不等式复习资料(教师)

不等关系与不等式要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变：符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数：符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：0,,10n n a b n N n a b +>>∈>⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>>要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>；②1b a a b<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过2180m ；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩此即为所求满足题意的不等式组举一反三：【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？【答案】假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：类型二：不等式性质的应用例2．已知22ππαβ-≤<≤，求2αβ+，2αβ-的取值范围．【解析】 因为22ππαβ-≤<≤，所以424παπ-≤<，424πβπ-<≤. 两式相加，得222παβπ+-<<. 因为424πβπ-<≤，所以424πβπ-≤-<，则222παβπ--≤<. 又α＜β，所以02αβ-<，则022παβ--≤<.举一反三：【变式1】【变式】已知23,14a b <<<<，求（1）,a b - (2)a b的取值范围.【答案】（1）22a b -<-<；（2）132a b<<【变式2】已知实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则4x+2y 的取值范围是________。

2013年新课标数学40个考点总动员 考点22 不等关系和基本不等式（教师版）【高考再现】热点一 不等关系与不等式1.(2012年高考辽宁卷理科12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ） (A)21xe x x ++ (211)124x x <-+(C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +-…2.(2012年高考全国卷理科9)已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<3. (2012年高考安徽卷理科15)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【答案】①②③4.(2012年高考湖北卷文科9)设a,b ,c,∈ R,,则“abc=1”是+a b c ≤++”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件 【答案】A【解析】若 “abc=1”,+=a b c ++,故是充分条件; 反之,不成立.5.(2012年高考湖南卷文科7)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-； 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③6.(2012年高考重庆卷文科7)已知2log 3loga =+2log 9logb =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】B【解析】222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===， 则a b c =>.7.(2012年高考天津卷文科4)已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【方法总结】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题. 热点二 基本不等式8.(2012年高考浙江卷文科9)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.69. (2012年高考陕西卷文科10)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）2a b + D.v=2a b+ 【答案】A.22221122,,.2S ab S v S S a b a ba bab a a b v a a v A a b a==<=+++<∴=>=∴<<+ 解析：设从甲地到乙地所走路程为，则=10.(2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（ ） A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+πC ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+【方法总结】利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值. 【考点剖析】 一．明确要求1.结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二．命题方向1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命题的热点．着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、低档．考查题型多为选择、填空题.2.利用基本不等式求最值是命题热点．客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．各种题型都有，难度中、低档. 三．规律总结 一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.(2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m(b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)． 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 【基础练习】1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )． A ．ad ＞bc B ．ac ＞bd C ．a －c ＞b －d D ．a ＋c ＞b ＋d 解析 由不等式性质知：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . 答案 D5.12－1与3＋1的大小关系为________．【名校模拟】 一．基础扎实1.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)已知点),(n m A 在直线012=-+y x 上，则n m 42+的最小值为 .2.(七校联考 数学试卷文)若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b+=，则m 的值为 .答案：解析:在25a b m ==取对数得：11log 2,log 5m m a b==，0m >又212a b+=∴log 202m =220m ∴=m ∴=3.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是 .4. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)已知实数1,0,0=>>xy y x ，则))((x xyy y x ++的最小值为____________；5.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .二．能力拔高6.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)若x ，y > 0，且12=+y x ，则)41)(1(yy x x ++的最小值是A ．225 B ．425 C ．825 D ．16257.(浙江省2012届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)设实数x 、y 满足：3501020x y x y x ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则24xyz =+的最小值是 A ．14 B ．12C ．1D ．88.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试）函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于（ A.16B.12C.9D. 89.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)已知11,221x y xx<=+-则函数的最大值为。

整数解问题【例1】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s ，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域？【答案】3m/s【例2】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分,答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或 90分以上）则小明至少答对了 道题．【答案】24【例3】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆【答案】C【例4】 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【例5】 工程队原计划6天内完成300土方工程,第一天完成60土方,现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【解析】设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得:60(612)300x +--≥，解得80x ≥， 每天平均至少挖土80土方．【答案】每天平均至少挖土80土方【例6】 小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？不等式的应用知识讲解【解析】设他行走剩下的一半路程的速度为x ，则122.4 1.260x -≥所以6x ≥． ∴他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时．【答案】6千米/小时．【例7】 若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片），如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像?【解析】设有x 位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4x x +-≤，解得 6.8x ≥，所以至少应有7名同学参加照像．【答案】7【例8】 某工人9月份计划生产零件180个,前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【解析】这个工人改进技术后平均每天至少生产零件x 个，根据题意得：610(30102)180x ⨯+-->,263x >，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件7个．【答案】7个【例9】 八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元,西瓜每个8元,请问八戒至多能买几个西瓜？【解析】设八戒买了x 个西瓜，则35845x ⨯+≤，解得154x ≤,故八戒至多买3个西瓜． 【答案】3个【例10】 在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵,还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴ 设初三⑴班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x 的代数式表示）． ⑵ 初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【解析】⑴ 242x +;⑵ ()1242315x x +--<≤，则4044x <≤,至少有41名同学；最多有44名同学．【答案】⑴ 242x +；⑵ 至少有41名同学；最多有44名同学．【例11】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用,已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【例12】【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =．【答案】14【例13】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125%．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品;而在销售淡季按原定价的60%大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品?【解析】设进价为a 元,按原定价售出x 件，节日让利售出y 件（0100y <≤）．依题意有125%125%(1a x a y ⋅⋅+⋅⋅⋅-10%)(1000)125%60%1000x y a a +--⋅⋅⋅>，整理得432000x y +>，由于0100y <≤，所以425x >，因此按原定价至少销售426件．【答案】426件求范围以及具体数目问题【例14】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少,但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”,每一个红球都记作“3”，则总数为60,那么，白球与红球各有多少个？【解析】设白球有x 个，红球有y 个，依题意有22360x y xx y <<⎧⎨+=⎩，解得7.512x <<又由26033(20)x y y =-=-，知x 是3的倍数．故白球共有9个，红球共有l4个．【答案】白球共有9个，红球共有l4个．【例15】 “六一"儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套,那么欲5套；如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【解析】设该小学有x 个班,则奥运福娃共有()105x +套．由题意,得()()1051314105131x x x x ⎧+<-+⎪⎨+>-⎪⎩解之，得1463x <<． ∵x 只能取整数，所以5x =，此时10555x +=．【答案】5个班级，55套福娃【例16】 某企业人事招聘工作中,共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分,其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人?【解析】共有22人．设x 人得3分,y 人得4分，则得5分的共有26x y --人,则可知：()34526 4.82613x y x y x y ++--⨯⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≥解得13x y ==，，所以2622x y --= 即得5分的共有22人．【答案】得5分的共有22人．【例17】 暑假期间小张一家为体验生活品质,自驾汽车外出旅游,计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【解析】设原计划每天的行程为x 公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)x x x +>⎧⎨+>-⎩，解得256260x x >⎧⎨<⎩答：所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【例18】 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说:“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球".试问：这个班共有多少学生？【答案】设该班共有x 名学生,由题意可得()6247x x x x -++<，∴3628x<，即56x <又∵x 、2x、4x 、7x 都是整数，∴28x = 答：这个班有28名学生方案决策问题【例19】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:(1)若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票,问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？【解析】(1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票()15x -张．得：()10005001512000x x +-=，解得：9x = ∴151596x -=-=（2)设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为()152y -张，得8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩解得：2545714y ≤≤． 由y 为正整数可得5y =，1525y -=【答案】 （1）男篮门票9张，则乒乓球门票6张； (2)乒乓球、足球门票、男篮门票各5张.【例20】 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元,在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．⑴请写出此车间每天所获利润y （元)与x （人）之间的关系式;⑵若要使每天所获利润不低于24000元,你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？【解析】（1）依题意,得()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤．(2）依题意得，4002600024000x -+≥．解得5x ≤，2020515x -=-=．答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 【答案】（1）()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤（2）至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．【例21】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．(1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分)？（2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【解析】(1）设企业每套奖励x 元，由题意得：20060%150450x +⨯≥．解得： 2.78x ≥．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y 套,由题意得：20051200y +≥, 解得200y ≥．【答案】（1）2.78元；（2）200【例22】 2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B ，两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：（1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2）根据计算判断:哪种购票方案更省钱?【解析】(1)由题意：()()6001201550001152x x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤≥ 解得：2053x ≤≤∵x 为整数，∴56x =，∴共两种购票方案：方案一：A种船票5张,B种船票10张方案二：A种船票6张,B种船票9张(2)因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少．∴第一种方案省钱，为5600120104200⨯+⨯= (元)【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张(2）第一种方案省钱【例23】某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价—进价）不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案．【解析】(1）商品进了x件,则乙种商品进了80x-件，依题意得()+-⨯=1080301600x x解得：40x=即甲种商品进了40件，乙种商品进了804040-=件．（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为()80x-件，依题意可得：()()()-+--≤≤6001510403080610x x解得：38≤x≤40即有三种方案，分别为：第一种方案：甲38件，乙42件；第二种方案：甲39件，乙41件；第三种方案：甲40件,乙40件．【答案】（1）甲种商品进了40件,乙种商品进了40件．(2)有三种方案，分别为：第一种方案:甲38件，乙42件；第二种方案:甲39件，乙41件;第三种方案:甲40件,乙40件．【例24】 某饮料厂开发了A B ，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B ，两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶,解答下列问题:⑴ 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程;⑵ 如是A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低?原料名称 饮料名称甲乙Ａ 20克40克Ｂ30克 20克【解析】⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，生产B 种饮料100x -瓶．则()()2030100280040201002800x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≤，解得2040x ≤≤,由x 为整数，共有21组解， 所有符合题意的生产方案共有21种．⑵ ()2.6 2.8100y x x =+-，整理得0.2280y x =-+，∵x 的系数为0.2-, ∴y 随x 的增大而减小．当40x =时,成本总额最低．【答案】（1)21；（2）0.2280y x =-+，当40x =时，成本总额最低．【例25】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小 亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴ 求每支钢笔和每本笔记本的价格；⑵ 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【解析】⑴ 设每支钢笔x 元，每支笔记本y 本．3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴35x y =⎧⎨=⎩． ⑵ 设购买钢笔a 支，笔记本b 个．4835200a b a b b a+=⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥,∴2028a b ⎧⎨⎩≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24a b =⎧⎨=⎩．【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．(5）五种方案:20,21,22,23,2428,27,26,25,24 ab=⎧⎨=⎩【例26】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解析】⑴设搭配A种造型x个,则B种造型为(50)x-个，依题意,得：8050(50)34904090(50)2950x xx x+-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3331xx≤⎧⎨≥⎩,∴3133x≤≤∵x是整数,∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．⑵(法1)：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：338001796042720⨯+⨯=(元）(法2)：方案①需成本：318001996043040⨯+⨯=(元）方案②需成本：328001896042880⨯+⨯=（元)方案③需成本:338001796042720⨯+⨯=（元）【答案】（1)可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．(2)方案③成本最低,最低成本为:42720(元)【例27】在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后,仍有旅客继续前来排队同步练习检票进站,设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人,检票速度为每个检票口每分钟检票y 人,5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口依题意得30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+≤⋅⎩①②③②3⨯-①，得15a y =,代入①便得30a x =，再把所求的x 、y 代入③便有63a aa n +≤⋅ 因为0a >，所以11163n +≤⋅,即 3.5n ≥,n 取最小的整数,所以4n =答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例28】 某高速公路收费站有m （0m >)辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min 才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。

第3讲基本不等式
a＋b1．ab 2
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a&gt;0，b&gt;0，则a，b两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x&gt;0，y&gt;0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y
有最小值是(简记：积定和最小)
2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy．(简记：和定积最大) [做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
a＋b2?解析：由基本不等式得a＋b≥ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤?2＝
11a＝b＝
421答案：2 4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≥2(a，b同号)． ab
a＋b2a＋b2a2＋b2??ab≤?2(a，b∈R)；?2≤2(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
a＋b2．“a&gt;0且b&gt;0”是“ab”成立的( ) 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A。

第四章一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。

专题2.4-2.5 一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数1.理解一元一次不等式的概念；2.会解一元一次不等式；3.掌握一次不等式（方程）与一次函数的联系。

知识点01 一元一次不等式【知识点】1、一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式．注意：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．【知识拓展1】一元一次不等式的定义例1．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）下列不等式是一元一次不等式的是（ ）A ．23459x x>-B ．324x -<C ．12x <D ．4327x y -<-【答案】B【分析】根据含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式进行分析即可．【详解】解：A 、未知数的次数含有2次，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；B 、是一元一次不等式，故此选项符合题意；C 、1x 是分式，故该不等式不是一元一次不等式，故此选项不合题意；D 、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．【即学即练】1．（2022·浙江·八年级专题练习）下列各式中，（1）22225x x x x ++<-+；（2）2x xy y ++；（3）340x y -≥；（4）352x x-<；（5）0x ¹；（6）215a +>．是一元一次不等式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：形如0ax b +>或0ax b +<或0ax b +³或0ax b +£（其中a 是不等于0的常数，b 为常数），由此进行判断即可．【详解】解：（1）22225x x x x ++<-+即225x x +<-是一元一次不等式；（2）2x xy y ++是二元二次整式，不是不等式；（3）340x y -≥是二元一次不等式（4）352x x-<不是一元一次不等式；（5）0x ¹是一元一次不等式 ；（6）215a +>不是一元一次不等式，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次不等式的定义．【知识拓展2】根据一元一次不等式的定义求参数例2．（2022·江苏·南通市八年级阶段练习）若211852m x -->是关于x 的一元一次不等式，则m =_______．【答案】1【分析】根据一元一次不等式的定义可得2m −1＝1，求解即可．【详解】解：根据题意得2m −1＝1，解得m ＝1，故答案为1．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．【即学即练】1．（2022·湖南天心·八年级期末）已知（m ＋2）x |m|﹣1＋1＞0是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ）A ．1B ．±1C ．2D ．±2【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式即可确定m 的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【详解】解：∵（m ＋2）x |m |﹣1＋1＞0是关于x 的一元一次不等式，∴|m |﹣1＝1且m ＋2≠0，解得m ＝2.故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式，注意：未知数的系数不能为0．【知识拓展3】一元一次不等式的解集例3．（2022·吉林·珲春市八年级期末）若关于x 的不等式1x m +>的解集如图所示，则m 的值为_____．【答案】3【分析】由数轴可以得到不等式的解集是x ＞﹣2，根据已知的不等式可以用关于m 的式子表示出不等式的解集．就可以得到一个关于m 的方程，可以解方程求得．【详解】解：解不等式x +m ＞1得1x m>-由数轴可得，x ＞﹣2，则12m -=-解得，m ＝3．故答案为：3.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，注意数轴上的空心表示不包括﹣2，即x ＞﹣2．并且本题是不等式与方程相结合的综合题．【即学即练3】1．（2021·上海市进才中学北校期中）根据数轴上的表示，写出解集：x _________________【答案】1x -＞【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式的解集即可．【详解】解：根据数轴得：1x -＞【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．2．（2022·浙江义乌·八年级期末）1x =是不等式0x b -<的一个解，则b 的值不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据题意解不等式，根据不等式的解确定解集的范围即可．【详解】解：∵0x b -<x b \< 1x =Q 是不等式0x b -<的一个解，∴1b <故选A 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解的定义，掌握不等式的解的定义是解题的关键．知识点02 一元一次不等式的解法【知识点】1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a <（或x a >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ¹）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.注意：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．注意： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【知识拓展1】一元一次不等式的解法例1．（2022·重庆市八年级阶段练习）解不等式1226123x x ++³-，并将解集在数轴上表示；【答案】7x ³-，数轴表示见解析【分析】先去分母，然后再求解一元一次不等式即可．【详解】解：1226123x x ++³-去分母得：()()3162226x x +³-+，去括号得：336452x x +³--，移项、合并同类项得：749x ³-，系数化为1得：7x ³-；数轴表示如下：【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．【即学即练】1．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）解不等式()319x -£，并把解在数轴上表示出来．【答案】4x £，见解析【分析】不等式两边同除以3、移项并合并同类项即求得不等式的解集．【详解】由()319x -£，两边同除以3，得：13x -£，移项、合并同类项，得：4x £．解集在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解一元一次方程，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的特点灵活地解不等式，可以使解题过程简化．2．（2022·浙江下城·八年级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）7x ﹣2≤9x +2； （2）7132184x x --->．【答案】（1）x ≥-2，在数轴上表示见解析；（2）x ＜1，在数轴上表示见解析【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】解：（1）7x -2≤9x +2，移项，得：7x -9x ≤2+2，合并同类项，得：-2x ≤4，系数化为1，得：x ≥-2．将不等式的解集表示在数轴上如下：；（2）7132184x x --->，去分母，得：8-（7x -1）＞2（3x -2），去括号，得：8-7x +1＞6x -4，移项，得：-7x -6x ＞-4-8-1，合并同类项，得：-13x ＞-13，系数化为1，得：x ＜1．将不等式的解集表示在数轴上如下：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【知识拓展2】一元一次不等式的整数解例2．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）不等式353x x -<+的非负整数解有______．【答案】0，1，2，3【分析】先求出不等式的解集，再根据非负整数的定义得到答案．【详解】解：353x x -<+，2x <8，x <4，∴不等式353x x -<+的非负整数解有0，1，2，3，故答案为：0，1，2，3．【点睛】此题考查了解不等式，求不等式的非负整数解，正确解不等式是解题的关键．【即学即练】1．（2022·上海市八年级期末）不等式313x x -<+的自然数解是_________．【答案】0，1【分析】先求出不等式的解集，即可求解．【详解】解：313x x -<+，∴24x < ，解得：2x <，\自然数的解是0、1．故答案为：0；1【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．2．（2022·浙江余杭·八年级期末）不等式1531422x x ->--的最小负整数解______．【答案】-3【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．【详解】解：1531422x x ->--，移项，得1514322x x +>-+，合并同类项，得3x ＞-11，系数化成1，得x ＞113-，所以不等式的最小负整数解是-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．【知识拓展3】含绝对值的不等式解法例3．（2022·成都市·八年级专题练习）阅读：我们知道，00a a a a a ³ì=í-<î于是要解不等式|3|4x -£，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -³，即3x ³时：34x -£ 解这个不等式，得：7x £由条件3x ³，有：37x ££（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --£ 解这个不等式，得：1x ³-由条件3x <，有：13x -£<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -££根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +£； （2）|2|1x -³．【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，由条件x ＜2，有：x≤1，∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．【即学即练】1．（2022·成都市·八年级课时练习）解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<【答案】（1）5x <-或1x >；（2）133x <<【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．【详解】（1）|2|30x +->当2x ³-时，则230x +->，解得1x >，1x \>，当2x <-时，则230x --->，解得5x <-，5\<-x ，综上，5x <-或1x >；（2）35572x -+<当3502x -³，即53x ³时，35572x -+<，解得3x <，533x \£<，当53x <时，则35572x --+<，解得13x >，1533x \<<，综上，133x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．2．（2022·云南盘龙·八年级期中）阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是 ；② 2.5x <的解集是 .（2）求绝对值不等式359x -+>的解集.（3）直接写出不等式24x >的解集是 ．【答案】（1）①x ＞1或x ＜-1；②-2.5＜x ＜2.5；（2）x ＞7或x ＜-1；（3）x ＞2或x ＜-2【分析】（1）根据题中小明的做法可得；（2）将359x -+>化为34x ->后，根据以上结论即可得；（3）求不等式24x >的解集实际上是求|x|＞2的解集即可．【详解】解（1）由题意可得：①令|x|=1，x=1或-1，如图，数轴上表示如下：∴|x|＞1的解集是x ＞1或x ＜-1；②令|x|=2.5，x=2.5或-2.5，如图，数轴上表示如下：∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x ＜2.5；（2）359x -+>，化简得34x ->，当34x -=时，x=-1或7，如图，数轴上表示如下：可知：359x -+>的解集为：x ＞7或x ＜-1；（3）不等式x 2＞4可化为|x|＞2，如图，数轴上表示如下：可知：不等式x 2＞4的解集是 x ＞2或x ＜-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质．【知识拓展4】用一元一次不等式解决实际问题例4．（2022·江苏宜兴·八年级期末）某厂计划生产A ，B 两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如下表：A 种产品B 种产品成本价（元/件）400300销售价（元/件）560450(1)第一次工厂用220000元资金生产了A ，B 两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？(2)第二次工厂生产时，工厂规定A 种产品生产数量不得超过B 种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)A 种产品生产400件，B 种产品生产200件(2)A 种产品生产1000件时，利润最大为460000元【分析】（1）设A 种产品生产x 件，则B 种产品生产（600-x ）件，根据600件产品用220000元资金，即可列方程求解；（2）设A 种产品生产x 件，总利润为w 元，得出利润w 与A 产品数量x 的函数关系式，根据增减性可得，A 产品生产越多，获利越大，因而x 取最大值时，获利最大，据此即可求解．【解析】(1)解：设A 种产品生产x 件，则B 种产品生产（600-x ）件，由题意得：400(600)300220000x x +-´=，解得：x ＝400，600-x =200，答：A 种产品生产400件，B 种产品生产200件.(2)解：设A 种产品生产x 件，总利润为w 元，由题意得：(560400)(450300)(3000)10450000w x x x =-+--=+由30002xx-£，得：1000x£，因为10>0，w随x的增大而增大，所以当x＝1000时，w最大＝460000元．【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用. 解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【即学即练】1．（2022·重庆沙坪坝·七年级期中）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意可列不等式（ ）A．10x﹣5（20﹣x）≥125B．10x+5（20﹣x）≤125C．10x+5（20﹣x）＞125D．10x﹣5（20﹣x）＞125【答案】D【分析】据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，10x-5（20-x）＞125，故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．2．（2022·山东青州·八年级期末）小明要从甲地到乙地，两地相距2千米．已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为（ ）A．200x+100（15﹣x）≥2000B．200x+100（15﹣x）≤2000C．200x+100（15﹣x）≥2D．100x+200（15﹣x）≥2【答案】A【分析】根据“跑步的路程+步行的路程≥2000米”可得不等式．【详解】解：设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为200x+100（15-x）≥2000，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算其蕴含的不等式关系是解题的关键．3．（2022·浙江新昌·八年级期末）某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售．【答案】七【分析】设按标价的x折出售，利用利润=售价-成本，结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．【详解】解：设按标价的x 折出售由题意得：12008008005%10x ´-³´ 解得：7x ³ \最低可按标价的7折出售 故答案为7【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．知识点03 一元一次不等式与一次函数的关系【知识点】一元一次不等式与一次函数的关系1）一次不等式可转化为一般式：kx +b ＞0（或kx +b ＜0）2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3)若两个不等式比较大小，如y 1＞y 2，反映在图像上为l 1的图象在l 2的图像上面部分x 的取值范围。

基本不等式1 基本不等式若a>0 ,b>0，则a+b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立).①a+b2叫做正数a ,b的算术平均数，√ab叫做正数a ,b的几何平均数.②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 ,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立) (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2√ab，积定求和；②ab≤(a+b2)2，和定求积：③a2+b2≥(a+b)22(联系了a+b与平方和a2+b2)④ab≤a 2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数①概念形如y=x+ax (a>0)的函数.②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<√a时，函数递减，当x>√a时，函数递增.④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=√a时取到最小值y min=2√a，其与基本不等式x+ax ≥2√x∙ax=2√a (x=√a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 ,b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.【误解】x+1x ≥2√x∙1x=2，故最小值是2.【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x ,b=1x，当忽略了a>0,b>0的前提条件！【正解】∵x<0∴−x>0 ,−1x>0，∴−x+(−1x )≥2√−x∙(−1x)=2(当x=−1取到等号)∴x+1x =−(−x−1x)≤−2，故函数y=x+1x(x<0)的最大值为−2，没有最小值.情况2二定：ab定值求函数y=x+1x−1(x>1)的最值.【误解】y=x+1x−1≥2√x∙1x−1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x−1不是一定值.【正解】y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)∙1x−1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“(x−1)∙1x−1=1”)故函数y=x+1x−1(x>1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=2√x2+4的最值.【误解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2√√x2+4√x2+4=2，即最小值为2.【误解分析】在误解中把a=√x2+4 ,b=√x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则√x2+4=√x2+4⇒√x2+4=1⇒x2=−3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明√x2+4+√x2+4>2，那它有最小值么？【正解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t 在[2 ,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=2√x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x ()A．都大于4B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x +4y<4且1y+4z<4且1z+4x<4，相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z<12，由基本不等式得：1x +4x≥4；1y+4y≥4；1z+4z≥4；(直接使用基本不等式)相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x至少有一个不小于4．故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有()①(x+1x )(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；③2√x2+5≥4；④x+y√xy≥4；A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x ≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，2√x2+5=√x2+5√x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+√xy ≥2√xy√xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．【点拨】①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".② 连等问题 本题中④ x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y =1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， x +y ≥2√xy 是当x =y 时取到等号，2√xy +√xy≥4是当xy =1时取到等号，即要同时满足方程组{x =yxy =1 (∗)才行，而方程组(∗)有解x =y =1， 即x +y √xy≥4是成立的，当x =y =1取到等号.再看一例子：设x,y ∈R ∗,x +y =1，求(x +1x )(y +1y )的最小值. 误解1：∵x +1x ≥2 ,y +1y ≥2，∴(x +1x )(y +1y )≥4.误解2：∵(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +x y +y x ≥2√xy ∙1xy +2√x y ∙yx =4.以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a ，b 满足ab >0，则a a+b −aa+2b 的最大值为 . 【解析】a a+b −aa+2b =a (a+2b−a−b )(a+b )(a+2b )=ab a 2+3ab+2b 2=1ab +2b a+3 (分子、分母均为二次项同除ab )∵ab >0 ∴a b +2b a≥2√2，当且仅当ab =2b a⇒a =√2b 时取等号，∴1ab +2ba+3≤2√2+3=3−2√2，故最大值为3−2√2．【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x 与1x ，ab 与2b a，2√xy 与√xy之类的.方法2 凑项法【典题1】若x >1，则函数y =4x +1x−1的最小值为 .【解析】y =4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥2√4+4=8，当且仅当x =32时取等号． ∴函数y =4x +1x−1的最小值为8．【点拨】把4x 凑项成4(x −1)，目的是使得4(x −1)与1x−1的乘积为定值.【典题2】若x >1，则2x +9x+1+1x−1的最小值是 ．分析：2x 、9x+1、1x−1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x−1乘积为定值的分别是x +1与 x −1，而它们的和刚好是2x ，故想到令2x =(x +1)+(x −1)，完成凑项. 【解析】2x +9x+1+1x−1=x +1+9x+1+x −1+1x−1≥2√(x +1)⋅9(x+1)+2√(x −1)⋅(1x−1)=8当且仅当x +1=3，x －1=1，即x =2时取等号， (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) 故2x +9x+1+1x−1的最小值是8.【典题3】设a >b >0，则ab +4b2+1b(a−b)的最小值是 ．【解析】∵a >b >0 ∴a −b >0； ∴ab +4b2+1b (a−b )=ab −b 2+1b(a−b)+b 2+4b2(这里巧妙地"−b 2+b 2"完成凑项)=[b (a −b )+1b (a−b )]+[b 2+4b2]≥2√b(a −b)×1b(a−b)+2√b 2×4b2=2+4=6．当且即当b(a −b)=1b(a−b)且b 2=4b2，即a =3√22,b =√2 时取等号， ∴ab +4b2+1b(a−b)的最小值为6．【点拨】凑项的目的是使得“ab 为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b 2、1b(a−b)的分母之和b 2+b (a −b )=ab ，刚好是所求式子的第三项ab .方法3 凑系数【典题1】若0<a <12，则a(1−2a)的最大值是 ． 【解析】∵0<a <12，∴a >0且1−2a >0， 则a (1−2a )=2a (1−2a )2≤12(2a+1−2a 2)2=18，当且仅当2a =1−2a ,即a =14时等号成立，即a(1−2a)的最大值为18. 【点拨】基本不等式的变形ab ≤(a+b 2)2，和定求积(若a +b 为定值，可求ab 的最值).本题中a +(1−2a )不是定值，故通过凑系数，使得2a +(1−2a )=1为定值从而求出最值. 本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a ,b 为正数，4a 2+b 2=7，则a√1+b 2的最大值为 ． 【解析】因为4a 2+b 2=7， 则a√1+b 2=12(2a )√1+b 2≤12×(2a)2+(√1+b 2)22=12×4a 2+1+b 22=2，(这里用到了不等式ab ≤a 2+b 22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值．【点拨】①不等式ab≤a 2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值.②平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则√x+√y的最大值是．【解析】∵x+1≥2√x ,y+1≥2√y(当x=y=1时取到等号)(加“1” 巧妙的把x与√x，y与√y联系起来)相加得x+y+2≥2√x+2√y即2(√x+√y)≤4⇒√x+√y≤2，故最大值为2.【典题2】已知x>0，y>0，且2x +1y=2，则x+2y的最小值是．【解析】∵2x +1y=2∴12(2x+1y)=1x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2√xy⋅4yx)=4，当且仅当xy =4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为．【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a−2+1b=(1a−2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba−2+a−2b)，又由a>2 ,b>0，则ba−2+a−2b≥2√ba−2∙a−2b=2，当a=52,b=12时取到等号，则1a−2+1b=2+(ba−2+a−2b)≥4，即1a−2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为.【解析】令t =x −1，则x =t +1，t >0， 原式=t(t+1)2+(t+1)−1=t t 2+3t+1=1t+1t +3≤√t⋅1t+3=15，当且仅当t =1即x =2时等号成立. 故y =x−1x 2+x−1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y =a 1x 2+b 1x+c 1a 2x 2+b 2x+c 2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,b ∈R ∗，a +b =1，则√a +12+√b +12的最大值 .【解析】设s =√a +12,t =√b +12，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)则a =s 2−12 ,b =t 2−12， ∵a +b =1 ∴s 2+t 2=2(这相当已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值，想到算术均值≤平方和均值a+b 2≤√a 2+b 22)∴s+t 2≤√s 2+t 22=1⇒s +t ≤2即√a +12+√b +12≤2，故最大值为2. 【点拨】① 本题本来是“已知a +b =1求√a +12+√b +12的最大值 (1)”，通过换元法后变成“已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.你说√a+12+√b+122≤√(√a+12)2+(√b+12)22=√a+12+b+122=1⇒√a +12+√b +12≤2不更简洁？是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路. ② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！【典题2】设a 、b 是正实数，且a +2b =2，则a 2a+1+4b 22b+1的最小值是 .【解析】令a +1=s ，2b +1=t ，则a =s −1，2b =t −1； 由题意得s ,t 为正实数，且s −1+t −1=2⇒s +t =4； ∴a 2a+1+4b 22b+1=(s−1)2s+(t−1)2t=s +t −4+1s +1t =1s +1t(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s +t =4，求1s +1t 最小值”，较易想到巧“1”法)=14(1s+1t)(s +t)=14(2+ts+st)≥14(2+2√t s⋅st)=1．当且仅当s =t =2即a =1 ,b =12取到等号，即a 2a+1+4b 22b+1的最小值是1.【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！方法6 不等式法【典题1】已知a ,b ∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a +b 的取值范围是 .分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab 与a +b 的方程”，而由基本不等式a +b ≥2√ab 又确定了“关于ab 与a +b 的不等关系”，那用“消元思想”不就得到a +b 的不等式么？！其范围就有了！ 【解析】∵a ,b ∈(0,+∞)，∴a +b ≥2√ab (∗)， 由1+2ab=9a+b得ab =2(a+b)9−(a+b)代入不等式(∗)可得a +b ≥2√2(a+b )9−(a+b )， 整理可得，(a +b )2－9(a +b)+8≤0， 解得1≤a +b ≤8.【典题2】 已知2a +b +2ab =3，a >0，b >0，则2a +b 的取值范围是 . 【解析】∵a >0，b >0，∴0<2ab ≤(2a+b)24(这要确定2ab 与2a +b 的关系，想法与上题相似，利用2ab 与2a +b 的等式关系与不等关系最终得到关于2a +b 的不等式) 而3−(2a +b)=2ab ∴0<3−(2a +b)≤(2a+b)24，解得2≤2a +b <3，∴2a +b 的取值范围是[2,3)． 巩固练习1 (★★) 已知a +b +c =2，则ab +bc +ca 与2的比较 ． 【答案】 ab +bc +ca <2 【解析】已知a +b +c =2，因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，且a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 所以3(ab +bc +ca)≤4， 解得ab +bc +ca ≤43，所以ab +bc +ca 的值小于2．2 (★★) 已知x ，y ∈R +，若x +y +xy =8，则xy 的最大值为 ． 【答案】 2【解析】∵正数x ，y 满足x +y +xy =8，∴8－xy =x +y ≥2√xy ，xy +2√xy −8≤0， 解得0<√xy ≤2，故xy ≤4，当且仅当x =y =2时取等号． ∴xy 的最大值为43 (★★) 若x ，y ∈R +，且3x+1y =5，则3x +4y 的最小值是 ．【答案】5【解析】∵x ，y ∈R ∗，且3x+1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4y x)≥135+35⋅2√x y⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1，y =12时等号成立， 4 (★★) 函数y =x 2+x−5x−2(x >2)的最小值为 ．【答案】 7【解析】令x －2=t ，t >0； y =f(x)=x 2+x−5x−2=(t+2)2+t+2−5t=t 2+5t+1t=t +1t +5≥7(当且仅当t =1，即x =3时，等号成立)， 故函数f(x)=x 2+x−5x−2，x ∈(2，+∞)的最小值为7，5(★★) 已知实数a 、b ,ab >0，则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为 ． 【答案】 16【解析】由于a 2+b 2≥2ab >0， 所以ab a 2+b 2+a 2b 2+4≤ab 2ab+a 2b 2+4，故：ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab⋅4ab=16，(当且仅当a =b 时，等号成立)．6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( ) A ．x +1x (x >0)的最小值是2 B 2√x 2+2的最小值是√2C 2√x 2+4的最小值是2 D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3【答案】 AB【解析】由基本不等式可知，x >0时，x +1x≥2，当且仅当x =1x即x =1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x =0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t在[2，+∞)上单调递增，当t =2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x <0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．7 (★★★) [多选题]设a >0，b >0，且a +2b =4，则下列结论正确的是( ) A ．1a +1b 的最小值为√2 B ．2a +1b 的最小值为2C ．1a +2b 的最小值为94 D ．ba+1+ab+1>87恒成立【答案】 BC【解析】因为a >0，b >0，且a +2b =4， 对于A ，1a+1b=14(1a+1b)(a +2b)=14(3+2b a+a b)≥14(3+2√2)，当且仅当a =4√2−4，b =4−2√2时取等号，故选项A 错误； 对于B ，2a+1b=14(2a+1b)(a +2b)=14(4+4b a+a b)≥14(4+4)=2，当且仅当a =2，b =1时取等号，故选项B 正确； 对于C ，1a +2b =14(1a +2b )(a +2b)=14(5+2b a+2ab)=14(5+4)=94， 当且仅当a =43，b =43时取等号，故选项C 正确； 对于D ，当a =43，b =43时，a +2b =4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D 错误．故选：BC ．8(★★★)若实数m ，n >0，满足2m +n =1，以下选项中正确的有( ) A ．mn 的最小值为18 B ．1m +1n 的最小值为4√2 C ．2m+1+9n+2的最小值为5 D ．4m 2+n 2的最小值为12【答案】 D【解析】∵实数m ，n >0，∴2m +n =1≥2√2mn ，整理得：mn ≤18，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项A 错误；∵1m +1n =(2m +n)(1m +1n )=3+nm +2m n≥3+2√2，当且仅当{m =2−√22n =√2−1时取“=“，故选项B 错误；∵2m +n =1，∴2(m +1)+(n +2)=5， ∴2m+1+9n+2=15[2(m +1)+(n +2)](2m+1+9n+2) =15[13+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]≥15(13+2√36)=5，当且仅当{m =0n =1时取“=“，∴2m+1+9n+2>5，故选项C 错误； ∵2m +n =1，∴1=(2m +n )2=4m 2+n 2+4mn =4m 2+n 2+2√4m 2•√n 2≤2(4m 2+n 2)， ∴4m 2+n 2≥12，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项D 正确，故选：D ．9 (★★★) 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为 ．【答案】 11【解析】正实数a ，b 满足a +b =1， 则2a 2+1a+2b 2+4b =2a +2b +1a +4b =2+(1a +4b )(a +b)=7+b a +4a b≥7+4=11，当且仅当ba=4a b且a +b =1即b =23，a =13时取等号，10 (★★★) 若正数x 、y 满足x +4y −xy =0，则4x+y 的最大值为 ． 【答案】 49【解析】∵正数x 、y 满足x +4y −xy =0， ∴y =x x−4>0，解得x >4，∴4x+y=4x+x x−4=4x+1+4x−4=4x−4+4x−4+5≤2√(x−4)⋅4x−4+5=49，当且仅当x －4=4x−4时等号成立， ∴4x+y的最大值为49．11 (★★★) 已知0<a <1，则11−a +4a 的最小值是 ． 【答案】 9【解析】0<a <1，则11−a+4a=(11−a+4a)[(1－a)+a]=5+a1−a +4(1−a)a≥5+4=9，12 (★★★) 已知a ，b ∈R ，a +b =2，则1a 2+1+1b 2+1的最大值为 ． 【答案】 √2+12【解析】a ，b ∈R ，a +b =2．则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+21+a 2+b 2+(ab)2=(a+b)2−2ab+21+(a+b)2−2ab+(ab)2=6−2ab5−2ab+(ab)2=4−2(ab−1)(ab−1)2+4， 令t =ab －1=a(2－a)－1=－(a －1)2≤0， 则4−2(ab−1)(ab−1)2+4=4−2tt 2+4，令4－2t =s(s ≥4)，即t =4−s 2，可得4−2tt 2+4=s 4+(4−s)24=4s+32s−8，由s +32s ≥2√s ⋅32s=8√2，当且仅当s =4√2，t =2－2√2时上式取得等号， 可得4s+32s−8≤8√2−8=√2+12， 则1a 2+1+1b 2+1的最大值为√2+12， 13 (★★★) 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则aa−1+4bb−1的最小值为 ． 【答案】 9【解析】∵正数a ，b 满足1a +1b =1，∴a >1，且b >1；1a+1b=1变形为a+b ab=1，∴ab =a +b ，∴ab −a −b =0，∴(a －1)(b －1)=1，∴a －1=1b−1；∴a －1>0，∴aa−1+4bb−1=5+1a−1+4b−1=5+1a−1+4(a −1)≥5+2√1a−1×4(a −1)=9， 当且仅当1a−1=4(a －1)，即a =1±12时取“=”(由于a >1，故取a =32)， ∴a a−1+4bb−1的最小值为9；14 (★★★★) 已知实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1，则2a 2+1a+b 2−2b+2的最小值是 ．【答案】 53【解析】∵实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1， ∴b +2>0，2a +(b +2)=3， 又∵2a 2+1a +b 2−2b+2=1a+2a +b −2+2b b+2=1a+1－2+2b+2=−1+1a+2b+2，∴2a 2+1a +b 2−2b +2=−1+13[2a +(b +2)](1a +2b +2)=－1+13(b+2a +4ab+2+4)≥－1+13(2√4+4)=53，当且仅当{a =34b =−12时取“=“，故答案为：53．15 (★★★★) 已知x >0，y >0，则2xyx 2+8y 2+xy x 2+2y 2的最大值是 ．【答案】 23【解析】2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2=3x 3y+12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4 =3(x y +4yx)(x y )2+16(yx)2+10=3(x y +4yx )(x y +4yx)2+2=3(x y +4y x)+2x y +4y x，令t =x y +4yx，则t ≥2√xy ⋅4y x=4，当且仅当x =2y 时取等号，∵函数y =t +2t ，在[4，+∞)上单调递增，∴y =t +2t的最小值为：92，∴y =t +2t ≥92， ∴3(x y +4y x)+2x y +4y x=3t+2t≤23．∴2xyx 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值为：23． 故答案为：23．16 (★★★★) 设实数x,y 满足x 24−y 2=1，则3x 2−2xy 的最小值是 .【答案】 6+4√2【解析】方法1 3x 2−2xy =3x 2−2xyx 24−y 2=3−2y x 14−(y x)2令t =yx ，∵x 24−y 2=1 ∴x 24−t 2x 2=1⇒t 2=14−1x2<14⇒−12<t <12， 则3x 2−2xy =3−2t14−t 2再令u =3−2t (2<u <4) 则3x 2−2xy =u14−(3−u 2)2=4u −u 2+6u−8=4−(u+8u)+6≥−4√2+6=6+4√2当且仅当u =2√2时取到等号， 方法2 ∵x 24−y 2=1 ∴(x 2−y)(x2+y)=1令t =x2+y ，则x2−y =1t ， ∴x =t +1t ,y =12(t −1t )∴3x 2−2xy =3(t +1t )2−2(t +1t )(t −1t )=2t 2+4t 2+6≥4√2+6=6+4√2 当且仅当t 2=√2时取到等号.挑战学霸方程(x 2018+1)(1+x 2+x 4+⋯+x 2016)=2018x 2017的实数解的个数为 ． 【答案】1【解析】由题意知x>0，设S=1+x2+x4+⋯+x2014+x2016①，则S=x2016+x2014+x2012+⋯+x2+1②，所以①+②得2S=(x2016+1)+(x2+x2014)+(x4+x2012)+⋯+(x2014+x2)+(x2016+1)≥2√x2016∙1+2√1∙x2016+2√x2∙x2014+⋯+2√x2016∙1=2018x1008(当且仅当x=1时等号成立)所以S≥1009x1008，又因为x2018+1≥2√x2018∙1(当且仅当x=1时等号成立)，所以(x2018+1)(1+x2+x4+⋯+x2014+x2016)≥2√x2018∙1×1009x1008=2018x2017当且仅当x=1时等号成立，因此实数解的个数为1.。

放缩法证明不等式知识树一、直接对参数进行放缩知识总结当所证的不等式中含有参数时，可依据参数的取值范围直接将参数放缩成常数，转化为证明不含参不等式．例题（1）1.已知函数.当时，求证:对任意的成立.【答案】（1）证明见解析．【解析】方法一：（1）∵，令，得，，当时，，，在区间的变化情况如下表：方法二：极大值极小值∴在上的最小值为，中较小的值，而，∴只需要证明，∵，∴，设，其中，∴，令，得，当时，，，在区间的变化情况如下表：极小值所以在上的最小值为，而，注意到，∴，问题得证．因为“对任意的，”等价于“对任意的，”，即“，”，故只需证“，”，设，∴，设，，令，得，当时，，，在区间的变化情况如下表：极小值方法三：方法四：∴在上的最小值为，而，∴时，，∴在上单调递增，∴，而，∴，问题得证．“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”，∵，令，得，，当时，，，在上的变化情况如下表：极大值极小值∴在上的最小值为，中较小的值，而，∴只需要证明，∵，∴，注意到和，∴，设，其中，∴，当时，，∴单调递增，∴，而，∴，问题得证．∵，∴当时，，设，其中，∴，∴，，的变化情况如下表：极小值∴在时取得最小值，而，∴时，，∴．【标注】【知识点】二阶导问题；通过构造函数证明不等式；求在某点处的切线方程．先消去参数：，故只需证明．，两边取自然对数：．移项构造函数，求导可知在上单调递减，在上单调递增．故．例题（1）2.已知函数．若，求证：．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）由，，等价于，等价于．设，只须证成立．因为，，由，得有异号两根．令其正根为，则．在上，在上则的最小值为，又，，所以，则，．因此，即，所以．所以．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；通过构造函数证明不等式首先消去参数：，故只需证明，即．构造，．故在上单调递增，在上单调递减．故．【温馨提示】本题还有更简洁的做法：即借助对数不等式进行放缩，同学们学完下面的内容之后，再回到这个问题上来尝试．同类变式（1）（2）3.已知．设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间．当时，求证：．【答案】（1）（2），的递减区间为，递增区间为．证明见解析．【解析】（1）函数的定义域为，又，∵是的极值点，∴，∴，方法一：方法二：（2）∵在上单调递增，且，∴时，，时，，∴的递减区间为，递增区间为．由可得时，在上单调递增，又因为，当趋近于时，趋近于，∴使得，即，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，令，，在上，∴在上单调递减，∴，∴当时，．令，，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∵，∴，∴．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式（消去参数），故只需证明，也即，【温馨提示】接下来我们会学到对数不等式，由对数不等式（I）：．二、利用指数不等式放缩知识总结指数不等式（I）：（当时取等）指数不等式（II）：（当时取等）．思考与探究由上述两个不等式可以衍生下面的两个不等式：指数不等式（I）：以代替，当时有（当时取等），这是为数不多的可以放大指数结构的不等式；指数不等式（II）：当时有，注意到时有，两边积分可得：（当时取等）；进一步可以得到：当充分大时，必有，指数碾压幂级数！例题（1）4.已知函数，．当时，求证：曲线在抛物线的上方．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）由题，只需证，设．则，设，因为，所以在上单调递增，又因为，，所以在内有唯一解，记为，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，，设，，则，所以．所以，即曲线在抛物线上方．【标注】【知识点】二阶导问题；利用导数解决不等式恒成立问题；隐零点问题题目分析常规解法：作差，求导；二次求导，隐零点问题．（指数不等式（II）），故，证毕．本题如果利用指数不等式（I）进行放缩，则得不到想要的结果，真奇妙！例题（1）（2）5.已知函数．求曲线在点处的切线方程．证明：当时，．【答案】（1）（2）．证明见解析．【解析】（1）（2），．因此曲线在点处的切线方程是．当时，．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．因此．【标注】【知识点】利用导数求单调性证不等式题目分析先对参数进行放缩：，故只需证明．这等价于．在指数不等式（I）中以代替可得：．因此．同类变式（1）（2）6.已知函数．讨论函数的单调区间．证明：．【答案】（1）（2）在递增，在递减．证明见解析．【解析】（1）（2）的定义域是，，故时，，在（）递增，当时，令，得：，故在递增，在递减．要证，即证，与即证，令，则，故在递减，在递增，故，令，则，故在递增，在递减，故∵，故，即，故．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；通过构造函数证明不等式最小值最大值题目分析单独研究第（2）问：所证不等式，不等式的左边含有因子，故考虑利用指数不等式（II）：如果直接利用指数不等式（II）：，则会得到这种错误的结果．别忘了指数不等式（II）的迭代效果：在指数不等式（II）中以代替得到：，两边平方得到：，因此，故只需证明，也即，移项构造函数证明即可．三、利用对数不等式放缩知识总结对数不等式（I）：（当时取等）；对数不等式（II）：（当时取等）．思考与探究对数不等式（I）：以代替，整理得：（当时取等）；对数不等式（II）：，即，以代替．例题（1）（2）7.已知函数．令，当时，判断的单调性．求证：当，时，．【答案】（1）（2）的单调性如下：在上为减函数；在上为增函数；在上为减函数．证明见解析．【解析】（1）因为，则，当时，，此时，（2）由有两根，，可知：在上，为减函数；在上，为增函数；在上，为减函数．由()，，，①当时，，则为上的减函数，所以，则为上的减函数，又，所以．②当时，由上，，令，则，于是恒成立，所以为上的减函数，于是，所以为的减函数，又，所以，所以当，时，．证毕．【标注】【知识点】利用导数求单调性证不等式题目分析时，故（消去参数），由对数不等式（I）：．例题（1）（2）8.已知函数（为自然对数的底数）．当时，求曲线在点处的切线方程．证明：当时，不等式成立．【答案】（1）（2）．证明见解析．【解析】（1）（2）由题意知，当时，，解得，又，，即曲线在点处的切线方程为：．当时，得，要证明不等式成立，即证成立，即证成立，即证成立，令，，易知，由，知在上单调递增，上单调递减，，所以成立，即原不等式成立．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式题目分析单独分析第（2）问：所证不等式．（消去参数）（重新分组）（对数不等式（II））．同类变式（1）（2）9.已知函数，．当时，讨论函数的单调性．当时，若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减．（2）实数的取值范围为．【解析】（1）（2）由题意，知．∵当，时，有，∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．由题意，当时，不等式在时恒成立．整理，得在上恒成立．令，易知，当时，，不合题意．∴．又，．①当时，，又在上单调递减，∴在上恒成立，则在上单调递减．又，∴在上恒成立．②当时，，．又在上单调递减，∴存在唯一，使得．∴当时，；当时，．∴在上单调递增，在上单调递减．又在处连续，，∴在上恒成立，不合题意．综上所述，实数的取值范围为．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题题目分析解题思路：端点分析单独分析第（2）问：问题对恒成立．，，．若，则．在的右邻域上单调递减，此时必存在使得，与题意矛盾．故此时可得问题成立的必要条件为，下面论证充分性：（消去参数），（对数不等式（I））．当时，显然有，证毕．四、（赏析）指对CP，联手出击知识点对于含有指、对函数的不等式，我们除了常规的构造法证明，往往还需要掌握一些常用的放缩．其中，同学们可能已经见过了指数、对数的切线不等式，我们在此还是做一个归纳：常见指对函数的图象及切线：当然，除了以上不等式需要掌握之外，我们更应该关注题目的第（1）小问，往往第（1）问的结论就是为下一问做铺垫的，特别是已经证明的不等式或已经求出的切线等等．例题（1）（2）10.已知函数．求曲线在处的切线方程．求证：当时，．【答案】（1）（2）．证明见解析．【解析】（1）（2），由题设得，，∴在处的切线方程为．，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，．过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．易证：当时，，设，，则，，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，所以，存在，使得，所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时，等号成立．【标注】【知识点】导数的实际应用；导数与单调性题目分析（）略；（）由（）可知，在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．即：当时，，注意该不等式需要证明，移项求导即可，此处不做展开，同学们可以自行尝试；接下来观察左边分子结构，将刚才不等式转化为故，．又（此处也要证明），即，当时，等号成立．例题（1）（2）11.设函数，曲线在点处的切线方程为．求，；证明：．【答案】（1）（2），．证明见解析【解析】（1）方法一：方法二：（2）函数的定义域为，，由题意可得，，故，由（1）知，从而等价于．设函数，则．所以当时，;当时， ．故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为．设函数，则．所以当时，;当时，．故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为．综上，当时，，即．欲证，即证，即证，又易证得，（当时等号成立），且易证得，（当时等号成立），∴，证毕．【标注】【知识点】已知切线方程求参数；二阶导问题；利用导数求单调性证不等式题目分析．下面证明：由对数不等式（II）：，用代替．故，因此只需证明，这等价于，正是指数不等式（II）．最后，由于两个不等式的取等条件不一致：的取等条件是；的取等条件是，无法同时取等，因此所证不等式成立．练习（1）（2）12.已知函数．设是的极值点，求，并求的单调区间．证明：当时，．【答案】（1）（2），单调递增区间为：，单调递减区间为：．证明见解析．【解析】（1）由题可知：函数的定义域为：，，是的极值点，∴，∴，∴，令，解得：，令，解得：，∴的单调递增区间为：．方法一：方法二：（2）的单调递减区间为：．∵，∴，∴，令，，，令，，∵恒成立，∴在上单调递增，又∵，∴当时，，单调递减．当时，，单调递增．∴，∴．当时，欲证，即证，即证，又易证得，故，且易证得，，∴，证毕．【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）；通过构造函数证明不等式；二阶导问题（1）（2）（3）13.已知函数．讨论函数的单调性．设，若对任意的，恒成立，求整数的最大值．求证：当时，．【答案】（1）（2）（3）①若，函数在上单调递增，②若，函数在上单调递增；在上单调递减．．证明见解析．【解析】（1），（2）（3）①若，则，函数在上单调递增，②若，由得；由得，∴函数在上单调递增；在上单调递减．若，则，∴不满足恒成立，若，由（）可知，函数在上单调递增；在上单调递减，∴，又恒成立，∴，即，设，则，∴，∴函数在上单调递增，且，，∴存在唯一的，使得，当时，，当时，，∴，解得，又，∴，整数的最大值为．由（）可知，时，，∴，∴，∴，记，则，记，则，当时，；当时，，∴函数在上单调递减；在上单调递增，所以，∴，即，故函数在上单调递增，∴，即，所以．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；二阶导问题；利用导数解决不等式恒成立问题；求函数单调区间（含参二次型导函数）题目分析索性大胆一些，兼用指数不等式与对数不等式将指数结构与对数结构全部消去：（指数不等式（I））（对数不等式（I））．同类变式（1）（2）14.设函数，．求的极值．证明：．【答案】（1）（2）极小值为，无极大值．证明见解析．【解析】（1）方法一：（2），，因为，所以在上单调递增，又，所以时，，单调递减；时，，单调递增，所以是的极小值点，故函数的极小值为，无极大值．的定义域为．要证：，只需证：，只需证，，令，，因为，所以当时，，单调递减，方法二：方法三：当时，，单调递增，所以，即．故当时，．令，当时，，要证：，只需证．令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，故当时，．的定义域为．令，．因为，令得，令得；所以在上单调递减，上单调递增，所以，即，要证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，，因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即．故时，．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式题目分析（消去参数），故，由指数不等式（I）可知：①，在对数不等式（I）中以代替得到：②，①②相乘即得到所证的结果．五、导数与数列综合知识总结此类题型属于导数与数列综合的不等式问题，除了会用到上述指对不等式之外，主要考查学生的观察能力和应用能力，需要将题目中多项相加或相乘的式子先拆分，找到与前一问相关的不等式，将每一项累加或累乘。

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