C.y 225＋x 216＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 解析：选A.设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.故选A.2．(选修2­1P49A 组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B.2－12C ．2－2D.2－1解析：选D.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，依题意，显然有|PF 2|＝|F 1F 2|，则b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，解得e ＝2－1.故选D.[易错纠偏](1)忽视椭圆定义中的限制条件； (2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论； (3)忽视点P 坐标的限制条件．1．平面内一点M 到两定点F 1(0，－9)，F 2(0，9)的距离之和等于18，则点M 的轨迹是________．解析：由题意知|MF 1|＋|MF 2|＝18，但|F 1F 2|＝18，即|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是一条线段．答案：线段F 1F 22．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，所以m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，所以m ＝8.所以m ＝4或8.答案：4或83．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1椭圆的定义及应用(1)(2019·高考某某卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．(2)(2020·某某模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】 (1)如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1.在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2，因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF于点H ，所以|OH |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.【答案】 (1)15 (2)3(变条件)本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解：由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(1)椭圆定义的应用X 围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的结论椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.①|PF 1|＋|PF 2|＝2a .②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a ＋c )．④S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .1．(2020·某某模拟)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2解析：选A.因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6，又因为|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又易知|F 1F 2|＝25，显然|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，故△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8<16，所以动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝48，又焦点C 1、C 2在x 轴上，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：x 264＋y 248＝1椭圆的标准方程(1)(2020·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的标准方程为________．【解析】 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)不妨设点A 在第一象限，如图所示．因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝b 2.因为|AF 1|＝3|BF 1|， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2.将B 点代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1，所以259c 2＋b 29＝1.又因为b 2＋c 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23.故所求的方程为x 2＋y 223＝1. 【答案】 (1)A (2)x 2＋y 223＝11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案：x 29＋y 23＝12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，则椭圆C 2的方程为________．解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二：(椭圆系法)因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝13．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆的方程为________________．解析：法一：(待定系数法)因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m2＋y 2n 2＝1(m >n >0)， 则1－⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝14.从而⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝34，n m ＝32.又4m 2＋3n2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6.所以方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2＋x 2k 2＝1(h >k >0)，则3h 2＋4k 2＝1，且k h ＝32，解得h 2＝253，k 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.法二：(椭圆系法)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t >0)，将点 (2，－3)代入，得t ＝224＋（－3）23＝2.故所求方程为x 28＋y26＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x2254＝1.答案：y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 26＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．主要命题角度有：(1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(X 围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(X 围)； (4)椭圆性质的应用．角度一 由椭圆的方程研究其性质已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)【解析】 因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)． 【答案】 D角度二 求椭圆离心率的值(X 围)(1)(2020·某某模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值X 围是( ) A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．【解析】 (1)因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ， 解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. (2)设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ， 又O 为线段F 1F 的中点， 所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ， 故e ＝c a ＝22. 【答案】 (1)C (2)22角度三 由椭圆的性质求参数的值(X 围)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8【解析】 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 【答案】 D角度四 椭圆性质的应用(2020·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．【解析】 设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.【答案】 4(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式e ＝ca ＝1－b 2a2直接求解． ②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或X 围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标X 围构造函数或不等关系． ②将所求X 围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的X 围、关系求X 围．1．已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)解析：选B.因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33 C.23D.13解析：选A.以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63，选A. 3．椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．解析：设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34x 2－2x ＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋23.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53[基础题组练]1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B.13C.23D.63解析：选C.PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，△PF 2Q 的周长为36.所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．(2020·某某地区七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.5．(2020·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( ) A.34 B.23 C.45D.54解析：选D.椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的两个焦点， 所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得 sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝108＝54.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35 B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 解析：选A.因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)的中心都在原点，且它们有四个交点，所以圆的半径⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c ＞bb 2＋c ＜a，由b2＋c ＞b ，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2＜5c 2， 所以e ＝c a ＞55； 由b2＋c ＜a ，得b ＋2c ＜2a ， 再平方，b 2＋4c 2＋4bc ＜4a 2， 所以3c 2＋4bc ＜3a 2， 所以4bc ＜3b 2，所以4c ＜3b ， 所以16c 2＜9b 2，所以16c 2＜9a 2－9c 2，所以9a 2＞25c 2，所以c 2a 2＜925，所以e ＜35.综上所述，55＜e ＜35. 7．(2020·义乌模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．(2020·义乌模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．解析：圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.答案：139．(2020·瑞安四校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时周长最大，即4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：2310．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．解析：设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上，所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.答案：x 22＋y 2＝111．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.[综合题组练]1．(2020·某某百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc a，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.2．设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值X 围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) 解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 24.(2020·富阳市场口中学高三期中)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接OQ ，F 1P 如图所示， 由切线的性质，得OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OQ ∥F 1P ，所以PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a －2b ， 且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 得4c 2＝4b 2＋4(a 2－2ab ＋b 2)， 解得b ＝23a .则c ＝53a ，故椭圆的离心率为53. 答案：535．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程是x 220＋y 210＝1.6．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值X 围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与word21 / 21 椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2x 1x 2＝m 2－42＋k 2， 又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0， 解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。

第5讲 椭 圆[基础题组练]1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B.13C.23D.63解析：选C.PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，△PF 2Q 的周长为36.所以4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．(2020·杭州地区七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.5．(2020·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( ) A.34 B.23 C.45D.54解析：选D.椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的两个焦点， 所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得 sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝108＝54.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 解析：选A.因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)的中心都在原点，且它们有四个交点，所以圆的半径⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c ＞bb 2＋c ＜a，由b2＋c ＞b ，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2＜5c 2， 所以e ＝c a ＞55； 由b2＋c ＜a ，得b ＋2c ＜2a ， 再平方，b 2＋4c 2＋4bc ＜4a 2， 所以3c 2＋4bc ＜3a 2， 所以4bc ＜3b 2，所以4c ＜3b ， 所以16c 2＜9b 2，所以16c 2＜9a 2－9c 2，所以9a 2＞25c 2，所以c 2a 2＜925，所以e ＜35.综上所述，55＜e ＜35. 7．(2020·义乌模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．(2020·义乌模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．解析：圆(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为13.答案：139．(2020·瑞安四校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时周长最大，即4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：2310．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．解析：设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上， 所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.答案：x 22＋y 2＝111．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.[综合题组练]1．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc a，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.2．设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 24.(2020·富阳市场口中学高三期中)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接OQ ，F 1P 如图所示，由切线的性质，得OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OQ ∥F 1P ，所以PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a －2b ， 且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 得4c 2＝4b 2＋4(a 2－2ab ＋b 2)， 解得b ＝23a .则c ＝53a ，故椭圆的离心率为53. 答案：535．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程是x 220＋y 210＝1.6．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。

第5讲椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2|）的点的轨迹(或集合）叫做错误!椭圆.这两定点叫做椭圆的错误!焦点,两焦点间的距离叫做错误!焦距。

集合P＝{M｜｜MF1|＋|MF2｜＝2a},｜F1F2｜＝2c，其中a〉0，c〉0，且a,c为常数：(1)若错误!a〉c，则集合P表示椭圆；（2)若错误!a＝c,则集合P表示线段；(3）若错误!a<c,则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）错误!＋错误!＝1（a〉b>0）图形性质范围错误!－a≤x≤错误!a错误!－b≤x≤错误!b错误!－b≤y≤错误!b错误!－a≤y≤错误!a对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0）B1(0，－b）,B2（0，b）A1（0，－a)，A2（0，a）B1（－b，0），B2(b,0)轴长轴A1A2的长为错误!2a;短轴B1B2的长为错误!2b焦距｜F1F2｜＝错误!2c焦点F1(－c,0），F2（c，0)F1(0，－c），F2(0，c)离心率e＝错误!错误!∈错误!（0,1)a,b，c的关系c2＝错误!a2－b21．椭圆的焦点三角形椭圆上的点P（x0,y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示,设∠F 1PF 2＝θ。

（1)当P 为短轴端点时,θ最大．（2)S ＝错误!|PF 1｜|PF 2｜sin θ＝b 2tan 错误!＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值,最大值为bc .（3）焦点三角形的周长为2（a ＋c ）．（4)4c 2＝|PF 1｜2＋|PF 2|2－2|PF 1｜|PF 2｜cos θ.2．焦点弦（过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝错误!.3．AB 为椭圆错误!＋错误!＝1(a 〉b >0）的弦,A (x 1，y 1），B （x 2，y 2)，弦中点M （x 0,y 0),则（1）弦长l ＝错误!|x 1－x 2｜＝错误!｜y 1－y 2｜；（2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0。

§9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示 当2a ＝|F 1F 2|时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示 由e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆．3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断． 提示 点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示 直线与椭圆的位置关系有三种的方程：相离、相切、相交． 判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ. (1)直线与椭圆相离⇔Δ<0. (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0. (3)直线与椭圆相交⇔Δ>0. 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 题组二 教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12 答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8. ∴m ＝4或8.3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1D.x 220＋y 215＝1 答案 A解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 题组三 易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3)答案 C解析 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1.6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12 答案 C解析 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72B.32C.3D ．4 答案 A解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，±12，∴|PF 1|＝12， ∴|PF 2|＝4－12＝72.4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案 6＋ 2 6－ 2解析 椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二 椭圆的标准方程 命题点1 定义法例1(1)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析 由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23>|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．命题点2 待定系数法例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为__________． 答案y 210＋x 26＝1 解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________________． 答案x 28＋y 26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2， ∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． 跟踪训练1(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( ) A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 答案 A解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A. (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 答案 x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方， 则∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1 求离心率的值(或范围)例3(1)(2018·通辽模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33答案 D解析 方法一 如图，在Rt△PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos30°＝43c3，|PF 2|＝2c ·tan30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .∴e ＝c a ＝33. 方法二 (特殊值法)： 在Rt△PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( ) A.24B.23C.63D.64答案 D解析 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2， 整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝64. (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b－c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是____． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22解析 因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2， 所以2e 2<1.②联立①②，得35≤e <22.命题点2 求参数的值(或范围)例4(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.思维升华求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝c a求解． (2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .跟踪训练2(1)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． 答案3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，所以BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.(3)(2018·阜新模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 答案 B解析 ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c2≥0，解得e ≥22. 又0<e <1，∴22≤e <1. 1．(2018·赤峰模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案 D解析 因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16， 所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24 答案 C解析 依题意可知，c ＝b ，又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．(2018·重庆检测)椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．60°B．120°C．150°D．30° 答案 B解析 ∵椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，b 2＝2，∴a ＝3，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝7， 可得F 1(－7，0)，F 2(7，0)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 结合|PF 1|＝4，得|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中，根据余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2， ∴(27)2＝42＋22－2×4×2cos∠F 1PF 2， 解得cos∠F 1PF 2＝－12.结合三角形的内角，可得∠F 1PF 2＝120°.故选B.4．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( ) A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 D解析 因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO |＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.5．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.6．(2018·营口调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( ) A ．①③B．①④C．②③D．②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确．故选D.7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________． 答案x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，ca ＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.8．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________． 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S ＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为______．答案22解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b2，故四边形ABCD 为正方形，4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22. 10．已知A ，B ，F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q >0，则椭圆的离心率的取值范围为______________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析 如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.因为k AB ＝－b ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b 22b＝q .因为p ＋q >0，所以1－1－b 22＋b 2－1－b22b >0，化为b >1－b 2. 又0<b <1，解得12<b 2<1，即－1<－b 2<－12，所以0<1－b 2<12，所以e ＝c a＝c ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 11．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程． 解 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|， 所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3， 所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0.∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1.∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C ＝________.答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.15．椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为e 1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为e 2，其中，a >b >0，e 1e 2＝33，直线l ：x －y ＋3＝0与椭圆C 1相切，则椭圆C 1的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 26＋y 23＝1 D.x 216＋y 28＝1 答案 C解析 椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝c 1a ＝1－b 2a 2，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 2＝c 2a＝1＋b 2a2， 由e 1e 2＝33，得1－b 2a 21＋b 2a2＝33， 则a ＝2b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2b 2＝0，x －y ＋3＝0，得3x 2＋12x ＋18－2b 2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b 2)＝0，解得b 2＝3， 则a 2＝6，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 23＝1，故选C.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P使1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c2，求该椭圆的离心率的取值范围． 解 由1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c 2得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝c a |PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2ac a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e－1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．。

第五节椭圆教学目标1．知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；2．过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；3．情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。

本节课主要采用“问题诱导－启发讨论－探索结果”探究式教学方法，注重“引、思、探、练”结合。

[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查.1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件 2a ＞2c ，a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞0，c ＞0图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围 |x |≤a ；|y |≤b |x |≤b ；|y |≤a 对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0，±b )长轴顶点(0，±a )短轴顶点(±b,0) 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2)离心率e ＝ca ∈(0,1)，其中c ＝a 2－b 2 通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b 2a椭圆的定义及标准方程 [精析考题][例1] (1)(2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )＋y 22＝1 ＋y 26＝1 ＋y 24＝1 ＋y 25＝1(2)(2012·四川高考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．[自主解答] (1)因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25 b ×25 b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.(2)椭圆右焦点为F ′(1,0)．椭圆与直线的位置关系如图所示，由椭圆定义知|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .∵△FAB 的周长l ＝|AF |＋|BF |＋|AB |＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |)＋|AB | ＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |－|AB |)≤4a ，∴△FAB 周长最大时，直线x ＝m 经过F ′(1,0)，此时|AB |＝3.∴S △FAB ＝12×2×3＝3.[答案] (1)D (2)3[冲关锦囊]1．一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题． 2．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．椭圆的几何性质[精析考题][例2] (2012·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.[自主解答] (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y20b 2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由于a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入③，得(1＋k 2)·4a 21＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.[冲关锦囊]1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，有－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．3．求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a 、b 的关系：e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2⇒ba＝1－e 2.直线与椭圆的位置关系[精析考题][例3] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k 21＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.[冲关锦囊]1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及到弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．[巧练模拟]1．椭圆x 216＋y 24＝1的弦被点P (2,1)所平分，则此弦所在直线的方程为________．解析：设弦所在直线与椭圆交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得x 21－x 2216＋y 21－y 224＝0，化简得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入上式，得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故所求的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋2y －4＝0板书设计教学反思课 题 例1,3 例2 作业 知识要点 （课堂练习）。