向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；
坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ, ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小, 记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .
单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等, 方向相同(ｘ1, ｙ1)＝（ｘ2, ｙ2）⎩⎨
⎧==⇔2
12
1y y x x
(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量, 称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算 运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的 加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
1212(,)a b x x y y +=++r r
a b b a +=+r r r r
()()a b c a b c ++=++r r r r r r
AC BC AB =+
向量的 减法
三角形法则
1212(,)a b x x y y -=--r r
()a b a b -=+-r r r r
AB BA =-u u u r u u u r
,AB OA OB =-
数 乘 向 量
1.a λr
是一个向量,满
足:||||||a a λλ=r r
2.λ>0时, a a λr r
与同向;
λ<0时, a a λr r 与异向; λ=0时, 0a λ=r r
.
(,)a x y λλλ=r
()()a a λμλμ=r r
()a a a λμλμ+=+r r r ()a b a b λλλ+=+r r r r
//a b a b λ⇔=r r r r 向 量 的 数 量 积
a b •r r
是一个数
1.00a b ==r r r r
或时, 0a b •=r r
. 2.00||||cos(,)
a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时， 1212a b x x y y •=+r r
a b b a •=•r r r r
()()()a b a b a b λλλ•=•=•r r r r r r
()a b c a c b c +•=•+•r r r r r r r 2222||||=a a a x y =+r r u r
即
||||||a b a b •≤r r r r
3.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r
r r r ．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++r r r r r
r ；③00a a a +=+=r r r r r ．
⑸坐标运算：设()11,a x y =r
, ()22,b x y =r , 则()1212,a b x x y y +=++r r ．
4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点, 连终点, 方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设()11,a x y =r , ()22,b x y =r , 则()1212,a b x x y y -=--r
r ．
设A 、B 两点的坐标分别为
()
11,x y ,
()
22,x y , 则
()1212,x x y y AB =--u u u r
．
5.向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘, 记作a λr
． ①
a a λλ=r r
；
②当0λ>时,
a λr
的方向与a r
的方向相同；当0λ<时, a λr 的方向与a r
的方向相反；当0λ=时,
0a λ=r r ．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r
；③()
a b a b λλλ+=+r r r r ．
⑶坐标运算：设(),a x y =r , 则()(),,a x y x y λλλλ==r
．
6.向量共线定理：向量()
0a a ≠r
r r 与b r 共线, 当且仅当有唯一一个实数λ, 使b a λ=r r ．
设()11,a x y =r , ()22,b x y =r , 其中0b ≠r r , 则当且仅当12210x y x y -=时, 向量a r 、()
0b b ≠r r r
共线．
7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量a r
, 有且只有一对实数1λ、2λ, 使1122a e e λλ=+u r u u r r
．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一
组基底）
8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点, 1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,
()22,x y , 当
12λP P =PP u u u r u u u r 时, 点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ
λ++⎛⎫
⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。）1=λ b r
a r
C
B
A
a b C C -=A -AB =B u u u
r u u u r u u u r r r
