二次函数典型题解题技巧
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二次函数典型题解题技巧
(一)有关角
１、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边），与y 轴
交于点(0C ,3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.
（1） 求此抛物线的解析式；
（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.
思路点拨:对于第(１）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D )
对于第(２)问,比较角的大小
a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了
b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了
c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小
d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等
e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、Ｃ、Ａ、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条
解:（1)∵CD ∥x 轴且点C(０,３），
∴设点D 的坐标为(x ，３) .
∵直线y ＝ ｘ+５经过D 点，
∴3= x+５.∴ｘ=－２.
即点D(-２，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1,y ），
又∵直线ｙ= ｘ+５经过M 点，
∴y =－１＋5,y =4.即M(-1，4).
∴设抛物线的解析式为
2(1)4y a x =++． ∵点C （0,3）在抛物线上,∴ａ=-1．
即抛物线的解析式为
223y x x =--+.…………3分 （２)作BP ⊥AC 于点P,ＭＮ⊥AB 于点N.
由(1）中抛物线
223y x x =--+可得 点A(-3,0)，B(1，０)，
∴ＡB=4，AO ＝C Ｏ=３，A Ｃ＝32． ∴∠PAB ＝４5°.
∵∠ABP=45°，∴P Ａ=PB=22.
∴P Ｃ=A Ｃ－PA ＝2.
在Ｒｔ△BPC 中，tan ∠BCP=PB
PC =2．
在Rt △ＡN Ｍ中,∵M （-1,４），∴MN=4.∴ＡＮ=2.
ｔan ∠NAM ＝MN AN ＝2.
∴∠B ＣP=∠N ＡＭ.
即∠ACB ＝∠M ＡB.
后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角(圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路
2、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32
-+=，与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．
(Ｉ)求抛物线的解析式；
（II)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形?
若存在，求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；
（III)直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点.若α=∠DBC ,
βαβ-=∠求,CBE 的值.
思路点拨：(ＩI)问题的关键是直角，已知的是ＡC 边,那么A Ｃ边可能为直角边,可能为斜边,
当AC 为斜边的时,可知Ｐ点是已ＡＣ为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合，明显只有Ｏ点；当ＡC 为直角边时，又有两种情况，即Ａ、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是Ａ或者C 为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA(或Rt △ＰA Ｃ和Rt △OA Ｃ相似），利用这点就可以求出OP 的长度了
（ＩII ）从题目的已知条件看，除了∠ABC ＝4５°外没有知道其他角的度数,那么这两个角
要么全是特殊角（３０°，45°，60°，９０°），在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显，这两个角不是特殊角,那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下）,就是他们的差是特殊角，再联系到∠ＡBC ＝45°，可知，这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD ＝∠CBE,再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△B ＣＥ是一个直角三角形且与△B ＡD 相似
解:（I ）()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==.
())0,3(,0,1B A -∴.
代入32-+=bx ax y ,得 {{1
20
30339=-==--=-+∴a b b a b a
322--=∴x x y
(ＩI)①当190,P
AC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，.)31,0(1P ∴
②同理： 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠
③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠
综上，坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P ．
（III)()1,0,131D x y 得由+-
=.()4,1322---=E x x y ，得顶点由. ∴52,2,23===BE CE BC ．
为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222.
31tan ==∴CB CE β. 又
31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO . ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα.
（二)线段最值问题
引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决;有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值
3、抛物线
()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线x = －1，B(1,0），C(0,-3).
⑴ 求二次函数
()20y ax bx c a =++≠的解析式； ⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点Ｐ到A 、Ｃ两点距离之差最大？若存在，求出点Ｐ坐标;若不存在,请说明理由．
思路点拨：点Ｐ到Ａ、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值，因Ｐ点在对称轴上,有ＰＡ＝PB ，也就是求|P Ｂ－ＰC ｜，到了这儿，易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段BC 的长。
具体解题过程略
4、研究发现,二次函数2ax y =(0≠a )图象上任何一点到定点(0,a 41)和到定直线a
y 41-=
