八年级数学证明课件1

例 4：观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：(1)4,17 (2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝ 右边，∴第 n 个等式成立．
练习：下列问题你不能肯定的是( D )
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积的大小关系 B．三角形的内角和 C．八边形的外角和 D．三角形与矩形的面积关系
课程导入2：
代数式n2＋ n＋41的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否 由此得到结论：对于所有自然数n2＋ n＋41的值都是质数？与同伴进行交流.
2.在学习中，小明发现：当 n＝1,2,3 时，n2－6n 的值都是负数，于是小明猜想：当 n 为 任意正整数时，n2－6n 的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由为：当 n＝6 时，n2－6n＝62－6×6＝0；当 n＞ 6 时，n2－6n＝n(n－6)＞0.
练习：观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …
请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 100n(n－1)＋25 .
证明的必要性
1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，
解：小明的猜想正确，理由：因为 n 为奇数，所以可设 n＝2k+1（k 为自然数）， 所以 n2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）×2k＝4k（k+1）， 因为 k 为自然数，所以 k，k+1 是相邻的自然数， 所以 k，k+1 中必有一个是偶数，一个是奇数，所以 k（k+1）必定是 2 的倍数， 所以 4k（k+1）必定是 8 的倍数，故当 n 为任意正奇数时， n2﹣1 的值一定是 8 的倍数．

探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1

2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .

△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做

认知基础练
4 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 5，则第三边
长为( C )
A．4
B．2 或 34
C．4 或 34
D．2 或 2 6
认知基础练
【点拨】 已知直角三角形的两边长求第三边长时，如果题中
没有说明这两条边长是直角边长还是斜边长，则要分两 种情况讨论，注意不要由于疏忽而漏解．
方法技巧练
方法技巧练
(2)如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求(a＋ b)2的值． 解：由题可知 c2＝6，(b－a)2＝2， ∴4×12ab＝6－2＝4，即 ab＝2. ∴(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab＝2＋4×2＝10.
方法技巧练
6 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角， 则由勾股定理可得a2＋b2＝c2. (1)若∠C为锐角，求证：a2＋b2＞c2；
方法技巧练
证明：过点A作AD⊥BC于点D，如图①所示， 则BD＝BC－CD＝a－CD. 在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2； 在Rt△ACD中，AC2－CD2＝AD2， ∴AB2－BD2＝AC2－CD2， 即c2－(a－CD)2＝b2－CD2. 整理，得a2＋b2＝c2＋2a·CD. ∵a＞0，CD＞0，∴a2＋b2＞c2.
5 现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦 图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝ a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
方法技巧练
(1)求证：a2＋b2＝c2； 证明：∵大正方形的面积为 c2，1 个直角三角形的面积为 12ab，小正方形的面积为(b－a)2， ∴c2＝4×12ab＋(b－a)2＝2ab＋b2－2ab＋a2，即 a2＋b2＝c2.
北师版 八年级下

例1 已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E.
求证: BE平分∠ABC. 证明: ∵ DE∥BC( 已知 )
∴∠2=∠E( 两直线平行,内错 等量代换 ) ∴BE平分∠ABC( 角平分线的定义 )
例2 已知：如图，AB∥CD，EP，FP分别平分 ∠BEF， ∠DFE. 求证：∠1+∠2=90°
证明：因为∠1=∠2（已知） ∠ 1= ∠ 3（对顶角相等） 所以∠ 2= ∠ 3（等量代换） 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）
定理 内错角相等，两直线平行
回顾反思：
证明------用推理的方法证实真命题的过程.
因为A 推理------ 所以B (事实依据)
定义
事实依据------
基本事实(原本) 定理
证明1
情景创设
一个数学的结论的正确性是如何确认的？
其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证 明的研究已有2000年的历史了。公元前3世纪，古希腊数学家 欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书中，他挑 选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推 导出400多条定理，《原本》是人类智慧的伟大成就之一，它 对科学和人类文化和发展产生了深远的影响。
用推理的方法证实真命题的过程叫证明。 经过证明的真命题称为定理。
思考与交流：
证明与图形有关的命题，有哪些步骤？ （1）根据命题画出图形。 （2）结合图形将命题的条件、结论分别用
数学语言写在已知、求证后面。 （3）写出证明过程。
练习1
证明:内错角相等,两直线平行.
已知:直线a、b被直线c所
截， 1 = 2 求证 a b
等式或不等式的性质
言之有理,落笔有据,过程严谨, 结论求实.

总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程

A
B
C
画图方法视频（点击文字
播放）
画图思路
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
画图思路
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
C
M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本 题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏 解．
B
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，A斜C边是
__B__C__.
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
口答：
A
A′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐 角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，

第十九章 几何证明 复习课件
知识梳理： 定义
概念
几 何 证 明
命题 真命题 假命题 基本事实 定理 互逆命题
几何证明
证明步骤
平行线 三角形内角和 全等三角形 等腰三角形 等边三角形 角平分线 垂直平分线 直角三角形
知识回顾
定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
轴对称图形，有三条对称轴
知识梳理： 等边三角形的判定：
名称
图形
判定
等
边
三条边都相等的三角形
三
角
A
三个角都等于60°的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰
三角形
知识梳理： 角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等
的点，在这个角的平分线上。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这
精讲点拨
例 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边
AC上一点，延长BC到D，连接DE。
D 2
求证：∠1>∠2。 C
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），
∴∠1>∠3（
）。
E5
3
∵∠3是△CDE的一个外角，
4
∴∠3>∠2（
）。 A
1 BF
∴∠1>∠2（
）。
把你所悟到的证明真命题的方法，步骤，书写格
）。
），
）， ）。
谢谢
一点到三边的距离相等（这个交点叫做三角形的内 心）。 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线 交于一点，这个的点到三边所在直线的距离相等。 这样点有三个。

解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C， 则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8， 所以AB= 62 82 =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离 是10千米.
C
课堂小结
勾股定理
定理 验证 应用
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方
用拼图法验证勾股定理
思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的 三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？
AR
P CQ B
那么在一般的直角三 角形中，两直角边的 平方和是否等于斜边 的平方呢？
SP+SQ=SR 直角三角形ABC三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC中，两直角边的 平方和等于斜边的平方.
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
1.直角三角形 三边的关系
新课导入
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002) 吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋 转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700多 年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾
股定理的弦图.
边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
c
这种关系我们称为勾股定理.
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数 学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古 代的数学成就.
勾 股
勾 a

有思路的同学组内交流
A
详写过程，投影展示，
D
注意倾听，评价质疑补充
B
C
引例：如图，已知：∠1=∠2， AD⊥BC,垂足为点D， 求证：AB=AC
A
12
B
D
C
变式三：如图，∠1=∠2，BD=CD，
求证：AB=AC
A
活动三：先独立思考
12
有思路后小组内讨论交流
详写过程,板书展示
B D C 你对发言同学进行点评。
思维拓展:
如图，已知：AD//BC，点E是DC的中点， BE平分∠ABC 求证：(1) AE平分∠BAD
(2)AD+BC=AB
A
D
E
ห้องสมุดไป่ตู้
B
C
活动四：
先独立思考， 有思路后小组内交流 代表到前面展示 讲授分析思路， 你来点评补充
课外延伸:
如图，已知：AD//BC，点E是DC的中点， BE平分∠ABC 求证：(1) AE平分∠BAD
A
有思路后小组2人交流
小组派代表到前面展示讲
授分析思路
B
C
D
说说你的收获：
方法小结： 什么形状的三角形，怎么做辅助线
变式一：已知AB=AC, ∠BAD=90° 求证：∠BAC=2∠D
A
B
C
D
变式二：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB,
点D为垂足，∠A=2∠BCD.求证：
AB=AC 活动二：先独立思考，
19.2(6) 几何证明
学习目标
利用等腰三角形的三线合一 和中线倍长的方法添辅助线， 来证明边角之间的等量关系。
引例：如图，已知：1 2
AD BC 垂足为点 D ， 求证：AB AC