数学：7.4《数学归纳法》教案(沪教版高二上)

7.4 数学归纳法

上海市建平中学李坚

一、教学内容分析

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.

理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.

二、教学目标设计

1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；

2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；

3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．

三、教学重点及难点

重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;

难点：数学归纳法中递推思想的理解．

四、教学用具准备

实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、复习引入

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？ 方法一：把它倒出来看一看就可以了．

特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．

方法二：一个一个拿，拿一个看一个．

比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．

特点：有顺序，有过程．

问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n

a a a n N a +==

∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．

过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n

=∈， 解决以上两个问题用的都是归纳法.

二、讲解新课：

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.

特点：由特殊→一般.

2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.

如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.

我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.

3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.

4.数学归纳法：对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N *

，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.

5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n= n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.

6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；

(2)假设当n=k(k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.

三、例题分析

例1 用数学归纳法证明：如果{a n }是一个等差数列，那么a n =a 1+(n －1)d 对一切n ∈N *

都成立.

证明：(1)当n=1时，左边=a 1，右边=a 1+0·d=a 1，等式成立.

(2)假设当n=k 时等式成立，就是a k =a 1+(k －1)d.

那么a k +1=a k +d=［a 1+(k －1)d ］+d=a 1+［(k+1)－1］d ，

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.

由(1)和(2)可以判定，等式对任何n ∈N *都成立.

例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n －1)=n 2.

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

(2)假设当n=k 时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k －1)=k2，

那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.

∴n=k+1时也成立.

由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.

四、课堂练习： 1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=

(1)2

n n +. 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2

⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，

11123(1)(1)(1)(1)(11)22

k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=

+++=+++ ∴n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.

2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.

证明：(1)n=1时，左边=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.

∴左边=右边.

(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.

a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.

∴n=k+1时等式也成立.