2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试
数学
注意事项：
1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）设复数z 满足|z|<1且1
5
|z+|2
z
=
，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 1
2
解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2
z =整理得22
22
1174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |
=1
2
=
（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切
.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A
13 B 16 C 18 D 112
解析：设2AB =,
容易算出2PB =,以底面中心为
原点建立空间坐标系，1
111(1,1,0),(1,1,0),(,,
(,,222222
D A M N ------，由1cos 6
|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu r
uuu
u r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3
2
21y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的
斜率是（ ）
A 2
B 1
C 1-
D 2-
解析：3
2
2
21(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，
()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-
（4）若23
A B π+=
,则22
cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）
A.312-
， B.13
22
，
C.11
D.112， 解析：22222
11
cos cos cos cos ()1cos(2)323
A B A A A ππ+=+-=+
+，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，
则（ ） A cos sin
02
α
β+= B sin cos
02
α
β-=
C sin 2sin 0βα+=
D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，
12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。
（6）已知异面直线,a b 成060角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成045角的平面（ ） A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个
解析：060，范围是00,60⎡⎤⎣⎦，有两个；0
120，范围是0
0,30⎡⎤⎣⎦，没有。选B
（7）已知向量11(0,1)()(),(1,1)2222
a b c xa yb zc ==--=-++=r r r r r r ，
，.则 222x y z ++的最小值为（ ）
A 1 B
43 C 3
2
D 2 解析：由11(0,1)()),(1,1)22
a b c xa yb zc ==-=-++=r r r r r r ，
，消去,x z 整理得到 22224
3(3
x y z y ++=+
+，选B （8）AB 为过抛物线2
4y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且0
135OFA ∠=,C 为抛物线
准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（ ） A 5 C 3 D 3
解析：直线AB 方程是1y x =-，联立抛物线2
4y x =解得
E
C
B
F
D
A
(32(32A B ++--，容易算出直线AC,BC 的斜率，由tan()αβ+得
到ACB ∠
的正切值为
（9）如图，已知ABC ∆的面积为2,D ，E 分别为边AB ,边AC 上的点，
F 为线段DE 上一点，设
AD AE DF
x y z AB AC DE
===，，，
且1y z x +-=，则BDF ∆面积的最大值为（ ） A
8
B 1027
C 1427
D 16
27 ,
1,
BDE ABE ABE
ABC
S S S S z x y ∆∆∆∆==-=，于是
(1)2
BDF ABC
S S z x y
∆∆-=
联立1
y z x +-
= 得到
[]2()(2(122
BDF ABC
S S zy zy
y z
zy ∆∆=
-+≤-=- 3
(148
22432727
BDF S ∆⎡⎤
-++⎢⎥≤=∴≤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
（10）将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两
不相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 解析：思路暂缺。
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （11）（本小题满分14分）
已知BC A ∆不是直角三角形.
（I ）证明：tan tan tan tan tan tan A B
C A B C ++=； （II tan tan 1tan B C
C A
+-=
，且sin 2sin 2sin 2A B C ，
，的倒数成等差数列. 求cos
2
A C
-的值.
