______________________________________________________________
跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家
1
第十四讲 数形结合问题
【典型例题1】
如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .
（1）求抛物线和直线AB 的表达式；
（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；
（3）是否存在一点P ，使S △P AB =8
9
S △CAB ，若存在，
求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)设抛物线的表达式为 4)1(2
1+-=x a y 。
把A （3,0）代入表达式，求得1-=a 。 所以324)1(2
2
1++-=+--=x x x y 。
设直线AB 的表达式为 b kx y +=2。
由322
1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 。
把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中，解得 3,1=-=b k 。 所以32+-=x y 。
(2)因为C 点坐标为(１,4)，所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2。 所以CD ＝4-2＝2。
x
C
O
y A
B
D 1 1
______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家
2 3232
1
=⨯⨯=
∆CAB S (平方单位)。 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ， 则x x x x x y y h 3)3()32(2
2
21+-=+--++-=-=。 由S △P AB =
89S △CAB ，得 38
9)3(3212
⨯=+-⨯⨯x x 。 化简得 091242
=+-x x 。 解得 2
3=x 。 将2
3=
x 代入322
1++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)4
15
,23(。
【知识点】
抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。 【基本习题限时训练】
1. 已知点A 的坐标为（0，3），点B 与点A 关于原点对称，点P 的坐标为（4，3），那么△PAB 的面积等于（ ）
（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）24。 答案：C 。
2. 已知抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（ ）
（A ）5632++=x x y ；（B ）5632+-=x x y ； （C ）1632++=x x y ；（D ）1632+-=x x y 。 答案：A 。
______________________________________________________________
跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家
3
3. 已知直线b x y +=
4
3
经过点A （3，3），并与x 轴交于点B ，点C 在x 轴的正半轴上，且∠ABC=∠ACB ，那么点C 的横坐标为（ ）
（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6。 答案：B 。
【典型例题2】
如图，在平面直角坐标系中，点C （－3，0），点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，
10OA -=．
（1）求点A 、点B 的坐标；
（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连结AP ，设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1
10OA -=，∴2
30OB -=，10OA -=.
∴OB =
1OA =．
∵点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，∴A （1，0），B （0
）． （2）由（1）得AC =4
，2AB ==
，BC ==
∴22222
216AB BC AC +=+
==（． ∴△ABC 为直角三角形，90ABC ∠=o
．
∴S =t t -=⨯-322)322
1
（（0≤t
＜
跃龙学堂 4 （3）存在，满足条件的的有两个．
1(30)P -，， 21P ⎛- ⎝．
【知识点】
非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。 【基本习题限时训练】
1.已知013=+++-b b a ，那么b a 的值等于（ ） （A ）4；（B ）-4；（C ）
41
；（D ）4
1-。 答案：D 。
2. 在直角坐标系中，直线y=-2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，且△AOC ∽△ABO ，那么点C 到原点的距离等于（ ）
（A ）1；（B ）
551；（C ）552；（D ）55
4。 答案：D 。
3. 在矩形ABCD 中，AB=12，BC=16，点M 和点N 同时从点B 出发，分别沿边BC 和BA 运动，点M 的运动速度为每秒4厘米，点N 的运动速度为每秒3厘米，设运动的时间为t ，那么当△MNC 成为等腰三角形时，t 的值等于（ ）
（A ）
916；（B ）716；（C ）34；（D ）7
12。
答案：A 。
【典型例题3】
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，AD=6，如果OA 、OB 的
长是关于x 的一元二次方程2
7120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值．
（2）如果E 为x 轴上的点，且16
3
AOE S =
△，求经过D 、
