弹性力学第四章本构关系

§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载后
物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部
释放出来。
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
例：六方晶体
c Chaaptera5.1 a
§4-2 广义胡克定律
(5) 各向同性线弹性体 ：
2
c11 c12 c12
0
0
0
11 22
1323
23
31
对
c11
c12 c11
称
0
0 (c11 c12 )
2
0 0
0 (c11 c12 )
2
(c11
0 0 0
0
0 0
1323
e3
23
称
c55
c56
23
31
c66 31
c
例：单斜晶体(正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面
e1 b
e2 a
Cheap‘t3er 5.1
§4-2 广义胡克定律
(3) 正交各向异性线弹性体 ：
9
11 c11 c12 c13 0 0 0 11
22
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面
21
11 c11 c12 c13
22
c22 c23
1323
对
c33
23
称
31
例： 三斜晶体
c14 c15 c24 c25 c34 c35 c44 c45
c55
c
b
a
c16 11
c26
22
c36 c46
33 12
c56
23
c66 31
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13
11 c11 c12 c13 c14 0
22
c22 c23 c24 0
0 11
0
22
1323
对
c33 c34 0 c44 0
§4-2 广义胡克定律
(4) 横观各向同性线弹性体 ：
5
11 22 1323
c11 对
23
c12 c11
c13 c13 c33
称
0
0
0
c44
(c11
c12 ) 2
0 0 0 0 c55
0 0
11 22
0 0
33 12
0
23
31
c55 31
y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
由三部分组成，即
z
z x
o
y
y
x x x x
x x z
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
x x x x
其中 x 是由于x的作用所产生的相对伸长
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
y
x
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
11
y
o
x
z
非线性的应力应变关系
11
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为：
dA1
11
0 11
d
x2
d
x3 gd 11
d
x1
11 0
11
§4-1 本构关系概念
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
§4-2 广义胡克定律
Cijkl C jikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c c 65 yzChapte6r65.1zx
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
ij
0ij
2G ij
2 3
G
ij
K
2 3
GBaidu Nhomakorabea
31
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji Cijkl kl C jikl kl kl
kl lk
Cijkl C jikl
Cijkl kl Cijlk lk Cijlk kl kl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl C jikl
Chapter 5.1
C 是四阶刚度（弹性）张量。
ij Dijkl kl
D 是四阶柔度张量。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk Cklij
E 0; G 0; K 0
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
∵
E 0; G 0; K 0
G= E 2(1 + ν)
K
2 3
G
E
31 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即 1 0.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 0.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
c22 c23 0
0
0
22
1323
对
c33 0 0 c44 0
0 0
33 12
23
31
称
c55
0
23
c66 31
e3
e’1
c
例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、 木材等)
e1
b
e2 a
互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面为弹
性对称面
Chapter 5.1
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
各向异性本构关系
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起任何一个应变分量的变化。
广义胡克定律的一般形式是：
C ij
ijkl kl
弹性力学
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
d
11
d
V
其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上
做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得
d A
dV
ij 0
ij
d ij
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
引进应变能密度函数W(ij)，使
W
ij
ij
格林(Green,G.)公式
ij
即
W (ij ) ij (ij )dij
9个
剪切为对角阵
拉压：4个 剪切：2个
5个
c44 c11 c22 / 2
拉压：2个 剪切：1个
2个
c44 c11 c22 / 2
例 三斜晶体
单斜晶体
正交晶体 地壳、 六方晶体
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
E
2
由于偏量和球量相互独立 ，所以有
0 K ; ij 2Gij
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
0 K ; ij 2Gij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
x
y
z
1 E
x
y
z
2
x y z
1 2 E
x y z
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力
第一不变量 表示三个正应力之和，则
x
y
z
1 2
E
x y z
1 2
相应的剪切模量为
G E 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 0 0.5
的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
E
1
ij
E
1 1
2
kk ij
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G= E 2(1 + ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
ij
1
E
ij
E
kk ij
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
z
1 E
z
ν
x y
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
常用的三套弹性常数
E、ν
Lamé常数：G、λ K、G
单拉测定
静水压、纯剪（扭 转）测定
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正 功），所以
§4-2 广义胡克定律
其中 c11 C11, c12 C1122 , c14 C1112 , c56 C2331… 即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指 标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的 cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。
由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
x
x
E
x是由于y的作用所产生的相对缩短
x
ν
y
E
x是由于z的作用所产生的相对缩短
x
ν
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x
x
E
ν
y
E
νz
E
1 E
x
ν
y z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
y
1 E
y
ν x
z
E
3K
其中
K E
3(1 2 )
称为体积模量。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
∵ ij
1
E
ij
E
kkij
;
1 2
E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2G ij
E
1 1
2
ij
令
1
E
1
2
则 ij 2Gij kkij Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
弹性关系的常规形式为
c12
)
11 22
33 12
23
31
2
金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增
强复合材料
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
小结
一般情况
有一个弹 性对称面 正交各向 异性 横观各向 同性 各向同性
独立的弹 性常数
cij
21个
6×6对称
13个
拉压与剪切不耦合
0
则
d A
dV
ij
ij
0
d ij
ij
0
W
ij
d ij
ij
0
dW
W (ij ) W (0)
其中，W(0)和W(ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。
一般取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)＝0。
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
d A
dV
ij