自动控制原理第5章 频率响应法

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（2）积分环节和微分环节
1）积分环节 积分环节的传递函数为
G (s) 1 s
2）微分环节 微分环节的传递函数为
G( s) s
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（3）惯性环节和一阶微分环节
1）惯性环节 惯性环节的传递函数为
G( s) 1 Ts 1
2）一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为
G(s) Ts 1
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例5-2 单位反馈系统的开环传递函数为 G ( s ) 解 开环频率特性
s 1
Ts 1
， 试绘制其极坐标图。
j 1 2 2 1 G ( j ) (arctan arctan T ) 2 2 j T 1 T 1
确定极坐标曲线的起始点和终止点： 当w =0时，G(jw)=1∠0°； 当w =∞时，
表5.2 惯性环节在几个特定频率下的幅值与相角 0 1/2T 1/T 10/T
|G(jw)|
∠G(jw)
K
0°
K/1.12
-26.6° -45°
K/10.0
-84°
0
-90°
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可以证明，图5.6中的频率特性曲线是一半圆，圆心在实轴 上的0.5K处，半径R=0.5K。 设 G( j ) U ( ) jV ( )
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第5章 频域分析法
机械工业出版社
第5章 频域分析法
5.1 概述 5.2 频率特性的基本概念 5.3 频率特性的图示方法 5.4 频域稳定性判据 5.5 控制系统的稳定裕度 5.6 控制系统的闭环频率特性 5.7 频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系
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K ( s z1 )(s z 2 ) (s z m ) G( s) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s n )
nm
式中-z1， -z2 ,…,-zm是传递函数G(s)的零点， -s1 , -s2 ,…, -sn 是传递函数G(s)的极点。这些极点可能是 实数，也可能是共轭复数，但对于稳定系统来说，它们都 具有负实部。
U ( )
V ( )
配方后可得
K (T ) 2 1
KT (T ) 2 1
(U
K 2 K ) V 2 ( )2 2 2
所以，在复平面上G(jw)为一圆心在(K/2，0)点， 半径为K/2的半圆，如图下半部分所示。当-∞w 0时，因为G(-jw)与G(jw)互为共轭关系，关于实 轴对称，即如上半圆所示。
lim uc
t
A
T 1
2 2
sin( t arctan T )
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如果取s=j代入，则
1 1 1 1 jarctanT e 2 2 jT 1 jT 1 jT 1 T 1
该式能完全描述RC网络在正弦函数作用下稳 态输出的幅值和相位随输入频率变化的情况。因此， 将1 / (jwT+1)称做该RC网络的频率特性。
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（4）一阶微分环节 （5）振荡环节
（6）延滞环节
2.不稳定环节频率特性的极坐标图 如果某环节在右半s平面有极点，则称该环节为不稳定环 节。不稳定环节的幅频特性表达式与稳定环节完全相同，但 相频特性却有较大差别。
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K 例5-1 设有两个不稳定环节的传递函数分别为 G1 ( s ) Ts 1 和 G 2 ( s ) 1 Ts
系统输出c(t)的拉普拉斯变换为
K (s z1 )(s z 2 )(s z m ) A C(s)=G(s)R(s)= (s s1 )(s s2 )(s sn ) (s j )(s j )
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展成部分分式为
bn b1 b2 a a C ( s) s j s j s s1 s s2 s sn
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（4）振荡环节 振荡环节的传递函数为
2 n 1 G( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2 2 n s n
(0 1)
其频率特性为
1 G( j ) 2 （ 1 2 ） j 2
n
n
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用两条渐近线近似表示振荡环节的对数幅频特性曲线也将 产生误差，误差最大值发生在振荡环节的转角频率w =wn处， 误差的表达式为
1 1 A U c ( s) U r ( s) Ts 1 Ts 1 s 2 2
t T
ur A sin t
取拉普拉斯反变换，得输出信号
AT uc 2 2 e T 1

A
2T 2 1
sin(t arctan T )
式中第一项为输出的瞬态分量，第二项为稳态分量。随着t趋于 无穷大，瞬态分量趋于零，于是
i 1 k j i
i 1 k
（5-23）
系统开环频率特性可根据各串联环节频率特性的模及相角公式， 令w 从0→∞变化，按照“幅值相乘、相角相加”的原则进行计 算，从而绘制极坐标图。
绘制系统开环极坐标图可按如下步骤：
（1）确定曲线的起始点和终止点 （2）确定曲线与实轴或虚轴的交点 （3）分析曲线的变化区域
对式进行拉普拉斯反变换，可得系统对正弦输入信号r(t)的响 n 应为 si t jt jt
c(t ) ae
ae
bi e
i 1
即
css (t ) ae
jt
ae
jt
式中的系数
a和a
求得如下。即
s j
a G( s)
A ( s j ) ( s j )(s j ) A G ( j ) 2j
G ( j )

T
0
如果τ>T，则∠G(jw)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T，则 ∠G(jw)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图5.12所示。
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5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形，称为对数坐 称图或波德(Bode)图。 对数坐标图在频率法中应用最为广泛。它的主要优点是：①利用对数 运算可以将串联环节幅值的乘除运算转化为加减运算；②可以扩大所表 示的频率范围，而又不降低低频段的准确度；③可以用渐近线特性绘制 近似的对数频率特性，从而使频率特性的绘制过程大大简化。 1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分组成。 对数幅频特性和相频特性的横坐标都是频率w ，采用对数分度，单位 为弧度／秒（rad／s）。 对数幅频特性的纵坐标表示幅值比的对数值，定义为 L(w)=20lg|G(jw)| （5-26) 采用线性分度，单位是分贝，用字母dB表示。 对数相频特性的纵坐标表示相位差j =∠G(jw)，采用线性分度， 单位是度（°）。
K
试绘制其极坐标图。
G1 ( j ) K K (180 arctan T ) 2 2 jT 1 T 1
。
G2 ( j )
K K arctan T 2 2 1 jT T 1
对于G1(jw)：当w =0时，G1 (j0)=K∠-180°；当w =∞时，G1 (j∞)=0∠-90°。 对于G2(jw)：当w =0时，G2 (j0)=K∠0°；当w =∞时，G2 (j∞)=0∠90°。 分析0w ∞中间过程的幅值和相角所在的象限，画出频率特性的极坐标曲线如图 所示。
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3.系统开环频率特性的极坐标图 系统的开环传递函数是由一系列典型环节组成的，因此， 系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积，即
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gk ( j ) Gi ( j )
i 1 k
若写成极坐标形式，为
G( j ) Gi ( j ) e
3
5.2 频率特性
5.2.1 频率特性的基本概念
首先以图RC网络为例，说明频率特性的概念。
RC网络的输入和输出的关系可由下面微分方程 描述 du c
T
dt
uc ur
式中，T=RC为时间常数。网络的传递函数为
U c ( s) 1 U r (s) Ts 1
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设输入是一个正弦信号，即
可得
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1. 典型环节频率特性的极坐标图 （1）比例环节。比例环节的幅频特性和相频特性都是常量， 分别等于K及0°，不随频率w 而变化。 （2）积分环节。当w 由零趋向无穷大时，幅频特性则由∞逐 渐减少到0，而相位总是-90°。因此积分环节的极坐标曲 线是沿复平面中虚轴下半部变化的直线，如图5.5所示。 积分环节是相位滞后环节，它的低通性能好。 （3）惯性环节
表列出了RC网络幅频特性和相频特性的计 算数据。
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根据表中数据绘制的幅频特性曲线和相频特性曲 线如下：
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5.2.2 频率特性的求取
一般线性定常系统输入、输出关系如图所 示。
系统的传递函数为 C ( s ) G ( s )
R( s)
假定输入信号r(t)为
r (t ) A sin t
A A R( s) L[ A sin t ] 2 2 ( s j )(s j ) s
a G( s)
A ( s j ) ( s j )(s j ) A G ( j ) 2j
s j
10
c ss (t )
A [G ( j )e j t G ( j )e j t ] 2j
e j ( t ) e j ( t ) A G ( j ) 2j A G ( j ) sin( t ) B sin( t )
本章将讨论频率特性的基本概念、典型环节和 系统的频率特性、奈魁斯特稳定判据、频域性能指标 与时域性能指标间的联系等。
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5.1 概述 频域分析法是应用频率特性研究 线性系统的一种图解方法。频率特性 和传递函数一样，可以用来表示线性 系统或环节的动态特性。 建立在频率特性基础上的分析控 制系统的频域法弥补了时域分析法中 存在的不足，因而获得了广泛的应用。 所谓频率特性，是指在正弦输入信号 的作用下，线性系统输出的稳态响应。
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对数频率特性的坐标如图所示。
在对数分度的横坐标中，当变量增大或减小10倍，称为十倍频程（dec）， 坐标间距离变化一个单位长度。此外，零频率不能表示在对数坐标图中。
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2. 典型环节的对数频率特性曲线
（1）比例环节 比例环节的频率特性函数为 G (jw) =K∠0° （K >0） 由于幅值和相角都不随频率w变化，所以，对数幅频特性 是一条平行于横轴且纵坐标值为20lg|G(jw)|=20lgK(dB)的直线。 对数相频特性恒为0°。
通过上述分析，得到频率特性的定义，即：系统对正弦输入信号的稳态响应特 性，就称为频率特性。一般记为
G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) G ( j ) e j
它包含了两部分内容：幅值比是依赖于角频率w 的函数，|G(jw)|称为系统的幅 频特性；稳态输出信号对正弦输入信号的相移φ称为系统的相频特性。系统的频率 特性G(jw)可以通过系统的传递函数G(s)来求取，即
G( j ) G(s)
s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
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5.3 频率特性的图示方法
频域分析法是一种图解方法，采用频域法分析闭环系统的特 性时，通常需画出系统开环频率特性曲线。频率特性的图示 方法主要有三种，即极坐标图、对数坐标图和对数幅相图， 现分述如下。 5.3.1 极坐标图 频率特性G(jw)是频率w 的复变函数，其模|G(jw)|与相角 ∠G(jw)可以在复平面上用一个矢量来表示。当频率w从 0 变化时，矢量端点的轨迹就表示频率特性的极坐标 图。极坐标图又称幅相图或奈魁斯特(Nyquist)图。在极坐标 图上，规定矢量与实轴正方向的夹角为频率特性的相位角， 且按逆时针方向为正进行计算。
20 lg 20 lg 2 1 2 2 n n
2 2 2
( n )
2
2 1 2 40 lg 2 n n n