江苏省无锡市锡山区天一实验学校2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(含答案)

江苏省无锡市锡山区天一中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将ABC 折叠，使点C 与点B 重合，折痕l 与边BC 交于点D ，连接AD ，则AD 是ABC 的（）A ．角平分线B ．高线C ．中线D ．无法确定3．若等腰三角形有一个内角为110︒，则这个等腰三角形的底角是（）A ．70︒B ．45︒C ．35︒D ．50︒4．如图，点F ，B ，E ，C 在同一条直线上，ABC DEF ≌△△，若34A ∠=︒，36F ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB AD =，BC DC =，将仪器上的点A 与PRQ ∠的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A 、C 画一条射线AE ，AE 就是PRQ ∠的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD 的面积是()A ．36B ．24C ．12D ．107．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边中垂线的交点8．下列说法：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的说法有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知：如图ABC 中，=60B ∠︒，80C ∠=︒，在直线BA 上找一点D ，使ACD 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个10．如图，直线MN PQ ⊥，垂足为O ，点A 是射线OP 上一点，2OA =，以OA 为边在OP 右侧作23AOF ∠=︒，且满足4OF =，若点B 是射线ON 上的一个动点（不与点O 重合），连接AB ，作AOB 的两个外角平分线交于点C ，在点B 在运动过程中，当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为（）A ．90︒B ．67︒C ．23︒D ．68︒二、填空题13．如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，还需添加一个条件，这个条件可以是14．如图，在Rt ABC △中，BAC ∠=的平分线分别交DE 于点E 、D ．若15．如图，已知线段20m AB =，射线点向A 运动，每秒走1m ，Q 点从B 点向出发秒后，在线段MA 上有一点17．如图，在四边形ABCD 中，若2CD AB =，四边形ABCD 的周长为18．如图，在ABC 中，AB AC ==点M N 、分别是边AD 和AB 上的动点，连接为．三、解答题19．已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，BE DF =，AF CE =，AF CE ∥.求证：ABF CDE ≌△△.20．已知在ABC 中，20AB =，8BC =，22AC m =-．(1)求m 的取值范围；(2)若ABC 是等腰三角形，求ABC 的周长．21．利用网格线作图．(1)如图1，ABC 为格点三角形，在BC 上找一点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等，然后在射线AP 上找一点Q ，使QB QC =．(2)如图2，四边形ABCD 为格点四边形，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．22．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，D E 、分别在AC AB ，上，且AD AE =，BD 和CE 相交于点O ．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．23．如图，已知 ABC ．(1)用直尺和圆规按下列要求作图：①作 ABC 的角平分线AD ；②作∠CBE ＝∠ADC ，BE 交CA 的延长线于点E ；③作AF ⊥BE ，垂足为F ．(2)直接判断图中EF 与BF 的数量关系．24．如图，在ABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，BD 垂直平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ．连接DE ．(1)若ABC 的周长为19，DEC 的周长为7，求AB 的长．(2)若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，求∠CDE 的度数．25．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．【感悟】（1）如图1，AD 是ABC 的高线，2C B ∠=∠，若2CD =，5AC =，求BC 的长．小明同学的解法是：将ABC 沿AD 折叠，则点C 刚好落在BC 边上的点E 处．……请你画出图形并直接写出答案：BC =___________．【探究】（2）如图2，2ACB B ∠=∠，AD 为ABC 的外角CAF ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，则线段AB AC CD 、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【拓展】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，8AD =，10DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②若2D B ∠=∠，则AB 的长为___________．26．已知等腰直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D E 、分别在边BC 、边AC 上，连接DE ，以D 为直角顶点在DE 右侧作等腰直角DEF 中，连接FC ．(1)如图1，点D 与点B 重合时，猜想AE 和FC 的关系，并说明理由；(2)如图2，BD CD =时，点M N 、分别为EF 和AC 的中点，①探究AE FC 、和AC 三条线段之间的数量关系并证明；②若10BC =，直接写出MN 的最小值．。

2022-2023学年无锡市锡山区天一实验学校初二数学第一学期期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2x 的取值范围是( ) A ．0xB ．0x <C ．2xD ．2x3．将23700精确到千位并用科学记数法表示为( ) A ．42.3710⨯B ．42.410⨯C ．323.710⨯D ．32410⨯4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )A ．3，4，5B 3，4C ．6，8，10D ．135．如图，已知AB CD =，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定ABC CDA ∆≅∆的是( )A ．BC AD =B ．90B D ∠=∠=︒C ．BAC DCA ∠=∠D ．ACB CAD ∠=∠6．等腰三角形的一个外角是80︒，则它的底角的度数为( ) A ．100︒B ．100︒或40︒C ．50︒D ．40︒7．如图，ABC ADE ∆≅∆，70DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠度数是( )A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒8．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，则DCE ∆的面积为( )A ．52B ．32C ．2D ．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若3AC =，5AB =，则CE 的长为( )A ．32B ．43 C ．53D ．8510．如图，菱形ABCD 的边长为4，60A ∠=︒，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60︒得到EG ，连接BG 、CG ，则BG CG +的最小值为( )A ．B ．C ．D ．2+二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 11．16的算术平方根是 ．12．已知2(2)0x ++=，则x y 的值是为 ．13．若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则另两边的长分别为 ．14．如图，ABC ∆中，D 是BC 上一点，若AC AD DB ==，且50C ∠=︒，则BAC ∠= ．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，6BC =，DEF ∆的周长是8，AF BC ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，且点D 是AB 的中点，则AF = ．16．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PCD ∠-∠= ︒．（点A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点）17．如图，在ABC ∆中，AB BC =，80ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点O ，点M 、N 分别在AB 、AC 上，点A 沿MN 折叠后与点O 重合，则ONC ∠= ︒．18．如图，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，12AC =，9AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP ∆沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是 ．三、解答题（本大题共9小题，共84分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．计算：（111|2()5-+；（2）2021)-． 20．求下列各式中x 的值： （1）24(1)64x +=；（2）3(2)80x --=．21．（1）已知51a -的算术平方根是2，9b -的立方根是2，求a 、b 的值； （2）已知一个正数x 的两个平方根分别是2a -+和21a -，求x 的值．22．如图所示，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点． （1）求证：ACE BCD ∆≅∆；（2）若5AD =，12BD =，求DE 的长．23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为AB 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，画出ABD ∆的中线AF ；（2）在图2中，若BA BD =，画出ABD ∆的AD 边上的高BH ．24．如图，ABC ∆的外角DAC ∠的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．（1）试探究线段BD 与线段CE 的数量关系，并给出理由； （2）若6AB =，10AC =，求AD 的长度．25．在ABC ∆中，AB 、BC 、AC 答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC ∆（即ABC ∆三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC ∆的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）ABC ∆的面积为 ．（2）若D E F∆的三边DE 、EF 、DF 请在图2的正方形网格中画出相应的DEF ∆，并求出DEF ∆的面积为 ．（3）在ABC ∆中，AB 3AC =，1BC =，以AB 为边向ABC ∆外作(ABD D ∆与C 在AB 异侧），使ABD ∆为等腰直角三角形，则线段CD 的长为 ．26．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，8BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ．连结AP ．（1）当2t =秒时，求AP 的长度； （2）当ABP ∆为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？27．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是 （只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 为BC 的中点，90APD ∠=︒．取AD 中点Q ，连接PQ．求证：PQ是APD∆的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取AP，DP的中点M，N，如图2．请在BC上找点E，F，使EM为APE∆的“周长平分线”，FN为DPF∆的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点E，F的位置（保留画图痕迹）；②若AB=CD=EF的长．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．解：A ，B ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C ． 2．解：依题意得20x -， 2x ∴．故选：D ．3．解：4423700 2.3710 2.410=⨯≈⨯．故选：B ．4．解：A ．因为222345+=，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意； B．因为22234+=，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C ．因为2226810+=，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意；D．因为22213+≠，所以不能作为直角三角形三边长度，符合题意．故选：D ．5．解：A 、在ABC ∆和CDA ∆中， AC CA AB CD BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SSS ∴∆≅∆，正确，故本选项不符合题意；B 、90B D ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆和Rt CDA ∆中， AC CAAB CD =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt CDA(HL)∴∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； C 、在ABC ∆和CDA ∆中，AB CD BAC DCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SAS ∴∆≅∆，正确，故本选项不符合题意；D 、根据AB CD =，AC CA =，ACB CAD ∠=∠不能推出ABC CDA ∆≅∆，错误，故本选项符合题意；故选：D ．6．解：等腰三角形的一个外角为80︒， ∴相邻角为18080100︒-︒=︒，三角形的底角不能为钝角， 100∴︒角为顶角，∴底角为：(180100)240︒-︒÷=︒．故选：D ．7．解：ABC ADE ∆≅∆， B D ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，又BAD BAC CAD ∠=∠-∠，CAE DAE CAD ∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠，70DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，11()(10070)1522BAD BAE DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，在ABG ∆和FDG ∆中，B D ∠=∠，AGB FGD ∠=∠， 15DFB BAD ∴∠=∠=︒．故选：A ．8．解：四边形ABCD 是矩形， 2CD AB ∴==，4AD BC ==， EO 是AC 的垂直平分线， AE CE ∴=，设CE x =，则4ED AD AE x =-=-， 在Rt CDE ∆中，222CE CD ED =+，即2222(4)x x =+-， 解得：52x =， 即CE 的长为52， 53422DE =-=， 所以DCE ∆的面积1332222=⨯⨯=，故选：B ． 9．方法一：解：过点F 作FG AB ⊥于点G ， 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 90CDA ∴∠=︒，90CAF CFA ∴∠+∠=︒，90FAD AED ∠+∠=︒，AF 平分CAB ∠， CAF FAD ∴∠=∠， CFA AED CEF ∴∠=∠=∠， CE CF ∴=，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∠=∠=︒， FC FG ∴=，B B ∠=∠，90FGB ACB ∠=∠=︒， BFG BAC ∴∆∆∽，∴BF FGAB AC=， 3AC =，5AB =，90ACB ∠=︒，4BC ∴=，∴453FC FG-=， FC FG =，∴453FC FC-=， 解得：32FC =， 即CE 的长为32．故选：A ． 方法二：过点F 作FG AB ⊥于点G ， 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 90CDA ∴∠=︒，90CAF CFA ∴∠+∠=︒，90FAD AED ∠+∠=︒，AF 平分CAB ∠， CAF FAD ∴∠=∠， CFA AED CEF ∴∠=∠=∠， CE CF ∴=，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∠=∠=︒， FC FG ∴=，3AC =，5AB =，90ACB ∠=︒， 4BC ∴=，在Rt AFC ∆和Rt AFG ∆中， AF AFFC FG =⎧⎨=⎩， Rt AFC Rt AFG(HL)∴∆≅∆， 3AC AG ∴==，∴设FG x =，则4BF x =-，532BG AB AG =-=-=，222FG BG BF ∴+=，则2222(4)x x +=-， 解得：32x =， 即CE 的长为32． 故选：A ．10．解：如图，取AB 的中点N ．连接EN ，EC ，GN ，作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．四边形ABCD 是菱形 AD AB ∴=， 60A ∠=︒，ADB ∴∆是等边三角形， AD BD ∴=，AE ED =，AN NB =， AE AN ∴=， 60A ∠=︒，AEN ∴∆是等边三角形， 60AEN FEG ∴∠=∠=︒， AEF NEG ∴∠=∠， EA EN =，EF EG =，()AEF NEG SAS ∴∆≅∆， 60ENG A ∴∠=∠=︒， 60ANE ∠=︒，180606060GNB ∴∠=︒-︒-︒=︒， ∴点G 的运动轨迹是射线NG ，易知B ，E 关于射线NG 对称， GB GE ∴=，GB GC GE GC EC ∴+=+，在Rt DEH ∆中，90H ∠=︒，2DE =，60EDH ∠=︒，112DH DE ∴==，EH在Rt ECH ∆中，EC27GB GC ∴+，GB GC ∴+的最小值为故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 11．解：2(4)16±=， 16∴的算术平方根为4，故答案为：4．12．解：由题意得，20x +=，30y -=， 解得2x =-，3y =， 所以，2139x y -==． 故答案为：19．13．解：等腰三角形的周长为12，∴当2为腰时，它的底长12228=--=，2248+=<，不能构成等腰三角形；当2为底时，它的腰长(122)25=-÷=，355+>能构成等腰三角形， 即它的另外两边长分别为5和5． 故答案为：5和5． 14．解：AC AD =，50C ∠=︒，50ADC C ∴∠=∠=︒，AD DB =， B BAD ∴∠=∠， ∴1252B ADC ∠=∠=︒． 1805025105BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：105︒． 15．解：AB AC =，AF BC ⊥，AF ∴是ABC ∆的中线，132CF BF BC ===，D是AB的中点，AF BC⊥，∴12DF AB=，设2AB AC x==，DF x∴=，BE AC⊥，点D是AB的中点，点F是BC的中点，∴12DE AB x==，132EF BC==，DEF∆的周长为8，38x x∴++=，2.5x∴=，5AB AC∴==，由勾股定理可知：4AF，故答案为：4．16．解：连接AE，PE，则EAB PCD∠=∠，故PAB PCD PAB EAB PAE∠-∠=∠-∠=∠，设正方形网格的边长为a，则PA=，PE，AE==，2222225510PA PE a a a AE+=+==，APE∴∆是直角三角形，90APE∠=︒，又PA PE=，45PAE PEA∴∠=∠=︒，45PAB PCD∴∠-∠=︒，故答案为：45．17．解：连接OA、OC，如图：80ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线与BC 的垂直平分线交于点O ， 40OBC OCB ∴∠=∠=︒， AB BC =，80ABC ∠=︒， 50BAC ACB ∴∠=∠=︒， 10ACO ACB OCB ∴∠=∠-∠=︒， AB BC =，OB 平分ABC ∠， OB ∴垂直平分AC ， AO CO ∴=，10OAC ACO ∴∠=∠=︒，点A 沿MN 折叠后与点O 重合， AO CO ∴=，10OAN AON ∴∠=∠=︒， 20ONC OAN AON ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：20．18．解：当P 点在E 点左边时，如图1，由折叠性质得PC PH =，DC DH =， 90BAC ∠=︒，12AC =，9AB =， 15BC ∴=，13CD BC =，13CE AC =，5CD∴=，4CE=，DE AC⊥，3DE∴=，5DH CD∴==，8EH ED DH∴=+=，设PC x=，则PH x=，4PE x=-，222PH PE EH-=，22(4)64x x∴--=，解得，10x=，即10CP=；当P点在E点右边时，如图2，由折叠知，5DH DC==，532EH DH DE∴=-=-=，设PC x=，则4PE CE PC x=-=-，PH x=，222PH PE EH-=，22(4)4x x∴--=，解得，52x=，即52 PC=；综上，10PC=或52．故答案为：10或52．三、解答题（本大题共9小题，共84分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．解：（1）原式3(25=-+325=-6=；（2）原式1331344=--=-． 20．解：（1）原方程整理得：2(1)16x +=， 则14x +=±， 解得：3x =或5x =-；（2）原方程整理得：3(2)8x -=， 则22x -=， 解得：4x =．21．解：（1）51a -的算术平方根是2，9b -的立方根是2， 514a ∴-=，98b -=，解得：1a =，17b =；（2）由题意可得2210a a -++-=， 解得：1a =-， 则2123a -+=+=， 那么9x =．22．（1）证明：ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形， AC BC ∴=，EC DC =．ACE DCE DCA ∠=∠-∠，BCD ACB DCA ∠=∠-∠， 90ACB ECD ∠=∠=︒， ACE BCD ∴∠=∠．在ACE ∆和BCD ∆中AC BCACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆．（2）解：又45BAC ∠=︒ 90EAD EAC BAC ∴∠=∠+∠=︒，即EAD ∆是直角三角形13DE ∴=．23．解：（1）如图1所示，AF 即为所求．（证明BEF DCF ∆≅∆，推出BF DF =，可得AF 是中线）（2）如图2所示，BH 即为所求．（利用等腰三角形的三线合一的性质，BA BD =，BH 是中线，推出BH 也是高）24．解：（1）BD CE =，理由如下： 连接PB ，PC ，如图：PQ 是BC 的垂直平分线， PB PC ∴=，AP 平分DAC ∠，PD AB ⊥，PE AC ⊥， 90BDP CEP ∴∠=∠=︒，PD PE =，Rt BPD Rt CPE(HL)∴∆≅∆， BD CE ∴=；（2）AP 平分DAC ∠，PD AB ⊥，PE AC ⊥，90PDA PEA ∴∠=∠=︒，PD PE =，AP AP =，Rt APD Rt APE(HL)∴∆≅∆，AD AE ∴=，设AD AE x ==， 6AB =，10AC =，6BD AB AD x ∴=+=+，10CE AC AE x =-=-，由（1）知，BD CE =， 610x x ∴+=-，解得2x =， AD ∴的长度为2．25．解：（1）如图1，ABC ∆的面积21113322131222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯931 1.5 3.5=---=，故答案为3.5． （2）如图2，DEF ∆的面积11134412232222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯122235=---=．故答案为5． （3）如图3、4、5，分别求出CD的长度如下：5CD =或CD =或CD =故答案为：5或 26．解：（1）根据题意得：2BP t =， 则82PC t =-，当2t =秒时，8224PC =-⨯=，8AC =，在Rt APC ∆中，根据勾股定理得：AP =即当2t =秒时，AP 的长为（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC BC ==，根据勾股定理得：AB == 如图1，分三种情况：①PA PB =时，由勾股定理得：222PA PC AC =+， 即222(2)(82)8t t =-+， 解得：4t =； ②BP BA =时，则2t =解得：t = ③AP AB =时， 则216BP BC ==， 即216t =， 解得：8t =；综上所述，当ABP ∆为等腰三角形时，t 的值为4秒或8秒； （3）①如图2，点P 在线段BC 上时，连接PD ，DE AP ⊥，90AED PED ∴∠=∠=︒， 90PED PCD ∴∠=∠=︒，在Rt PDE ∆和Rt PDC ∆中， PD PDDE DC=⎧⎨=⎩， Rt PDE Rt PDC(HL)∴∆≅∆， 82PE PC t ∴==-， 835AD AC CD =-=-=，4AE ∴=，482122AP AE PE t t ∴=+=+-=-，在Rt APC ∆中，由勾股定理得：2228(82)(122)t t +-=-， 解得：1t =；②如图3，点P 在线段BC 的延长线上时，同①得：Rt PDE Rt PDC(HL)∆≅∆，3ED CD ∴==，28PE PC t ==-，835AD AC CD ∴=-=-=，4AE ∴=，42824AP AE PE t t ∴=+=+-=-，在Rt APC ∆中，由勾股定理得：2228(28)(24)t t +-=-，解得：7t =；综上所述，在点P 的运动过程中，当t 的值为1秒或7秒时，能使DE CD =．27．（1）解：一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是底边上的中线， 故答案为：②；（2）证明：如图1，延长BA ，CD 交于点H ，连接HP ，45B C ∠=∠=︒，90BHC ∴∠=︒，BH CH =， P 为BC 的中点，BP PC HP ∴==，45B PHC C ∠=∠=∠=︒，90BPH ∠=︒，BPH APD ∴∠=∠，BPA HPD ∴∠=∠，()BPA HPD ASA ∴∆≅∆，AP PD ∴=，点Q 是AD 的中点，AQ DQ ∴=，AQ AP PD DQ ∴+=+，PQ ∴是APD ∆的“周长平分线”； （3）①如图2，连接QM 并延长交BC 于点E ，连接QN 并延长交BC 于点F ，则点E ，点F 为所求，②如图2，过点A 作AH BC ⊥于H ，过点D 作DG BC ⊥于G ，连接AE ，DF ，45B C ∠=∠=︒，45BAH B ∴∠=∠=︒，45C CDG ∠=∠=︒， AH BH ∴=，DG CG =，2AB =CD =1AH BH ∴==，2DG CG ==， 90APD ∠=︒，90APH DPG APH PAH ∴∠+∠=︒=∠+∠， PAH DPG ∴∠=∠，又AP DP =，90AHP DGP ∠=∠=︒， ()APH PDG AAS ∴∆≅∆，1AH PG ∴==，2PH DG ==，AP PQ =，90APD ∠=︒，点Q 是AD 的中点， AQ PQ QD ∴==，PQ AD ⊥， 点M ，点N 分别是AP ，DP 的中点， QE ∴是AP 的中垂线，QF 是DP 的中垂线， AE PE ∴=，DF PF =， 222AE AH HE =+， 221(2)PE PE ∴=+-， 54PE ∴=， 同理可求52PF =，154EF PE PF ∴=+=．。

2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列说法正确的是()A.面积相等的两个图形是全等图形B.全等三角形的周长相等C.所有正方形都是全等图形D.全等三角形的边相等3.等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（）A .16B.20C.12D.16或204.和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点5.如图是由相同的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 均在格点上，连接AB AC ，．则12∠+∠的度数为（）A .80︒B.90︒C.100︒D.120︒6.如图OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于C ，D 在OB 上，3PC =，则PD 的大小关系是（）A.3PD ≥B.3PD =C.3PD ≤ D.不能确定7.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ，下列结论中不一定成立的是（）A.PA PB= B.PO 平分APB ∠ C.=OA OB D.AB 垂直平分OP 8.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠等于（）A.65︒B.130︒C.120︒D.115︒9.如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A .4cmB.3cmC.2cmD.1cm10.已知如图，等腰ABC ∆，AB AC =，120BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D .点P 是延长线上一点，点O 是线段上一点，OP OC =下面的结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形④.AB AO AP =+其中正确的是（）A.①③④B.①②③C.①③D.①②③④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一个三角形的三边为3、5、x ，另一个三角形的三边为y 、3、6，若这两个三角形全等，则x y -=__________．12.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，5CD =，则AB =______．13.给图中的1个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，共有______种涂法．14.如图，已知△ABC 是等边三角形，AD 是中线，E 在AC 上，AE =AD ，则∠EDC =______．15.如图，AE AB ⊥，且AE AB =，BC CD ⊥，且BC CD =，请按照图中所标注的数据计算FH 的长为___________．16.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝110°，若MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，则∠PAQ ＝_________17.如图，在ABC 中，B ∠与C ∠的平分线交于点O ．过O 点作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于D 、E ，若5AB =，4AC =，则ADE V 的周长是______．18.如图，已知：BAC ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DG 相交于点D ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别为E F 、，6,3AB AC ==，则BE =_____________．三、解答题（本大题共9小题，共76.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.（1）如图，在正方形网格上有一个ABC ．作ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，则ABC 的面积=；（3）在直线MN 找一点P ，使PA PC +最短．20.图，校园有两条路OA 和OB ，在交叉口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P （保留作图痕迹）．21.如图，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ．求证：AB ∥DE.22.如图，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，7ABC S = ，2DE =，4AB =，求AC 长．23.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为ABC 的角平分线．以点A 圆心，AD 长为半径画弧，与AB AC ，分别交于点E ，F ，连接DE DF ，．（1）求证：ADE ADF V V ≌；（2）若43AE BD ==，求ABC 的面积．24.如图，在ABC 中，AC AE BC BD ==，，（1）若2040A B ∠=︒∠=︒，，则DCE ∠=．（2）若110ACB ∠=︒，求DCE ∠的度数．25.已知，如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，M ，N 分别是AC BD ，的中点．求证：（1）BM DM =；（2）MN BD ⊥．26.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝90°，回答下列问题：（1）求证：△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．（2）“取BD 的中点P ，连接OP ，试说明AC ＝2OP ．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE ≌△DPO ，并证明BE ＝OD ；②求证：AC ＝2OP ．27.初步探究：如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且EF BE FD =+．探究图中BAE ∠、FAD ∠、EAF ∠之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论是．灵活运用：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC 、CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立，并说明理由．拓展延伸：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线对折，如果直线两边能够完全重合，那这个图形就是轴对称图形，掌握概念即可解题．【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意．B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意．C、是轴对称图形，故选项C符合题意．D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意．故选：C．2.下列说法正确的是()A.面积相等的两个图形是全等图形B.全等三角形的周长相等C.所有正方形都是全等图形D.全等三角形的边相等【答案】B【解析】【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析．【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，故本选项错误；B.全等三角形的周长相等，故本选项正确；C.所有正方形不一定都是全等图形，故本选项错误；D.全等三角形的对应边边相等，故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查全等形的概念、性质，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用．3.等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（）A.16B.20C.12D.16或20【答案】B 【解析】【分析】根据等腰三角形的定义可分类讨论①当边长为4的边为三角形的腰时；②当边长为8的边为三角形的腰时，结合三角形三边关系确定符合题意的情况，即可求出其周长．【详解】解：由题意可分类讨论：①当边长为4的边为三角形的腰时，即三角形的三条边分别为4、4、8，∵448+=，不符合三角形三边关系，∴该情况不合题意；②当边长为8的边为三角形的腰时，即三角形的三条边分别为4、8、8，∵此时三边符合三角形三边关系，∴此时该三角形周长为48820++=．故选：B ．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．4.和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点【答案】D 【解析】【分析】由题意直接根据垂直平分线的性质，进行分析即可得出答案．本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．【详解】解：根据线段垂直平分线的性质可得：和三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选：D ．5.如图是由相同的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 均在格点上，连接AB AC ，．则12∠+∠的度数为（）A.80︒B.90︒C.100︒D.120︒【答案】B 【解析】【分析】如图，证明()SAS AEB CDA ≌△△，即得出2CAD ∠=∠，从而由190CAD ∠+∠=︒，可求出1290∠+∠=︒．【详解】解：如图，∵2AE CD ==，1BE AD ==，90AEB ADC ∠=∠=︒，∴()SAS AEB CDA ≌△△，∴2CAD ∠=∠．∵190CAD ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒．故选B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．6.如图OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于C ，D 在OB 上，3PC =，则PD 的大小关系是（）A.3PD ≥ B.3PD = C.3PD ≤ D.不能确定【答案】A【解析】【分析】过点P 作PE OB ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE PC =，再根据垂线段最短解答．【详解】解：如图，过点P 作PE OB ⊥于E ，∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥，∴3PE PC ==，∵D 在OB 上，∴PD PE ≥，∴3PD ≥．故选：A ．【点睛】此题考查的是角平分线的性质和垂线段最短的应用，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和垂线段最短是解题关键．7.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ，下列结论中不一定成立的是（）A.PA PB= B.PO 平分APB ∠ C.=OA OB D.AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．【详解】解：对A 、B 、C 选项，∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴PA PB =，∵在Rt PAO ∆和Rt PBO ∆中==PA PB OP OP ⎧⎨⎩，∴Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，∴APO BPO ∠=∠，=OA OB ，∴PO 平分APB ∠，故A 、B 、C 正确，不符合题意；D ．∵PA PB =，=OA OB ，∴OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故D 错误，符合题意．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，是解题的关键．8.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠等于（）A.65︒B.130︒C.120︒D.115︒【答案】D【解析】【分析】利用折叠的性质求出BFE ∠，再根据平行线的性质求出结果．【详解】解：由折叠可得：()11801652BFE GFE ∠=∠=︒-∠=︒，∵长方形ABCD 中，AD BC ∥，∴180115AEF BFE ∠=︒-=︒∠，故选D ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．9.如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm【答案】C【解析】【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出BMA △与CNA V 是等腰三角形，再证明AMN 为等边三角形即可．【详解】解：连接AM AN ，．∵AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，∴BM AM CN AN ==，，∴MAB B CAN C ∠=∠∠=∠，．∵AB AC =，120A ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒，∴6060BAM CAN AMN ANM ∠+∠=︒∠=∠=︒，，∴AMN 是等边三角形，∴AM AN MN ==，∴BM MN NC ==．∵6cm BC =，∴2cm MN =．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．10.已知如图，等腰ABC ∆，AB AC =，120BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D .点P 是延长线上一点，点O 是线段上一点，OP OC =下面的结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形④.AB AO AP =+其中正确的是（）A.①③④B.①②③C.①③D.①②③④【答案】A【解析】【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，则∠APO ＋∠DCO ＝∠ABO ＋∠DBO ＝∠ABD ，据此即可求解；②因为点O 是线段AD 上一点，所以BO 不一定是∠ABD 的角平分线，可作判断；③证明∠POC ＝60°且OP ＝OC ，即可证得△OPC 是等边三角形；④首先证明△OPA ≌△CPE ，则AO ＝CE ，AB ＝AC ＝AE ＋CE ＝AO ＋AP ．【详解】解：①如图，连接OB ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝12∠BAC ＝12×120°＝60°，∴OB ＝OC ，∠ABC ＝90°−∠BAD ＝30°∵OP ＝OC ，∴OB ＝OC ＝OP ，∴∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，∴∠APO ＋∠DCO ＝∠ABO ＋∠DBO ＝∠ABD ＝30°；故①正确；②由①知：∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，∵点O 是线段AD 上一点，∴∠ABO 与∠DBO 不一定相等，则∠APO 与∠DCO 不一定相等，故②不正确；③∵∠APC ＋∠DCP ＋∠PBC ＝180°，∴∠APC ＋∠DCP ＝150°，∵∠APO ＋∠DCO ＝30°，∴∠OPC ＋∠OCP ＝120°，∴∠POC ＝180°−（∠OPC ＋∠OCP ）＝60°，∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形；故③正确；④如图，在AC 上截取AE ＝PA，连接PB ，∵∠PAE ＝180°−∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝PA ，∴∠APO ＋∠OPE ＝60°，∵∠OPE ＋∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AB ＝AC ＝AE ＋CE ＝AO ＋AP ；故④正确；本题正确的结论有：①③④，故选A.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一个三角形的三边为3、5、x ，另一个三角形的三边为y 、3、6，若这两个三角形全等，则x y -=__________．【答案】1【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x 、y ，计算即可．【详解】解：∵两个三角形全等，∴x=6，y=5，∴x-y=6-5=1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．12.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，5CD =，则AB =______．【答案】10【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题．【详解】解： 在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，∴线段CD 是斜边AB 上的中线；又5CD = ，210AB CD ∴==．故答案为：10．13.给图中的1个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，共有______种涂法．【答案】3【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：如图，在数字所在方格涂上颜色，涂色部分是轴对称图形，共有3种涂法，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的含义，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案．14.如图，已知△ABC 是等边三角形，AD 是中线，E 在AC 上，AE =AD ，则∠EDC =______．【答案】15°【解析】【分析】由AD 是等边△ABC 的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD ⊥BC ，∠CAD =30°，又由AD =AE ，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵AD 是等边△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC =12×60°=30°，∴∠ADC =90°，∵AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =12（180°-∠CAD ）=75°，∴∠EDC =∠ADC -∠ADE =90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15.如图，AE AB ⊥，且AE AB =，BC CD ⊥，且BC CD =，请按照图中所标注的数据计算FH 的长为___________．【答案】16【解析】【分析】证明EFA AGB ≌和BGC CHD ≌，利用全等三角形的对应边相等求解即可．【详解】解：由图知，90EFA BGA BGC DHC ∠=∠=∠=∠=︒，∴90FEA EAF ∠+∠=︒，90GBC BCG ∠+∠=︒，∵AE AB ⊥，BC CD ⊥，∴90GAB EAF ∠+∠=︒，90HCD BCG ∠+∠=︒，∴FEA GAB ∠=∠，GBC HCD ∠=∠，又AE AB =，BC CD =，∴()AAS EFA AGB △≌△，()AAS BGC CHD △≌△，∴6AG EF ==，3AF BG ==，4CG DH ==，3CH BG ==，∴364316FH AF AG CG CH =+++=+++=，故答案为：16．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．16.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝110°，若MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，则∠PAQ ＝_________【答案】40°【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可知B BAP ∠=∠，C CAQ ∠=∠．根据三角形内角和定理即可求出70B C ∠+∠=︒，即得出70BAP CAQ ∠+∠=︒，从而根据()PAQ BAC BAP CAQ ∠=∠-∠+∠即可求出答案．【详解】∵MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，∴B BAP ∠=∠，C CAQ ∠=∠．∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，即110180B C ︒+∠+∠=︒，∴70B C ∠+∠=︒，∴70BAP CAQ ∠+∠=︒，∴()1107040PAQ BAC BAP CAQ ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．17.如图，在ABC 中，B ∠与C ∠的平分线交于点O ．过O 点作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于D 、E ，若5AB =，4AC =，则ADE V 的周长是______．【答案】9【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明BDO △和CEO 是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD DO =，CE EO =，根据ADE V 的周长AB AC =+，即可解题．【详解】解：BO 平分ABC ∠，DBO CBO ∴∠=∠，D E B C ∥，CBO DOB ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD DO ∴=，同理可证OE EC =，ADE ∴V 的周长549AD AE ED AB AC =++=+=+=．故答案为：9．18.如图，已知：BAC ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DG 相交于点D ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别为E F 、，6,3AB AC ==，则BE =_____________．【答案】32##1.5【解析】【分析】连接,CD BD ，角平分线的性质，得到DE DF =，证明ADF ADE ≌V V ，得到AE AF =，中垂线的性质，得到DC BD =，证明CDF BDE ≌，得到BE CF =，根据AB AE BE =+以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，,DE AB DF AC ⊥⊥，∴,90DE DF F AED BED =∠=∠=∠=︒，FAD EAD ∠=∠，∴ADF ADE ≌V V ，∴AE AF =，连接,CD BD ，∵DG 垂直平分BC ，∴DC BD =，又,90DE DF F BED =∠=∠=︒，∴()HL CDF BDE ≌，∴BE CF =，∵2AB AE BE AF BE AC CF BE AC BE =+=+=++=+，∵6,3AB AC ==，∴32BE =．故答案为：32．【点睛】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共76.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.（1）如图，在正方形网格上有一个ABC ．作ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，则ABC 的面积=；（3）在直线MN 找一点P ，使PA PC +最短．【答案】（1）见解析；（2）52；（3）见解析【解析】【分析】（1）先找出ABC 各顶点关于直线MN 的对称点，再顺次连接即可；（2）用ABC 所在长方形的面积减去3个小三角形的面积即可；（3）连接A C '，则A C '与直线MN 的交点即为点P ．【详解】解：（1）如图，A B C ''' 即为所作；（2）1115231312122222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ．故答案为：52；（3）如图，点P 即为所作．用数形结合的思想是解题关键．20.图，校园有两条路OA和OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P（保留作图痕迹）．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：连接CD，作CD的垂直平分线，的角平分线，作AOB两线交于P，此时点P为所求灯柱位置，如图所示：．21.如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE.【答案】见解析【解析】【分析】首先判定△ABC ≌△DEF ，然后利用全等三角形性质得出∠ABC=∠DEF ，进而得出AB ∥DE.【详解】∵BE =CF∴BE+EC=CF+EC∴BC=EF∵AB =DE ，AC =DF ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）∴∠ABC=∠DEF∴AB ∥DE.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质以及平行的性质，熟练掌握，即可解题.22.如图，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，7ABC S = ，2DE =，4AB =，求AC 长．【答案】3AC =．【解析】【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D 作DF AC ⊥于F ，根据角平分线性质求出2DF DE ==，根据7ADB ADC S S += 和三角形面积公式，即可解题．【详解】解：过D 作DF AC ⊥于F ，如图所示：AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DF AC ⊥，DE AB ⊥于点E ，2DE =，2DE DF ∴==，7ABC S = ，7ADB ADC S S ∴+= ，11722AB DE AC DF ∴⋅+⋅=，11422722AC ∴⨯⨯+⨯⨯=，解得3AC =．23.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为ABC 的角平分线．以点A 圆心，AD 长为半径画弧，与AB AC ，分别交于点E ，F ，连接DE DF ，．（1）求证：ADE ADF V V ≌；（2）若43AE BD ==，求ABC 的面积．【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可知∠∠EAD FAD =，由题意可知EA FA =，从而即可证()SAS ADE ADF ≌；（2）由题意可知4EA AD ==，再根据等腰三角形三线合一的性质可知26BC BD ==，AD BC ⊥，最后根据三角形面积公式求解即可．【小问1详解】证明：∵AD 为ABC 的角平分线，∴∠∠EAD FAD =．由题意可知EA FA =，又∵AD AD =，∴()SAS ADE ADF ≌．【小问2详解】解：由题意可知4EA AD ==．∵AD 为ABC 的角平分线，AB AC =，∴26BC BD ==，AD BC ⊥，∴11641222ABC BC A S D ⋅=⨯⨯== ．【点睛】本题考查三角形全等的判定，角平分线的定义，基本作图，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的判定定理和等腰三角形三线合一的性质是解题关键．24.如图，在ABC 中，AC AE BC BD ==，，（1）若2040A B ∠=︒∠=︒，，则DCE ∠=．（2）若110ACB ∠=︒，求DCE ∠的度数．【答案】（1）30︒（2）35︒【解析】【分析】（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理可求出80ACE ∠=︒，70BCD ∠=︒，120ACB ∠=︒，再根据DCE ACE BCD ACB ∠=∠+∠-∠求解即可；（2）结合（1）可求出1802A ACE ∠=︒-∠，1802B BCD ∠=︒-∠，再根据三角形内角和定理可求出()2180ACB ACE BCD ∠=∠+∠-︒，结合110ACB ∠=︒可求出145ACE ∠=︒，最后根据DCE ACE BCD ACB ∠=∠+∠-∠求解即可．【小问1详解】解：∵AC AE =，20A ∠=︒，∴180802A ACE AEC ︒-∠∠=∠==︒．∵BC BD =，40B ∠=︒，∴180702B BCD BDC ︒-∠∠=∠==︒．∵180120ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒,∴30DCE ACE BCD ACB ∠=∠+∠-∠=︒．故答案为：30︒；【小问2详解】解：由（1）可知1802A ACE ︒-∠∠=，1802B BCD ︒-∠∠=，∴1802A ACE ∠=︒-∠，1802B BCD ∠=︒-∠，∴180ACB A B ∠=︒-∠-∠，∴()()()180180218022180ACB ACE BCD ACE BCD ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠-︒，∴()1102180ACE BCD ︒=∠+∠-︒，∴145ACE BCD ∠+∠=︒，∴35DCE ACE BCD ACB ∠=∠+∠-∠=︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．25.已知，如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，M ，N 分别是AC BD ，的中点．求证：（1）BM DM =；（2）MN BD ⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接BM DM 、．根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出1122BM AC DM AC ==、，即证明BM DM =；（2）根据等腰三角形三线合一的性质即可直接证明MN BD ⊥．【小问1详解】证明：如图，连接BM DM 、．∵90ABC ADC ∠=∠=︒，M ，N 分别是AC BD ，的中点，∴1122BM AC DM AC==、，∴BM DM=；【小问2详解】证明：∵BM DM=，N是BD的中点，∴MN BD⊥．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半和等腰三角形三线合一的性质是解题关键．26.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：（1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．【小问1详解】证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；【小问2详解】①证明：延长OP 至E ，使PE =OP ，∵P 为BD 的中点，∴BP =PD ，又∵∠BPE =∠DPO ，PE =OP ，∴△BPE ≌△DPO （SAS ），∴BE =OD ；②证明：∵△BPE ≌△DPO ，∴∠E =∠DOP ，∴BE ∥OD ，∴∠EBO +∠BOD =180°，又∵∠BOD +∠AOC =180°，∴∠EBO =∠AOC ，∵BE =OD ，OD =OC ，∴BE =OC ，又∵OB =OA ，∴△EBO ≌△COA （SAS ），∴OE =AC ，又∵OE =2OP ，∴AC =2OP ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．27.初步探究：如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且EF BE FD =+．探究图中BAE ∠、FAD ∠、EAF ∠之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论是．灵活运用：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC 、CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立，并说明理由．拓展延伸：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系．【答案】初步探究：BAE FAD EAF ∠+∠=∠；灵活应用：成立，见解析；拓展延伸：11802EAF DAB ∠=︒-∠【解析】【分析】初步探究：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，可判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG ∠=∠，AE AG =，再判定AEF AGF ≌，可得出EAF GAF DAG DAF BAE DAF ∠=∠=∠+∠=∠+∠，据此得出结论；灵活运用：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG ∠=∠，AE AG =，再判定AEF AGF ≌，可得出EAF GAF DAG DAF BAE DAF ∠=∠=∠+∠=∠+∠；拓展延伸：在DC 延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG ，先判定ABE ADG △≌△，再判定AEF AGF ≌，得出FAE FAG ∠=∠，最后根据360FAE FAG GAE ∠+∠+∠=︒，推导得到2360FAE DAB ∠+∠=︒，即可得出结论．【详解】解：初步探究：结论：BAE FAD EAF ∠+∠=∠，理由：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，90B ADC ∠=∠=︒ ，90B ADG ∴∠=∠=︒，在ABE 和ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴△≌△，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，EF BE DF =+ ，EF DF DG FG ∴=+=，在AEF △和AGF 中，AE AG AF AF EF GF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS AEF AGF ∴ ≌，EAF GAF ∴∠=∠，GAF DAG DAF Ð=Ð+Ð ，EAF BAE DAF \Ð=Ð+Ð；故答案为：BAE FAD EAF ∠+∠=∠；灵活运用：仍成立，理由：如图2，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，180B ADF ∠+∠=︒ ，180ADG ADF ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE 和ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴△≌△，BAE DAG AE AG \Ð=Ð=，，BE DG =，EF BE FD =+ ，GF DG FD =+，EF GF ∴=，在AEF △和AGF 中，AE AG AF AF EF GF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS AEF AGF ∴ ≌，EAF GAF ∴∠=∠，GAF DAG DAF Ð=Ð+Ð ，EAF BAE DAF \Ð=Ð+Ð；拓展延伸：结论：11802EAF DAB ∠=︒-∠，理由：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG ，180ABC ADC ∠+∠=︒ ，180ABC ABE ∠+∠=︒，ADC ABE ∴∠=∠，在ABE 和ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴△≌△，BAE DAG AE AG \Ð=Ð=，，BE DG =，FG DG FD =+ ，EF BE FD =+ ，EF GF ∴=，在AEF △和AGF 中，AE AG AF AF EF GF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS AEF AGF ∴ ≌，FAE FAG ∴∠=∠，360FAE FAG GAE ∠+∠+∠=︒ ，()2360FAE GAB BAE ∴∠+∠+∠=︒，()2360FAE GAB DAG ∴∠+∠+∠=︒，即2360FAE DAB ∠+∠=︒，11802EAF DAB ∴∠=︒-∠．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．。

初二数学阶段性测试（满分130分考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）1.在平面直角坐标系中，点M （2，－1）在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限D【分析】根据各象限内点的坐标特点及M 的坐标，即可判定．【详解】解：20> ，10-<，∴点M 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键．2.一次函数4y x =-的图像与x 轴的交点坐标是（）A.()04，B.()40-， C.()40，D.(()04-，C【分析】令0y =，求出对应函数值，即可确定与x 轴的交点的坐标．【详解】解：∵当0y =时，04x =-，解得：4x =，∴一次函数4y x =-的图像与x 轴的交点坐标是()40，．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点问题，掌握坐标轴上的点的坐标特征是解答本题的关键．．3.在平面直角坐标系中，点()13-，关于x 轴对称的点的坐标为（）A.()13-，B.()13， C.()13--， D.()3,1-B【分析】根据关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】解：点()13-，关于x 轴对称的点的坐标为()13，，故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，关键是掌握关于x 轴对称的点的坐标的变化规律．4.若点P 在一次函数23y x =-+的图象上，则点P 一定不在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C【分析】根据一次函数图象的性质，确定一次函数图象经过的象限，即可判断点P 一定不在哪个象限．【详解】解：一次函数23y x =-+的图象经过第一、二、四象限，点P 在一次函数23y x =-+的图象上，则点P 一定不在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，解题关键是确定一次函数图象所经过的象限．5.若y ＝(m ﹣2)x+(m 2﹣4)是正比例函数，则m 的取值是()A.2B.﹣2C.±2D.任意实数B【分析】正比例函数的一般式y=kx ，k≠0，所以使m 2-4=0，m-2≠0即可得解．【详解】由正比例函数的定义可得：m 2-4=0，且m-2≠0，解得，m=-2；故选B.6.点A (12,y -)和B (21,y -)都在直线2y x b =-+上，则1y 和2y 的大小关系是（）A.12y y > B.12y y < C.12y y = D.无法确定A【分析】利用一次函数的增减性判定即可．【详解】解：∵直线2y x b =-+的20k =-<，∴y 随x 的增大而减小，∵21-<-，∴12y y >，故选：A ．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，对于一次函数()0y kx b k =+≠，当0k >时，y 随x 的增大而增大，当0k <时，y 随x 的增大而减小．7.一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当y ＞3时，x 的取值范围是()A.x 0<B.x 0>C.x 2<D.x 2>．A【分析】根据题意在函数图像中寻找3y >时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对应的x 范围是小于零，从而得出答案【详解】解：∵由函数图象可知，当x ＜0时函数图象在3的上方，∴当y ＞3时，x ＜0．故选A ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出x 的取值范围是解答此题的关键．8.均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（）A. B. C. D.D【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体，由图象及容积可求解．【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢；故选D.【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．9.在同一平面直角坐标系中，一次函数2y ax a =+与2y a x a =+的图像可能是（）A. B.C. D.D【分析】分为0a >和a<0两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．【详解】解：当1x =时，两个函数的函数值：2y a a =+，即两个图像都过点()21,a a+，故选项A 、C 不符合题意；当0a >时，20a >，一次函数2y ax a =+经过一、二、三象限，一次函数2y a x a =+经过一、二、三象限，都与y 轴正半轴有交点，故选项B 不符合题意；当a<0时，20a >，一次函数2y ax a =+经过一、二、四象限，与y 轴正半轴有交点，一次函数2y a x a =+经过一、三、四象限，与y 轴负半轴有交点，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．一次函数y kx b =+的图像有四种情况：①当0k >，0b >时，函数y kx b =+的图像经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <时，函数y kx b =+的图像经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b =+的图像经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图像经过第二、三、四象限．10.甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，32t =或72t =，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个B【分析】由函数图象所给数据可求得甲、乙两车离开A 城的距离y 与时间t 的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t ，可得出答案．【详解】解：由函数图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，故①正确；设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 甲＝kt ，把（5，300）代入可求得k ＝60，∴y 甲＝60t ，把y ＝150代入y 甲＝60t ，可得：t ＝2.5，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 乙＝mt+n ，把（1，0）和（2.5，150）代入可得：2.5150m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100100m n =⎧⎨=-⎩，∴y 乙＝100t ﹣100，把y ＝300代入y 乙＝100t ﹣100，可得：t ＝4，5﹣4＝1，∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，故②正确；令y 甲＝y 乙可得：60t ＝100t ﹣100，解得t ＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t ＝2.5，此时距乙车出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；令|y 甲﹣y 乙|＝40，可得|60t ﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，当100﹣40t ＝40时，可解得32t =，当100﹣40t ＝﹣40时，可解得72t =，又当23t =时，y 甲＝40，此时乙还没出发，当133t =时，乙到达B 城，y 甲＝260；综上可知当t 的值为32或72或23或133时，两车相距40千米，故④不完全正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，理解一次函数图象表达的意义，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）11.点P （2，﹣5）到y 轴的距离为_____．2【分析】根据到y 轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可．【详解】解：点P （2，﹣5）到y 轴的距离为：22=，故答案为：2．【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值．12.在一次函数y=（2-k ）x +1中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为___．k ＜2．【详解】∵在一次函数y =（2-k ）x +1中，y 随x 的增大而增大，∴2-k ＞0，解得k ＜2．故答案为：k ＜2．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，即当一次项系数大于0时，y 随x 的增大而增大．13.若点（m ，n ）在函数y ＝3x ＋2的图象上，则3m －n 的值是__________．-2．【详解】解：∵点（m ，n ）在函数y =3x +2的图象上，∴n =3m +2，∴3m -n =-2，【点睛】一次函数图象上点的坐标特征．14.直线y =2x -4与两坐标轴围成的三角形面积为___________________．4【分析】画出一次函数的图象，再求解一次函数与坐标轴的交点,A B 的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可.【详解】解：如图，令0,x =则4,y =-令0,y =则240,x -=解得2,x =()()2,0,0,4,A B \-1244,2AOB S \=创=V 故答案为：4【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，利用数形结合的方法解题是解本题的关键.15.一次函数y ＝kx +b 与y ＝2x +1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：_____．y =2x +10【详解】解：已知一次函数y =kx +b 与y =2x +1平行，可得k =2，又因函数经过点（-3，4），代入得4=-6+b ，解得：b =10，所以函数的表达式为y =2x +10．故答案为：y =2x +10．16.如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是______．42x y =-⎧⎨=-⎩【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．【详解】解：根据函数图可知：函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P 的坐标是()4,2--，所以y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解为42x y =-⎧⎨=-⎩，故答案是：42x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．17.如图，一次函数6y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 、C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的坐标为_____．(32,632--##()32326--，【分析】根据45OPC ∠=︒，PC PO =，证明BPC AOP ∠=∠，从而证明BPC AOP ≌ ，得到6PB AO ==，过点P 作PD y ⊥轴，求得PD ，BD ，DO ，根据点所在象限即可确定点P 的坐标．【详解】解：∵一次函数6y x =+的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴()6,0A -，()0,6B ，∴OA OB =，∴45PAO CBP ∠=∠=︒，∵45OPC ∠=︒，PC PO =，∴67.5PCO COP ∠=∠=︒，∴22.5BPC AOP ∠=∠=︒，∴BPC AOP ≌ ，∴6PB AO ==，过点P 作PD y ⊥轴，垂足为D ，∵90PDB ∠=︒，∴90904545BPD PBD ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴PBD BPD ∠=∠，∴PD BD =，∵2222636PD BD PB +===，∴PD BD ===∴6DO OB BD =-=-，∵点P 在第二象限，∴点(P --，故答案为：(--．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与象限和线段之间的关系，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点确定，灵活运用三角形全等的判定和性质是解题的关键．18.如图，点A 1（2，2）在直线y =x 上，过点A 1作A 1B 1∥y 轴交直线y =12x 于点B 1，以点A 1为直角顶点，A 1B 1为直角边在A 1B 1的右侧作等腰直角△A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2∥y 轴，分别交直线y =x 和y =12x 于A 2，B 2两点，以点A 2为直角顶点，A 2B 2为直角边在A 2B 2的右侧作等腰直角△A 2B 2C 2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n 的面积为_____．（用含正整数n 的代数式表示）222132n n --【分析】【详解】解：∵点A 1（2，2），A 1B 1∥y 轴交直线y =12x 于点B 1，∴B 1（2，1）∴A 1B 1=2﹣1=1，即△A 1B 1C 1面积=12×12=12；∵A 1C 1=A 1B 1=1，∴A 2（3，3），又∵A 2B 2∥y 轴，交直线y =12x 于点B 2，∴B 2（3，32），∴A 2B 2=3﹣32=32，即△A 2B 2C 2面积=12×（32）2=98；以此类推，A 3B 3=94，即△A 3B 3C 3面积=12×（94）2=8132；A 4B 4=278，即△A 4B 4C 4面积=12×（278）2=729128；…∴A n B n =（32）n ﹣1，即△A n B n C n 的面积=12×[（32）n ﹣1]2=222132n n --．三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点A B C 、、的坐标分别为(5,1)--、(3,4)--、(1,3)--．（1）_______ABC S = ；（2）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（3）已知点P 在y 轴上，且PA PC =，则点P 的坐标是．（4）若x 轴上存在点Q ，使QAC △的周长最小，则点Q 的坐标是．（1）4（2）见解析（3）(0)4，（4）()4,0-【分析】（1）利用割补思想，梯形面积减去两个直角三角形面积即可求得；（2）画出A B C 、、三点关于y 轴的对称点，并依次连接即可；（3）设(0,)P a ，由勾股定理可分别表示出PA 、PC ，由PA PC =建立方程并解方程即可求得点P 的坐标；（4）因AC 长为定值，只需QA QC +最小即可，利用对称性，作点A 关于x 轴的对称点E ，连接CE 与x 轴的交点即为求作的点Q ，求出直线CE 的解析式，再求得直线CE 与x 轴的交点即可．【小问1详解】解：111(13)432214222ABC S =+⨯-⨯⨯-⨯⨯= ，故答案为：4；【小问2详解】如图所示，111A B C △即为所求；【小问3详解】设(0,)P a ，由勾股定理得2225(1)PA a =++、221(3)PC a =++，PA PC = ，2225(1)1(3)a a ∴++=++，解得：4a =(04)P ∴，；故答案为：(0)4，；【小问4详解】因AC 长为定值，QA QC +最小时QAC △的周长最小，作点A 关于x 轴的对称点E ，连接CE 与x 轴的交点即为求作的点Q ，连接AQ ，如图，QA EQ = ，QA QC EQ QC CE ∴+=+≥，即当C 、Q 、E 三点在同一直线上时，QA QC +最小；A 、E 关于x 轴对称，(5,1)E ∴-，设直线CE 的解析式为y kx b =+，把C 、E 两点坐标代入得：513k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：14k b =-⎧⎨=-⎩，则直线CE 的解析式为4y x =--，令40y x =--=，得4x =-，∴直线CE 与x 轴的交点为(4,0)-．即Q 点坐标为()4,0-．故答案为：()4,0-．【点睛】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，两点间线段最短，求一次函数解析式，勾股定理等知识，有一定的综合性，善于应用函数思想、方程思想解决问题是关键．20.如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y 是x 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x 与y 的对应值．输人x…6-4-2-02…输出y …2218141016…根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x 值为3时，输出的y 值为__________；（2）求k ，b 的值；（3）当输出的y 值为20时，求输入的x 值．（1）24（2）2k =-，b =10（3）5-或52【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）当0x =时，10y =和当2x =-时，14y =代入求解即可；（3）分当1x <时，20y =和当1x ≥时，20y =进行分类求解即可．【小问1详解】解：由题意得：当3x =时，则8324y =⨯=，故答案为：24；【小问2详解】解：由表格得：10214b k b =⎧⎨-+=⎩，解得：210k b =-⎧⎨=⎩；【小问3详解】解：由（2）可知：210y x =-+，∴①当1x <时，20y =，则有21020x -+=，解得：5x =-；②当1x ≥时，20y =，则有820x =，解得：52x =；综上所述：输入x 的值为5-或52．【点睛】本题主要考查一次函数求值，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21.已知3y -与42x -成正比例，且1x =时，1y =-．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）如果y 的取值范围为35y ≤≤时，求x 的取值范围．（1）87y x =-+（2）1142x ≤≤【分析】（1）首先设()342y k x -=-，再把1x =，1y =-代入可得关于k 的方程，再解出k 的值可得答案；（2）根据y 的取值范围，结合一次函数解析式，利用等量代换可得关于x 的不等式组，再解不等式即可．【小问1详解】设()342y k x -=-，∵当1x =时，1y =-，∴()1342k --=-，解得：2k =-，∴y 与x 的函数关系式为()3242y x -=--，即87y x =-+；【小问2详解】∵35y ≤≤，∴3875x ≤-+≤，解得：1142x ≤≤【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数值，关键掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y kx b =+；（2）将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．22.某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y （元）是用水量x （立方米）的函数，其图象如图所示．（1）求当x ＞18时，y 关于x 的函数表达式；（2）若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为_______立方米．（1）39y x -＝（x ＞18）（2）30【分析】（1）利用待定系数法求y 关于x 的函数表达式；（2）将81y =代入表达式即可求出用水量．【小问1详解】设函数解析式为(18)y kx b x =+＞，∵直线经过点(18,45)，(28,75)，∴18452875k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得39k b =⎧⎨=-⎩，∴函数的解析式为()3918y x x =-＞；【小问2详解】由8145＞，得用水量超过18立方米，当81y =，3981x -=，解得30x =．所以这个月用水量为30立方米．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．23.如图，在直角坐标系中，一次函数3y kx =+的图象与y 轴相交于点B ，与正比例函数2y x =的图象相交于点C ，点C 的纵坐标为2．（1）点C 的坐标是________；（2）不等式32kx x +≤的解集是____________；（3）若点D 在y 轴上，且满足3ACD S = ，求点D 的坐标．（1）（1，2）（2）1x ≥（3）（0，6），（0，0）【分析】对于（1），先将2y =代入2y x =，求出点C 的坐标；对于（2），观察图像可知从点C 向右函数2y x =的图像在一次函数3y kx =+上方，即可得出自变量取值范围；对于（3），先分别求出点A ，B 的坐标，再分两种情况，根据111ACD ABD BCD S S S =- 和122ACD AOC AOD OCD S S S S =+- 求出坐标即可．【小问1详解】根据题意，将2y =代入2y x =，得22x =，解得1x =，所以点C 的坐标是(12)，；故答案为：(12)，；【小问2详解】观察图像可知当＞2x 时，32kx x +＜；故答案为：＞2x ；【小问3详解】将点(1,2)代入3y kx =+，得32k +=，解得1k =-，所以一次函数关系式为3y x =-+．当0x =时，3y =，点(03)B ，；当0y =时，3x =，点(30)A ，．如图，当点D 在直线AB 上方时，设点D m 1(0)，，11111(3)3(3)1322ACD ABD BCD S S S m m =-=-⨯--⨯= ，解得6m =，所以点1(06)D ，；如图，当点D 在直线AB 上方时，设点2(0,)D m ，12211123()3()13222ACD AOC AOD OCD S S S S m m =+-=⨯⨯+-⨯-⨯-⨯= ，解得0m =，所以点2(0,0)D ，此时与原点重合．所以点D 的坐标是(06)，或(00)，．【点睛】这是一道关于一次函数的综合问题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键．24.某汽车运输公司推出商务车和轿车对外租赁业务．每辆商务车可载客6人，每辆轿车可载客4人．（1）单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，单程租赁1辆商务车和7辆轿车共需付租金1980元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工到外地参加业务培训，拟单程租用车辆前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？（1）租用一辆轿车的租金为240元（2）租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元【分析】（1）设一辆商务车的单程租金为x 元，一辆轿车的单程租金为y 元，根据“单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，单程租赁1辆商务车和7辆轿车共需付租金1980元，”列二元一次方程组求解即可；（2）方法1：①求出只租用商务车时的租金，②求只租用轿车时的租金；③求出回合租用时的租金，比较即可得解．方法2：设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元．有6434300240m n W m n+=⎧⎨=+⎩，进而求解得173m ≤，分类讨论求解即可得解．【小问1详解】解：设一辆商务车的单程租金为x 元，一辆轿车的单程租金为y 元，则23132071980x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得300240y y =⎧⎨=⎩，∴一辆轿车的单程租金为240元；【小问2详解】解：方法1：①若只租用商务车，∵342563=，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为30061800⨯=（元）；②若只租用轿车，∵348.54=，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为24092160⨯=（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元．由题意，得6434300240m n W m n+=⎧⎨=+⎩由6434m n +=，得4634n m =-+，∴30060(634)602040W m m m =+-+=-+，∵63440m n -+=≥，∴173m ≤，∴15m ≤≤，且m 为整数，∵W 随m 的增大而减小，∴当5m =时，W 有最小值1740，此时1n =，综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．方法2：设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元．由题意，得6434300240m n W m n+=⎧⎨=+⎩由6434m n +=，得46340n m =-+≥，∴173m ≤，∵m 为整数，∴m 只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为92402160⨯=（元）；租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为130072401980⨯+⨯=（元）；租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为230062402040⨯+⨯=（元）；租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为330042401860⨯+⨯=（元）；租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金430032401920⨯+⨯=（元）；租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为530012401740⨯+⨯=（元）；由此可见，最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆，此时所付租金最少，为1740元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．25.（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt ACB 的直角顶点C 在原点，将其绕着点O 旋转，若顶点A 恰好落在点()1,2处．则：①OA 的长为；②点B 的坐标为．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt ACB 如图放置，直角顶点()1,0C -，点()0,4A ，试求直线AB 的函数表达式．（3）拓展研究：若点Q 是直线22y x =+上且位于第三象限图象上的一个动点，点M 是y 轴上的一个动点，点B 是函数2y x =-+与x 轴的交点，当以点B 、M 、Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出相应的点M 的坐标．（1，()2,1-；（2）345y x =+；(3)()0,4，()0,6-，40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据勾股定理可得OA 长，由对应边相等可得B 点坐标；（2）通过证明BHC COA △≌△得出点B 坐标，用待定系数法求直线AB 的函数表达式；（3）分别以B 、M 、Q 为顶角的顶点，设(),22Q n n +，()0,M m ，利用（2）的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可．【详解】1）如图1，作AF x ⊥轴于F ，BE x ⊥轴于E ．由A 点坐标可知2,1AF CF ==，在Rt ACF 中，根据勾股定理可得OA ==ACB ∆ 为等腰直角三角形，∴90ACB ︒∠=，AC BC =，∵AF x ⊥轴于F ，BE x ⊥轴于E ，∴90AFC BEC ︒∠=∠=，又90CAF ACF ︒∠+∠= ，90BCE ACF ︒∠+∠=，∴CAF BCE ∠=∠，∴ACF CBE ≌，∴1BE CF ==，2CE AF ==所以B 点坐标为：()2,1-（2）如图，过点B 作BH x ⊥轴．∵ACB △为等腰直角三角形∴90ACB ︒∠=，AC BC = BH x ⊥轴∴90AOC BHC ︒∠=∠=又∵90CAO ACO ︒∠+∠=，90BCH ACO ︒∠+∠=∴CAO BCH∠=∠∴BHC COA △≌△，∴4HC OA ==，1BH CO ==，415OH HC CO =+=+=∴()5,1B -，设直线AB 的表达式为y kx b=+将()0,4A 和()5,1B -代入，得451b k b =⎧⎨-+=⎩，解得354k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的函数表达式为：345y x =+．（3）由B 是函数2y x =-+与x 轴的交点，可知()2,0B ，点Q 是直线22y x =+上且位于第三象限图象上的一个动点，点M 是y 轴上的一个动点，设(),22Q n n +，()0,M m 以点B 为顶角，即：BM BQ =，过B 作NP y 轴，且QP NP ⊥，MN NP ⊥，由（2）类比可得：PQ BN =，MN BP =，2222n n m +=-⎧⎨-=⎩，解得：42m n =⎧⎨=-⎩故：()0,4M 以点Q 为顶角，即：QM QB =，过Q 作NP y 轴，交x 轴于P 且MN NP ⊥，由（2）类比可得：PQ MN =，QN BP =，22222n n n m n +=⎧⎨+-=-⎩，解得：62m n =-⎧⎨=-⎩故：()0,6M -以点M 为顶角，即：BM MQ =，过M 作NP x ∥，且QP NP ⊥，BN NP ⊥，由（2）类比可得：PQ MN =，MP BN =，()222m n m n ⎧-+=⎨=-⎩，解得：4343m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故：40,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键．26.某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2800米．甲从小区步行去学校，出发11分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知乙步行的速度比甲步行的速度每分钟慢20米．设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图像；图2表示甲、乙两人之间的距离S （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图像（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度米/分，乙出发时甲离开小区的路程米；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）当3035x ≤≤时，①请直接写出．．．．S 关于x 的函数表达式；②在图2中，画出当3035x ≤≤时S 关于x 的函数的大致图像．（1）80米/分，880米（2）乙骑自行车的速度是160米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是640米（3）①当3034x ≤≤时，4840140s x =-，当3435x <≤时，802800s x =-+；②图见解析【分析】（1）根据函数图像中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）根据函数图像中的数据可以求得OA 的函数解析式，然后将22x =代入OA 的函数解析式，即可求得点E 的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）①根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而用待定系数法分两种情况求解解析式；②描出①中两个函数解析式的分界点，再补全函数图像即可．【小问1详解】解：由图可得，甲步行的速度为：28003580÷=（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是1180880⨯=（米），【小问2详解】设直线OA 的解析式为y kx =，则352800k =，得80k =，∴直线OA 的解析式为80y x =，当22x =时，80221760y =⨯=，∴乙骑自行车的速度为：()176********÷-=（米/分），∵乙骑自行车的时间为：301119-=（分钟），∴乙骑自行车的路程为：160193040⨯=（米），当30x =时，甲走过的路程为：80302400⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：30402400640-=（米），答：乙骑自行车的速度是160米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是640米；【小问3详解】①乙步行的速度为：802060-=（米/分），乙到达学校用的时间为：()19304028006019423+-÷=+=（分），此时甲还要1分钟到学校，即甲离学校80米，∴当3035x ≤≤时，分两种情况如下：当3034x ≤≤时，设s mx n =+，将()30,640，()34,80代入得：306403480m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得1404840m n =-⎧⎨=⎩，∴1404840s x =-+；当3435x <≤时，设s px q =+，将()34,80，()35,0代入得：3480350p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得：802800p q =-⎧⎨=⎩，∴802800s x =-+，∴()()140484030348028003435x x s x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩．②补全函数图形如下：【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．27.如图，一次函数的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，点D 在x 轴上．如果将直线AB 沿直线BD 翻折，使得点A 的对应点C 落在y 轴上，那么直线BD 称为直线AB 的“伴随直线”．已知点B 的坐标为()0,6，10BC =．（1）若点C 在y 轴负半轴上，求直线AB 的“伴随直线”BD 的函数表达式；（2）已知在（1）的条件下，存在第二象限内的点E ，使得BOD 与以B 、D 、E 为顶点的三角形全等，试求出点E 的坐标；（3）直线AB 的“伴随直线”BD 上是否存在点F （异于点D ），使得ABD ABF S S =△△？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）26y x =+（2）2412,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,6-（3）存在，()12,12-或()3,12【分析】（1）由对称性可得10AB =，4OC =，如图，由1122ABD S AD OB AB DT =⋅=⋅△求出()3,0D ，用待定系数法即可求BD 的解析式；（2）分两种情况：当E 点与O 点关于直线BD 对称时，OBD EDB △≌△，求出直线BA 的解析式为364y x =+，设3,64E t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由3DE ==，即可求2412,55E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当BE y ⊥轴，DE x ⊥轴时，OBD EDB △≌△此时四边形BOCE 是矩形，则()3,6E -；（3）当C 点在y 轴正半轴上时，当F 点与D 点关于B 点对称时，BF BD =，设(),26F m m +，再由BD BF ===，即可求F 点坐标；同理，当C 点在y 轴正半轴上时，求F 点坐标．【小问1详解】解：∵直线AB 沿直线BD 翻折点A 对应点C 落在y 轴上，∴直线BD 为ABO ∠的平分线所在直线，如图所示，过点D 作线段，DT AB ⊥于点T ．设点(),0D d -，则∴OD DT d ==，由对称性可知，10AB BC ==，∵点B 坐标为()0,6，∴6OB =∴在Rt AOB 中，8OA ==∴8AD AO OD d =-=-，∵1122ABD S AD OB AB DT =⋅=⋅△∴()11861022d d -⨯=⨯解得：3d =∴()3,0D -，设直线BD 的解析式为()60y kx k =+≠，∴360k -+=，∴2k =，∴26y x =+；【小问2详解】当E 点与O 点关于直线BD 对称时，OBD EDB △≌△，∴E 点在直线AB 上，∵()3,0D -，()8,0A -，∴5AD =，∵3OD =，∴3DE =，设直线AB 的解析式为11y k x b =+，∴111806k b b +=⎧⎨=⎩，解得：11346k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴364y x =+，设3,64E t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由3DE ==，解得：245t =-∴2412,55E ⎛⎫-⎪⎝⎭，当BE y ⊥轴，DE x ⊥轴时，OBD EDB△≌△此时四边形BOCE 是矩形，∴()3,6E -综上所述：E 点坐标为2412,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,6-【小问3详解】当C 点在y 轴负半轴时当F 点与D 点关于B 点对称时，BF BD =，∴ABD ABF S S =△△，∵F 点在直线BD 上，设(),26F m m +，∵2235BD OB OD =+=，∴()22352BF m m ==+，∴3m =±，∴()3,0F -（舍去）或()3,12F 故F 的坐标为()3,12当C 点在y 轴正半轴时∵点()0,6B ，10BC =，∴()0,16C ∴16OC =，∴6OB =，由对称性可知，10AB BC ==，∴8OA =，∵BD AC ⊥，∴90OAC OCA ∠+∠=︒，90ADN NAD ∠+∠=︒，∵CAO DAN ∠=∠，∴ADN OCA ∠=∠，∴tan AO OB OCA CO OD∠==，∴8616OD =，∴12OD =，∴()12,0D 设直线BD 的解析式为：22y k x b =+，∴2226120b k b =⎧⎨+=⎩解得：22126k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴162y x =-+，∵F 点在直线BD 上，设1,62F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵=BD ，∴BF ==∴12m =±，∴()12,0F （舍去）或()12,12F -故F 的坐标为()12,12-【点睛】本题是一次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合．。

2025届江苏省期无锡市天一实验学校八年级数学第一学期期末统考模拟试题统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC等于()A．65°B．95°C．45°D．85°2．某区为了解5600名初中生的身高情况，抽取了300名学生进行身高测量.在这个问题中，样本是（）A．300 B．300名学生C．300名学生的身高情况D．5600名学生的身高情况3．以下命题的逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．同旁内角互补，两直线平行C．若a=b，则a2=b2D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞04．在下列交通标识图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）A ．6B ．36C ．64D ．86．点P （－5，4）到y 轴的距离是（ ）A ．5B ．4C ．－5D ．37．边长为a 和2a 的两个正方形按如图所示的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．22aB ．32aC ．42aD ．62a 8．计算211(1)(1)11x x +÷+-- 的结果为（ ） A ．1 B ．x+1 C ．1x x + D ．11x - 9．如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是（ ）A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°10．等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为（ ）A ．65°,65°B ．50°,80°C ．65°,65°或50°,80° D ．50°,50° 二、填空题(每小题3分,共24分)11．关于x ，y 的二元一次方程组5mx y nx y b -=⎧⎨-=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩ ，如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:5l y mx =-与直线2:l y nx b =- 相交于点P ，则点P 的坐标为__________.12．二次根式x 3-中，x 的取值范围是 ．13．已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为________． 14．4的算术平方根是 ．15．已知()2340a b -++=，则23a b -的值是_________．16．已知2()4f x x x =-，()6g x x =-．当x =____时，()()f x g x =． 17．游泳者在河中逆流而上，于桥A 下面将水壶遗失被水冲走，继续前游30分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶，在桥A 下游距桥1.2公里的桥B 下面追到了水壶，那么该河水流的速度是_________．18．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，△ABC 是等边三角形，△ACE 是等腰三角形，∠AEC ＝120°，AE ＝CE ，F 为BC 中点，连接AE ．（1）直接写出∠BAE 的度数为 ；（2）判断AF 与CE 的位置关系，并说明理由．20．（6分）计算：38--()21- +25．21．（6分）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？22．（8分）如图，已知B ，D 在线段AC 上，且AD ＝CB ，BF ＝DE ，∠AED ＝∠CFB ＝90°求证：（1）△AED ≌△CFB ；（2）BE ∥DF ．23．（8分）（1）计算：①230120.125202012-⎛⎫--⨯++- ⎪⎝⎭； ②(43)(2)(2)x x y x y x y +-+-（2）因式分解：①3-a b ab②22369xy x y y --（3）解方程：①233x x =- ②2212525x x x -=-+24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．（1）求证：△BED≌△BCD；（2）若∠A＝36°，求∠CFD的度数．25．（10分）先化简，再求值：211(1)22aa a--÷++，在a＝±2，±1中，选择一个恰当的数，求原式的值．26．（10分）如图，在68⨯的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点D，点A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点同时停止运动．（1）当运动时间t为3秒时，请在网格纸图中画出线段PQ，并求其长度．（2）在动点P，Q运动的过程中，若BPQ∆是以PQ为腰的等腰三角形，求相应的时刻t的值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据OA ＝OB ，OC ＝OD 证明△ODB ≌△OCA ，得到∠OAC=∠OBD ，再根据∠O ＝50°，∠D ＝35°即可得答案.【详解】解：OA ＝OB ，OC ＝OD ，在△ODB 和△OCA 中，OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODB ≌△OCA （SAS ）,∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°， 故B 为答案.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.2、C【分析】根据样本的定义即可判断.【详解】依题意可知样本是300名学生的身高情况故选C.【点睛】此题主要考查统计分析，解题的关键是熟知样本的定义.3、B【详解】解：A. 对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故错误；B. 同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故正确；C. 若a =b ,则22a b =的逆命题为若22a b =，则a =b ，此逆命题为假命题，故错误；D. 若a >0,b >0,则220a b +>的逆命题为若220a b +>，则a >0，b >0，此逆命题为假命题，故错误.故选B.4、D【分析】根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．【详解】A 、B 、C 中的图案是轴对称图形，D 中的图案不是轴对称图形，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．5、A【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，∴正方形A的面积=14-8=1．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．6、A【分析】根据一个点到y轴的距离即为横坐标的绝对值即可得出答案.【详解】点P（－5，4）到y轴的距离为55-=故选：A.【点睛】本题主要考查点到坐标轴的距离，掌握点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键. 7、A【分析】图中阴影部分的面积为两个正方形面积的和减去空白三角形的面积即可求解．【详解】根据图形，得图中阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积﹣空白三角形的面积．即：4a1+a1123 2a a -⨯⨯=5a1﹣3a1=1a1．故选A．【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是观察图形所给条件并列式．8、C【分析】先进行括号内的计算，然后将除号换为乘号，再进行分式间的约分化简.【详解】原式=()()()()21111111111x x x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭ =()()2()[]111x x x x x ÷-+- =()()2111x x x x x+-⋅- =1x x+. 故选C.【点睛】本题考查分式的混合运算，混合运算顺序为：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.9、B【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式()3n -求出边数，然后根据多边形的内角和公式()2180n -︒列式进行计算即可得解．【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，∴32n -=，解得：5n =，∴内角和()52180540=-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．10、C【分析】根据分类讨论已知角是顶角还是底角，进行分析，从而得到答案【详解】解：当已知角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；当已知角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．故应选C ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、(1,2)【分析】方程组的解即是交点P 的坐标.【详解】∵1:5l y mx =-，2:l y nx b =-，∴方程组5mx y nx y b -=⎧⎨-=⎩的解12x y =⎧⎨=⎩即是函数图象的交点P 的横纵坐标， ∴点P 的坐标是(1,2)，故答案为：(1,2).【点睛】此题考查两个一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，正确理解两者间的关系并运用解题是关系.12、x 3≥．义，必须x 30x 3-≥⇒≥．13、k ＞﹣2且k ≠﹣1【分析】先解分式方程，然后根据分式方程解的情况列出不等式即可求出结论． 【详解】解：211x k x x-=-- ()21--=-x x k解得：x=2＋k∵关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数， ∴010x x >⎧⎨-≠⎩∴20210k k +>⎧⎨+-≠⎩ 解得：k ＞﹣2且k ≠﹣1故答案为：k ＞﹣2且k ≠﹣1．【点睛】此题考查的是根据分式方程根的情况求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和增根的定义是解决此题的关键．14、1．【解析】试题分析：∵224=，∴4算术平方根为1．故答案为1．考点：算术平方根．15、18【分析】根据平方和算术平方根的非负性可得a 和b 的值，代入可得23a b -的值.【详解】解：∵()230a -+=，∴a-3=0，b+4=0，∴a=3，b=-4，代入， 23a b -=18.故答案为：18.【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是通过平方和算术平方根的非负性得出a 和b 的值. 16、122,3x x ==【分析】由()()f x g x =得到关于x 的一元二次方程，求解方程即可得到x 的值.【详解】当()()f x g x =时，则有：246x x x -=-解得122,3x x ==故当122,3x x ==时，()()f x g x =．故答案为：122,3x x ==.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，由()()f x g x =得到一元二次方程是解决本题的关键. 17、0.01km/min【解析】解：设该河水流的速度是每小时x 公里，游泳者在静水中每小时游a 公里． 由题意，有301.2()60a x a x+-+=1.23060x -，解得x =1.1． 经检验，x =1.1是原方程的解．1.1 km/h=0.01km /min ．故答案为：0.01km /min ．点睛：本题考查分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的表示方法．另外，本题求解时设的未知数a ，在解方程的过程中抵消．这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 18、32【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案． 【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴=，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ，16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．三、解答题(共66分)19、（1）90°；（2）AF ∥EC ，见解析【分析】（1）分别利用等边三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC ，∠CAE 的度数，然后利用∠BAE ＝∠BAC+∠CAE 即可解决问题；（2）根据等边三角形的性质有AF ⊥BC ，然后利用等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出，∠BCE ＝90°则有EC ⊥BC ，再根据垂直于同一条直线的两直线平行即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵EA ＝EC ，∠AEC ＝120°，∴EAC ＝∠ECA ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC+∠CAE ＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF ∥EC ．理由：∵AB ＝AC ，BF ＝CF ，∴AF ⊥BC ，∵∠ACB ＝60°，∠ACE ＝30°，∴∠BCE ＝90°，∴EC ⊥BC ，∴AF ∥EC ．【点睛】本题主要考查等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理是解题的关键． 20、1【分析】根据立方根和算数平方根的运算法则进行计算即可．【详解】解：原式=-1-1 + 5 = 1．【点睛】本题考查了立方根和算数平方根，掌握运算法则是解题关键．21、（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷．【解析】试题分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶； （2）设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷2000x 顶，后来每名工人每天生产帐篷2000x×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2=()2000022000 1.25502000x x-⨯⨯⨯+，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．试题解析：（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶； （2）设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，依题意得，（10-2-2）×2000x×1.25×（x+50）=20000-2×2000， 即16000x=15000（x+50），1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解，答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．考点：分式方程的应用．22、（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据HL 证明Rt △AED ≌Rt △CFB 得出结论；（2）证明△DBE ≌△BDF ，则∠DBE ＝∠BDF ，可得出结论．【详解】（1）∵∠AED ＝∠CFB ＝90°，在Rt △AED 和Rt △CFB 中，AD BC DE BF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AED ≌Rt △CFB （HL ）；（2）∵△AED ≌△CFB ，∴∠BDE ＝∠DBF ，在△DBE 和△BDF 中,DE BF BDE DBF BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△BDF （SAS ），∴∠DBE ＝∠BDF ，∴BE ∥DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．23、（1）①5；②3xy+y 2；（2）①ab(a+1)(a-1)；②-y(3x-y)2；（2）①x=9；②x=-356【分析】(1) ①先计算负整数指数、乘方和零指数幂，然后按实数的计算法则加减即可； ②先根据多项式乘以多项式法则和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．(2) ①首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，②找出公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；(3) ①方程两边同时乘以x(x−3)，然后求解即可，注意，最后需要检验；②方程两边同时乘以(2x−5)(2x +5)，然后求解即可，注意，最后需要检验；【详解】解：(1) ①原式=4-8×0.125+1+1=4-1+1+1=5 ②原式=4x 2+3xy-4x 2+y 2=3xy+y 2(2) ①3-a b ab =ab(a 2-1)= ab(a+1)(a-1)②22369xy x y y --=-y(-6xy+9x 2+y 2)= -y(3x-y)2(3) ①方程两边同乘x(x−3)得：2x=3x-9，解得：x=9，检验：当x=9时，x(x−3)≠0，∴x=9是原方程的解；②方程两边同乘(2x−5)(2x+5)得：2x(2x+5)-2(2x-5)= (2x−5)(2x+5)解得：x=-356， 检验：当x=-356时，(2x−5)(2x+5) ≠0， ∴x=-356是原方程的解． 【点睛】本题考查实数的计算、因式分解和分式的加减，多项式乘以多项式法则，解分式方程，掌握运算顺序与运算法则和因式分解的方法是解题的关键．24、（1）证明见解析；（2）63°【解析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据三角形的内角和和三角形外角以及平行线的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交AB 于点E ，∴∠BED ＝∠BCD ＝90°，∴ED ＝DC ，在Rt △BED 与Rt △BCD 中，∴Rt △BED ≌Rt △BCD （HL ）；（2）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，∠A ＝36°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝27°，∴∠BDC ＝63°，∵CF ∥BD ，∴∠CFD ＝∠BDC ＝63°．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答．25、11a -，1 【分析】对括号内的分式通分化简、用平方差公式因式分解，再根据整式的乘法和整式的除法法则进行计算，再代入a 的值进行计算. 【详解】211(1)22a a a --÷++ ()()212211a a a a a +-+=++-11a =- 当2a =时，原式1121==-. 【点睛】本题考查的是分式的混合运算－化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则.26、（1）图见解析，35；（2）8t =或74t = 【分析】（1）因为已知P ，Q 的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出PQ ；（2）①当PB PQ =时，2226QP t =+，2226(82)PB t =+-；②当QB QP =时，2226QP t =+，8QB t =-；分别列出方程求出t 后根据4t 取舍即可得．【详解】解：（1）∵点Q 的运动速度为每秒1个单位和运动时间为3秒， ∴由图中可知PQ 的位置如图1，则由已知条件可得6PD =，3AQ =，3QE =，6PE =，∴22223635PQ PE QE =+=+=.（2）作PM AB ⊥于点M ，由题意知2PD t =、AQ t =，则82CP t =-、8BQ t =-，∵2AM DP t ==，∴QM AM AQ t =-=，则222PQ PM QM =+，即2226PQ t =+，∵22(8)BQ t =-，22222(82)6PB PC BC t =+=-+，∴当PQ PB =时，22226(82)6t t +=-+，解得83t =或84t =>（舍去）； 当PQ BQ =时，2226(8)t t +=-， 解得：74t =； 综上，当8t =或74t =时，PQB ∆能成为以PQ 为腰的等腰三角形. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，作图-平移变换及等腰三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理及等腰三角形的判定．。

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．已知等腰三角形的周长为 17cm ，一边长为 5cm ，则它的腰长为（ ） A ．5cmB ．6cmC ．5.5cm 或 5cmD ．5cm 或 6cm2．下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ） A ．5，7，12B ．5，6，7C ．5，5，12D ．1，2，64．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，且∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．80°B ．30°C ．40°D ．50°5．如图，ABC ∆的面积为12，AB AC =，4BC =，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ，若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则PCD ∆周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．10D ．126．下列运算正确的是( ) A ．a 2·a 3＝a 6 B ．(－a 2)3＝－a 5C ．a 10÷a 9＝a(a≠0)D ．(－bc)4÷(－bc)2＝－b 2c 27．下列各式中，无论x 取何值分式都有意义的是( )A ．224x x x ++B ．2221x x +C ．21x x + D ．12x8．在平面直角坐标系中，线段AB 的端点分别为()()2,00,4A B ，，将线段AB 平移到11A B ，且点1A 的坐标为(8,4)，则线段11A B 的中点的坐标为（ ） A ．(7,6)B ．(6,7)C ．( 6,8)D ．(8,6)9．点P （3，4-）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（3，4-）B ．（3-，4-）C ．（3，4）D ．（3-，4）10．如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA 、PB 、PC 、PD 、PE ，其中长度是有理数的有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE=3，则点P 到AB 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．一个圆柱形容器的容积为32Vm ，开始用一个小水管向容积内注水，水面高度达到容积的一半后，改用一根口径（直径）为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t min ．设小水管的注水速度3m /min x ，则下列方程正确的是( ) A ．2V Vt x x+= B ．4V V t x x+= C ．24V V t x x+= D ．24V V t x x+= 二、填空题（每题4分，共24分）13．若y =1是方程1m y -+32y -=()()112y y --的增根，则m =____． 14．在三角形ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC 的长为__________________. 15．若关于x 的分式方程3111m x x+=--无解，则m 的值是_____． 16．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．17．若分式3521x +-有意义，则x __________． 18．如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ；作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、点E ，若3AE m =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．20．（8分）如图，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 与C 重合，D 与G 重合，若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，求： （1）DE 的长；（2）求阴影部分△GED 的面积．21．（8分）先化简，再求2241()2442x x x x x x -+⋅--++的值，其中x=1． 22．（10分）已知ABC ∆为等边三角形，E 在BA 的延长线上，D 为线段BC 上的一点，EC ED =．（1）如图，求证：BC BE BD =-；（2）如图，过点E 作EG BC ⊥于点G ，交AC 于点F ，当30DEC ∠=︒时，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰三角形．23．（10分）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，O 为BC 的中点，点E 、D 分别为边AB 、AC 上的点，且满足OE ⊥OD ，求证：OE=OD ．24．（10分）解分式方程： （1）253x x =+ (2)221111x x x x --=-- 25．（12分）已知，在平面直角坐标系中，()0A m ，、()0B n ，，m 、n 满足()250||mn m +﹣﹣＝．C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是x 轴正半轴上一点，且PO ＝PD ，DE ⊥AB 于E ．（1）如图1，当点P 在线段AB 上运动时，点D 恰在线段OA 上，则PE 与AB 的数量关系为 ．（2）如图2，当点D 在点A 右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．（3）设AB ＝52,若∠OPD ＝45°，直接写出点D 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知ABC ∆三个定点坐标分别为()4,1A -，()3,3B -，()1,2C - .（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，点,,A B C 的对称点分别是点111A B C 、、，则111A B C 、、的坐标： 1A （_________，_________），1B （_________，_________），1C （_________，_________）；（2）画出点C 关于y 轴的对称点2C ，连接12C C ，2CC ，1C C ，则12CC C ∆的面积是___________.参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【分析】分为两种情况：5cm 是等腰三角形的底边或5cm 是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】解：当5cm 是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17-5）÷2=6（cm ），能够组成三角形；当5cm 是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7（cm ），能够组成三角形． 故该等腰三角形的腰长为：6cm 或5cm ． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2、D【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高.考点：三角形的高3、B【解析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A、5＋7=12，不能构成三角形；B、5＋6＞7，能构成三角形；C、5＋5＜12，不能构成三角形；D、1＋2＜6，不能构成三角形．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．4、C【解析】根据三角形的内角和可知∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线的性质可知可得∠EAD=∠CAD=40°，再由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可得∠ADE=∠DAC=40°.故选C.5、B【分析】先根据中点的定义求出CD，然后可知PCD∆的周长=PC＋PD＋CD，其中CD为定长，从而得出PC＋PD最小时，PCD∆的周长最小，连接AD交EF于点P，根据垂直平分线的性质可得此时PC＋PD=PA＋PD=AD，根据两点之间线段最短可得AD即为PC＋PD的最小值，然后根据三线合一和三角形的面积公式即可求出AD，从而求出结论．【详解】解：∵4BC=，点D为BC边的中点∴CD=12 2BC=∵PCD∆的周长=PC＋PD＋CD，其中CD为定长∴PC＋PD最小时，PCD∆的周长最小连接AD交EF于点P，如下图所示∵EF垂直平分AC∴PA=PC∴此时PC＋PD=PA＋PD=AD，根据两点之间线段最短，AD即为PC＋PD的最小值∵AB AC=，点D为BC的中点∴AD⊥BC∴1122ABCS BC AD∆=•=，即14122AD⨯•=解得：AD=6∴此时PCD∆的周长=PC＋PD＋CD= AD＋CD=1即PCD∆周长的最小值为1．故选B．【点睛】此题考查的是求三角形周长的最小值、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质、掌握两点之间线段最短、垂直平分线的性质和三线合一是解决此题的关键．6、C【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．【详解】解：A、a2•a3＝a5，故A错误；B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．7、A【分析】分式有意义的条件分母不为0，当分式的分母不为0时，无论x取何值分式都有意义．【详解】A 、分母2224=(1)3x x x ++++，不论x 取什么值，分母都大于0，分式有意义； B 、当1=2-x 时，分母21=0x +，分式无意义； C 、当x=0时，分母x 2=0，分式无意义； D 、当x=0时，分母2x=0，分式无意义． 故选A ． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义． 8、A【分析】根据点A 、A 1的坐标确定出平移规律，求出B 1坐标，再根据中点的性质求解． 【详解】∵()2,0A ，1A (8,4)，∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位， ∵()0,4B ，∴点B 1的坐标为（6，8）， ∴线段11A B 的中点的坐标为8648,22++⎛⎫⎪⎝⎭，即(7,6), 故选A ． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 9、C【分析】根据点坐标关于x 轴对称的变换规律即可得．【详解】点坐标关于x 轴对称的变换规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，(3,4)P -，∴点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3,4)，故选：C ． 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于x 轴对称的变换规律是解题关键． 10、B【分析】先根据勾股定理算出各条线段的长，即可判断．【详解】4PA =，PB ==，5PC =，PD ==PE = PA 、PC 的长度均是有理数，故选B.考点：本题考查的是勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握网格的特征，灵活选用恰当的直角三角形使用勾股定理． 11、A【解析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，故点P 到AB 的距离是3，故选A 12、B【分析】根据大水管的直径是小水管的2倍，即可得出大水管的横截面积是小水管的4倍，从而得出大水管的注水速度为小水管的4倍，然后根据“小水管的注水时间＋大水管的注水时间=t ”列方程即可．【详解】解：∵大水管的直径是小水管的2倍 ∴大水管的横截面积是小水管的4倍 即大水管的注水速度为小水管的4倍 根据题意可得：4V V t x x+= 故选B ． 【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握两个圆的面积之比等于直径比的平方和实际问题中的等量关系是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分） 13、-1.【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m 的值． 【详解】去分母，可得 m （y-2）+3（y-1）=1， 把y=1代入，可得 m （1-2）+3（1-1）=1， 解得m=-1，故答案为-1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．14、26．【详解】解：根据勾股定理列式计算即可得解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，∴2222AC AB BC7526=-=-=．故答案为：2615、2【详解】解：去分母，得m﹣2=x﹣1，x=m﹣1．∵关于x的分式方程无解，∴最简公分母x﹣1=0，∴x=1，当x=1时，得m=2，即m的值为2．故答案为2．16、360 °【解析】如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛：本题考查的知识点：（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．17、≠12【分析】根据分式有意义的条件作答即可，即分母不为1．【详解】解：由题意得，2x-1≠1，解得x ≠12． 故答案为：≠12． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义时，分母不为1是解题的关键． 18、19cm【分析】根据尺规作图得到MN 是线段AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA DC =，26AC AE ==，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：由尺规作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线，DA DC ∴=，26AC AE ==，ABD ∆的周长为13，13AB AD BD AB DC BD AB BC ∴++=++=+=，则ABC ∆的周长13619()AB BC AC cm =++=+=，故答案为：19cm ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（1）①见解析；②1．【分析】（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD 与∠F的关系，进而可得结论；（1）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=110°，BH=EC，于是可根据SAS证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=12BC CG⋅，而BC和CG可得，问题即得解决．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，当D、E两点重合时，则AD=CD，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CF CD=，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD=∠F，∴BD DF=；（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，∵AE CD=，CD=CF，∴EH=CF，又∵∠BHE=∠ECF=110°，∴△BHE≌△ECF（SAS），∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =1，BE =13， ∴BF =226BE =，232GF =-，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴6BM ME MF ===，∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =+，266262CF =--=-，∴()262312CN FN ==⨯-=-， ∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==-，∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．20、（1）1；（2）185 【解析】（1）设DE =EG =x ，则AE =8﹣x ．在Rt △AEG 中，由勾股定理得：AG 2+EG 2=AE 2，解方程可求出DE 的长； （2）过G 点作GM ⊥AD 于M ，根据三角形面积不变性，得到AG ×GE =AE ×GM ，求出GM 的长，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）设DE =EG =x ，则AE =8﹣x ．在Rt △AEG 中，AG 2+EG 2=AE 2，∴16+x 2=（8﹣x ）2，解得x =1，∴DE =1．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M ，则12•AG ×GE =12•AE ×GM ，AG =AB =4，AE =CF =5，GE =DE =1， ∴GM =125， ∴S △GED =12GM ×DE =185．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．21、12x -，2． 【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=2(2)241(2)2x x x x x -+-⋅-+=2(2)(2)1(2)2x x x x +-⋅-+=12x - 当x=2时，原式=2．考点：分式的化简求值．22、（1）见解析；（2）ABC ∆，EDC ∆，AEF ∆，EFC ∆．【分析】（1）延长BC 至点H ，使CH BD =，连接EH ，利用(SAS)证得BED HEC ∆∆≌，得到BE EH =，证得BEH ∆也是等边三角形，利用等量代换即可证得结论；（2）根据等腰三角形的概念即可解答．【详解】（1）延长BC 至点H ，使CH BD =，连接EH ，∵EC ED =，∴EDC ECD ∠=∠，∵180EDB EDC ∠=︒-∠，180ECH ECD ∠=︒-∠，∴EDB ECH ∠=∠，∴BED HEC ∆∆≌(SAS) ，∴BE EH =，∵ABC ∆是等边三角形，∴60B ∠=︒，∴BEH ∆是等边三角形，∴BE BH =，∵BH BC CH BC BC =+=+，∴BE BC BC =+，∴BC BE BD =-，（2）由已知：ABC ∆为等边三角形，以及EC ED =，∴ABC ∆，EDC ∆是等腰三角形；∵ABC ∆为等边三角形，∴60BAC BCA ∠=∠=︒，∵EG BC ⊥，∴90906030AFE GFC BCA ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，60BAC AEF AFE ∠=∠+∠=︒，∴30AEF AFE ∠=∠=︒，∴AEF ∆是等腰三角形，∵EC ED =，EG BC ⊥，30GFC ∠=︒，30DEC ∠=︒， ∴1152DEG GEC DEC ∠=∠=∠=︒， 30GFC GEC FCE ∠=∠+∠=︒，∴15FEC FCE ∠=∠=︒，∴EFC ∆是等腰三角形，综上，ABC ∆，EDC ∆，AEF ∆，EFC ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形，证明线段相等，注意转化思想的运用．23、见解析．【分析】连接AO ，证明△BEO ≌△ADO 即可．【详解】证明：如图，连接AO ，∵∠BAC=90°，AB=AC ，O 为BC 的中点，∴AO=BO ，∠OAD=∠B=45°，∵AO ⊥BO ，OE ⊥OD ，∴∠AOE+∠BOE=∠AOE+∠AOD=90°，∴∠AOD＝∠BOE，∴△AOD ≌△BOE ，∴OE=OD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．24、（1）x =1；（1）x =1．【分析】（1）方程两边同时乘以()3x x +，化为整式方程后求解，然后进行检验即可； （1）方程两边同时乘以()()11x x +-，去分母后化为整式方程，求解后进行检验即可．【详解】（1）方程两边乘以最简公分母x (x +3)，得1(x +3)=5x ，1x +6=5x ，1x -5x =-6，-3x =-6，x =1检验：把x =1代入最简公分母中，x (x +3)=1(1+3)=10≠0，∴原方程的解为x =1；（1）方程两边乘以最简公分母：()()11x x +-，得x (x -1)-(1x -1)=x ²-1，x ²+x -1x +1=x ²-1，x =1，检验：把x =1代入最简公分母中，x ²-1=1²-1=3≠0,∴原方程的解为x =1．【点睛】本题考查了分式方程的求解，注意最后要检验是否为增根．25、（1）AB ＝2PE ；（2）成立，理由见解析；（3）点D 10()-．【分析】（1）根据非负数的性质分别求出m 、n ，证明△POC ≌△DPE ，可得出OC ＝PE ，由AB ＝2OC ，则结论得出；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC ＝∠BOC ＝45°，OC ⊥AB ，证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC ＝PE ，可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA ＝OB ＝5，DA ＝PB ，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】解：（1）∵(m ﹣n )2+|m ﹣5|＝0，∴m ﹣n ＝0，m ﹣5＝0，∴m ＝n ＝5，∴A (5，0)、B (0，5)，∴AC ＝BC ＝5，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOC ＝45°，OC ⊥AB ，∵PO ＝PD ，∴∠POD ＝∠PDO ，∵D 是x 轴正半轴上一点，∴点P 在BC 上，∵∠POD ＝45°+∠POC ，∠PDO ＝45°+∠DPE ，∴∠POC ＝∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,在此处键入公式。

八年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，6，7D. 5，11，123.4的算术平方根是（）A. ±2B. 2C. ±2D. 24.下列各数：-2，0，13，0.020020002…，π，9，其中无理数的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 15.如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A. 2B. 4C. 8D. 106.如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A. 50∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘7.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，则AD=（）A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（）A. 0.9米B. 1.3米C. 1.5米D. 2米9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A. 9B. 6C. 4D. 310.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是（）A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共27.0分）11.已知等腰三角形的一条边长为4，周长为14，则它的底边长为______．12.若a=1.2，则a=______；若m2=m，则m=______；13.已知x，y都是实数，且y=x−2+2−x+3，试求x y=______．14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数______．15.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则线段AF的长等于______．16.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=______cm．17.如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．18.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，如图所示，则阴影部分的面积是______．三、计算题（本大题共5小题，共40.0分）19.计算：（1）|2-1|-38+4（2）(−3)2−3(−2)3−|7−4|+(−1)020.求下列各式中x的值：（1）9（x-2）2-1=0（2）（2x+7）3=-2721.已知x−y+3与x+y−1互为相反数，求（x-2y）2的平方根．22.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，CB=3，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．23.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？四、解答题（本大题共3小题，共23.0分）24.（1）尺规作图：如图1，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．①在图（2）中以格点为顶点画一个面积为13的正方形；②如图（3），点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为______°．25.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．3.【答案】B【解析】解：=2，2的算术平方根是．故选：B．直接利用算术平方根的定义得出即可．此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．4.【答案】C【解析】解：在-2，0，，0.020020002…，π，中，无理数有0.020020002…，π这2个数，故选：C．依据无理数的三种常见类型进行判断即可．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5.【答案】B【解析】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．本题考查空间想象能力．解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系．6.【答案】A【解析】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°-65°-65°=50°．故选：A．直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．7.【答案】B【解析】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=BC=3，在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，∴AD=4，故选：B．先判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求得BD，在Rt△ABD 中利用勾股定理可求得AD的长．本题主要考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.9，∴CD=2.4．在Rt△ECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，∴EC=0.7，∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3．故选：B．要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解答题目的关键．9.【答案】D【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，∴4×ab+（a-b）2=25，∴（a-b）2=25-16=9，∴a-b=3，故选：D．由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．10.【答案】A【解析】解：①如图1，连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PB，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；本题正确的结论有：①③④故选：A．①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．11.【答案】6或4【解析】解：①当腰为4时，底边为14-4-4=6；②底边为4时，则底边为4；故答案为：6或4．根据题意得出两种情况，分别求出即可．本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的两腰相等，题目比较好，难度不是很大．12.【答案】3625非负数【解析】解：∵=1.2，∴a=（）2=，∵=m，∴m≥0，即m为非负数．故答案为：，非负数．直接利用二次根式的性质计算得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．13.【答案】8【解析】解：由题意得，x-2≥0且2-x≥0，解得x≥2且x≤2，所以，x=2，y=3，所以，x y=23=8．故答案为：8．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．14.【答案】65°或25°【解析】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，可求得其顶角为50°，则底角为×（180°-50°）=65°，当该三角形为钝角三角形时，如图2，可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，则底角为×（180°-130°）=25°．综上可知该三角形的底角为65°或25°．故答案为：65°或25°．分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键．15.【答案】258cm【解析】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4-x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+（4-x）2=x2，解得：x=，∴AE=cm，由折叠可知∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠CEF=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=cm，故答案为：cm．由折叠可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代换后，可知AE=AF，问题转化为在Rt△ABE中利用勾股定理求AE即可．本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．16.【答案】6【解析】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S△ABC=AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17.【答案】10dm【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，∴AB=4dm，BC=BC′=3dm，∴AC2=42+32=25，∴AC=5dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=10dm．故答案为：10dm要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．18.【答案】6【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵BC=4，AC=3，∴AB=．=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB S阴影的半圆的面积=π（）2+π（）2+AC×BC-π（）2=π（AC）2+π（BC）2-π（AB）2+AC×BC=π（AC2+BC2-AB2）+AC×BC=AC×BC=×3×4=6．故答案为：6先利用勾股定理列式求出AB，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．19.【答案】解：（1）|2-1|-38+4=2-1-2+2=2-1；（2）(−3)2−3(−2)3−|7−4|+(−1)0=3+2-（4-7）+1=2+7．【解析】（1）直接利用绝对值的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：（1）方程整理得：（x-2）2=19，开方得：x-2=±13，解得：x1=213，x2=123；（2）开立方得：2x+7=-3，解得：x=-5．【解析】方程利用平方根、立方根定义计算即可求出x的值．此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．21.【答案】解：∵x−y+3+x+y−1=0，∴x−y=−3x+y=1，解得：x=−1y=2，则±(x−2y)2=±(−1−2×2)2=±5．【解析】先根据相反数的性质得出+=0，利用非负数的性质列出关于x，y的方程组，解之求得x和y的值，代入计算可得．本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、非负数的性质、解二元一次方程组的能力及平方根的定义．22.【答案】解：在Rt△DAB中，BD=AD2+AB2=2，∵CD=1，BC=3，∴CD2+BD2=3，BC2=3，则CD2+BD2=BC2，∴∠CDB=90°，∴四边形ABCD的面积=12×AD×AB+12×CD×DB=12×1×1+12×2×1【解析】根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理得到∠CDB=90°，根据三角形的面积公式计算．本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．23.【答案】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB=22+32=13，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+13=7+13．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD=PC2−CD2=32−2.42=1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t-3=3，∴t=2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-4，AQ=2t-8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t-4+2t-8=6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【解析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=6；当P 点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．24.【答案】45【解析】解：（1）如图1，点P即为所求；（2）①如图2所示，正方形ABCD即为所求．②如图3所示，连接AC，则AC=BC==、AB==2，所以AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，则∠ABC=45°，故答案为：45．（1）作∠ABC平分线与线段AD的中垂线，交点即为点P；（2）①利用勾股定理作一边长为的正方形即可；②连接AC，利用勾股定理逆定理求解可得．此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质及勾股定理及其逆定理是解题关键25.【答案】证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．26.【答案】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，由题意知BC=5，CD=3，根据勾股定理得：BD=4，∵AB=1，∴AD=5，AC=32+52=34，∴AB+AC=1+34．【解析】过作CD⊥AB交AB延长线于D，根据勾股定理求得BD的长，从而求得线段AD的长，然后根据勾股定理求得AC的长，从而求得线段AC的长．本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了实数大小的比较，本题中正确的计算AC，AB的长是解题的关键．。

江苏省无锡市锡山区港下中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．22A ．14B ．13C ．12D ．106．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD V 的面积是( )A ．36B ．24C ．12D ．107．如图是44⨯正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，BD BC =，BE CA =，62DBE C ∠=∠=︒，75BDE ∠=︒，则AFD ∠的度数等于（ ）A ．30︒B ．32︒C ．33︒D ．35︒9．如图，在ABC V 中，已知ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点F ，过点F 作DE BC ∥，交AB 于D ，交AC 于E ，若8AB AC +=，则ADE V 的周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，在ABC V 中，AD 为中线，过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥于点F ．在DA 延长线上取一点G ，连接GC ，使G BAD ∠=∠．下列结论中正确的个数为（ ）①BE CF =；②2AG DE =；③ABD CDF GCF S S S +=V V V ；④2AGC BDE S S =V VA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（1）若2BE =，则DE =．（2）当BAD ∠=︒时，BED V 是等边三角形．16．如图，在四边形ABCD 中，105BAD ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，在BC ，CD 上分别找一个点M ，N ，使AMN V 的周长最小，则AMN ANM ∠+∠=°17．如图，在ABC V 中，D 为边AC 上一点，且BD 平分ABC ∠，过A 作AE BD ⊥于点E ．若6429410ABC C AB BC ∠=︒∠=︒==，，，，则AE =．18．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点P 从点A 出发，沿折线AC CB-以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC CA -以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ，设运动时间为t ，当PEC V 与QFC V 全等时，t 的值为．三、解答题19．求下列各式中的x ：(1)21431x -=；交于点F ．(1)求证：ABC ECD ∆≅∆(2)判断线段AC 与DE 的位置关系，并说明理由．25．如图，在ABC V 中，已知点D 在线段AB 的反向延长线上，过AC 的中点F 作线段GE 交DAC ∠的平分线于E ，交BC 于G ，且AE BC ∥．(1)求证：ABC V 是等腰三角形．(2)若4AE =，5AB =，2GC BG =，求ABC V 的周长．26．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠F AE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF +DE ．27．如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边ABC V 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ．(1)连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；(2)当运动时间为_________时，PBQ V 是直角三角形？(3)如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．。

江苏省无锡市锡山区二泉中学2024-2025学年八年级上学期期月考数学试卷（10月份）一、单选题1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．根据下列已知条件，能确定ABC 的形状和大小的是（）A ．50A ∠=︒，60B ∠=︒，70C ∠=︒，B ．50A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB cm =，C ．5AB cm =，4AC cm =，30B ∠=︒，D ．6AB cm =，4BC cm =，1AC cm =，3．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（）．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于A ．44°B ．68°C ．46°D ．22°5．在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，且顶点在格点上，在ABC 内部有E 、F 、G 、H 四个格点，到ABC 三个顶点距离相等的点是（）A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H6．如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，AD 是边BC 上的中线，则AD 长的取值范围是（）A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD ≤8C ．1＜AD ＜7D ．1≤AD ≤77．如图，AB CD ∥，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直．若点P 到BC 的距离是4，则AD 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．28．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，AB=AC=BD ，则∠1和∠2的关系是（）A ．180°+∠2=3∠1B ．∠1+∠2=90°C ．180°－∠1=3∠2D ．∠1=2∠29．如图，钝角ABC ∆中，457AC BC AB ===，，，过三角形一个顶点的一条直线可将ABC ∆分成两个三角形．若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有（）条．A ．5B ．6C ．7D ．810．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB 的度数为（）A ．40°B ．45°C ．60°D ．80°二、填空题11．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠E=50°，则∠C=．12．如图，∠AOB ＝30°，P 1、P 2两点关于边OA 对称，P 2、P 3两点关于边OB 对称，若OP 2＝3，则线段P 1P 3＝．13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，已知△BCE 的周长为15cm ，BC =7cm ，则AC =cm ．14．如图，在ABC V 中，点D 、E 、F 分别是BC AB AC ，，上的点，若B C BF CD ∠=∠=，，54BD CE EDF =∠=︒，，则A ∠=．15．连接正方形网格中的格点，得到如图所示的图形，则1234∠+∠+∠+∠=º．16．如图，点D 在ABC V 内部，BD 平分ABC ∠，且AD BD ⊥，连接CD ．若BCD △的面积为2，则ABC V 的面积为．17．如图1，将一张直角三角形纸片ABC （已知90ACB ∠=︒，AC BC >）折叠，使得点A 落在点B 处，折痕为DE ．将纸片展平后，再沿着CD 将纸片按着如图2方式折叠，BD 边交AC 于点F ．若ADF ∆是等腰三角形，则A ∠的度数可能是．18．如图，直线MN PQ ⊥，垂足为O ，点A 是射线OP 上一点，2OA =，以OA 为边在OP 右侧作20AOF ∠=︒，且满足4OF =，若点B 是射线ON 上的一个动点（不与点O 重合），连接AB ．作AOB V 的两个外角平分线交于点C ，在点B 在运动过程中，当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为．三、解答题19．如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD =CF ，AB =DE ，BC =EF ．求证：ABC DEF ≌△△．20．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：(1)如图1，在ABC V 的边BC 上求作一点D ，使得ABD ACD S S = ；(2)如图2，在ABC V 的边BC 上求作一点E ，使得点E 到AB ，AC 的距离相等．21．如图，在规格为88⨯的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），ABC V 的三个顶点都在格点上，且直线m 、n 互相垂直．(1)画出ABC V 关于直线n 对称的A B C ''' ；(2)在直线m 上作出点P ，使得APB △的周长最小；（保留作图痕迹）(3)在（2）的条件下，图中APB △的面积为．（请直接写出结果）22．如图，点D 、E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．（1）如果∠BAC ＝100°，则∠B ＝°；（2）求证：BD ＝CE ．23．如图，BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE AB DF AC ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，若106AB AC ==，，求BE 的长．24．如图，在ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，()1AB 10=，AC 8=，求四边形AEDF 的周长；()2EF 与AD 有怎样的位置关系，证明你的结论．25．如图1，在ABC V 中，AG BC ⊥于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB AC 、为直角边，向ABC V 作等腰Rt ABE △和等腰Rt ACF △，过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ．(1)试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若连接EF 交GA 的延长线于H ，由（1）中的结论你能判断EH 与FH 的大小关系吗？并说明理由；(3)在（2）的条件下，若46BC AG ==，．请直接写出AEF S = ．26．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝5cm ，CD ＝4cm ．点P 从点C 出发以1cm /s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以1.5cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以acm /s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P 、M 、N 同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图1，①当a为何值时，以P、B、M为顶点的三角形与△PCN全等？并求出相应的t的值；②连接AP、BD交于点E．当AP⊥BD时，求出t的值；（2）如图2，连接AN、MD交于点F．当38a=，83t=时，证明S△ADF＝S△CDF．。

2023—2024学年江苏省无锡市二泉中学八年级上学期10月月考数学试卷一、单选题1. 下面四个图形中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2. 实数9的算术平方根是（）A．3B．C．D．3. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能．．．是（）A．3B．4C．5D．64. 如图，将两根同样的钢条和的中点固定在一起，使其可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据，的长就等于工件内槽的宽，这里判定的依据是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边5. 在联合会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边中垂线的交点D．三边上高的交点6. 若[ a]表示数a的整数部分，例如[π]＝3，则[ ]＝（）A．4B．5C．6D．77. 如图，是的平分线，于点E，，则的长是（）A．6B．7C．8D．98. 如图，把长方形沿对折，若，则等于（）A．B．C．D．9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm10. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．①②③④B．①②③④⑤C．①②③D．①②③⑤二、填空题11. 小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是 _____ ．12. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是： ____ ．（写一个即可）13. 已知，，点D是中点，，则____________ ．14. 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE= AD，则∠EDC= ______ ．15. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ________ ．16. 如图，，，，则的面积为 __________ .17. 如图，其中的△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，BE与CD相交于点I，若∠BAC＝140°，则∠EIC＝ _____ °．18. 如图，Rt ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 _________三、解答题19. （1）计算：（2）求下列各式中的：（3）已知的平方根是，的平方根是，求的立方根．20. 如图，在规格为的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线、互相垂直．(1)画出关于直线对称的；(2)在直线上作出点，使得的周长最小；（保留作图痕迹）(3)图中的面积为________．（请直接写出结果）21. 如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE= BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠2=40°，求∠C的度数．22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB．23. 在四边形中，，M、N分别是的中点．(1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论；(2)如果，，求的长．24. 如图，∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，点N在点M的上方，MN＝2，点M从O开始沿着射线OA移动，移动距离为x，点P是边OB上的点．(1)利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM＝PN；(2)在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有个，最多有个；当x＝2时，这样的点P有个．(3)若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有3个，写出x满足的条件．25. 以的、为边作和，且，，与相交于M，．(1)如图1，求证：；(2)在图1中，连接，则________， ________；（都用含的代数式表示）(3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数．。