高一数学3.5.2 以2为底的对数函数的图像和性质

3.5.2 y＝log2x的图像和性质3.5．3 对数函数的图像和性质(1)导入新课问题复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题．推进新课新知探究下面研究对数函数y＝log2x的图像和性质．可以用两种不同方法画出函数y＝log2x的图像．方法一：描点法．图2方法二：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．由于指数函数y＝a x和对数函数x＝log a y所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的(如图3(1))．用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图像(如图3(2))．(1) (2)图3 图4 习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像(如图4)．观察对数函数y＝log2x的图像，过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y ＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性定义域：(0，＋∞)定义域：(0，＋∞)值域：R值域：R(1,0)，即x＝1时，(1,0)，即x＝1时，＞1时，y＞0；＞1时，y＜0；＜1时，y＞0提出问题根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？判断函数的单调性有哪些方法和步骤？判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：(1)比较数的大小：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．③计算出每个数的值，再比较大小．④是两个以上的数，有时采用中间量比较．⑤利用图像法．⑥利用函数的单调性．(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断．利用定义证明单调性的步骤：①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商(同号数)，注意变形．③判断差的符号，商与1的大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．又简称为口诀“同增异减”．(3)有两种方法：定义法和图像法．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．图像法：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．应用示例例1 比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log 25.3，log 24.7；(2)log 0.27，log 0.29；(3)log 3π，log π3；(4)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，a ≠1)．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(3)两个对数式的底数和真数均不相同．设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y ＝log 2x 的图像，如图5.图5在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所以log 24.7＜log 25.3.解法二：由函数y ＝log 2x 在R ＋上是单调增函数，且4.7＜5.3，所以log 24.7＜log 25.3.(2)因为0.2＜1，函数y ＝log 0.2x 是减函数，7＜9，所以log 0.27＞log 0.29.(3)解法一：因为函数y ＝log 3x 和函数y ＝log πx 都是定义域上的增函数，所以log π3＜log ππ＝1＝log 33＜log 3π.所以log π3＜log 3π.解法二：直接利用对数的性质，log π3＜1，而log 3π＞1，因此log π3＜log 3π.(4)解法一：当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2. 点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较log 20.7与log 130.8两值的大小．解：考查函数y ＝log 2x .因为2＞1，所以函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数．又0.7＜1，所以log 20.7＜log 21＝0.再考查函数y ＝log 13x ，因为0＜13＜1，所以函数y ＝log 13x 在(0，＋∞)上是减函数． 又1＞0.8，所以log 130.8＞log 131＝0.所以log 20.7＜0＜log 130.8.点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.例2 求下列函数的定义域：(1)y＝log a x2；(2)y＝log a(4－x)．活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y＝log a x的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解．解：(1)要使函数有意义，则需x2＞0，即x≠0，所以定义域为{x|x≠0}；(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数定义域为{x|x＜4}．点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可．课堂小结本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．课后作业 p97 A组3补充：1．求函数y＝lg x＋lg(5－2x)的定义域．(x2－2x－3)的单调区间，并用单调定义给予证明．2．求函数y＝log123．已知y＝log a(2－a x)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．。

对数函数的图像与性质对数函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将着重探讨对数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用对数函数。

一、对数函数的定义与基本性质对数函数的定义如下：定义：设a为正实数且不等于1，x为正实数，那么以a为底的对数函数y = loga x 定义为x = a^y。

对数函数的图像在直角坐标系中呈曲线状，其主要性质如下：1. 定义域与值域：对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

2. 特殊性质：当x = 1 时，对数函数的值为0，即loga 1 = 0。

3. 单调性：当0 < a < 1 时，对数函数随着x的增大而递减；当a > 1 时，对数函数随着x的增大而递增。

4. 对称性：对数函数在y轴上有一个对称中心O(1,0)。

以上是对数函数的基本性质，接下来我们将进一步探讨对数函数的图像。

二、对数函数的图像特点对数函数的图像在直角坐标系中呈现出一些特殊的特点，我们将分别从底数的大小和常数c的引入的平移和伸缩等方面进行讨论。

1. 底数的大小对图像的影响底数a的大小对对数函数的图像有显著的影响。

当0 < a < 1 时，对数函数的图像在一象限内，从左上方无穷递减到右下方；当a > 1 时，对数函数的图像在一、三象限内，从左下方无穷递增到右上方。

2. 平移和伸缩对图像的影响引入常数c对对数函数的图像进行平移和伸缩。

当常数c大于0时，对数函数的图像在x轴的正方向上平移c个单位；当常数c小于0时，对数函数的图像在x轴的负方向上平移|c|个单位。

另外，对数函数的图像近似于一条曲线，它的凹性和凸性取决于底数的大小。

当0 < a < 1 时，对数函数图像凸向下；当a > 1 时，对数函数图像凹向下。

三、对数函数在实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有着广泛的应用。

以下是一些常见的实际问题：1. 指数增长问题：对数函数可以用来描述指数增长的问题，例如人口增长、物种扩散等。

对数函数图像及性质
对数函数是特殊的函数，是一种特殊的曲线，它与指数函数有着密切的关系。

一般的，在数学中，它的函数形式为：y = loga x（a> 0，a ≠ 1）。

对数函数的图像是一条对称曲线，它的绘制出直线 y=x 的两倍半径的弧线，其中倒退曲线位于X轴右半部分。

它的图形主要由三部分组成，即横轴、纵轴和函数线segment。

横轴和纵轴分别封装着值域和值域的标明的定义域。

函数线段是最重要的，它承载了横坐标形成的曲线，把On横坐标映射到定义域对应的值域上，从而绘制出完整的函数图像。

对数函数还具有一些特点：
1.将定义域D上的自然数e投射到值域R上；
2.对数函数反函数是以e为底的指数函数；
3.当x大于e时，y值> 0；当x小于e时，y值<0；当x=e时，y=1；
4.对于定义域D上的任意x> 0，对数函数y=logax的倒数存在；
5.对数函数的定义域是正实数集合，不包括0。

总的来说，对数函数是一种特殊的曲线，具有独特的图像和性质。

学习和研究它是了解基本数学概念和把握数学原理，应用数学解决实际问题的重要基础。

对数函数的图像与性质
对数函数是很多科学及技术应用中不可或缺的重要数学工具之一。

它的图像具有一种独特的形状，具有带有裂点的**U**型曲线，并且这
个曲线受到独立复杂的影响。

在数学上，对数函数是一种有理函数，它的输入和输出都是正实数。

它主要表示x和y之间的关系，即满足y = logax。

其中x是自变量，a是对数的底数，y是因变量，logax是对数函数。

图像方面，当a=e时，y=lnx，它的图像可以表示为从右往左水
平向上斜线，交点是坐标原点(0,0）。

当0<a<1时，y = logax，则实
质上是一条垂直负半轴的反抛物线，此时的顶点在(1,0）处。

而当a>1时，y = logax，它是一条穿过坐标原点的右侧斜线，图像都是对称的。

从数学性质上来看，对数函数的曲线是单调递增的，并且其图像
像抛物线一样，存在一个顶点，其函数值在顶点处切变，它是一种特
殊的函数。

另外，对数函数具有另一个重要的性质，即当两数相乘时，它们以原来的数乘以某个固定的值的形式相加，即有a1×a2=a1+a2的
性质。

总的来说，对数函数的图像具有其独特的形状，并且它的数学性
质也是非常重要的，它可以在科学、工程和经济领域中发挥着极其重
要的作用。

高中数学对数函数的图像与性质分析对数函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际问题中具有广泛的应用。

本文将从图像和性质两个方面对对数函数进行详细的分析，以帮助高中学生更好地理解和掌握对数函数。

一、对数函数的图像对数函数的图像是一条曲线，具有一些特殊的性质。

我们以y=logx为例进行分析。

1. 定义域和值域对数函数的定义域为x>0，值域为R（实数集）。

这意味着对数函数的自变量必须大于0，并且函数值可以是任意实数。

2. 对数函数的基本性质对数函数的图像在直角坐标系中呈现出一些特殊的性质：- 当x=1时，对数函数的值为0，即log1=0。

这是因为任何数的0次幂都等于1，所以log1=0。

- 当x>1时，对数函数的值为正数。

这是因为对数函数是指数函数的反函数，指数函数在x>1时是递增的，所以对数函数在这个区间内是递增的。

- 当0<x<1时，对数函数的值为负数。

这是因为对数函数是指数函数的反函数，指数函数在0<x<1时是递减的，所以对数函数在这个区间内是递减的。

3. 对数函数的图像特点对数函数的图像呈现出以下特点：- 对数函数的图像在y轴上有一个渐近线y=0，即对数函数的值趋近于无穷小时，其自变量趋近于0。

- 对数函数的图像关于直线y=x对称，即对数函数的自变量和函数值互换后，图像不变。

- 对数函数的图像在x轴上有一个特殊点(1,0)，即对数函数的自变量为1时，函数值为0。

- 对数函数的图像在x>1时递增，在0<x<1时递减。

二、对数函数的性质对数函数具有一些特殊的性质，我们以解决实际问题的方式来说明。

1. 对数函数的应用举例对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- pH值的计算：pH=-log[H+]，其中[H+]表示溶液中的氢离子浓度。

通过对数函数的计算，我们可以得到溶液的酸碱性。

- 放射性元素的衰变：放射性元素的衰变速率可以用对数函数来描述。

念5.2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.1 对数函数的概念5.2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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数的概念 5。

2 y＝log2x的图像和性质高效测评北师大版必修1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各组函数中,定义域相同的一组是（）A．y＝a x与y＝log a x（a>0，且a≠1）B．y＝x与y＝错误!C．y＝lg x与y＝lg 错误!D．y＝x2与y＝lg x2解析：A中,函数y＝a x的定义域为R，y＝log a x的定义域为(0,＋∞）；B中，y＝x的定义域为R，y＝x的定义域为[0,＋∞)；C中，两个函数的定义域均为（0，＋∞)；D中y＝x2的定义域为R,y＝lg x2的定义域是｛x∈R｜x≠0}．答案：C2．若某对数函数的图像过点（4，2），则该对数函数的解析式为（）A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a>0,且a≠1，x>0),则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，a＝2。

故所求解析式为y＝log2x.答案：A3．已知函数f(x）＝a x（a>0，a≠1)的反函数为g（x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1）的图像是下图中的( )解析: 由y＝a x解得x＝log a y，∴g(x)＝log a x。

对数函数图像及性质对数函数是数学中一类重要的函数，可用于描述各种实际问题。

其图像表示的是一种数的幂函数 y=ax的反函数，称为“对数函数”，记做y=loga x。

一、定义定义：设a>0，a≠1，x>0。

定义函数y=logax（a>0），称之为“a 的对数函数”，其中x叫做“对数函数的底数”，y叫做“对数函数的指数”，底a叫做“对数函数的底”。

若a＝10，则简称为“常用对数函数”，记作y=logx。

二、三角函数与对数函数的关系1. 三角函数的原函数和反函数三角函数的原函数和反函数都可以用对数函数来表示，如：sin x=loga(y)，cos x=loga(y)，tan x=loga(y)（其中，a>0，a≠1，y>0）。

2. 三角函数的运算公式给出的三角函数的运算公式，也可以表示为对数函数的运算公式：sin(x+y)=loga [sin xsin y+cos xcos y]，cos(x+y)=loga [cos xcos y-sin xsin y]，tan(x+y)=loga [tan x+tan y]（其中，a>0，a≠1）。

三、对数函数图像分析对数函数的图像与其定义有密切的关系，其图像对于理解函数的性质和研究函数的特性至关重要。

1.数函数的本质先来表述函数的本质：函数y=logax，是由自然对数lnx的“基数换底”特性衍生出来的，所以又称“对数”。

其定义域为x>0，其值域则是所有实数集。

2.数函数图像的特点对数函数的图像具有以下特点：（1）它是单调函数，即图像以折线形式呈现，斜率由正变负；（2）x=1时，y=0；（3）当a>1时，x由０接近于+∞，y由-∞接近于+∞；（4）当a＜1时，x由+∞接近于０，y由+∞接近于-∞；（5）对于a＞1时，函数形式为单函数，也就是图像中只有一条直线；（6）对于a＜1时，函数形式为双函数，也就是图像中有两条直线。

对数函数的特殊图像和特殊曲线对数函数是数学中常见的一种函数，它的特殊图像和特殊曲线是数学中的一个经典话题。

在本文中，我们将从数学的角度讨论对数函数的图像和曲线，以及它们的特殊性质。

一、对数函数的基本定义对数函数的定义很简单：对数函数y=loga x表示以a为底数，x 的对数。

其中，a需要满足a>0且a≠1，而x需要满足x>0。

对数函数在数学中扮演着重要的角色，它与指数函数密切相关，是高等数学、物理学和工程学中不可或缺的数学工具。

二、对数函数的图像及特性对数函数的图像是一条典型的曲线，它的特点在于：当x趋近于无穷大时，y值增长很快，但增长的速度逐渐减缓。

当x趋近于零时，y值趋近于负无穷大。

具体来说，以指数函数y=2^x和对数函数y=log2 x为例，它们的图像如下图所示：[插入一张2^x和log2x的图像]从图中可以看出，对数函数y=log2 x的图像与指数函数y=2^x 的图像在y=x这条直线上交换了位置。

实际上，这是因为它们之间存在对称关系，即y=loga x与x=a^y互为反函数，同时它们的图像也互为镜像。

从图像上来看，对数函数的特点还有以下几点：1. 对数函数在x为1的时候有一个特殊的切点，y=0。

2. 对数函数的图像在x轴的左侧是单调递减的，在右侧是单调递增的。

3. 对于a>1的对数函数，常数c的指数函数增长速度要快于指数函数a^x，也就是说，对于任意正数c，存在一个正数N，当x>N时，有loga x<c^x。

三、对数函数的特殊曲线对数函数的特殊曲线有三种，分别是反比例函数、对数螺线和椭圆曲线。

1. 反比例函数反比例函数是一种特殊的函数，它的定义形式是y=k/x，其中k 是常数。

它有一个重要的性质：它的图像与对数函数的图像互为镜像。

具体来说，反比例函数的图像如下图所示：[插入一张反比例函数的图像]从图中可以看出，反比例函数在x轴的右侧是单调递减的，在左侧是单调递增的。

对数函数的图像和性质数学中，对数函数是一种常见的函数形式，它与幂函数相对应。

对数函数常见的几种形式有自然对数函数、常用对数函数以及其他底数对数函数。

本文将对对数函数的图像和性质进行讨论。

一、自然对数函数自然对数函数以e（自然对数的底数，约等于2.71828）为底，表示为ln(x)。

自然对数函数的图像在x轴的正半轴上是递增的，且在x=1处取得唯一的定义值ln(1)=0。

随着x的增大，自然对数函数的值也逐渐增大，但增速递减。

自然对数函数的图像呈现出一个典型的曲线形状，其开口朝上，且在x轴上方无穷远处渐近于y=0。

自然对数函数有许多重要性质。

首先，ln(a*b) = ln(a) + ln(b)，即自然对数函数的乘法转换为加法；ln(a/b) = ln(a) - ln(b)，即自然对数函数的除法转换为减法。

其次，ln(a^n) = nln(a)，即自然对数函数的幂运算转换为乘法。

再次，自然对数函数是唯一一个在自身定义域内有连续的导数的对数函数。

二、常用对数函数常用对数函数以10为底，表示为log(x)。

常用对数函数与自然对数函数非常相似，其图像在x轴的正半轴上也是递增的，并在x=1处取得唯一的定义值log(1)=0。

常用对数函数的图像也呈现出一个典型的曲线形状，其开口朝上，且在x轴上方无穷远处渐近于y=0。

与自然对数函数类似，常用对数函数也具有一些重要性质。

例如，log(a*b) = log(a) + log(b)，log(a/b) = log(a) - log(b)，log(a^n) = nlog(a)等。

常用对数函数与自然对数函数之间存在一个换底公式，即log(x) =ln(x)/ln(10)。

三、其他底数对数函数除了自然对数函数和常用对数函数，还存在其他底数对数函数。

这些函数以不同的底数表示，例如以2为底的对数函数log2(x)、以3为底的对数函数log3(x)等等。

这些函数的图像形状与自然对数函数和常用对数函数类似，但具体形状会有一定的变化。

对数函数图像及性质对照表
对数函数，又称指数函数，是数学中的一类特殊函数，由对数函数的图像和它的性质可以进一步表明这类函数的性质，下面我将为大家详细介绍一下对数函数的图像及性质对照表，供大家参考。

一、对数函数的图像及性质：
1、函数定义
对数函数定义为y=loga x，其中a>0，a≠1。

2、图像
根据定义，a变化会引起对数函数图像的变化，当a=1时，函数图像为一条平行于y轴的直线，随着a的增大，函数图像发生变化，关于y轴对称，关于x轴不对称，逐渐上升，x→∞数值变化缓慢，x →0函数值变化迅速。

3、性质
（1）在x>0的区间，函数图像的单调性：y=logax的函数图像，在x>0的区间段中是单调递增函数；
（2）对称性：y=logax的函数图像关于y轴对称，在x>0的区间段中是凹函数；
（3）函数值的变化：当x趋近于无穷大时，函数值变化缓慢，当x趋近于0时，函数值变化迅速；
（4）函数值最值：y=logax在x>0时，没有最小值，最大值为loga∞。

二、总结
以上介绍了对数函数的图像及性质对照表，它们主要有以下特点：a>0，a≠1；关于y轴对称，关于x轴不对称；单调递增，凹函数；
函数值变化缓慢，当x趋近于0时，函数值变化迅速；函数值的最大值为loga∞。

此外，对数函数有很多其他应用，由于它的特殊性，
在探索和运用对数函数的同时，可以帮助我们更好地理解数学一些其他性质。