第一章 随机过程的基本概念
一、随机过程的定义
例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。
例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]
例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为),
0[∞+
注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。
（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。
二、有限维分布与Kolmogorov 定理
随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随
机
过
程
的
二
维
分
布
：
T
t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21
M
随机过程的n 维分布：
T t t t x t X x t X x t X P x x x F n n n n t t t n ∈≤≤≤=ΛΛΛΛ,,},)(,)(,)({),,(21221121,,21
1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n 维分布等的全体
}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n ΛΛΛ称为{X(t), t ∈T}的有限维分布族。
2、有限维分布族的性质：
（1）对称性：对（1,2，…n ）的任一排列),,(21n j j j Λ，有
),,(),,(21,,,,21212
1
n t t t j j j t t t x x x F x x x F n n n
j j j
ΛΛΛΛ=
（2）相容性：对于m),(),,(1,1,,111m t t m t t t t x x F x x F m n m m ΛΛΛΛΛΛ=∞∞+
3、Kolmogorov 定理
定理：设分布函数族}1,,,),
,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n ΛΛΛ满足上述的对称
性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),
t ∈T}，使
}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n ΛΛΛ恰好是{X(t), t ∈T}的有限维分布族。
定义：设{X(t), t ∈T}是一随机过程：
（1） 称X(t)的期望)]([)(t X E t X =μ（如果存在）为过程的均值函数。
（2） 如果T t ∈∀，)]([2
t X E 存在，则称随机过程{X(t), t ∈T}为二阶矩过程。此时，称
函数))]()())(()([(),(221121t t X t t X E t t X X μμγ--=，T t t ∈21,为过程的协方差函数；称),()]([t t t X Var γ=为过程的方差函数；称
T t s t X s X E t s R X ∈=,)],()([),(为自相关函数。
例：)()(0b t a tV X t X ≤≤+=，其中0X 和V 是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求)(t X μ和),(21t t γ。
三、随机过程的基本类型
独立增量过程：如果对任意,,,,21T t t t n ∈⋅⋅⋅,21n t t t <⋅⋅⋅<<随机变量,)()(12⋅⋅⋅-t X t X
)()(1--n n t X t X 是相互独立的，则称{X(t), t ∈T}是独立增量过程。
平稳增量过程：如果对任意21,t t ，有X(t 1+h)-X(t 1)d X(t 2+h)-X(t 2)，则称{X(t), t ∈T}是平稳增量过程。
平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson 过程和Brownian motion
Poisson 过程 2.1 Poisson 过程
1. 计数过程
定义：随机过程}0),({≥t t N 称为计数过程，如果)(t N 表示从0到t 时刻某一特定事件A 发生的次数，它具备以下两个特点： （1）0)(≥t N 且取值为整数；
（2）t s <时，)()(t N s N ≤且)()(s N t N -表示],(t s 时间内事件A 发生的次数。 2. Poisson 过程
定义2.1.1：计数过程}0),({≥t t N 称为参数为λ（0>λ）的Poisson 过程，如果 （1）;0)0(=N
（2）过程具有独立增量性；
（3）在任一长度为t 的时间区间中事件发生的次数服从均值为t λ的Poisson 分布，即对一切0,
0>≥t s ，有
()Λ
,1,0,!
))()((===-+-n n t
e n s N s t N P n t λλ
注：Poisson 过程具有平稳增量性
因为)()(s N s t N -+的分布只依赖于t, 与区间起点s 无关，,0=s 令
