九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

第1讲 正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ.（4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π= ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.一、 角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。

正弦与余弦知识点总结正弦与余弦的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边和斜边的比值为正弦值，邻边和斜边的比值为余弦值。

假设在直角三角形ABC中，∠C为90°，AB为斜边，BC为对边，AC为邻边，那么正弦与余弦的定义如下：正弦值：sin∠A=对边/斜边=BC/AB余弦值：cos∠A=邻边/斜边=AC/AB在直角三角形中，正弦与余弦的值可以用来描述角度和三角形边长的关系。

在不同的三角形中，正弦与余弦的值并不相同，但其性质和图像是相似的。

正弦与余弦的性质1. 周期性：正弦与余弦函数都具有周期性，其周期为2π。

这意味着在一个周期内，函数值将重复出现。

在[-π, π]或[0, 2π]范围内，正弦与余弦的函数图像将呈现出周期性的特点。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

奇函数具有对称中心原点，即f(-x)=-f(x)，在图像上关于原点对称。

而偶函数则具有对称中心y轴，即f(-x)=f(x)，在图像上关于y轴对称。

3. 交替性：正弦与余弦函数在图像上呈现出交替变化的特点。

在一个周期内，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值为1，最小值为-1。

两个函数的图像像是上下振荡的波形。

4. 相关性：正弦与余弦函数是相互关联的。

在直角三角形中，三角函数的相互关系可以由勾股定理推导出来。

sin²x + cos²x = 1是三角函数基本关系式，也称为三角恒等式。

正弦与余弦的图像正弦与余弦函数的图像是学习三角函数的重要内容之一。

它们的图像形状、周期性、奇偶性等特点对于理解三角函数的性质至关重要。

正弦函数的图像是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、奇函数特点。

其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内呈现出从最小值-1到最大值1的振荡变化。

正弦函数的图像具有对称性，关于原点对称。

余弦函数的图像也是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、偶函数特点。

其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内同样呈现出从最大值1到最小值-1的振荡变化。

正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数． 3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca，∠A 的余弦cos ＝c b ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．AB BC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABACA =∠斜边的邻边． 实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角； (2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0． 在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47， cosB ＝cos ∠ACD ＝43． 例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝ABBCAB CD =． 正解：sin ＝BCBDAB BC AC CD ==． 说明：错解之一是所答线段比ABCD，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了． 例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21×6＝3． 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BD AB ＝4． ∵S △ABC ＝21BC ·AD ＝21AC ·BE ， ∴BC ·AD ＝AC ·BE ，即6×4＝5×BE ． ∴BE ＝524． 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BE AB ． ∴cos ＝257=AB AE ． 说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21． 说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键．例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75° B ．90° C ．105° D ．120° 剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0， ∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA sin cos cos •的值是( )A ．ca B ．acC ．baD ．ab 剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝c b ，sinB ＝c b ，cosB ＝c a ，化简得ca，所以选A ． 剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即B sin B cos A cos ⋅＝cosB ＝ca．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值． 解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1． ∴cos α＝31=AB AC ． 说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列各式中，正确的是( )A ．sin60°＝21B ．cos （90°－30°）＝sin60°C ．cos60°＝21 D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°·cos60°等于( )A ． 22B ．23C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( )A ．54B ．53C ．43D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213 C ．131D ．135 (5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21B ．1C ．215D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大两倍 B ．缩小到一半 C ．没有变化 D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( ) A ．21B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30° B ．30°＜α＜45° C ．45°＜α＜60° D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32C ．23D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( )A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦 (12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41 (13)下列等式中正确的是( )A ．sin20°＋sin40°＝sin60°B ．cos20°＋cos40°＝cos60°C ．sin （90°－40°）＝cos40°D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( )A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( )A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosAC ．sin （A ＋B ）＝cosD ．sinA ＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( ) A ．259B ．54C ．53D ．2516 (21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒•︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′；(6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°·cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)：(1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29；（2）b ＝9，c ＝85；（3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ·sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15° 23（10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23 (2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292; (2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859;(3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。

九年级数学正弦知识点归纳总结正弦函数是中学数学中重要的一部分内容，它在几何和三角的问题中起到了关键作用。

在九年级数学中，正弦函数是一个必须掌握的知识点。

本文将对九年级数学中的正弦知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握正弦函数。

一、正弦函数的定义正弦函数是用来描述角度和长度之间的关系的函数。

在一个直角三角形中，正弦函数可以定义为：sin(θ) = 对边/斜边其中，θ代表角度，对边表示与该角度相对的边的长度，斜边表示斜边的长度。

二、正弦函数的特点1. 值域和定义域：正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

即对任意实数θ，-1≤sin(θ)≤1。

2. 周期性：正弦函数是周期函数，其周期为2π（或360°）。

也就是说，对于任意实数θ，sin(θ+2π) = sin(θ)。

3. 对称性：正弦函数具有奇函数的性质，即sin(-θ) = -sin(θ)。

这意味着对于任意角度θ，其相应的正弦值与其相反数的正弦值相等，只是符号相反。

三、正弦函数的性质1. 单调性：正弦函数在一个周期内是单调增加或单调减少的。

在[0,π/2]区间内，正弦函数单调递增；在[π/2,π]区间内，正弦函数单调递减；在其他周期内也是如此。

2. 最值：正弦函数的最大值为1，在θ = π/2+kπ (k为整数)时取得；最小值为-1，在θ = -π/2+kπ (k为整数)时取得。

3. 零点：正弦函数的零点是指使得sin(θ) = 0的θ值。

即，当θ=kπ (k为整数)时，sin(θ) = 0。

四、正弦函数的图像正弦函数的图像是一条波浪线，其形状在一个周期内重复。

以y = sin(θ)为例，θ的取值范围为[0,2π]。

在[0,π/2]区间内，正弦函数从0逐渐增加到1；在[π/2,π]区间内，正弦函数从1逐渐减少到0；在[π,3π/2]区间内，正弦函数从0逐渐减少到-1；在[3π/2,2π]区间内，正弦函数从-1逐渐增加到0。

初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系正文：三角函数是数学中重要的概念之一，在初中数学学习中也占据着重要的位置。

而三角函数中，正弦函数和余弦函数的关系更是一项基础性的内容。

本文将对初中数学中三角函数的正弦与余弦关系进行归纳总结，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、正弦与余弦的定义及性质首先，我们需要明确正弦与余弦的定义。

在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，我们可以定义其正弦和余弦。

正弦函数sinθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的对边之比，即sinθ=对边/斜边。

余弦函数cosθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的邻边之比，即cosθ=邻边/斜边。

正弦与余弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

即在一个周期内，它们的值会重复出现。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像以坐标原点对称；余弦函数是偶函数，其图像以y轴对称。

3. 范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，余弦函数的值域也为[-1, 1]。

二、正弦与余弦的关系正弦与余弦函数之间有着紧密的关联，它们之间的关系可以通过三角恒等式来表示。

三角恒等式即指两个不同的三角函数之间的等式关系。

1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ该定理表明了三角形的三边与对应角的正弦值之间的关系。

2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγ该定理表明了三角形的三边与对应角的余弦值之间的关系。

正弦定理和余弦定理为我们理解和计算三角形的边长和角度提供了重要的数学工具。

三、应用举例下面我们通过几个具体的例子来应用正弦与余弦关系。

例1：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，BC=5cm，求AC 的长度。

初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。

它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。

本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。

1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。

简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。

这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。

【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。

从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。

2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。

其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。

正弦和余弦【基础知识精讲】1.基本概念Rt △ABC ，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA.把∠A 的邻边和斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA,即，sinA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠. 如图1，sinA=c a ,cosA=cb .注意：正弦、余弦是一种比值，当∠A 确定时，这个比值是不变的.2.取值范围由于直角三角形中斜边大于直角边，从而有：0＜c a ＜1，0＜cb ＜1，所以当∠A 为锐角时，0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1.3.特殊角的正、余弦的数值由直角三角形的有关性质及正、余弦定义，可以推出：sin30°=21,sin45°=22,sin60°=23;cos30°=23,cos45°=22,cos60°=21. 4.互余角的正、余弦函数之间的关系由图6-1知，sinA=c a ,cosB=ca ,从而可得：sinA=cosB.同理可证：cosA=sinB ，又A+B=90°，∴sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A 为锐角).5.在0°—90°之间正、余弦值的变化情况从正、余弦表中可以看出：当角度在0°—90°是变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的减小(或增大)而增大(或减小).【重点难点解析】本节的重点是理解正弦函数和余弦函数的概念，熟记特殊三角函数值.难点在于搞清sinA 、ocsA 的意义，它提示了直角三角形边角之间内在联系，是后面解直角三角的基础.例1 如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=4.(1)求sinA 、cosA 的值；(2)sin 2A+cos 2A 的值；(3)比较sinA 与cosB 的大小.解：(1)∵∠C=90°，AC=8，BC=4，∴AB=22BC AC +=2248+=45.∴sinA=551=AB BC ，cosA=552=AB AC . (2)sin 2A+cos 2A=cos2A=(551)2+(552)2=1. (3)∵cosB=551=AB BC ,sinA=551， ∴sinA=cosB(或由公式得出).点拨：熟练地依据正弦函数、余弦函数的概念求直角形中各锐角的正、余弦值是本节的基本技能；此题为求正、余弦值，必先求出斜边的长，再由定义得出，在问题(3)中我们以具体实例验证了公式sinA=cos(90°-A).例2 求下列各式的值(1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45°. (2)2sin45°+sin30°·cos60°.解：(1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45°=22232221⨯⨯⨯=641241+. (2)2sin45°+sin30°·cos60°=2×22+21×21=45. 点拨：熟记特殊角的正、余弦值有利于快速、准确的计算.例 3 已知sin35°=0.5736,sin67°18′=0.9225,求cos60°cos55°-2cos22°42′的值.解：∵cos55°=cos(90°-35°)=sin35°=0.5736，cos22°42′=sin67°18′=0.9225，∴cos60°cos55°-2cos22°42′ =21×0.5736-2×0.9225 =-1.5582.简析：运用公式sinA=cos(90°-A)解题，明确互余角之间三角函数关系. 例4 不查表，比较sin46°与cos46°的大小.解：∵46＞45 ∴sin46°＞sin45°,cos46°＜cos45°，又sin45°=22=cos45°，∴sin46°＞cos46°. 点拨：45°的正、余弦值相等以及0°—90°之间正、余弦值变化情况是解决本题的关键.例5 已知Rt △ABC 中∠C=90°，∠B=60°，a+b=6,求a 、b 、c.解：∵sinB=sin60°=23,∴b=23c.① ∵cosB=cos60°=21,∴a=21c.② 又知a+b=6，③由①②③知：a=33-3,b=9-33,c=63-6.点拨：此题由角B 的正、余弦的定义得出等式①②，再由已知③解方程解决问题.【课本难题解答】1.证明：sin 2A+cos 2A=1(A 为锐角).证明：在Rt △ABC 中(∠C=90°)，sinA=c a ,cosA=cb ， sin 2A+cos 2A=22222c c c b a =+=1. 点拨：用定义及勾股定理直接解题.2.已知sinA=54，求cosA 的值.(∠A 为锐角). 解：∵∠A 为锐角，∴cosA ＞0.又sin 2A+cos 2A=1，∴cosA=A sin 12-=53. 点拨：本题有两点值得注意，一是sinA 与cosA 之间的关系(即其平方和为1)，二是由等式sin 2A+cos 2A=1得出的是cosA=±A sin 12-,再由A 是锐角，cosA 大于0，得出正确结论.【典型热点考题】例1 计算：(2+1)0-|sin60°-1|-(213+)-1+(-1)3. 解：(2+1)0-|sin60°-1|-(213+)-1+(-1)3 =1-(1-23)-(3-1)+(-1) =-321. 点拨：简单运用sin60°的值进行计算.例 2 在斜边为10的Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a 、b 是方程x 2-mx+3m+6=0的两个根.(1)求m 的值；(2)求两个锐角的正弦值.解：依题意：a+b=m,ab=3m+6，∵a 2+b 2=102 ，∴m 2-2(3m+6)=102 .解这个方程得：m 1=-8,m 2=14.∵a+b ＞0,∴m=14.原方程为：x 2-14x+48=0.解之得：x 1=8,x 2=6.∴当a=6,b=8,c=10,sinA=53,sinB=54. 当a=8,b=6,c=10时，sinA=54,sinB=53. 点拨：(1)是用方程的有关知识解题，问题(2)是用定义解题，关键注意题中没有明确a 、b 的大小，从而需加以讨论说明.例 3 已知△ABC 的边AC=2，∠A=45°，cosA 、cosB 是方程4x 2-2(1+2)x+m=0的两根，求∠B 的度数.解：∵∠A=45°，∴sinA=22. 由根与系数的关系：cosA+cosB=21(1+2)， ∴cosB=21,∠B=60°. 点拨：此题将一元二次方程和三角函数结合在一起，要求我们具有综合运用知识的能力.【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)一、填空(6分×5=30分)(1)若sinB=21，则∠B= 度；sinA=23，则∠A=_____度. (2)当α为锐角时，2)1(sin -α= . (3)2)145(sin -︒+|1-cos60°|= .(4)已知2sin α-3=0，则α= .(5)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，则sinA= ，sinB= ,cosA= .二、选择题(6分×5=30分)(1)已知α为锐角，且sin α=m,则m 的取值范围是( )A.一切实数B.m ＞0C.0＜m ＜1D.m ＞1(2)已知cosA(A 为锐角)是方程3x 2-43x+3=0的实根，则cosA 等于( ) A.3 B.33 C. 3或33 D.m ＞1 (3)已知锐角∠AOB ，P 是OB 边上任一点，过P 作PQ ⊥OA 于Q ，设OQ=x ，QP=y,OP=r ，则比值yx x y r x r y ,,,的大小与点P 及∠AOB 的关系是( ) A.由P 点的位置决定，与∠AOB 的大小无关B.由∠AOB 的大小决定，与点P 位置无关C.由∠AOB 的大小和点P 位置决定D.与∠AOB 的大小和点P 位置无关(4)中△ABC 中，∠C=90°，sinA=53,则cosB=( ) A. 53 B.54 C.2516 D.259 (5)已知Q 为锐角，则下列等式中，可能成立的是( )①sinQ=3 ②sinQ+cosQ=0③cosQ=a11(a ＞0) ④sinQ-cosQ=0 A.①② B.②③ C.③④ D.①④三、解答题(8分×5=40分)(1)已知三角形三边长分别是5，12，13.①判断此三角形的形状；②求最小角的正弦和余弦值.(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a:b=4:5，求sinA 、cosA 的值.(3)计算2)170(cos +︒-22)60sin 60(cos ︒+︒+|sin20°-1|.(4)计算sin45°·cos45°-cos 245°+sin 230°.(5)已知sin75°=426+，求︒︒+︒30sin 15cos 75sin 的值.【素质优化训练】1.设cosQ+sin 2Q=1,Q 为锐角，下而的结论正确的是( )A.sinQ+sin 2Q ＞1B.sinQ+sin 2Q=1C.sinQ+sin 2Q ＜1D.sinQ+sin 2Q 与1的大小关系不能确定2.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，且sinA 和cosB 是方程4x 2+px+1=0的两根，(1)求证：p+4=0;(2)求∠A 和∠B 的度数.3.已知17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A 、B 都是锐角，求2A +B 的值.【生活实际运用】一般向正东方向航行，上午十时在灯塔的西南方58.4海里处，到上午十二时船到达灯塔的正南方，求船航行的速度.参考答案【同步达纲练习】一、(1)30°、60°(2)1-sin α (3)2-2122- (4)60°(5)515,515,510 二、C B B A C三、(1)Rt △，sinA=135，cosA=1312 (2)设a=4k ，则b=5k,∴c=41k,∴sinA=41414.cosA=41415. (3)1-3 (4)41(5)∵sin75°=cos15°,∴原式=26+.【素质优化训练】1．D2．∵A+B=90°,∴sinA=cosB,∴方程4x 2+px+1=0有两个实根，∴△=p 2-16=0，p=±4当p=4时，x=-21,此时sinA ＜0，舍去，当p=-4时，x=21，即sinA=cosB=21.∴∠A=30°∠B=60°，p+4=0.3．作△ABC 中，使AB=AC=13，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在△ABC 中，CD=17，sinA=13cosB,AD=17cosA,BD=13cosB,且17cosA+13cosB=AB=17,则在△ABC 中，∠A 、∠B 符合题目条件，又∠A+2∠B=180°，∴2A +B=90°. 【生活实际运用】AC=AB ·cos45°=58.4×22=29.22，∴速度V=2AC =14.62海里/时.。

人教版年级知识点解读初中数学中的三角函数数学是一门基础学科，也是一门能够帮助我们认识世界和解决问题的学科。

而在初中数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。

本文将对人教版初中数学教材中关于三角函数的知识点进行解读。

一、正弦、余弦和正切的基本概念在初中数学中，我们学习到了正弦、余弦和正切这三个基本的三角函数。

正弦函数、余弦函数和正切函数分别用sin、cos和tan表示。

正弦函数是一个周期函数，可以用于描述一个物体在垂直方向上的振动情况；余弦函数是一个周期函数，可以用于描述一个物体在水平方向上的运动情况；正切函数是一个周期函数，可以用于描述一个物体在斜面上的运动情况。

二、角度和弧度的转换在三角函数的学习中，我们经常会涉及到角度和弧度的转换。

角度是我们常见的衡量角度大小的方式，弧度则是一种相对较为抽象的衡量角度大小的方式。

在计算中，我们常将角度转化为弧度进行运算。

转换公式为：弧度 = 角度× π / 180。

同时，我们也可以将弧度转化为角度进行计算。

转换公式为：角度 = 弧度× 180 / π。

三、三角函数的性质和基本公式三角函数具有一些重要的性质和基本公式。

例如，正弦函数和余弦函数的值在同一周期内是相等的，即sinθ = cos(θ + π/2)；对于任意的角θ，有sin²θ + cos²θ = 1；正切函数和余切函数的值也在同一周期内是相等的，即tanθ = cot(θ + π/2)；对于任意的角θ，有1 + tan²θ = sec²θ。

这些性质和基本公式在解决三角函数相关问题时非常有用，我们需要熟练掌握，并能够灵活运用。

四、三角函数之间的关系在三角函数的学习中，我们还需要了解三角函数之间的关系。

在直角三角形中，正弦函数、余弦函数和正切函数可以相互关联。

例如，在一个直角三角形中，sinθ = 对边/斜边，cosθ = 临边/斜边，tanθ = 对边/临边。

第1节 正弦和余弦要点精讲（包括正切）1. 正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比，叫做∠A 的正弦。

（2）在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦。

（3）在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。

当锐角A 确定后，这些比值都是固定值。

2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°设BC ＝k ，则AB ＝2k记作，即∠的对边斜边sin sin A A A ac ==记作，即∠的邻边斜边cos cos A A A bc ==记作，即∠的对边∠的邻边tan tan A A A A ab ==αααα3045601222323222123313°°°sin cos tan 由勾股定理得AC k =3∴°sin 30212===BC AB k k cos303232°===AC AB k k用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。

3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系：∴sinA ＝cosB语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4. 同角的三角函数之间的关系：5. 0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律： 在0°～90°间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

6. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。

典型例题【例1】如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长． 【答案】 AB =31cos α【解析】所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．tan30333°===BC AC k k由定义知：，sin cos A a c B ac ==即°sin cos()A A =-90同理：°cos sin()A A =-90比如：°°sin cos 6030=cos sin 5238°°=sin cos 221A A +=tan sin cos tan tan()A A A A A ==-，°1900101<<<<sin cos A A ，在Rt △ADE 中，∵cos A =AE AD ，且∠A ＝α，AE ＝1，∴AD =cos AE A =1cos α， 在Rt △ADC 中，∵cos A =AD AC ，∴AC =cos AD A =1cos cos αα=21cos α， 在Rt △ABC 中，∵cos A =AC AB ，∴AB =cos AC A =1cos cos αα=31cos α.【例2】如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆ 【答案】过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形．∴ACADC =sin ∴C b C AC AD sin sin =⋅=又∵AD BC S ABC ⋅=∆21∴C ab S ABC sin 21=∆【解析】已知△ABC 中∠C 是锐角，故可以构造直角三角形，利用三角函数有三角形的面积公式．D CB A。

初三数学正弦和余弦人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：正弦和余弦二. 重点、难点：1. 正弦和余弦的概念。

2. 正弦、余弦之间的关系。

【典型例题】例1. 填空题。

（1）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，则sinA ＝_________，cosA ＝_________；sinB ＝_________，cosB ＝_________。

B3C 5 A （）如图，在△中，∠°，，，则，2A B C C 90BC ====sin A AB 4510cosB ＝_________。

AB C（3）如上题图，若AC ：BC ＝1：2，则sinB ＝_________。

（）是锐角，且，则度。

432∠=∠=B B B cos （5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。

（6）比较下列各组值的大小。

①sin15°_________ sin20°；②cos40°_________ cos50°；③cos32°_________ sin58°；④sin10°_________ cos10°。

（7）sin 210°＋cos 210°＝_________，sin 220°＋sin 270°＝_________。

（）∠为锐角，若，则。

843A sin cos sin cos A A A A +=⋅= （）是锐角，且，则。

9513∠==A A A sin cos （）化简：。

10121010-︒︒=sin cos 解：（1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。

在△中，∠＝°，则的对边斜边，的邻边斜边。

ABC C 90sinA =∠=∠A A A cos 因此运用勾股定理求出斜边AB 是此题的关键。

九年级数学锐角三角函数 正弦和余弦知识精讲 人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：锐角三角函数（一）正弦和余弦二. 重点、难点：1. 重点：正、余弦的概念，特殊角的正余弦值。

2. 难点：一个锐角的正弦与其余角余弦的互化关系。

三. 具体内容：1. 正弦和余弦的概念：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，设BC=a ，AC=b ，AB=c∠A 的正弦：ca AB BC A A ===斜边的对边角sin ∠A 的余弦：c b AB AC A A ===斜边的邻边角cos2. 互为余角的正弦、余弦的关系若∠A+∠B=90°，则B A B A sin cos ,cos sin ==3. 特殊角的正弦和余弦值α30° 45° 60° αsin21 22 23 αcos 23 22 21 4. 正弦和余弦值的取值X 围（︒<<︒900）1cos 0,1sin 0<<<<αα5. 正弦和余弦值的变化规律（︒<<︒900α）α增大，αsin 值也增大，αcos 值减小 α减小，αsin 值也减小，αcos 值反而增大6. 正弦与余弦比较大小（︒<<︒900α）当︒<<︒450α时，ααcos sin <当︒=45α时，ααcos sin =当︒<<︒9045α时，ααcos sin >7. 同角正弦与余弦的一个重要关系1cos sin 22=+αα证明：根据正弦、余弦在直角三角形内的意义左1222222222==+=+=cc c b a c b c a =右其中222c b a =+为勾股定理【典型例题】[例1] 求下列各式的值。

（1）︒+︒+︒-︒30cos 45sin 145cos 60sin 1 （2）︒-︒-30cos 30sin 222（3）︒-︒⋅︒-︒⋅︒45cos 2)30cos 60sin 45sin 60(cos 4（4）)60sin 45(cos 30sin 60cos 2330cos 45sin ︒-︒︒-︒-︒+︒ 解：（1）原式2322122231++-= )23(2)23(2322232-++=++-=34= （2）原式112)30cos 30(sin 222=-=︒+︒-= （3）原式32322)4342(4222)23232221(4-=--=--=⋅-⋅-⋅⋅= （4）原式23432432)2322(2121232322=--+=--⨯-+=[例2] 求适合下列条件的角（︒<<︒900α）（1）0sin 21=-α（2）0cos 3cos 22=-αα（3）已知：0)3sin 2(1cos 222=-+-βα，βα,为锐角，求βα, 解：（1）由已知22sin =α∵α为锐角 ∴︒=45α （2）由已知︒<<︒900α∴1cos 0<<α ∴03cos 2=-α∴23cos =α∴︒=30α （3）由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03sin 201cos 22βα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23sin 22cos βα（α、β为锐角） ∴⎩⎨⎧︒=︒=6045βα[例3] 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB=8，CD ⊥AB 于D ，AD=3，求sinA ，cosA ，sinB ，cosB 的值。