2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）试卷 考试时间：120分钟 命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积( ) A ．9 B ．39 C ．18 D ．3183.已知数列,则 ）项.A. 19B. 20C. 21D. 22 4.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．105.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若693=+a a ，则=11S （ ） A ．12 B ．33 C ．66 D ．996.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ，则5cos a =（ ）A ．21-B ．21C ．±21D ．±237.若实数y x ,满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数y x z +=2的最大值是 （ ）A.-3B.23C.2D.38.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形9.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3212.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy ( )A ．有最大值eB ．有最小值e D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.当1->x 时,不等式a x x ≥-++111恒成立，则实数a 的最大值是14.在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-=，则角C 的大小为 ．15.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）． 16.已知正实数,x y 满足221x y xy ++=，则+x y 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分）17.（本题10分）数列{}n a 的通项公式是672+-=n n a n ． （1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （3）该数列从第几项开始各项都是正数？18.（本题12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b ，求A sin 的值；（2）若△ABC 的面积4=∆ABC S ，求c b ,的值.19. （本题12分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.20. （本题12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+-（1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．21. （本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T22. （本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）答案一、选择题1.A2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.C 10.A 11.D 12.C 二、填空题 13.0 14.34π15. ①②④16.3三、解答题17.【解析】（1）当4=n 时，6647424-=+⨯-=a ． 3分（2）令150=n a ，即150672=+-n n ，解得16=n 或9-=n （舍去），即150是这个数列的第16项．6分（3）令0672>+-=n n a n ，解得6>n 或1<n （舍）．所以从第7项起各项都是正数． 1018.【解析】(1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =， ∴524542sin sin =⨯==b B a A . 6分 (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=， ∴ 175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 12分 19.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 6分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立. 12分max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞20.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． 4分 ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 6分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 8分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 10分 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 21.【解析】（1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n nn T n n --=+=++ 12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AMθ︒-． 因为MN ＝2,所以AM ＝3sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)－3sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值 此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。
